Anotações sobre Somatórios

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Anotac¸o˜es sobre somato´rios
Rodrigo Carlos Silva de Lima ‡
Universidade Federal Fluminense - UFF-RJ
rodrigo.uff.math@gmail.com
‡
1
Suma´rio
1 Somato´rios 4
1.1 Operador diferenc¸a ∆ e E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1 Delta de Kronecker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Poteˆncia fatorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Definic¸a˜o de somato´rio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 Equivaleˆncia entre definic¸o˜es de somato´rio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5 Expansa˜o do conceito de somato´rio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5.1 Limite superior menor que o inferior . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5.2 Definic¸a˜o para limites reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.6 Somato´rio no conjunto dos inteiros estendidos . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.6.1 Somato´rio com limites no infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.6.2 Notac¸a˜o compacta versus reticeˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.7 Nu´meros de Stirling do segundo tipo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.8 Primeiras te´cnicas de Somato´rio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.8.1 Soma telesco´pica ou soma da diferenc¸a . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.8.2 Diferenc¸a do somato´rio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.8.3 Teorema de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.9 Primitiva finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.10 Nu´meros de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.10.1 Deduzindo uma fo´rmula para soma de poteˆncias usando nu´meros
de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.11 Fo´rmula de soma de Euler-Maclaurin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.12 Nu´meros Eulerianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2
SUMA´RIO 3
1.13 Fo´rmula de Interpolac¸a˜o de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Cap´ıtulo 1
Somato´rios
Esse texto ainda na˜o se encontra na sua versa˜o final, sendo, por enquanto, con-
stitu´ıdo apenas de anotac¸o˜es informais. Sugesto˜es para melhoria do texto, correc¸o˜es
da parte matema´tica ou gramatical eu agradeceria que fossem enviadas para meu Email
rodrigo.uff.math@gmail.com.
1.1 Operador diferenc¸a ∆ e E
O operador diferenc¸a e´ de fundamental importaˆncia no tratamento de somato´rios, com
ele expressamos a propriedade que veremos ainda nesse texto que e´ chamada de soma
telesco´pica, com a qual e´ poss´ıvel descobrir fo´rmulas fechadas para alguns somato´rios.
Definic¸a˜o 1 (Operador diferenc¸a). Dada uma func¸a˜o f : R → R definimos o operador
∆ que leva uma func¸a˜o f : R→ R em uma func¸a˜o ∆f : R→ R dada por
∆f(x) := f(x+ 1)− f(x).
Definic¸a˜o 2 (Poteˆncias de ∆). Definimos
∆0f(x) = f(x)
∆n+1f(x) = ∆nf(x+ 1)−∆nf(x)
4
CAPI´TULO 1. SOMATO´RIOS 5
para n natural.
Definic¸a˜o 3 (Operador E.). Dado h ∈ R definimos o operador Eh que leva func¸o˜es
f : R→ R em uma func¸a˜o EhfR→ R, dada por
Ehf(x) = f(x+ h).
Observe que ∆f(x) = f(x+ 1)− f(x) enta˜o escrevemos ∆ = E − 1.
1.1.1 Delta de Kronecker
Definic¸a˜o 4 (Delta de Kronecker). Dados a, b em um conjunto qualquer A na˜o vazio,
definimos a func¸a˜o δA× A→ R como
δ(a,b) = 0
se a 6= b.
δ(a,b) = 1
se a = b.
1.2 Poteˆncia fatorial
Definic¸a˜o 5 (Poteˆncia fatorial ). Definimos a poteˆncia fatorial de passo h e expoente n
e base x como
x(n,h) =
n−1∏
k=0
(x− kh)
com n ∈ N , x, h ∈ R .
Com n = 0 usamos o produto vazio
x(0,h) =
−1∏
k=0
(x− kh) = 1.
Usaremos em especial o caso de h = 1
x(n,1) =
n−1∏
k=0
(x− k).
CAPI´TULO 1. SOMATO´RIOS 6
Definic¸a˜o 6 (Poteˆncia fatorial expoente negativo). Podemos definir a poteˆncia fatorial
para valores inteiros, definindo
x(−n, h) =
1
(x+ h)(n, −h)
para n ∈ N.
x(−n, 1) =
1
(x+ 1)(n, −1)
Observe que ela e´ va´lida para n = 0 tambe´m pois
x(−0, h) = 1 =
1
(x+ h)(0, −h)
= 1
Propriedade 1. x(−n, h) representa o produto´rio
x(−n, h) =
1
(x+ h)(x+ 2h)...(x+ nh)
=
n∏
k=1
1
(x+ hk)
Propriedade 2. Vale a propriedade
∆(ax+ b)(p+1, a) = a(p+ 1)(ax+ b)(p, a)
para p inteiro.
1.3 Definic¸a˜o de somato´rio
Vamos comec¸ar definindo somato´rio recursivamente.
Definic¸a˜o 7 (Somato´rio).
a+p∑
k=a
f(k) =
a∑
k=a
f(k) = f(a) se p = 0
a+p∑
k=a
f(k) = [
a+p−1∑
k=a
f(k)] + f(a+ p) se p > 0 a ∈ Z, p ∈ N.
f deve ser uma func¸a˜o definida num conjunto que contenha1 [a, a+p]Z, em geral nesse
texto vamos considerar f definida em Z ou em R tomando valores num conjunto A munido
de uma adic¸a˜o +, que possua as propriedades comutativa
a+ b = b+ a
1Usaremos a notac¸a˜o [a, a+ p]Z := [a, a+ p] ∩ Z, em geral [a, b]A := [a, b] ∩A
CAPI´TULO 1. SOMATO´RIOS 7
, associativa
(a+ b) + c = a+ (b+ c)
, existeˆncia de elemento neutro 0
a+ 0 = 0
e existeˆncia de inverso aditivo para cada elemento do conjunto
a− a = 0
onde a, b e c sa˜o elementos arbitra´rios do conjunto A. Tais propriedades dizem que (A,+)
e´ um grupo abeliano. A poderia ser , por exemplo , o conjunto dos nu´meros complexos C ,
dos nu´meros reais R ou dos inteiros Z. Na maioria dos casos iremos considerar f : Z→ R.
Em
a+p∑
k=a
f(k) chamamos o nu´mero a de limite inferior do somato´rio o nu´mero a+p=b
de limite superior, f(k) e´ chamado termo do somato´rio ou somando e k de argumento,
ı´ndice ou varia´vel, nesse caso diremos que estamos aplicando o somato´rio de f(k) com k
variando de a ate´ b. O nu´mero inteiro a + p e´ igual a um nu´mero inteiro b ≥ a assim
escrevemos
b∑
k=a
f(k)
podemos escrever tambe´m
b∑
a
f(k) para simbolizar
b∑
k=a
f(k), quando ficar claro que es-
tamos aplicando com k variando.
O somato´rio definido acima representa formalmente a soma
f(a) + f(a+ 1) + ...+ f(b− 1) + f(b).
Essa notac¸a˜o para somato´rios e´ chamada de notac¸a˜o sigma, a letra
∑
e´ a uma letra
grega maiu´scula que e´ corresponde a nossa letra S , tal notac¸a˜o foi introduzida por Joseph
Fourier ( 1768 -1830) em 1829 .
Alguns autores usam o ı´ndice i no somato´rio
b∑
i=a
f(k), normalmente na˜o usaremos
ı´ndice i, deixando essa letra reservada para o nu´meros complexos, tambe´m na˜o usaremos
ı´ndice n, pois deixaremos essa letra para o limite superior da soma.
CAPI´TULO 1. SOMATO´RIOS 8
Perceba que definimos o somato´rio s(b) =
b∑
k=a
f(k) por meio da recorreˆncia
s(a) = f(a)
s(b+ 1) = s(b) + f(b+ 1).
Com b e a inteiros. Tomando b = a− 1 segue que
s(a) = s(a− 1) + f(a)
como s(a) = f(a) devemos ter s(a− 1) =
a−1∑
k=a
f(k) = 0.
Vejamos alguns exemplos de somato´rios.
Exemplo 1.
a+1∑
k=a
f(k) =
a∑
k=a
f(k) + f(a+ 1) = f(a) + f(a+ 1)
a+2∑
k=a
f(k) =
a+1∑
k=a
f(k) + f(a+ 2) = f(a) + f(a+ 1) + f(a+ 2)
Um exemplo com nu´meros
Exemplo 2.
3∑
k=−2
f(k) =
2∑
k=−2
f(k) + f(3) =
1∑
k=−2
f(k) + f(2) + f(3) =
0∑
k=−2
f(k) + f(1) + f(2) + f(3)
=
−1∑
k=−2
f(k)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3) =
−2∑
k=−2
f(k)+f(−1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3) =
= f(−2) + f(−1) + f(0) + f(1) + f(2) + f(3).
Propriedades do somato´rio.
As propriedades nesta sec¸a˜o sa˜o as propriedades ba´sicas para manipulac¸a˜o de somas,
sendo que a maioria - se na˜o todas - as outras propriedades neste texto sa˜o decorrentes
delas. Faremos tambe´m analogias entre somas e integrais, mostrando que as propriedades
sa˜o similares.
CAPI´TULO 1. SOMATO´RIOS 9
Vamos enta˜o enunciar e demonstrar as propriedades ba´sicas de somato´rio que sera˜o us-
adas nesse texto!As demonstrac¸o˜es mais ba´sicas sera˜o feitas usando induc¸a˜o, iremos sem-
pre manipular os somato´rios a partir da definic¸a˜o por recorreˆncia, na˜o usaremos reticeˆncias
para simbolizar os somato´rios.
Propriedade 3 (Varia´vel muda).
b∑
k=a
f(k) =
b∑
y=a
f(y)
Se os somato´rios esta˜o sendo tomados em limite iguais e com a mesmafunc¸a˜o, na˜o importa
o s´ımbolo usado para a variac¸a˜o, as somas sa˜o iguais. No ca´lculo temos que a integral
tem varia´vel muda ∫ b
a
f(x)dx =
∫ b
a
f(y)dy
Linearidade
Um operador T e´ linear quando faz
T [af(x) + bg(x)] = aTf(x) + b.Tg(x)
vamos mostrar enta˜o que o somato´rio e´ linear
No ca´lculo temos que a integral e´ linear∫ c
d
af(x) + bg(x)dx = a
∫ c
d
f(x)dx+ b
∫ c
d
g(x)dx.
Sendo f(x) e g(x) integra´veis em [d, c] e a e b constantes.
Propriedade 4 (Linearidade do somato´rio).
c=d+p∑
d=x
[af(x) + bg(x)] = a
c∑
d
[f(x)] + b
c∑
d
[g(x)]
Com d e c ∈ Z. a,b ∈ R.
Essa propriedade diz que
[af(d) + bg(d)] + [af(d+ 1) + bg(d+ 1)] + · · ·+ [af(c) + bg(c)] =
= a[f(d) + f(d+ 1) + . . . f(c)] + b[g(d) + g(d+ 1) + . . . g(c)].
CAPI´TULO 1. SOMATO´RIOS 10
Vamos demonstrar por induc¸a˜o.
Demonstrac¸a˜o.
Por induc¸a˜o sobre p. Para p = 0 temos
(d+0)∑
(x=d)
[af(x) + bg(x)] = a
(d+0)∑
(x=d)
[f(x)] + b
(d+0)∑
(x=d)
[g(x)]
= af(d) + bg(d)
aplicando a definic¸a˜o aos dois termos.
Hipo´tese da induc¸a˜o. Para p = n− 1
(d+n−1)∑
(x=d)
[af(x) + bg(x)] = a
(d+n−1)∑
(x=d)
[f(x)] + b
(d+n−1)∑
(x=d)
[g(x)]
Prova para p = n
(c=d+n)∑
(x=d)
[af(x) + bg(x)] =
[ (d+n−1)∑
(x=d)
[af(x) + bg(x)]
]
+ af(c) + bg(c)
= a
(d+n−1)∑
(x=d)
[f(x)] + b
(d+n−1)∑
(x=d)
[g(x)] + af(c) + bg(c)
pela hipo´tese
=
[
a
(d+n−1)∑
(x=d)
[f(x)] + af(c)
]
+
[
b
(d+n−1)∑
(x=d)
[g(x)] + bg(c)
]
= a
[ (d+n−1)∑
(x=d)
[f(x)] + f(c)
]
+ b
[ (d+n−1)∑
(x=d)
[g(x)] + g(c)
]
= a
[ (c)∑
(x=d)
f(x)
]
+ b
[ (c)∑
(x=d)
g(x)
]
.
Propriedade 5 (Comutatividade). Os somato´rios comutam, na˜o importa a ordem em
que voceˆ aplica dois somato´rios o resultado e´ sempre o mesmo.
b∑
k=a
[
d∑
p=c
f(k, p)] =
d∑
p=c
[
b∑
k=a
f(k, p)]
CAPI´TULO 1. SOMATO´RIOS 11
Demonstrac¸a˜o. Vamos provar por induc¸a˜o, tomando d = c + t e induzindo sobre t.
Para t = 0 temos
b∑
k=a
[
c∑
p=c
f(k, p)] =
b∑
k=a
[f(k, c)] =
c∑
p=c
[
b∑
k=a
f(k, p)] =
b∑
k=a
[f(k, c)]
tomando a validade para t, vamos mostrar va´lida para t+ 1
b∑
k=a
[
c+t∑
p=c
f(k, p)] =
c+t∑
p=c
[
b∑
k=a
f(k, p)]
temos que mostrar
b∑
k=a
[
c+t+1∑
p=c
f(k, p)] =
c+t+1∑
p=c
[
b∑
k=a
f(k, p)]
Aplicando a definic¸a˜o de somato´rio
c+t+1∑
p=c
[
b∑
k=a
f(k, p)] =
c+t∑
p=c
[
b∑
k=a
f(k, p)] +
b∑
k=a
f(k, t+ 1)]
aplicando a comutatividade da hipo´tese
=
b∑
k=a
[
c+t∑
p=c
f(k, p)] +
b∑
k=a
f(k, t+ 1)]
agora pela linearidade do somato´rio
b∑
k=a
[
c+t∑
p=c
f(k, p)] + f(k, t+ 1)] =
b∑
k=a
[
c+t+1∑
p=c
f(k, p)].
No ca´lculo temos o ana´logo , Teorema de Fubini
Seja f(x, y) integra´vel no retaˆngulo R = {(x, y) ∈ R2|a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}. Supondo
que
b∫
a
f(x, y)dx exista, para todo y ∈ [c, d], e que
d∫
c
f(x, y)dy exista para todo x ∈ [a, b].
Enta˜o
∫ ∫
R
f(x, y)dxdy =
∫ d
c
[ ∫ b
a
f(x, y)dx
]
dy =
∫ b
a
[ ∫ d
c
f(x, y)dy
]
dx.
Com essas condic¸o˜es as integrais comutam.
Propriedade 6 (Abertura). Essa propriedade mostra que podemos abrir um somato´rio
em dois somato´rios.
p∑
k=a
f(k) =
s∑
k=a
f(k) +
p∑
k=s+1
f(k)
CAPI´TULO 1. SOMATO´RIOS 12
Para p ≥ s+ 1 e s ≥ a. E´ equivalente a
p∑
k=s+1
f(k) =
p=s+1+t∑
k=a
f(k)−
s∑
k=a
f(k)
Demonstrac¸a˜o. A demonstrac¸a˜o sera´ feita por induc¸a˜o sobre t, se t = 0 temos
s+1∑
k=s+1
f(k) =
p=s+1∑
k=a
f(k)−
s∑
k=a
f(k) = f(s+ 1)
Temos como hipo´tese da induc¸a˜o para t
s+1+t∑
k=s+1
f(k) =
s+1+t∑
k=a
f(k)−
s∑
k=a
f(k)
temos que provar para t+ 1
s+1+t+1∑
k=s+1
f(k) =
p=s+1+t+1∑
k=a
f(k)−
s∑
k=a
f(k)
Pela definic¸a˜o de somato´rio temos que
s+1+t+1∑
k=s+1
f(k) =
s+1+t∑
k=s+1
f(k) + f(s+ 1 + t+ 1) =
s+1+t∑
k=a
f(k)−
s∑
k=a
f(k) + f(s+ 1 + t+ 1)
=
p=s+1+t+1∑
k=a
f(k)−
s∑
k=a
f(k) =
s+1+t+1∑
k=s+1
f(k).
Com integrais o resultado difere um pouco∫ b
a
f(x)dx =
∫ c
a
f(x)dx+
∫ b
c
f(x)dx
Com c ∈ (a, b) e f(x) integra´vel em [a, c] e em [c, b].
Propriedade 7 (Mudanc¸a de varia´vel).
b∑
k=a
f(k) =
b+t∑
k=a+t
f(k − t)
sendo t um nu´mero inteiro.
Demonstrac¸a˜o.
Demonstrac¸a˜o por induc¸a˜o. para b = a temos
a∑
k=a
f(k) = f(a) =
a+t∑
k=a+t
f(k − t) = f(a+ t− t) = f(a)
CAPI´TULO 1. SOMATO´RIOS 13
vamos tomar por hipo´tese a validade para b = a+ p
a+p∑
k=a
f(k) =
a+p+t∑
k=a+t
f(k − t)
e provar para b = a+ p+ 1
a+p+1∑
k=a
f(k) =
a+p+1+t∑
k=a+t
f(k − t)
pela definic¸a˜o temos
a+p+1∑
k=a
f(k) =
a+p∑
k=a
f(k) + f(a+ p+ 1) =
a+p+t∑
k=a+t
f(k − t) + f(a+ p+ 1 + t− t)
=
a+p+t+1∑
k=a+t
f(k − t).
Se algum nu´mero inteiro e´ somado aos limites do somato´rio o mesmo nu´mero deve ser
subtra´ıdo na func¸a˜o que e´ somada, por exemplo, se esta tomando somato´rio sobre uma
func¸a˜o f(k) com k variando de a ate´ b, se somar um nu´mero t ficando com somato´rio de
a + t ate´ b + t deve-se subtrair esse nu´mero t da func¸a˜o que esta´ sendo somada, ficando
f(k − t) para que o somato´rio continue igual.
b∑
k=a
f(k) =
b+t∑
k=a+t
f(k − t).
Com integrais essa propriedade se verifica∫ b
a
f(x)dx =
∫ b+p
a+p
f(x− p)dx.
Que pode ser demonstrada por mudanc¸a de varia´vel na integral. Tome y = x− p, temos
dy = dx e com x = b+ p fica y = b, com x = a+ p fica y = a, escrevemos∫ b
a
f(x)dx =
∫ b
a
f(y)dy.
Como a varia´vel de integrac¸a˜o e´ muda temos a mesma integral.
Propriedade 8 (produto por −1). Essa propriedade diz que podemos multiplicar os
limites do somato´rio por −1, ficando enta˜o com limites trocados , sime´tricos e o somando
multiplicado por −1
b∑
a
f(k) =
−a∑
−b
f(−k)
CAPI´TULO 1. SOMATO´RIOS 14
Demonstrac¸a˜o. Por induc¸a˜o, para b = a temos
a∑
a
f(k) = f(a) =
−a∑
−a
f(−k) = f(a)
Tomando como hipo´tese a validade para b
b∑
a
f(k) =
−a∑
−b
f(−k)
vamos provar para b+ 1
b+1∑
a
f(k) =
−a∑
−b−1
f(−k).
Pela definic¸a˜o e pela propriedade de abertura temos
b+1∑
a
f(k) =
b∑
a
f(k)+f(b+1) = f(b+1)+
−a∑
−b
f(−k) =
−b−1∑
−b−1
f(−k)+
−a∑
−b
f(−k) =
−a∑
−b−1
f(−k).
Com integrais temos a mesma propriedade∫ b
a
f(x)dx =
∫ −a
−b
f(−x)dx
Sendo a func¸a˜o f(x) integra´vel no intervalo [a, b]. Demonstrac¸a˜o por mudanc¸a de varia´vel:
Tome y = −x, com isso temos que quando x = −a ,y = a e quando x = −b, y = b e
temos ainda
dy
dx
= −1, dx = −dy, ficamos enta˜o com a integral
∫ b
a
f(x)dx = −
∫ a
b
f(y)dy.
Que por definic¸a˜o e´ verdadeira (do ca´lculo).
Corola´rio 1 (Troca de ordem).
b∑
k=a
f(k) =
b∑
k=a
f(a+ b− k)
Demonstrac¸a˜o. Essa propriedade decorre das propriedades de mudanc¸a de ordem e
produto por (−1),enta˜o vamos a demonstrac¸a˜o. Temos que
b∑
k=a
f(k) =
−a∑
k=−b
f(−k)
CAPI´TULO 1. SOMATO´RIOS 15
fazendo uma mudanc¸a de varia´vel no segundo somato´rio , somando a + b aos limites,
ficamos com
b∑
k=a
f(k) =
b∑
k=a
f(−(k − a− b)) =
b∑
k=a
f(a+ b− k)
logo
b∑
k=a
f(k) =
b∑
k=a
f(a+ b− k)
e
b∑
k=a
f(a+ b− k)− f(k) = 0 =
b∑
k=a
f(k)− f(a+ b− k).
Troca de ordem em integrais
E´ uma propriedade que tambe´m e´ corola´rio do produto por −1 nos limites e da mu-
danc¸a de varia´vel por soma nos limites. Vejamos, temos∫ b
a
f(x)dx =
∫ −a
−b
f(−x)dx
somando a+ b aos limites ficamos com∫ b
a
f(x)dx =
∫ −a+a+b
−b+a+b
f(a+ b− x)dx =
∫ b
a
f(a+ b− x)dx.
Propriedade 9 (Revertendo a ordem da soma). Vale a propriedade
n∑
k=a
k∑
j=a
f(k, j) =
n∑
j=a
n∑
k=j
f(k, j).
Demonstrac¸a˜o. Vamos provar por induc¸a˜o sobre n, para n = a temos
a∑
k=a
k∑
j=a
f(k, j) =
a∑
j=a
f(a, j) = f(a, a) =
a∑
j=a
a∑
k=j
f(k, j) =
a∑
k=a
f(k, a) = f(a, a).
Supondo a validade para n, vamos provar para n+ 1
n+1∑
k=a
k∑
j=a
f(k, j) =
n+1∑
j=a
n+1∑
k=j
f(k, j)
temos que
n+1∑
k=a
k∑
j=a
f(k, j) =
n∑
k=a
k∑
j=a
f(k, j) +
n+1∑
j=a
f(n+ 1, j) =
n∑
j=a
n∑
k=j
f(k, j) +
n+1∑
j=a
f(n+ 1, j) =
CAPI´TULO 1. SOMATO´RIOS 16
=
n∑
j=a
n∑
k=j
f(k, j)+
n∑
j=a
f(n+1, j)+f(n+1, n+1) =
n∑
j=a
n∑
k=j
f(k, j)+
n∑
j=a
f(n+1, j)+
n+1∑
k=n+1
f(k, n+1) =
=
n∑
j=a
(
n∑
k=j
f(k, j)+ f(n+1, j))+
n+1∑
k=n+1
f(k, n+1) =
n∑
j=a
(
n+1∑
k=j
f(k, j))+
n+1∑
k=n+1
f(k, n+1) =
=
n+1∑
j=a
(
n+1∑
k=j
f(k, j)) .
Caso especialse a = 0
n∑
k=0
k∑
j=0
f(k, j) =
n∑
j=0
n∑
k=j
f(k, j).
1.3.1 Exerc´ıcios
1. Calcule as somas numericamente pela definic¸a˜o de somato´rio:
(a)
5∑
k=1
(−1)k
(b)
7∑
k=4
1
k
(c)
3∑
k=−7
1
(d)
3∑
k=−3
k, para n ≥ 0, inteiro.
(e) Todo nu´mero real pertence a um e somente um intervalo do tipo [n, n + 1),
onde n e´ inteiro, a cada real nesse intervalo associamos o nu´mero n pela func¸a˜o
bxc = n, que e´ chamada de func¸a˜o piso. Calcule a soma
4∑
k=1
b
√
kc.
(f) Calcule
100∑
k=1
k. O matema´tico Gauss teria calculado essa soma com 10 anos de
idade sem nenhum ca´lculo.
2. Demonstre as propriedades usando a definic¸a˜o recursiva de somato´rio.
(a) Linearidade
b∑
k=a
(cg(k) + df(k)) = c
b∑
k=a
g(k) + d
b∑
k=a
f(k)
CAPI´TULO 1. SOMATO´RIOS 17
(b) Comutatividade
b∑
k=a
d∑
p=c
f(k, p) =
d∑
p=c
b∑
k=a
f(k, p)
(c) Abertura
c∑
k=a
f(k) =
b∑
k=a
f(k) +
c∑
k=b+1
f(k)
(d) Mudanc¸a de varia´vel
b∑
k=a
f(k) =
b+t∑
k=a+t
f(k − t)
(e) Produto por −1
b∑
k=a
f(k) =
−a∑
k=−b
f(−k)
(f) Troca de ordem
b∑
k=a
f(k) =
b∑
k=a
f(a+ b− k)
(g) Reverter ordem da soma
n∑
k=a
k∑
j=a
f(k, j) =
n∑
j=a
n∑
k=j
f(k, j).
3. Demonstre usando as propriedades anteriores
(a) Demonstre
b∑
k=a
f(k + 1)− f(k) = f(b+ 1)− f(a).
Essa propriedade e´ chamada de soma telesco´pica e f(k + 1) − f(k) pode ser
denotado como ∆f(k) = f(k+1)−f(k), f(b+1)−f(a) pode ser escrito como
f(k)|b+1a , enta˜o a propriedade pode ser escrita
b∑
k=a
∆f(k) = f(k)|b+1a .
(b)
b∑
k=a
f(k) =
1
2
b∑
k=a
[f(a+ b− k) + f(k)].
(c) Se f e´ uma func¸a˜o ı´mpar enta˜o
n∑
k=−n
f(k) = 0
(d) Se f e´ uma func¸a˜o par enta˜o
n∑
k=−n
f(k) = f(0) + 2
n∑
k=1
f(k).
(e) A func¸a˜o delta de kronecker e´ definida como
δ(n,k) =
{
0 se n 6= k
1 se n = k
Demonstre que se n e´ um nu´mero tal que a ≤ n ≤ b, n ∈ Z enta˜o
b∑
k=a
f(k)δ(n,k) = f(n).
CAPI´TULO 1. SOMATO´RIOS 18
1.4 Equivaleˆncia entre definic¸o˜es de somato´rio
Conseguimos demonstrar a propriedade de abertura atrave´s da definic¸a˜o de somato´rio ,
agora mostraremos que a definic¸a˜o de somato´rio pode ser demonstrada com a propriedade
de abertura, isto e´, sa˜o equivalentes.
b∑
k=a
f(x) =
s∑
k=a
f(k) +
b∑
k=s+1
f(k).
Com s ≥ a, b ≥ s+ 1, b, a, s ∈ Z e com condic¸a˜o inicial
c∑
k=c
f(k) = f(c).
∀c ∈ Z.
Para demonstrar a outra definic¸a˜o basta tomar b = s+ 1, ficamos enta˜o com o somato´rio
b∑
k=a
f(x) =
b−1∑
k=a
f(k) +
b∑
k=b
f(k) =
b−1∑
k=a
f(k) + f(b).
Usaremos essa definic¸a˜o por propriedade de abertura para definir somato´rio nos inteiros
estendidos.
1.5 Expansa˜o do conceito de somato´rio
1.5.1 Limite superior menor que o inferior
Definic¸a˜o 8 (Limite superior menor que o inferior). Se usamos a propriedade de abertura
b∑
k=a
f(k) =
p∑
k=a
f(k) +
b∑
k=p+1
f(k)
para estender a definic¸a˜o de somato´rio para valores de b < a, temos, com p = a− 1
b∑
k=a
f(k) =
a−1∑
k=a
f(k) +
b∑
k=a
f(k)
da´ı
a−1∑
k=a
f(k) = 0. Tomando p = a− n com n ≥ 2 tem-se
b∑
k=a
f(k) =
a−n∑
k=a
f(k) +
b∑
k=a+1−n
f(k)
CAPI´TULO 1. SOMATO´RIOS 19
a−n∑
k=a
f(k) =
b∑
k=a
f(k)−
b∑
k=a+1−n
f(k)
como n ≥ 2 segue que a − n + 1 ≤ a − 1 enta˜o podemos abrir o u´ltimo somato´rio
b∑
k=a+1−n
f(k) =
a−1∑
k=a+1−n
f(k) +
b∑
k=a
f(k) da´ı
a−n∑
k=a
f(k) =
b∑
k=a
f(k)−
a−1∑
k=a+1−n
f(k)−
b∑
k=a
f(k)
a−n∑
k=a
f(k) = −
a−1∑
k=a+1−n
f(k).
Como exemplo, tomando a = 0
−n∑
k=0
f(k) = −
−1∑
k=1−n
f(k)
tomando n = 3
−3∑
k=0
f(k) = −
−1∑
k=−2
f(k) = −f(−1)− f(−2).
Em geral, vamos tomar que
b∑
k=a
f(k) = −
a−1∑
k=b+1
f(k)
para a e b arbitra´rios em Z. Se b = a− 1 a soma e´ dita vazia e vale
a−1∑
k=a
f(k) = 0.
1.5.2 Definic¸a˜o para limites reais
Definic¸a˜o 9 (Definic¸a˜o para limites reais). Podemos definir o somato´rio
b∑
k=a
, para a e b
reais, pela relac¸a˜o
b∑
k=a
∫ k+1
k
f(x)dx︸ ︷︷ ︸
g(k)
=
∫ b+1
a
f(x)dx.
Vamos demonstrar algumas propriedades com essa definic¸a˜o.
CAPI´TULO 1. SOMATO´RIOS 20
Corola´rio 2.
a∑
k=a
g(k) = g(a), pois
a∑
k=a
∫ k+1
k
f(x)dx︸ ︷︷ ︸
g(k)
=
∫ a+1
a
f(x)dx.
Corola´rio 3.
b∑
k=a
g(k) =
p∑
k=a
g(k) +
b∑
k=p+1
g(k) pois
b∑
k=a
g(k) =
∫ b+1
a
f(x)dx =
∫ p+1
a
f(x)dx+
∫ b+1
p+1
f(x)dx =
p∑
k=a
g(k) +
b∑
k=p+1
g(k).
Corola´rio 4.
a−1∑
k=a
g(k) = 0 pois
a−1∑
k=a
g(k) =
∫ a
a
f(x)dx = 0.
Corola´rio 5.
b∑
k=a
g(k) = −
a−1∑
k=b+1
g(k).
b∑
k=a
g(k) =
∫ b+1
a
f(x)dx = −
∫ a
b+1
f(x)dx = −
a−1∑
k=b+1
g(k).
1.6 Somato´rio no conjunto dos inteiros estendidos
b∑
k=a
f(x) =
s∑
k=a
f(k) +
b∑
k=s+1
f(k).
Com s ≥ a, b ≥ s+ 1, b, a, s ∈ Z e com condic¸a˜o inicial
c∑
k=c
f(k) = lim
k−→c
f(k).
Podemos ver agora somato´rios com limites no infinito.
CAPI´TULO 1. SOMATO´RIOS 21
1.6.1 Somato´rio com limites no infinito
Somato´rio com limite superior no infinito
Vamos tomar o somato´rio com limite superior infinito e limite inferior inteiro.
∞∑
k=a
f(k) =
s∑
k=a
f(k) +
∞∑
k=s+1
f(k).
Para todo s ≥ a, pois temos ∞ ≥ s+ 1 para todo s+ 1 ∈ Z , logo podemos tomar s ta˜o
grande quanto quisermos, que o somato´rio ”na˜o se esgota”, podendo continuar abrindo
em quantidades de termos cada vez maiores.
Dizemos que o somato´rio converge para uma valor u real qualquer quando
lim
n−→∞
n∑
k=a
f(k) = u
e escrevemos
∞∑
k=a
f(k) = u
Agora se temos s = ∞, s + 1 = ∞, pelas regras nos inteiros estendidos, escrevemos
enta˜o o somato´rio aberto como
∞∑
k=a
f(k) =
∞∑
k=a
f(k) +
∞∑
k=∞
f(k).
Usando a definic¸a˜o de que
∞∑
k=∞
f(k) = lim
k−→∞
f(k)
Chegamos ao resultado
∞∑
k=a
f(k) =
∞∑
k=a
f(k) + lim
k−→∞
f(k).
Se o somato´rio infinito converge a um nu´mero real qualquer u, ficamos com
∞∑
k=a
f(k) =
∞∑
k=a
f(k) + lim
k−→∞
f(k) =⇒
u = u+ lim
k−→∞
f(k). =⇒
lim
k−→∞
f(k) = 0.
Enta˜o temos uma condic¸a˜o necessa´ria (mas na˜o suficiente ) para o somato´rio convergir.
Somato´rio com limite inferior no infinito
CAPI´TULO 1. SOMATO´RIOS 22
b∑
k=−∞
f(k) =
s∑
k=−∞
f(k) +
b∑
k=s+1
f(k)
Para todo b ≥ s+ 1 pois temos s, s > −∞ para qualquer inteiro s.
Dizemos que o somato´rio converge para uma valor u real qualquer quando
lim
n−→−∞
b∑
k=n
f(k) = u
e escrevemos
b∑
k=−∞
f(k) = u
Se s = −∞ temos s+ 1 = −∞ por propriedade dos inteiros estendidos, temos
b∑
k=−∞
f(k) =
−∞∑
k=−∞
f(k) +
b∑
k=−∞
f(k)
se o somato´rio converge para u e usando a definic¸a˜o de somato´rio temos
u = lim
k−→−∞
f(k) + u =⇒
lim
k−→−∞
f(k) = 0.
Somato´rio com limite inferior e superior no infinito
∞∑
k=−∞
f(k) =
s∑
k=−∞
f(k) +
∞∑
k=s+1
f(k)
Para todo inteiro s pois∞ > s+1 e s > −∞. Se o somato´rio com limite em −∞ converge
para u e o somato´rio com limite em ∞ converge para v, dizemos que o somato´rio acima
converge para u+ v, temos
∞∑
k=−∞
f(k) =
s∑
k=−∞
f(k) +
∞∑
k=s+1
f(k) =
l∑
k=−∞
f(k) +
s∑
k=l+1
f(k) +
p∑
k=s+1
f(k) +
∞∑
k=p+1
f(k)
Tomando l = −∞ temos l + 1 = −∞ e s > −∞ e tomando p+ 1 =∞ temos p− 1 =∞
e ∞ > s+ 1, ficamos com
∞∑
k=−∞
f(k) =
−∞∑
k=−∞
f(k) +
s∑
k=−∞
f(k) +
∞∑
k=s+1
f(k) +
∞∑
k=∞
f(k)
CAPI´TULO 1. SOMATO´RIOS 23
usando a definic¸a˜o e a convergeˆncia
u+ v = lim
k−→−∞
f(k) + u+ v + lim
k−→∞
f(k) =⇒ lim
k−→−∞
f(k) + lim
k−→∞
f(k) = 0.
lim
k−→∞
f(k) = − lim
k−→−∞
f(k).
Mudanc¸a de varia´vel em somato´rio com limite no infinito
Temos a seguinte propriedade para somato´rios com limites nos inteiros
n∑
k=a
f(k) =
n+p∑
k=a+p
f(k − p)
Queremos mostrar que continua va´lida para somato´rio com limites no infinito
Teorema 1 (Mudanc¸a de varia´vel).
∞∑
k=a
f(k) =
∞∑
k=a+p
f(k − p)
Se o somato´rio converge
∞∑
k=a
f(k) para u e p e´ um nu´mero inteiro.
Demonstrac¸a˜o. Se o somato´rio
∞∑
k=a
f(k) converge para u, escrevemos
∞∑
k=a
f(k) = lim
n−→∞
n∑
k=a
f(k) = u
Se o somato´rio
∞∑
k=a+p
f(k − p) converge para v, escrevemos
∞∑
k=a+p
f(k − p) = lim
n−→∞
n+p∑
k=a+p
f(k − p) = v
Pore´m as sequeˆncias
n+p∑
k=a+p
f(k−p) e
n∑
k=a
f(k) sa˜o a mesma sequeˆncia (sa˜o iguais), logo
seus limites sa˜o iguais, enta˜o temos
∞∑
k=a
f(k) =
∞∑
k=a+p
f(k − p).
CAPI´TULO 1. SOMATO´RIOS24
Definic¸a˜o 10. Somato´rio sobre func¸a˜o constante. Se temos uma func¸a˜o constante f(k) =
c, escrevemos o somato´rio
b∑
k=a
f(k) =
b∑
k=a
c
Propriedade 10.
n∑
k=1
1 = n
para todo n natural, demonstramos por induc¸a˜o, para n = 0, temos a igualdade, pois
temos somato´rio sobre conjunto vazio sendo 0, seja agora va´lida para n, vamos demonstrar
para n+ 1
n+1∑
k=1
1 =
n∑
k=1
1 + 1 = n+ 1.
1.6.2 Notac¸a˜o compacta versus reticeˆncias
Neste texto decidimos usar a notac¸a˜o compacta de somato´rio
∑
, quase sempre, ao
inve´s de usar reticeˆncias (pontinhos) · · · ao manipular os somato´rios. Na sec¸a˜o anterior
demonstramos propriedades ba´sicas para manipular somas usando a notac¸a˜o compacta.
Usando elas seremos capazes de calcular todas ( ou quase todas) somas que aparecem
neste texto. A notac¸a˜o compacta pode ser u´til para economizar espac¸o, na˜o precisando
escrever pontinhos e va´rios termos somados
n∑
k=1
k = 1 + · · ·+ n.
Ao usar pontinho, deve-se escrever o termo geral do que se esta´ somando, para evitar
ambiguidades, por exemplo
1 + · · ·+ n
seria uma maneira va´lida para escrever a soma
n∑
k=1
k, pore´m
1 + 2 + · · ·
na˜o seria uma maneira va´lida para expressar a soma finita, tanto pelo motivo de
parecer expressar uma soma de infinitos termos, quanto pelo fato de que na˜o sabemos a
expressa˜o geral do termo que esta´ sendo somado, poderia ser soma de uma sequeˆncia (xn)
CAPI´TULO 1. SOMATO´RIOS 25
Figura 1.1: Proibido uso de pontinhos
tal que x1 = 1, x2 = 2 e x3 = 300, por exemplo. Se o termo geral na˜o e´ dado, a sequeˆncia
poderia ser de va´rios tipos distintos . Uma soma infinita deveria ser expressa da forma
1 + · · ·+ n+ · · ·
onde n simboliza o tipo de termo que esta´ sendo somado, nesse caso a soma e´ infinita, na
notac¸a˜o compacta seria
∞∑
k=1
k.
1.7 Nu´meros de Stirling do segundo tipo
Os nu´meros de Stirling teˆm esse nome por causa do matema´tico Escoceˆs James Stirling
(1692-1770). Com eles e´ poss´ıvel expressar uma poteˆncia xn em somas de poteˆncias
fatoriais e tambe´m expressar poteˆncias fatoriais como poteˆncias. Eles sa˜o definidos por
recorreˆncia da seguinte maneira. Eles sera˜o importantes na teoria de somato´rios, pois com
eles podemos descobrir fo´rmulas fechadas para somas do tipo
b∑
k=a
kp, onde p e´ natural.
Nu´meros de Stirling do segundo tipo
n
{n
0
} {n
1
} {n
2
} {n
3
} {n
4
} {n
5
} {n
6
}
0 1 0 0 0 0 0 0
1 0 1 0 0 0 0 0
2 0 1 1 0 0 0 0
3 0 1 3 1 0 0 0
4 0 1 7 6 1 0 0
5 0 1 15 25 10 1 0
6 0 1 31 90 65 15 1
CAPI´TULO 1. SOMATO´RIOS 26
Sa˜o nu´meros que satisfazem a recorreˆncia:{n+1
k
}
= k.
{n
k
}
+
{ n
k−1
}
Se n ∈ N e k > 0 . Com condic¸o˜es iniciais{0
0
}
= 1.
{n
k
}
= 0
se k > n. {n+1
0
}
= 0
para todo n natural.
Propriedade 11. {n
n
}
= 1
para todo n natural.
Demonstrac¸a˜o. Por induc¸a˜o sobre n temos para n = 0{0
0
}
= 1
pela condic¸a˜o inicial. Agora seja va´lida para n{n
n
}
= 1
e vamos provar para n+ 1 temos pela recorreˆncia{n+1
n+1
}
= (n+ 1).
{ n
n+1
}
+
{n
n
}
= 1.
Propriedade 12. {n+1
1
}
= 1
para todo n natural.
Demonstrac¸a˜o. Para n = 0 e´ verdade pela propriedade anterior, considere agora a
hipo´tese para n e vamos provar para n+ 1{n+2
1
}
= 1
{n+1
1
}
+
{n+1
0
}
= 1.
CAPI´TULO 1. SOMATO´RIOS 27
Propriedade 13 (Os nu´meros de Stirling sa˜o inteiros).
Demonstrac¸a˜o. Para n = 0 {0
k
}
= 1
ou {0
k
}
= 0
logo inteiro. Considere a hipo´tese de ser inteiro para n e vamos provar para n+ 1{n+1
k
}
= k
{n
k
}
+
{ n
k−1
}
por ser soma de dois inteiros, segue que e´ inteiro.
Teorema 2 (Teorema geral de nu´meros de Stirling). Seja uma func¸a˜o g : R→ R e uma
func¸a˜o g(k, x) : A×R→ R onde N ⊂ A . Um operador T com as seguinte definic¸a˜o
Condic¸o˜es do operador T .
1. Poteˆncias de T .
T 0g(x) = g(x)
T [T ng(x)] = T (n+1)g(x) ∀n ∈ N.
2. Linearidade
Propriedade de comutar com somato´rio
T
n∑
k=0
akf(k, x) =
n∑
k=0
akTf(k, x)
Condic¸a˜o do operador P .
1. Poteˆncias de P . Seja um operador P com propriedade de
P 0g(x) = g(x)
P [P ng(x)] = P (n+1)g(x) ∀n ∈ N.
CAPI´TULO 1. SOMATO´RIOS 28
2. Comutatividade de P .
P comutando com nu´meros
Pkg(x) = kPg(x)
Relac¸a˜o entre T e P
1. Comutatividade de T e P
TP ng(x) = P nTg(x)
Relac¸a˜o entre func¸o˜es
Se temos as func¸o˜es relacionadas por
1. g(x) = g(0, x)
2. T [g(k, x)] = k.Pg(k, x) + g(k + 1, x)
enta˜o
T n[g(x)] =
n∑
k=0
{n
k
}
P (n−k)g(k, x).
Demonstrac¸a˜o.
Por induc¸a˜o, para n = 0 temos
T 0[g(x)] = g(x) =
n∑
k=0
{0
k
}
P (0−k)g(k, x) =
{0
0
}
P (0−0)g(0, x) = g(x).
Pela definic¸a˜o de nu´meros de Stirling, operadores P, T , somato´rio e func¸a˜o g(k, x).
Tomando como hipo´tese para n
T n[g(x)] =
n∑
k=0
{n
k
}
P (n−k)g(k, x).
Vamos provar para n+ 1.
T (n+1)[g(x)] =
n+1∑
k=0
{n+1
k
}
P (n+1−k)g(k, x).
CAPI´TULO 1. SOMATO´RIOS 29
Por propriedade do operador temos
T (n+1)[g(x)] =
n∑
k=0
{n
k
}
P (n−k)T [g(k, x)] =
n∑
k=0
{n
k
}
P (n−k)[kPg(k, x) + g(k + 1, x)] =
Pois T comuta com o somato´rio e com P .
n∑
k=1
{n
k
}
kP (n+1−k)g(k, x) +
n∑
k=0
{n
k
}
P (n−k)g(k + 1, x)
Usando que P comuta com nu´mero, linearidade do somato´rio , propriedade de abertura,
pois, quando k = 0 o termo com k como fator se anula. Fazendo agora uma mudanc¸a
de varia´vel no primeiro somato´rio subtraindo 1 dos limites e abrindo o u´ltimo termo do
segundo somato´rio.
n−1∑
k=0
{ n
k+1
}
(k + 1)P (n−k)g(k + 1, x) +
n−1∑
k=0
{n
k
}
P (n−k)g(k + 1, x) +
{n
n
}
P (0)g(n+ 1, x)
Juntando agora os dois somato´rios e usando a definic¸a˜o de nu´meros de Stirling, ficamos
com
n−1∑
k=0
[{ n
k+1
}
(k + 1) +
{n
k
}]
P (n−k)g(k + 1, x) +
{n
n
}
P (0)g(n+ 1, x) =
=
n−1∑
k=0
[{n+1
k+1
}
]P (n−k)g(k + 1, x) +
{n
n
}
P (0)g(n+ 1, x)
Agora usando que
{n+1
0
}
= 0, pois seria igual a 1 apenas se n+ 1 = 0, n = −1, que na˜o
e´ natural e fazendo uma mudanc¸a de varia´vel somando +1 aos limites do somato´rio.
=
n∑
k=1
[{n+1
k
}
]P (n−k)g(k, x) +
{n
n
}
P (0)g(n+ 1, x) =
=
{n+1
0
}
P (n+1−0)g(0, x) +
n∑
k=1
[{n+1
k
}
]g(k, x) +
{n+1
n+1
}
P (0)g(n+ 1, x)
=
n+1∑
k=0
[{n+1
k
}
]g(k, x).
Corola´rio 6. Toda poteˆncia pode ser escrita como soma de poteˆncias fatoriais
xn =
n∑
k=0
{n
k
}
.h(n−k).x(k,h)
CAPI´TULO 1. SOMATO´RIOS 30
Para n ∈ N .
Precisamos da seguintes propriedade
x.x(k,h) = k.h.x(k,h) + x(k+1,h)
que sai direto da definic¸a˜o , pois
x(k+1,h) = x(k,h)[x− hk] = x.x(k,h) − k.h.x(k,h)
somando k.h.x(k,h) em ambos os lados
x.x(k,h) = x(k+1,h) + k.h.x(k,h)
Nesse caso tomamos g(k, x) = x(k,h), T = x e g(x) = 1 h = P e as condic¸o˜es sa˜o satisfeitas
pois (condic¸o˜es de T )
x0 = 1
x.xn = xn+1
x
n∑
k=0
akg(k, x) =
n∑
k=0
akx.g(k, x) =
(condic¸o˜es de P )
h0 = 1
h.hn = hn+1
(Relac¸a˜o entre P e T )
x.hn = hn.x
(Relac¸a˜o entre as func¸o˜es)
1 = x(0,h)
Enta˜o o teorema e´ va´lido para poteˆncias fatoriais.
O caso especial que nos interessa nesse texto e´ quando h = 1, temos
Corola´rio 7.
xn =
n∑
k=0
{n
k
}
.x(k,1)
CAPI´TULO 1. SOMATO´RIOS 31
Corola´rio 8 (Poteˆncia escrita como soma de coeficientes binomiais).
xn =
n∑
k=0
k!
{n
k
}
.
x(k,1)
k!
=
n∑
k=0
k!
{n
k
}
.
(
x
k
)
Podemos agora deduzir o resultado do operador ∆p aplicado em xn
Corola´rio 9.
xn =
n∑
k=1
{n
k
}
.x(k,1) =⇒ ∆pxn = ∆p
n∑
k=1
{n
k
}
.x(k,1) =
n∑
k=1
{n
k
}
.∆px(k,1) =
n∑
k=1
{n
k
}
.k(p,1).x(k−p,1)
∆pxn =
n∑
k=1
{n
k
}
.k(p,1).x(k−p,1)
Se p = n temos
∆nxn =
n∑
k=1
{n
k
}
.k(n,1).x(k−n,1)
abrindo o somato´rio
∆nxn =
n−1∑
k=1
{n
k
}
.k(n,1).x(k−n,1) +
{n
n
}
n(n,1).x(n−n,1)
No primeiro somato´rio temos que max k = n− 1 enta˜o n > k, levando a poteˆncia k(n,1) a
zero e tornando o somato´rio zero. Temos
{n
n
}
= 1, por definic¸a˜o de nu´meros de Stirling,
n(n,1) = n!, por propriedade de poteˆncia fatorial e x(0,1) = 1, por definic¸a˜o de poteˆncia
fatorial, enta˜o
∆nxn = n!
O mesmo nos mostra que ∆pxn = 0 se p > n, pois se p > n existe t > 0 natural tal que
n+ t = p,logo temos
∆pxn = ∆n+txn = ∆t∆nxn = ∆tn! = ∆t−1∆n! = 0.
O mesmo pode ser feito para polinoˆmios
n∑
k=0
akx
k =
n∑
k=0
ak
k∑
j=1
{k
j
}
.x(j,1)
Aplicando ∆p
CAPI´TULO 1. SOMATO´RIOS 32
∆p
n∑
k=0
akx
k = ∆p
n∑
k=0
ak
k∑
j=1
{k
j
}
.x(j,1) =
n∑
k=0
ak
k∑
j=1
{k
j
}
.∆px(j,1) =
n∑
k=0
ak
k∑
j=1
{k
j
}
.j(p,1)x(j−p,1) =
=
n∑
k=0
k∑
j=1
ak
{k
j
}
.j(p,1)x(j−p,1).
Se n ≥ p temos enta˜o um polinoˆmio de grau n− p. Aplicando ∆n no polinoˆmio de grau
n temos
∆n
n∑
k=0
akx
k = ∆n
n−1∑
k=0
akx
k +∆nan.xn = an∆
nxn = an.n!
como o ma´ximo grau do polinoˆmio dentro do somato´rio e´ n − 1, pelo resultado anterior
todos os termos sa˜o iguais a zero restando apenas o termo fora do somato´rio, como ∆n
aplicado no polinoˆmio e´ uma constante, se aplicarmos mais uma vez o ∆, temos o resultado
nulo
∆n+1
n∑
k=0
akx
k = ∆an.n! = 0
o mesmo para qualquer nu´mero p > n (p = n+ t com t ∈ N , t > 0)
∆p
n∑
k=0
akx
k = ∆t∆n
n∑
k=0
akx
k = ∆tan.n! = ∆
t−1∆an.n! = 0
Exemplo 3. Alguns exemplos de poteˆncias escritas como soma de poteˆncias fatoriais
x0 = 1.x(0,1)
x1 = 0.x(0,1) + 1.x(1,1)
x2 = 0.x(0,1) + 1.x(1,1) + 1.x(2,1)
x3 = 0.x(0,1) + 1.x(1,1) + 3.x(2,1) + 1.x(3,1)
x4 = 0.x(0,1) + 1.x(1,1) + 7.x(2,1) + 6.x(3,1) + 1.x(4,1)
x5 = 0.x(0,1) + 1.x(1,1) + 15.x(2,1) + 25.x(3,1) + 10.x(4,1) + 1.x(5,1)
x6 = 0.x(0,1) + 1.x(1,1) + 31.x(2,1) + 90.x(3,1) + 65.x(4,1) + 15.x(5,1) + 1.x(6,1)
E´ fa´cil descobrir a representac¸a˜o por soma de poteˆncias fatoriais de uma poteˆncia xn se
temos a representac¸a˜o de x(n−1), os casos x0 e x1 sa˜o triviais, o caso x2 sai diretamente da
CAPI´TULO 1. SOMATO´RIOS 33
definic¸a˜o de nu´meros de Stirling sem necessidade de usar sua recorreˆncia, pela definic¸a˜o
de nu´meros de Stirling sabemos os coeficientes de x(1,1) e x(3,1) na representac¸a˜o de x3,
falta saber o coeficiente de x(2,1) que se obteˆm multiplicando o grau da poteˆncia (2)
pelo coeficiente de x(2,1) na representac¸a˜o de x2 e somando 1 (coeficiente de x(1,1) na
representac¸a˜o de x2), esse processo pode ser feito para todas outras poteˆncias.
Ao trabalhar com somato´rios e diferenc¸as pode ser mais simples para manipulac¸o˜es ter
a poteˆncia transformada em poteˆncia fatorial, pois as poteˆncias fatoriais teˆm diferenc¸as e
somato´rios podendo ser resolvidos de maneira imediata( por causa de suas propriedades)
enquanto que a expressa˜o fatorada ou na forma canoˆnica de polinoˆmios na˜o a´ ta˜o simples
de ser manipulada.
Exemplo 4. Os nu´meros de Stirling tambe´m aparecem nos coeficientes da n-e´sima
derivada de f(ex), para isso tome g(k, x) = ekxf (k)(ex), com isso temos g(0, x) = e0xf 0(ex) =
f(ex)2, e temos,
Dg(k, x) = Dekxf (k)(ex) = k.ekxf (k)(ex) + e(k+1)xf (k+1)(ex) = kg(k, x) + g(k + 1, x)
, como a derivada comuta com o somato´rio e tem propriedade de Dn+1g(x) = DDng(x),
temos enta˜o como corola´rio
Dnf(ex) =
n∑
k=0
{n
k
}
ekxf (k)(ex)
1.8 Primeiras te´cnicas de Somato´rio
1.8.1 Soma telesco´pica ou soma da diferenc¸a
Propriedade 14 (Teorema fundamental do ca´lculo de diferenc¸as finitas, parte I -Soma
telesco´pica.).
b∑
x=a
∆f(x) = f(x)
∣∣∣∣b+1
a
ondef(x)
∣∣∣∣b+1
a
= f(b+ 1)− f(a) e ∆f(x) = f(x+ 1)− f(x).
2onde f (k)(ex) e´ a k-e´sima derivada da func¸a˜o f(x) aplicada em ex
CAPI´TULO 1. SOMATO´RIOS 34
Deduc¸a˜o
f(a+ 1)− f(a)
f(a+ 2)− f(a+ 1)
f(a+ 3)− f(a+ 2)
...
f(b)− f(b− 1)
f(b+ 1)− f(b)
Somando esses termos ficamos com
f(b+ 1)− f(a)
Demonstrac¸a˜o.
b∑
x=a
∆f(x) =
b∑
x=a
f(x+ 1)−
b∑
x=a
f(x) =
b−1∑
x=a
f(x+ 1) + f(b+ 1)−
b∑
x=a+1
f(x)− f(a) =
fazendo uma mudanc¸a de varia´vel no segundo somato´rio
=
b−1∑
x=a
f(x+ 1) + f(b+ 1)−
b−1∑
x=a
f(x+ 1)− f(a) = f(b+ 1)− f(a).
No ca´lculo temos Se f e´ deriva´vel em (a, b) e integra´vel em [a, b] enta˜o
∫ b
a
f ′(t)dt = f(b)− f(a).
∫ b
a
f ′(t)dt = f(b)− f(a).
Podemos demonstrar a propriedade telesco´pica usando integral. Vale que
b∑
k=a
∫ k+1
k
f(x)dx =
∫ b+1
a
f(x)dx
substituindo f(x) por f ′(x)
∫ b+1
a
f ′(x)dx = f(b+ 1)− f(a) =
b∑
k=a
∫ k+1
k
f ′(x)dx =
b∑
k=a
[f(k + 1)− f(k)]
CAPI´TULO 1. SOMATO´RIOS 35
da´ı
b∑
k=a
[f(k + 1)− f(k)] = f(b+ 1)− f(a).
Podemos tambe´m demonstrar a identidade
b∑
k=a
∫ k+1
k
f(x)dx =
∫ b+1
a
f(x)dx por meio
de soma telesco´pica
b∑
k=a
∫ k+1
k
f(x)dx =
b∑
k=a
[
∫ k+1
0
f(x)dx−
∫ k
0
f(x)dx] =
∫ b+1
0
f(x)dx−
∫ a
0
f(x)dx =
∫ b+1
a
f(x)dx.
Lemma 1.
b∑
a
h(x) = 0 ∀ a, b ∈ Z ⇐⇒ h(x) = 0 ∀ x ∈ Z
Demonstrac¸a˜o. Se h(x) = 0 para todo x inteiro vamos provar que
b∑
a
h(x) = 0.
Por induc¸a˜o, no caso de b = a temos
a∑
a
h(x) = h(a) = 0
Vamos tomar como hipo´tese a validade para b
b∑
a
h(x) = 0
e provar para b+ 1
b+1∑
a
h(x) = 0.
Temos que
b+1∑
a
h(x) =
b∑
a
h(x) + h(b+ 1) = 0 + 0 = 0.
Agora vamos provar que se
b∑
a
h(x) = 0 ∀ a, b ∈ Z
enta˜o
h(x) = 0 ∀ x ∈ Z.
CAPI´TULO 1. SOMATO´RIOS 36
Tome b = a, assim temos
a∑
a
h(x) = h(a) = 0
Como essa igualdade vale para todo a inteiro, enta˜o a func¸a˜o e´ igual a zero para todo
inteiro.
Teorema 3 (Teorema fundamental do ca´lculo de diferenc¸as finitas , parte II). Se
b∑
a
g(x) = f(x)
∣∣∣∣b+1
a
∀ a, b ∈ Z =⇒ ∆f(x) = g(x) ∀ x ∈ Z
Demonstrac¸a˜o. Considere g(x) 6= ∆f(x), enta˜o g(x) = ∆f(x) + h(x) tomando o
somato´rio temos
b∑
a
g(x) =
b∑
a
∆f(x) +
b∑
a
h(x) = f(x)
∣∣∣∣b+1
a
+
b∑
a
h(x)
que e´ diferente de
f(x)
∣∣∣∣b+1
a
pois se fosse igual, o termo
b∑
a
h(x)
seria igual a zero para todo a e b inteiros, e pelo lema implicaria h(x) = 0 para todo
inteiro x assim ter´ıamos a igualdade g(x) = ∆f(x).
1.8.2 Diferenc¸a do somato´rio
Vamos aplicar o operador ∆ ao limite superior do somato´rio, chamando o somato´rio
com limite superior x de f(x)
∆f(x) = ∆
x∑
k=a
d(k) =
x+1∑
k=a
d(k)−
x∑
k=a
d(k) =
x∑
k=a
d(k)+d(x+1)−
x∑
k=a
d(k) = d(x+1) = Ed(x).
aplicando ∆n+1 no limite superior, temos
∆n+1f(x) = ∆n+1
x∑
k=a
d(k) = ∆n[∆
x∑
k=a
d(k)] = ∆n[d(x+ 1)].
CAPI´TULO 1. SOMATO´RIOS 37
Enta˜o temos que o operador ∆ aplicado no limite superior do somato´rio devolve a
func¸a˜o somada aplicada no limite superior. Pore´m se a func¸a˜o que estiver sendo somada
tenha alguma dependeˆncia com o limite superior ficamos com
∆f(x) = ∆
x∑
k=a
d(k, x) =
x+1∑
k=a
d(k, x+1)−
x∑
k=a
d(k, x) =
x∑
k=a
d(k, x+1)+d(x+1, x+1)−
x∑
k=a
d(k, x) = .
x∑
k=a
∆d(k, x) + d(x+ 1, x+ 1).
Agora vamos aplica ∆ ao limite inferior do somato´rio.
∆
x∑
k=a
f(k) =
x∑
k=a+1
f(k)−
x∑
k=a
f(k) =
x∑
k=a+1
f(k)− f(a)−
x∑
k=a+1
f(k) = −f(a).
Enta˜o vale
∆
n∑
k=a
f(k) = f(n+ 1) = Ef(n)
o operador delta ”destro´i”somato´rios.
No ca´lculo temos o teorema fundamental do ca´lculo .Seja f : [a, b] → R integra´vel .
Se f e´ cont´ınua no ponto x ∈ [a, b] enta˜o a func¸a˜o g : [a, b]→ R definida como
g(x) =
∫ x
a
f(t)dt
e´ deriva´vel em x e vale g′(x) = f(x).
Lemma 2.
∆h(x) = 0⇐⇒ h(x) = c ∀x ∈ Z
Demonstrac¸a˜o. Se h(x) = c ∀x ∈ Z temos ∆h(x) = h(x + 1) − h(x) = c − c = 0.
Agora, se temos ∆h(x) = 0 ∀x ∈ Z isso implica h(x + 1) − h(x) = 0 =⇒ h(x + 1) =
h(x) ∀x ∈ Z, chamando esse valor de c, temos que h(x) = c ∀x ∈ Z.
Teorema 4.
∆f(x) = ∆g(x) ∀x ∈ Z =⇒ f(x) = g(x) + c
Demonstrac¸a˜o. Se f(x) 6= g(x)+c enta˜o f(x) = g(x)+c+h(x), com h(x) uma func¸a˜o
na˜o constante, aplicando o operador ∆ em ambos os lados temos ∆f(x) = ∆g(x)+∆h(x),
pelo lema anterior, como h(x) na˜o e´ constante ∆h(x) 6= 0 para algum x, logo ∆f(x) 6=
∆g(x).
CAPI´TULO 1. SOMATO´RIOS 38
Demonstrac¸a˜o.[2] Seja a func¸a˜o h(x) = f(x) − g(x) aplique o operador Delta de
ambos os lados, ∆h(x) = ∆f(x) − ∆g(x) = 0, pois ∆f(x) = ∆g(x) com isso pelo lema
temos que h(x) = c = f(x)− g(x), logo f(x) = g(x) + c.
Demonstrac¸a˜o.[3]
∆f(x) = ∆g(x)
aplicando o somato´rio em ambos lados com x variando de 0 ate´ n− 1, temos
n−1∑
x=0
∆f(x) = f(n)− f(0) =
n−1∑
x=0
∆g(x) = g(n)− g(0)
sse
f(n) = g(n) + f(0)− g(0) = g(n) + c
logo
f(x) = g(x) + c
onde c = f(0)− g(0).
1.8.3 Teorema de Cantor
Propriedade 15.
p∑
k=1
a(n+k) − 1
k∏
s=1
a(n+s)
=
Demonstrac¸a˜o.
p∑k=1
a(n+k) − 1
a(n+k)
k−1∏
s=1
a(n+s)
=
p∑
k=1
1
k−1∏
s=1
a(n+s)
− 1
k∏
s=1
a(n+s)
sendo g(k) =
1
k∏
s=1
a(n+s)
, temos g(0) = 1 (produto vazio) a soma e´
−
p∑
k=1
∆g(k − 1) = −g(k − 1)
∣∣∣∣p+1
k=1
= −g(p) + 1 = 1− 1p∏
s=1
a(n+s)
se lim g(p) = 0 enta˜o temos a se´rie
∞∑
k=1
a(n+k) − 1
a(n+k)
k−1∏
s=1
a(n+s)
= 1.
CAPI´TULO 1. SOMATO´RIOS 39
1.9 Primitiva finita
Definic¸a˜o 11. Uma primitiva finita de uma func¸a˜o f(x) e´ uma func¸a˜o g(x) tal que
∆g(x) = f(x)
Exemplo 5. g(x) = x e´ uma primitiva finita de f(x) = 1 pois, ∆g(x) = 1 = f(x), para
toda constante c, x+ c tambe´m e´ primitiva finita de f(x) = 1.
Definic¸a˜o 12. Sendo g(x) uma primitiva finita de f(x), para toda constante c, g(x) + c,
tambe´m e´ primitiva de f(x), pois ∆[g(x) + c] = ∆g(x) = f(x) a famı´lia de primitivas
finitas de f(x) sera´ representada por∑
f(x) = g(x) + c
usaremos a notac¸a˜o ∑
x
f(x)
para representar que o somato´rio indefinido e´ em relac¸a˜o a varia´vel x. Uma primitiva
finita de f(x) sera´ denominada somato´rio indefinido de f(x),
∑
f(x) sera´ chamado de
somato´rio indefinido de f(x) e o somato´rio
b∑
a
f(x)
chamado de somato´rio definido. Observe que se temos uma primitiva finita de f(x),
podemos resolver o somato´rio em qualquer intervalo inteiro, pois temos g(x) tal que
∆g(x) = f(x), aplicamos o somato´rio em ambos lados
b∑
k=a
∆g(k) = g(k)
∣∣∣∣b+1
a
=
b∑
k=a
f(k).
Isto e´ se temos o somato´rio indefinido de f(x)∑
f(x) = g(x)
passamos para o somato´rio definido da seguinte maneira
b∑
x=a
f(x) = g(x)
∣∣∣∣b+1
a
= g(b+ 1)− g(a)
CAPI´TULO 1. SOMATO´RIOS 40
Temos
∑
f(x) = g(x) + c e ∆g(x) = f(x) substituindo, temos∑
∆g(x) = g(x) + c
para calcular o somato´rio definido atrave´s do indefinido, podemos tomar c = 0 pois
qualquer outro valor se anula quando se toma limites no somato´rio.
Da igualdade ∑
f(x) = g(x) + c
, aplicando ∆ em ambos lados temos
∆
∑
f(x) = ∆[g(x) + c] = ∆g(x) = f(x)
logo
∆
∑
f(x) = f(x).
Propriedade 16 (O somato´rio indefinido e´ linear).
∑
af(x) + bg(x) = a
∑
f(x) + b
∑
g(x)
Demonstrac¸a˜o. Aplicando delta em ambos termos temos
∆
∑
af(x) + bg(x) = af(x) + bg(x)
∆(a
∑
f(x) + b
∑
g(x)) = a∆
∑
f(x) + b∆
∑
g(x) = af(x) + bg(x)
logo vale a propriedade.
Propriedade 17 (Comutatividade com derivada).
D
∑
g(x) =
∑
Dg(x)
Demonstrac¸a˜o. Aplicando ∆ em ambos termos segue
∆D
∑
g(x) = D∆
∑
g(x) = Dg(x)
pela comutatividade com derivada e
∆
∑
Dg(x) = Dg(x) .
CAPI´TULO 1. SOMATO´RIOS 41
1.10 Nu´meros de Bernoulli
B0 B1 B2 B4 B6 B8 B10 B12 B14 B16 B18 B20 B22
1 −1
2
1
6
−1
30
1
42
−1
30
5
66
−691
2730
7
6
−3617
510
43867
798
−174611
330
854513
138
Definic¸a˜o 13 (Nu´meros de Bernoulli). Sa˜o nu´meros definidos pela func¸a˜o geradora
x
ex − 1 =
∞∑
n=0
Bn
xn
n!
,isto e´, sa˜o os nu´meros que aparecem como coeficiente de
xn
n!
na expansa˜o em se´rie formal
da func¸a˜o
x
ex − 1 .
Propriedade 18 (Recorreˆncia dos nu´meros de Bernoulli). Os nu´meros de Bernoulli sat-
isfazem a recorreˆncia
n∑
p=0
Bp
(
n+ 1
p
)
= δ(0, n).
Demonstrac¸a˜o. Tem-se que a se´rie de ex e´
ex =
∞∑
n=0
xn
n!
ex − 1 =
∞∑
n=0
xn
n!
− 1 =
∞∑
n=1
xn
n!
que escreveremos como
ex − 1 =
∞∑
n=0
an
xn
n!
sendo que an = 0 quando n = 0 e an = 1 se n 6= 0, n ∈ N . Temos enta˜o
x =
(
ex − 1
) ∞∑
n=0
Bn
xn
n!
=
( ∞∑
n=0
an
xn
n!
)( ∞∑
n=0
Bn
xn
n!
)
=
∞∑
n=0
cnx
n
onde cn e´ dado por (pelo produto de Cauchy)
cn =
n∑
p=0
(
an−p
(n− p)!
)
.
Bp
p!
de
x =
∞∑
n=0
cnx
n
CAPI´TULO 1. SOMATO´RIOS 42
derivando em ambos lados em relac¸a˜o a x temos
1 =
∞∑
n=0
cnnx
n−1 =
∞∑
n=1
cnnx
n−1 =
∞∑
n=0
cn+1(n+ 1)x
n
temos enta˜o que cn+1(n+ 1) = 1 quando n = 0 e quando n > 0, cn+1(n+ 1) = 0, temos a
igualdade para cn+1(n+ 1)
cn+1(n+ 1) =
n+1∑
p=0
(
an+1−p
(n+ 1− p)!
)
.
Bp
(p)!
(n+ 1)
como
(n+ 1)
p!(n+ 1− p)! =
(
n+ 1
p
)
escrevemos
cn+1(n+ 1) =
n+1∑
p=0
(
an+1−p
)
.Bp
(
n+ 1
p
)
temos que analisar o termo an+1−p que e´ zero quando o ı´ndice e´ igual a zero, logo n+1−p =
0⇐⇒ n+1 = p, abrimos enta˜o o u´ltimo termo do somato´rio que e´ igual a zero e ficamos
com
cn+1(n+ 1) =
n+1∑
p=0
(
an+1−p
)
.Bp
(
n+ 1
p
)
=
n∑
p=0
Bp
(
n+ 1
p
)
pois os outros termos an+1−p = 1 pois os ı´ndices sera˜o diferente de zero. Temos enta˜o
n∑
p=0
Bp
(
n+ 1
p
)
= 1
se n = 0 e
n∑
p=0
Bp
(
n+ 1
p
)
= 0
se n > 0, n ∈ N que e´ uma recorreˆncia para calcular os nu´meros de Bernoulli. Podemos
escrever essa recorreˆncia de forma compacta usando o delta de Kronecker
n∑
p=0
Bp
(
n+ 1
p
)
= δ(0, n) .
1.10.1 Deduzindo uma fo´rmula para soma de poteˆncias usando
nu´meros de Bernoulli
Definimos a func¸a˜o
fn(x) =
x(enx − 1)
ex − 1 .
CAPI´TULO 1. SOMATO´RIOS 43
Como vale
n−1∑
k=0
xk =
xn − 1
x− 1 , tomando x = e
x segue que
n−1∑
k=0
exk =
ex.n − 1
ex − 1 , enta˜o
fn(x) = x
n−1∑
k=0
exk
usando a se´rie ez =
∞∑
t=0
zt
t!
tomando z = xk segue
ex.k =
∞∑
t=0
xt.kt
t!
substituindo em fn(x) tem-se
fn(x) = x
n−1∑
k=0
∞∑
t=0
xt.kt
t!
=
∞∑
t=0
(
n−1∑
k=0
kt
t!
)xt+1
logo o coeficiente de xp+1 e´
n−1∑
k=0
kp
p!
. De outra maneira, temos que
fn(x) =
x(enx − 1)
ex − 1 = (
∞∑
k=0
Bkx
k
k!
)(
∞∑
k=1
xknk
k!
) = x(
∞∑
k=0
Bkx
k
k!
)(
∞∑
k=0
xknk+1
(k + 1)!
)
o produto das duas u´ltimas se´ries e´
∞∑
k=0
ckx
k, onde
cp =
p∑
k=0
Bk.n
p−k+1
k!(p− k + 1)!
e´ o coeficiente de xp+1, por causa do fator x fora do produto das se´ries. Igualamos com o
coeficiente da outra se´rie
n−1∑
k=0
kp
p!
=
p∑
k=0
Bk.n
p−k+1
k!(p− k + 1)!
que implica
n−1∑
k=0
kp =
1
(p+ 1)
p∑
k=0
Bk.n
p−k+1p!(p+ 1)
k!(p− k + 1)! =
1
(p+ 1)
p∑
k=0
(
p+ 1
k
)
Bk.n
p−k+1.
Chegamos enta˜o no resultado
n−1∑
k=0
kp =
1
(p+ 1)
p∑
k=0
(
p+ 1
k
)
Bk.n
p−k+1.
CAPI´TULO 1. SOMATO´RIOS 44
1.11 Fo´rmula de soma de Euler-Maclaurin.
Faremos uma deduc¸a˜o informal de uma fo´rmula que expressa somato´rios com derivadas
e integrais usando nu´meros de Bernoulli, chamada fo´rmula de soma de Euler-Maclaurin.
Com ela seremos capazes de deduzir uma expressa˜o fechada para soma
n∑
k=0
kp com p
natural.
Vamos tomar a se´rie de Taylor da func¸a˜o f(x+y), C∞, tomando derivadas em relac¸a˜o
a y, no ponto y0 = 0
f(x+ y) =
∞∑
k=0
Dkf(x).
yk
k!
Tomando y = 1 temos
f(x+ 1) =
∞∑
k=0
Dkf(x)
k!
Simbolicamente expressamos
Ef(x) =
∞∑
k=0
Dkf(x)
k!
Ou tomando y = h um passo qualquer complexo ou real
Ehf(x) = f(x+ h) =
∞∑
k=0
Dkf(x).
hk
k!
Corola´rio 10.
E =
∞∑
k=0
Dk
k!
= eD
Corola´rio 11. Como ∆ = E − 1, temos
∆ = eD − 1 =
∞∑
k=1
Dk
k!
=
∞∑
k=0
Dk+1
(k + 1)!
Corola´rio 12.
Eh =
∞∑
k=0
(Dh)k
k!
= ehD
Teorema 5 (Fo´rmula de Euler-Maclaurin ).
∑
f(x) = B0
∫
f(x) +
∞∑
k=0
Bk+1.
Dk
(k + 1)!
f(x) + c
Onde Bk sa˜o nu´meros de Bernoulli.
CAPI´TULO 1. SOMATO´RIOS 45
Demonstrac¸a˜o. Tomando o somato´rio
∑
= ∆−1 temos∑
=
1
eD − 1
Usando a relac¸a˜o
t
et − 1 =
∞∑
k=0
Bk.
tk
k!
1
et − 1 =
1
t
∞∑
k=0
Bk.
tk
k!
Onde Bk sa˜o nu´meros de Bernoulli. Temos∑
=
1
eD − 1 =
1
D
∞∑
k=0
Bk.
Dk
k!
∑
=
∞∑
k=0
Bk.
Dk−1
k!
= B0.
D−1
0!
+
∞∑
k=1
Bk.
Dk−1
k!
= B0
∫
+
∞∑
k=1
Bk.
Dk−1
k!
=
= B0
∫
+
∞∑
k=0
Bk+1.
Dk
(k + 1)!
.
Logo ∑
= B0
∫
+
∞∑
k=0
Bk+1.
Dk
(k + 1)!
∑
f(x) = B0
∫
f(x) +
∞∑
k=0
Bk+1.
Dk
(k + 1)!
f(x) + c
Abrindo alguns termos∑
f(x) = c+
∫
f(x)− f(x)
2
+
Df(x)
12
− D
3f(x)
720
+ ...+
Podemos depois tomar os limite do somato´rio
b∑
x=a
f(x) =
[
B0
∫
f(x) +
∞∑
k=0
Bk+1.
Dk
(k + 1)!
f(x) + c
]b+1
a
Exemplo 6. Ache uma expressa˜o para ∑
x
∑
x = B0
∫
x+
∞∑
k=0
Bk+1.
Dk
(k + 1)!
x+ c = B0
x2
2
+B1.
D0
(1)!
x+B2.
D1
(2)!
x+ c =
=
x2
2
− x
2
+ c1
CAPI´TULO 1. SOMATO´RIOS 46
Exemplo 7. Ache uma expressa˜o para
∑
x4
∑
x4 = B0
∫
x4 +
∞∑
k=0
Bk+1.
Dk
(k + 1)!
x4 + c =
= B0
x5
5
+B1.
D0
(1)!
x4 +B2.
D1
(2)!
x4 +B3.
D2
(3)!
x4 +B4.
D3
(4)!
x4 +B5.
D4
(5)!
x4 + c =
= B0
x5
5
+B1.
D0
(1)!
x4 +B2.
D1
(2)!
x4 +B4.
D3
(4)!
x4 + c =
=
x5
5
+
−x4
2
+
4x3
2.6
− 1
30
.
4.3.2
4.3.2x+ c =
=
x5
5
− x
4
2
+
x3
3
− x
30
+ c
1.12 Nu´meros Eulerianos
Com eles seremos capazes de dar mais uma fo´rmula para a soma
n∑
k=1
kp para p natural.
Sa˜o nu´meros definidos pela recorreˆncia〈n+1
k+1
〉
= (k + 2)
〈 n
k+1
〉
+ (n− k)
〈n
k
〉
Com condic¸o˜es iniciais 〈p+1
p+1
〉
= 0
〈p
0
〉
= 1〈p+1
p
〉
= 1
para p natural.
CAPI´TULO 1. SOMATO´RIOS 47
Nu´meros Eulerianos
n
〈n
0
〉 〈n
1
〉 〈n
2
〉 〈n
3
〉 〈n
4
〉 〈n
5
〉 〈n
6
〉
0 1 0 0 0 0 0 0
1 1 0 0 0 0 0 0
2 1 1 0 0 0 0 0
3 1 4 1 0 0 0 0
4 1 11 11 1 0 0 0
5 1 26 66 26 1 0 0
6 1 57 302 302 57 1 0
Teorema 6 (Identidade de Worpitzky). Vale a identidade
xn =
n∑
k=0
〈n
k
〉(
x+ k
n
)
.
Para todo x real(complexo?) e n natural.
Demonstrac¸a˜o. Vamos demonstrar por induc¸a˜o, so´ que precisamos de uma pro-
priedade de coeficientes binomiais que vamos deduzir a partir das poteˆncias fatoriais
(x+ k)(n+1,1) = (x+ k)(n,1)(x+ k − n) = x(x+ k)(n,1) − (n− k)(x+ k)(n,1)
logo
x(x+ k)(n,1) = (x+ k)(n+1,1) + (n− k)(x+ k)(n,1)
dividindo por n!
x
(
x+ k
n
)
= (n+ 1)
(
x+ k
n+ 1
)
+ (n− k)
(
x+ k
n
)
.
Para n = 0 a identidade se verifica, pois
x0 =
0∑
k=0
〈0
k
〉(
x+ k
0
)
=
〈0
0
〉(
x+ 0
0
)
= 1.
Suponho a validade para n, vamos provar para n+ 1 temos
xn+1 =
n∑
k=0
〈n
k
〉(
x+ k
n
)
x =
n∑
k=0
〈n
k
〉
(n+ 1)
(
x+ k
n+ 1
)
+
〈n
k
〉
(n− k)
(
x+ k
n
)
=
escrevendo n+ 1 = (n− k) + (1 + k)
CAPI´TULO 1. SOMATO´RIOS 48
=
n∑
k=0
〈n
k
〉
(n− k)
(
x+ k
n+ 1
)
+
〈n
k
〉
(n− k)
(
x+ k
n
)
+
〈n
k
〉
(k + 1)
(
x+ k
n+ 1
)
=
agrupando os termos semelhantes e usando propriedade de coeficiente binomial
=
n∑
k=0
〈n
k
〉
(n− k)
(
x+ k + 1
n+ 1
)
+
〈n
k
〉
(k + 1)
(
x+ k
n+ 1
)
=
=
n∑
k=0
〈n
k
〉
(k + 1)
(
x+ k
n+ 1
)
+
n∑
k=0
〈n
k
〉
(n− k)
(
x+ k + 1
n+ 1
)
=
abrindo o primeiro termo do primeiro somato´rio e mudando varia´vel e percebendo que no
segundo somato´rio podemos tomar o limite superior como n− 1 pois para k = n o termo
n− k e´ zero
=
(
x
n+ 1
)
+
n−1∑
k=0
〈 n
k+1
〉
(k + 2)
(
x+ k + 1
n+ 1
)
+
〈n
k
〉
(n− k)
(
x+ k + 1
n+ 1
)
=
usando a recorreˆncia dos nu´meros eulerianos, temos
=
(
x
n+ 1
)
+
n−1∑
k=0
〈n+1
k+1
〉(
x+ k + 1
n+ 1
)
=
(
x
n+ 1
)
+
n∑
k=1
〈n+1
k
〉(
x+ k
n+ 1
)
=
n∑
k=0
〈n+1
k
〉(
x+ k
n+ 1
)
o termo
〈n+1
0
〉
= 0 por condic¸a˜o inicial, logo temos
xn+1 =
n+1∑
k=0
〈n+1
k
〉(
x+ k
n+ 1
)
.
Vamos ver alguns exemplos de casos da identidade de Worpitzky
x0 =
(
x
0
)
= 1.
x =
(
x
1
)
= x
x2 =
(
x
2
)
+
(
x+ 1
2
)
x3 =
(
x
3
)
+ 4
(
x+ 1
3
)
+
(
x+ 2
3
)
CAPI´TULO 1. SOMATO´RIOS 49
x4 =
(
x
4
)
+ 11
(
x+ 1
4
)
+ 11
(
x+ 2
4
)
+
(
x+ 3
4
)
x5 =
(
x
5
)
+ 26
(
x+ 1
5
)
+ 66
(
x+ 2
5
)
+ 26
(
x+ 3
5
)
+
(
x+ 4
5
)
x6 =
(
x
6
)
+ 57
(
x+ 1
6
)
+ 302
(
x+ 2
6
)
+ 302
(
x+ 3
6
)
+ 57
(
x+ 4
6
)
+
(
x+ 5
6
)
1.13 Fo´rmula de Interpolac¸a˜o de Newton
Vamos deduzir informalmente a fo´rmula de interpolac¸a˜o de Newton, que permite es-
creve uma sequeˆncia como soma das suas diferenc¸as.
De ∆ = E − 1 tem-se ∆ + 1 = E, elevando a n, tem-se
En = (∆ + 1)n =
n∑
k=0
(
n
k
)
∆k
aplicando em f(0) tem-se
Enf(0) = f(n) =
n∑
k=0
(
n
k
)
∆kf(0).