DESENVOLVIMENTO DE APLICAÇÃO PARA DEFINIÇÃO DE ARMADURA EM LAJES MACIÇAS RETANGULARES APOIADAS NO CONTORNO

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DESENVOLVIMENTO DE APLICAÇÃO PARA DEFINIÇÃO DE ARMADURA EM 
LAJES MACIÇAS RETANGULARES APOIADAS NO CONTORNO 
 
DEVELOPMENT OF APPLICATION FOR DEFINITION OF FRAMEWORK IN 
RECTANGULAR MASSIVE PAVING STONES RESTED ON THE OUTLINE 
 
RESUMO 
 
O presente artigo aborda o desenvolvimento de uma programação no Excel, voltada para 
estudantes, professores e profissionais que lidam com a necessidade de um sistema para o 
cálculo de armadura em lajes maciças retangulares apoiadas no contorno, que tenha baixo custo 
e que ofereça resultados confiáveis. O desenvolvimento desse sistema deu-se pela utilização da 
ferramenta VBA (Virtual Basic for Application), a qual já vem inclusa nos módulos avançados 
do Pacote Office. Para o dimensionamento e determinação das armaduras de lajes maciças, 
dispôs-se da Teoria de Flexão nas Placas que é formada a partir da Teoria de Kirchhoff supondo 
material homogêneo, isótropo e elástico linear. Através dessa Teoria, dimensiona-se toda a laje 
analisando por placas isoladas, utilizando as equações de equilíbrio formuladas pela 
superposição das soluções de Navier ou Levy, dependendo das condições de contorno e 
carregamento da laje (ARAÚJO, 2014b). Os resultados obtidos com a programação quando 
comparados aos estudos de caso realizados foram satisfatórios, configurando-se assim uma 
ferramenta importante para o auxílio didático. 
 
Palavras-chave: Lajes maciças. Excel VBA. Definição de armadura. 
 
ABSTRACT 
 
This article discusses the development of a program in Excel, aimed at students, teachers and 
professionals who deal with the need for a system for the calculation of reinforcement in solid 
rectangular slabs supported in the contour, which has low cost and offers reliable results. This 
system was developed using the VBA (Virtual Basic for Application) tool, which is already 
included in the advanced modules of the Office Package. For the dimensioning and 
determination of the massive slabs reinforcement, it was disposed of the Theory of Bending in 
the Plates that is formed from the Theory of Kirchhoff assuming homogeneous material, 
isotropic and linear elastic. Through this Theory, the entire slab is dimensioned analyzing by 
isolated plates, using the equilibrium equations formulated by the superposition of the solutions 
of Navier or Levy, depending on the boundary conditions and loading of the slab (ARAÚJO, 
2014b). The results obtained with the programming when compared to the case studies 
performed were satisfactory, thus constituting an important tool for didactic assistance. 
 
Keywords: Solid slabs. Excel VBA. Definition of armor. 
 
1 INTRODUÇÃO 
 
Quando o assunto é sobre projeto estrutural, fica praticamente impossível realizar os 
cálculos de forma totalmente manual devido ao grau de complexidade, em que por exemplo, 
para a construção de um edifício, se fosse realizado todas as etapas do dimensionamento 
estrutural de forma manual, levaria semanas, o que ocasionalmente comprometeria o 
cronograma do projeto. Entretanto, é importante destacar que a automatização realizada por 
programas, não veio para substituir os conceitos de cálculo estrutural, e sim propor resultados 
mais eficazes. 
O desafio de um projetista estrutural é envolvido por uma série de questionamentos, 
discutindo por exemplo, quais requisitos devem atender uma estrutura, levando em conta seu 
comportamento para condições de serviço, se a construção proporciona segurança e resistência 
adequada, se o seu custo é viável, se a estrutura é esteticamente aceitável e de quanto é a sua 
vida útil. Por isso, com o surgimento de softwares como o Cypecad, Eberick e TQS, que 
realizam os cálculos para variações nos estados-limites dos elementos estruturais, 
dimensionando e detalhando com análise tridimensional, proporcionam não somente resultados 
eficientes, utilizando os métodos corretos perante suas respectivas normas, mas também 
agilizam os processos de cálculos necessários. 
O auxílio de ferramentas virtuais em cálculos estruturais tem se tornado cada dia mais 
comum, tanto para efeitos de agilidade na confecção dos projetos, quanto para obter a 
otimização dos cálculos e dimensionamentos. A ideia de se fazer uma programação em Excel 
para definição de armadura em lajes maciças, do tipo retangulares apoiadas no contorno, surge 
da necessidade de uma ferramenta para contribuir nos cálculos durante as aulas em curso que 
envolvam a área da construção civil. Esse sistema proposto, poderá auxiliar tanto os 
professores, quanto os alunos, pois torna a realização dos cálculos relativamente mais rápidos 
e consequentemente, reduz a chance de erros quando comparado com os cálculos manuais. 
Sendo assim, a elaboração de um sistema com uma interface auto didática e intuitiva 
a fim de facilitar a utilização, bem como realizar as verificações constantes na NBR 6118 
(ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS, 2014), torna tal sistema uma 
ferramenta de grande potencial para o auxílio no cálculo estrutural deste tipo de laje. Deste 
modo, o foco deste trabalho é a realização de uma programação em Excel para a definição da 
armadura em lajes maciças retangulares apoiadas no contorno. 
 
2 REFERENCIAL TEÓRICO 
 
2.1 Cálculo Estrutural 
 
O cálculo estrutural, ou projeto estrutural se trata do dimensionamento das estruturas 
de uma edificação da qual se irá sustentar, transmitindo seus esforços solicitantes ao solo 
(FREITAS et al, 2014). De acordo com Alves Filho (2002), o cálculo estrutural foi definido 
como a parte onde o engenheiro é responsável por calcular e garantir a estabilidade da estrutura 
em estudo, aplicando os teoremas da Mecânica Geral, analisando a resistência do concreto e do 
aço, a rigidez, flecha, deformação, estados de limites últimos e de serviço, entre outros 
parâmetros que são necessários verificar, a fim de dimensionar corretamente e comprovar que 
a estrutura se mantém isostática. De modo geral, o projeto estrutural foi considerado como 
sendo o conjunto de informações referente as especificações técnicas, de modo que os 
elementos estruturais venham suportar os esforços solicitantes da estrutura com segurança, sem 
exceder os limites dos materiais empregados, podendo ser manifestado fisicamente em 
pranchas (plantas), descrevendo os elementos estruturais segundo seu dimensionamento prévio, 
juntamente com os memoriais de cálculo e descritivo (UFJF, 2018). 
 
2.2 Armaduras 
 
As armaduras são essenciais às estruturas de concreto devido à baixa resistência a 
tração do mesmo. Segundo Araújo (2014a) o concreto resiste a tração cerca de 10% de sua 
resistência à compressão, por isso as barras aço adicionadas ao concreto cumprem a função de 
absorver os esforços de tração na estrutura, além de aumentar a capacidade de carga das peças 
comprimidas. Vale ressaltar que essa combinação só é possível graças a aderência entre os dois 
elementos. 
 
2.3 Lajes Maciças 
 
Segundo Araújo (2014b), lajes maciças são compostas por placas com espessuras 
uniformes e apoiadas em seu contorno, onde os apoios podem ser vigas ou alvenarias. Carvalho 
e Figueiredo Filho (2015), definiram as lajes maciças como placas de concreto que distribuem 
suas reações em todas as vigas de contorno, sendo esta, uma de suas características que as 
diferem das lajes pré-moldadas. 
 
2.3.1 Lajes retangulares apoiadas no contorno 
 
As lajes retangulares apoiadas no contorno podem dispor de contornos compostos de 
apoio fixo ou engastes, porém, não aceitando bordo livre. Nestes tipos de lajes, as cargas são 
uniformemente distribuídas, possibilitando calcular a flecha máxima, os momentos fletores 
positivos nos vãos, momentos negativos nos bordos engastados, momento torçor nos cantos 
simplesmente apoiados e as reações de apoio (ARAÚJO, 2014b). 
 
2.4 Excel 
 
O Microsoft Office Excel é um programa pertencente ao Pacote Office, o qual foi 
lançado sua primeira versão no ano de 1985,com o objetivo de concorrer no mercado com o 
programa de planilhas eletrônicas Lotus 1-2-3, onde em seguida, no ano de 1988 teve sua 
primeira versão para a plataforma do Windowns, já mostrando indícios de superação ao 
programa concorrente (UFRGS, 2018). Segundo Zamboni et al. (2011), este software trabalha 
com certas abordagens como faixas; células, planilhas e pastas; colunas e linhas; cópias 
relativas e absolutas; biblioteca de funções; gráficos; regressões; aritmética de matrizes; 
sistemas de equações lineares algébricas; programação linear com solver, entre outras 
funcionalidades. 
 
2.4.1 Visual Basic for Application (VBA) 
 
O Visual Basic for Application (VBA) é uma linguagem de programação que permite 
o usuário realizar tarefas dentro do próprio sistema do Microsoft Office Excel. Conforme as 
necessidades do programador, pode-se executar funções repetitivas através do uso de macros, 
ou outras ferramentas mais complexas como desenvolver um programa que atenda exatamente 
o que se necessita, tornando a vida profissional mais prática e eficaz (ZAMBONI et al., 2011). 
A linguagem VBA disponibiliza ferramentas como gravação de macros, funções e sub-rotinas, 
variáveis e tipos, fluxogramas, estruturas condicionais, estruturas repetitivas, vetores e matrizes 
e controles e formulários. 
 
3 METODOLOGIA 
 
3.1 Curso de Excel Avançado e VBA 
 
Para o profissional que tenha pouca ou nenhuma compreensão sobre linguagem de 
programação VBA, é necessário que o mesmo adquira conhecimento intermediário de tal para 
que possa dar início à criação de seu próprio sistema. Por isso, participar de cursos on-line 
oferecidos pelo Sigma Treinamentos, por exemplo, ou pesquisar informações em livros ou 
blog’s na internet, lhe fornecerá uma noção de como criar objetos VBA, elaborar fluxogramas, 
logaritmos com variáveis e loop finitos, além de conhecer várias funções que o Excel fornece, 
que para alguns são desconhecidas. Um material para quem interessar em aprofundar no assunto 
é a obra Programando Excel VBA para Leigos (WALKENBACH, 2018). 
 
3.2 Criando a interface do sistema 
 
Na aba desenvolvedor do Excel há uma opção chamada Visual Basic Editor, que é o 
local onde se elabora a interface do sistema. Para iniciar a criação do projeto, é necessário inserir 
um campo de interação através da ferramenta denominada UserForm, onde é possível adicionar as 
imagens dos tipos de lajes abordadas, caixas de texto, botões de comando, botões de opção, entre 
outros, conforme as Figuras 1 e 2. 
 
Figura 1: Tela inicial do sistema. 
 
Fonte: Autoria própria. 
 
Como apresentado na Figura 1, foi criado e inserido na tela inicial do sistema o 
logotipo fictício “G&B Technology”, com o intuito de que no futuro venham-se patentear o 
programa. Estabeleceu-se algumas observações técnicas a serem levadas em conta, em função 
do método de cálculo utilizado para projetar este sistema, tais como o embasamento na Teoria 
de Flexão das Placas para o dimensionamento da armadura das lajes, e a admissão de que a área 
de aço calculada será sempre em função de um trecho linear de 1 metro da laje, ou seja, 
resultando em uma unidade de medida para a armadura em (cm²/m). 
 
 
Figura 2: Tela para seleção do tipo de laje. 
 
Fonte: Autoria própria. 
 
Conforme a Figura 2, foram desenvolvidos seis modelos de laje que se diferem pelo 
seu tipo de apoio, podendo ser simplesmente apoiada ou com apoios e engastes. Para o cálculo 
de reações de equilíbrio destas lajes, são inseridos dentro da programação em uma estrutura de 
decisão, os coeficientes das tabelas de Kalmanok apresentadas por Araújo (2014b), que 
admitiam originalmente o coeficiente de Poisson () igual a 0, entretanto, foram utilizadas 
adaptando os valores de  = 0,20, conforme recomendação da NBR 6118/2014 (ARAÚJO, 
2014b). 
 
3.3 Programando os Códigos do Sistema – Teoria de Flexão das Placas 
 
Para desenvolver o fluxograma da programação do sistema, inseriu-se uma série de 
equações matemáticas para o dimensionamento das lajes retangulares apoiadas no contorno, 
utilizando-se da didática apresentada pelos Livros de Concreto Armado, volume 1 e 2, de 
Araújo (2014), abordando a Teoria de Flexão das Placas para dimensionamento da armadura 
nas duas direções. Essa teoria é formada a partir da Teoria de Kirchhoff supondo material 
homogêneo, isótropo e elástico linear. Através dessa Teoria, dimensiona-se toda a laje 
analisando por placas isoladas, utilizando as equações de equilíbrio formuladas pela 
superposição das soluções de Navier ou Levy, dependendo das condições de contorno e 
carregamento da laje (ARAÚJO, 2014b). 
Conforme descrito em Araújo (2014b), para evitar o trabalho de inúmeros 
dimensionamentos que terminam por resultar em uma armadura mínima, pode se determinar o 
momento de serviço (Mk, min) correspondente à armadura mínima, a partir do uso da Tabela 
4.4.2, que depende da altura da laje definida, e do tipo de aço e concreto a serem utilizados. No 
entanto, a literatura fornece dados definidos para Mk, min somente para o tipo de concreto que 
apresenta resistência em até 30 Mpa. Por isso, inserimos dentro do sistema VBA criado, a 
Equação (01) para o cálculo do Mk, min, com o intuito de obter o momento de serviço para o 
concreto com resistência em até 90 Mpa. 
 
 
𝑀𝑘,𝑚𝑖𝑛 = 
𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛𝑓𝑦𝑑

𝑓
[𝑑 −
𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛𝑓𝑦𝑑
2𝑏𝑐𝑑
] 
 
Equação (01) 
 
 
Logo após inserir todas equações para o dimensionamento das lajes, além das 
verificações de segurança exigidas pela NBR 6118/2014, é possível determinar a quantidade de 
área de aço necessária para cada seção com base na Equação (02). Ao introduzir esta fórmula 
matemática ao logaritmo do código VBA, conforme a Figura 3, o sistema reconhecerá que as 
áreas de aço adotadas para os vãos, com e sem engates, e para os cantos da laje devido ao 
momento torçor, deverão ser os maiores valores entre a área de aço calculada e a área de aço 
mínima para cada vão. 
 
As=
𝜉𝑏𝑑𝑐𝑑
𝑓𝑦𝑑
 
 
Equação (02) 
Figura 3: Cálculo da área de aço adotada para cada seção. 
 
Fonte: Autoria própria. 
Foi utilizado as tabelas do Excel como banco de dados, para que quando fosse 
selecionado alguma característica da laje, como por exemplo a resistência característica do 
concreto (FCK), o tipo de agregado ou a classe de agressividade, o sistema buscaria os valores 
atribuídos para tais nas tabelas, e os apresentariam dentro da sua respectiva caixa de texto no 
programa. 
Após inserir toda a série de equações para dimensionamento de lajes maciças, descritas 
pela literatura Araújo (2014b) no sistema em código VBA, e realizar os mesmos processos de 
cálculo manualmente, podemos prosseguir com a comparação entre os resultados obtidos para 
validar a eficiência do sistema programado. 
 
4 COMPARAÇÃO DE RESULTADOS 
 
A seguir apresenta-se uma comparação entre os resultados obtidos na utilização do 
programa comparados à resultados obtidos manualmente. Os dados característicos para análise 
foram retirados do Exemplo de Cálculo 2.6, da literatura Araújo (2014b) e organizados no 
Quadro 1 abaixo. Enquanto que foram realizados neste trabalho seis testes, que se diferem pelas 
disposições dos apoios (variando entre fixo e engaste), a literatura Araújo (2014b) apresenta a 
resolução de cálculo somente para a laje do Tipo 01 – Laje retangular simplesmente apoiada 
em todo o contorno, com carga uniformemente distribuída. Por isso, foi realizado manualmente 
o mesmo processo de cálculo para todas os seis tipos de lajes inseridas no programa, 
comparando com os resultados obtidos pelo sistema no Quadro 2 ao Quadro 6. 
 
Quadro 1: Dados característicos de análise da laje-tipo 
 
Fonte: Autoria própria. 
 
Primeiramente, antes de iniciar o lançamento de dados, foi escolhida o primeiro tipo 
de laje, conforme a Figura 2. Os valores para os coeficientes de ponderação das ações (f), e 
paraa resistência do concreto (s) e do aço (c), foram considerados conforme apresentado no 
Quadro 1, admitindo seus valores para ações do tipo normal, permanentemente desfavorável, 
respeitando as regulamentações da NBR6118/2014. 
 Para exemplo da utilização do sistema, escolheu-se a Laje Tipo 01, onde utilizando 
os dados contidos no Quadro 1, foi possível preencher as informações solicitadas pelo sistema, 
de acordo com a Figura 4 abaixo. 
 
Figura 4: Tela para inserir os dados iniciais da laje. 
 
Fonte: Autoria própria. 
 
Devido a utilização das planilhas do Excel como banco de dados, e do fluxograma 
programado dentro do sistema VBA, ao se escolher nesse caso o agregado sendo do tipo granito 
e gnaisse, automaticamente o sistema reconheceu a informação e apresentou o valor do 
coeficiente do agregado (αe) igual a 1. Também da mesma forma, ao selecionar o tipo de 
agressividade I, o sistema apresentou o cobrimento necessário de 2 cm, e para o FCK igual a 
30 MPa, valores de 0,45 e 0,2952 para ξlim e μlim, respectivamente. 
A partir do lançamento de dados e clicando no botão calcular, como mostrado na 
Figura 4, o código do sistema fará todas a verificações internamente, tais como: flecha máxima, 
profundidade da linha neutra limite, momento reduzido limite e alguns coeficientes, conforme 
a NBR 6118/2014 nos propõe. Se durante as verificações algum resultado obtido dentre os 
cálculos realizados pelo sistema não atender aos parâmetros exigidos pela Norma, então o 
sistema alertará o usuário com uma mensagem, descrevendo o motivo que o impossibilitou de 
continuar o processo de cálculo e a solução, para que o mesmo altere algumas propriedades da 
laje utilizada. Mas se nesse caso, as verificações estiverem de acordo com a Norma, o sistema 
gerará uma tela conforme a Figura 5, com todos os resultados dos cálculos. 
 
Figura 5: Tela com resultados obtidos no sistema. 
 
Fonte: Autoria própria. 
 
De acordo com a Figura 5, foi fornecido além dos resultados dos cálculos para a Laje 
Tipo 01, uma legenda contendo a descrição de todas as variáveis determinadas, e a possibilidade 
de se imprimir um relatório com os resultados a partir do botão imprimir. 
Prosseguindo com o estudo de caso, foi organizado os cálculos manuais e os gerados 
pelo sistema nos quadros abaixo para os demais tipos de laje, afim de se comparar os resultados 
e a possível ocorrência de erro aceitável ou não. 
 
Quadro 2: Resultados dos cálculos iniciais 
 
 
VARIÁVEIS SISTEMA BIBLIOGRAFIA VARIÁVEIS SISTEMA BIBLIOGRAFIA
d (cm) 7,500 7,500 Mk min (cm²/m) 4,072 4,072
cd (kN/cm²) 1,821 1,821 αc 0,850 0,850
Fcd (MPa) 21,429 21,429  0,800 0,800
Fyd (kN/cm²) 52,174 52,174 Ec (MPa) 30672,463 30672,463
ξlim 0,450 0,450 αi 0,875 0,875
μlim 0,295 0,295 Ecs (MPa) 26838,405 26838,405
As mín (cm²/m) 1,500 1,500 D (kN.m) 2329,723 2329,723
r mín (%) 0,150 0,150 W máx (cm) 1,200 1,200
CÁLCULO S INICIAIS
Pode-se notar que os resultados apresentados no Quadro 2 são idênticos para os seis 
tipos de lajes maciças. Isso ocorre porque neles estão variáveis, coeficientes e verificações de 
segurança, que dependem diretamente das propriedades da laje-tipo informadas no Quadro 1, e 
não da forma de seu apoio e engastamento, como os resultados obtidos nos demais quadros. 
 
Quadro 3: Resultados das reações de equilíbrio 
REAÇÕES DE EQUILÍBRIO 
VARIÁ
VEIS 
TIPOS DE LAJE 
TIPO 01 TIPO 02 TIPO 03 TIPO 04 TIPO 05 TIPO 06 
SIST
EMA 
BIBLIOG
RAFIA 
SIST
EMA 
BIBLIOG
RAFIA 
SIST
EMA 
BIBLIOG
RAFIA 
SIST
EMA 
BIBLIOG
RAFIA 
SIST
EMA 
BIBLIOG
RAFIA 
SIST
EMA 
BIBLIOG
RAFIA 
W (cm) 0,115 0,115 0,091 0,091 0,072 0,072 0,058 0,058 0,050 0,050 0,034 0,034 
Mx 
(kN.m/
m) 
1,989 1,989 1,872 1,872 1,778 1,778 1,197 1,197 1,256 1,256 0,085 0,085 
My 
(kN.m/
m) 
3,074 3,074 2,471 2,471 1,971 1,971 1,926 1,926 1,665 1,665 1,454 1,454 
Mxe 
(kN.m/
m) 
0,000 0,000 -4,748 -4,748 -4,307 -4,307 -3,416 -3,416 -3,272 -3,272 -2,538 -2,538 
Mye 
(kN.m/
m) 
0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 -4,230 -4,230 -3,776 -3,776 -3,141 -3,141 
Mxy 
(kN.m/
m) 
2,084 2,084 1,881 1,881 0,000 0,000 1,481 1,481 0,000 0,000 0,000 0,000 
Rx 
(kN/m) 
4,545 4,545 3,345 3,345 2,235 2,235 3,135 3,135 2,280 2,280 0,000 0,000 
Ry 
(kN/m) 
3,945 3,945 3,855 3,855 7,035 7,035 2,400 2,400 0,000 0,000 0,000 0,000 
Rxe 
(kN/m) 
0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 6,135 6,135 5,130 5,130 4,695 4,695 
Rye 
(kN/m) 
0,000 0,000 7,230 7,230 0,000 0,000 5,235 5,235 5,055 5,055 3,750 3,750 
 
Quadro 4: Resultados dos momentos fletores de cálculo 
MOMENTOS FLETORES DE CÁLCULO (kN.cm/m) 
VARIÁ
VEIS 
TIPOS DE LAJE 
TIPO 01 TIPO 02 TIPO 03 TIPO 04 TIPO 05 TIPO 06 
SIST
EMA 
BIBLIOG
RAFIA 
SIST
EMA 
BIBLIOG
RAFIA 
SIST
EMA 
BIBLIOG
RAFIA 
SIST
EMA 
BIBLIOG
RAFIA 
SIST
EMA 
BIBLIOG
RAFIA 
SIST
EMA 
BIBLIOG
RAFIA 
Mdx 
570,0
80 
570,080 
570,0
80 
570,080 
570,0
80 
570,080 
570,0
80 
570,080 
570,0
80 
570,080 
570,0
80 
570,080 
Mdy 
570,0
80 
570,080 
570,0
80 
570,080 
570,0
80 
570,080 
570,0
80 
570,080 
570,0
80 
570,080 
570,0
80 
570,080 
Mdxe 0,000 0,000 
664,7
20 
664,720 
602,9
80 
602,980 
570,0
80 
570,080 
570,0
80 
570,080 
570,0
80 
570,080 
Mdye 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 
592,2
00 
592,200 
570,0
80 
570,080 
570,0
80 
570,080 
Mdxy 
570,0
80 
570,080 
570,0
80 
570,080 0,000 0,000 
570,0
80 
570,080 0,000 0,000 0,000 0,000 
 
 
 
 
 
 
Quadro 5: Resultados da análise linear sem redistribuição de esforços 
ANÁLISE LINEAR SEM REDISTRIBUIÇÃO DE ESFORÇOS 
VARIÁ
VEIS 
TIPOS DE LAJE 
TIPO 01 TIPO 02 TIPO 03 TIPO 04 TIPO 05 TIPO 06 
SIST
EMA 
BIBLIOG
RAFIA 
SIST
EMA 
BIBLIOG
RAFIA 
SIST
EMA 
BIBLIOG
RAFIA 
SIST
EMA 
BIBLIOG
RAFIA 
SIST
EMA 
BIBLIOG
RAFIA 
SIST
EMA 
BIBLIOG
RAFIA 
μ 0,056 0,056 0,056 0,056 0,056 0,056 0,056 0,056 0,056 0,056 0,056 0,056 
μ 0,056 0,056 0,056 0,056 0,056 0,056 0,056 0,056 0,056 0,056 0,056 0,056 
μ 0,000 0,000 0,065 0,065 0,059 0,059 0,056 0,056 0,056 0,056 0,056 0,056 
μ 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,058 0,058 0,056 0,056 0,056 0,056 
μ 0,056 0,056 0,056 0,056 0,000 0,000 0,056 0,056 0,000 0,000 0,000 0,000 
ξ 0,072 0,072 0,072 0,072 0,072 0,072 0,072 0,072 0,072 0,072 0,072 0,072 
ξ 0,072 0,072 0,072 0,072 0,072 0,072 0,072 0,072 0,072 0,072 0,072 0,072 
ξ 0,000 0,000 0,084 0,084 0,076 0,076 0,072 0,072 0,072 0,072 0,072 0,072 
ξ 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,075 0,075 0,072 0,072 0,072 0,072 
ξ 0,072 0,072 0,072 0,072 0,000 0,000 0,072 0,072 0,000 0,000 0,000 0,000 
 
Quadro 6: Resultados dos cálculos de áreas de aço 
ÁREAS DE AÇO (cm²/m) 
VARIÁ
VEIS 
TIPOS DE LAJE 
TIPO 01 TIPO 02 TIPO 03 TIPO 04 TIPO 05 TIPO 06 
SIST
EMA 
BIBLIOG
RAFIA 
SIST
EMA 
BIBLIOG
RAFIA 
SIST
EMA 
BIBLIOG
RAFIA 
SIST
EMA 
BIBLIOG
RAFIA 
SIST
EMA 
BIBLIOG
RAFIA 
SIST
EMA 
BIBLIOG
RAFIA 
Asx 
Calcula
da 
1,508 1,508 1,508 1,508 1,508 1,508 1,508 1,508 1,508 1,508 1,508 1,508 
Asy 
Calcula
da 
1,508 1,508 1,508 1,508 1,508 1,508 1,508 1,508 1,508 1,508 1,508 1,508 
Asxe 
Calcula
da 
0,000 0,000 1,759 1,759 1,592 1,592 1,508 1,508 1,508 1,508 1,508 1,508 
Asye 
Calcula
da 
0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 1,571 1,571 1,508 1,508 1,508 1,508 
Asxy 
Calcula
da 
1,508 1,508 1,508 1,508 0,000 0,000 1,508 1,508 0,000 0,000 0,000 0,000 
Asx 
Adotad
a 
1,508 1,508 1,508 1,508 1,508 1,508 1,508 1,508 1,508 1,508 1,508 1,508 
Asy 
Adotad
a 
1,508 1,508 1,508 1,508 1,508 1,508 1,508 1,508 1,508 1,508 1,508 1,508 
Asxe 
Adotad
a 
0,000 0,000 1,759 1,759 1,592 1,592 1,508 1,508 1,508 1,508 1,508 1,508 
Asye 
Adotad
a 
0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 1,571 1,571 1,508 1,508 1,508 1,508 
Asxy 
Adotad
a 
1,508 1,508 1,508 1,508 0,000 0,000 1,508 1,508 0,000 0,000 0,000 0,000 
 
Após esse processo, foi possível realizar uma completa análise de dimensionamento 
de cada tipo de lajeem função dos resultados fornecidos no Quadro 2, obtendo as variáveis 
apresentadas no Quadro 3 para as reações de equilíbrio, no Quadro 4 para os momentos fletores, 
no Quadro 5 para a análise linear sem redistribuição de esforços, e por fim, no Quadro 6 para 
as áreas de aço necessárias em cada seção das lajes maciças. 
Na programação do sistema foi determinado que os cálculos resultassem valores com 
três casas decimais, motivo esse que pode explicar a sua precisão quando comparados os 
resultados fornecidos pelo sistema com os valores resultantes dos cálculos manuais, que 
também foram definidos com o mesmo número de casas decimais. 
 
5 CONCLUSÃO 
 
Esse artigo apresentou uma proposta de desenvolvimento de um software para cálculo 
de armaduras de lajes maciças, como um programa de auxílio didático em universidades e 
também de forma profissional. Conforme os resultados obtidos nos estudos de casos, podemos 
validar total eficiência do software pois chegou-se a resultados próximos ou iguais à cálculos 
manuais, utilizando da didática da literatura abordada. 
Ao utilizar esse sistema como ferramenta didática, é possível se obter uma redução de 
tempo para realização de exercícios que envolvem dimensionamento de lajes maciças. No 
entanto, como ferramenta para o uso profissional não é considerada totalmente confiável, 
visando que as normas atuais recomendam uma análise tridimensional de toda a estrutura, 
enquanto que a rotina efetuada não leva em consideração uma análise tridimensional de todo o 
conjunto, mas tão somente a própria laje. 
Como proposta para trabalhos futuros, implementar outras funcionalidades ao 
programa como, por exemplo, os cálculos de espaçamento e quantidade de barras necessárias, 
uma opção para orçamento, o detalhamento estrutural, ou até mesmo adequar ao sistema uma 
análise tridimensional, dimensionando pilares e vigas, poderá tornar esta ferramenta ainda mais 
eficaz no auxílio das tarefas diária dos engenheiros civis, professores, alunos e demais 
estudiosos da área de construção civil. 
 
REFERÊNCIAS 
 
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de concreto - Procedimento - Rio de Janeiro, RJ: ABNT, 2014. 
 
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CARVALHO, R. C.; FIGUEREDO FILHO, J. R. Cálculo e Detalhamento de Estruturas 
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<http://revistapensar.com.br/engenharia/pasta_upload/artigos/a141.pdf>. Acesso em: 10 nov. 
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Serviço - Serviço de elaboração de projeto estrutural para construções, ampliações e/ou 
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Básico/Intermediário do Microsoft Office Excel – 2018/1. Porto Alegre, RS: PET Civil 
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WALKENBACH, J. Programando Excel VBA para Leigos. 4. ed. Rio de Janeiro, RJ: Alta 
Books, 2018. 
 
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