Revisão IME - PARTE 1 (1)

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1. (Ime 2010) A quantidade k de números naturais positivos, menores do que 1000, que não 
são divisíveis por 6 ou 8, satisfaz a condição: 
a) k 720 
b) 720 k 750  
c) 750 k 780  
d) 780 k 810  
e) k 810 
 
2. (Ime 2010) 
 
 
Cada um dos quatro quadrados menores da figura acima é pintado aleatoriamente de verde, 
azul, amarelo ou vermelho. Qual é a probabilidade de que ao menos dois quadrados, que 
possuam um lado em comum, sejam pintados da mesma cor? 
a) 
1
2
 
b) 
5
8
 
c) 
7
16
 
d) 
23
32
 
e) 
43
64
 
 
3. (Ime 2012) Em um aeroporto existem 12 vagas numeradas de 1 a 12, conforme a figura. Um 
piloto estacionou sua aeronave em uma vaga que não se encontrava nas extremidades, isto é, 
distintas da vaga 1 e da vaga 12. Após estacionar, o piloto observou que exatamente 8 das 12 
vagas estavam ocupadas, incluindo a vaga na qual sua aeronave estacionou. Determine a 
probabilidade de que ambas as vagas vizinhas a sua aeronave estejam vazias. 
 
1 2 3 .... 10 11 12 
 
a) 
1
55
 
b) 
2
55
 
c) 
3
55
 
d) 
4
55
 
e) 
6
55
 
 
4. (Ime 2012) Um curso oferece as disciplinas A, B, C e D. Foram feitas as matriculas dos 
alunos da seguinte forma: 
 
— 6 alunos se matricularam na disciplina A; 
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— 5 alunos se matricularam na disciplina B; 
— 5 alunos se matricularam na disciplina C; e 
— 4 alunos se matricularam na disciplina D. 
 
Sabe-se que cada aluno se matriculou em, no mínimo, 3 disciplinas. Determine a quantidade 
mínima de alunos que se matricularam nas 4 disciplinas. 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) 4 
 
5. (Ime 2013) Um menino, na cidade do Rio de Janeiro, lança uma moeda. Ele andará 1 m 
para leste se o resultado for cara ou 1 m para oeste se o resultado for coroa. A probabilidade 
deste menino estar a 5 m de distância de sua posição inicial, após 9 lançamentos da moeda, é 
a) 
6
9
2
 
b) 
6
35
2
 
c) 
2
9!
 
d) 
9
35
2
 
e) 
9
9!
2
 
 
6. (Ime 2010) Seja 2 2 2 2 2S 1 3 5 7 ... 79 .      O valor de S satisfaz: 
a) 4S 7 10  
b) 4 47 10 S 8 10    
c) 4 48 10 S 9 10    
d) 4 59 10 S 10   
e) 5S 10 
 
7. (Ime 2014) Sabe-se que uma das raízes da equação 2y 9y 8 0   pode ser representada 
pela expressão 
 2 4 6sen x sen x sen x ... n2
e .
  
 Sendo 0 x ,
2
π
  o valor da razão 
cos x
cos x senx
 é 
 
Observação: n2 representa o logaritmo neperiano de 2 
a) 
3 1
2

 
b) 3 1 
c) 3 
d) 
3 1
2

 
e) 3 1 
 
8. (Ime 2010) Considere o determinante de uma matriz de ordem n, definido por: 
 
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n
 1 1 1 1 ... 1 1
-1 3 0 0 ... 0 0
 0 -1 3 0 ... 0 0
 0 0 -1 3 ... 0 0
...........................
 0 0 0 0 ... 3 0
 0 0 0 0 ... -1 0
  
 
Sabendo que 1 1  , o valor de 10 é 
a) 59049 
b) 48725 
c) 29524 
d) 9841 
e) 364 
 
9. (Ime 2013) Considere as inequações abaixo: 
 
I) 2 2 2a b c ab bc ca     
II) 3 3 2 2a b a b ab   
III)    42 2a – b a – b 
 
Está(ão) correta(s), para quaisquer valores reais positivos de a, b e c, a(s) inequação(ões) 
a) II apenas. 
b) I e II apenas. 
c) I e III apenas. 
d) II e III apenas. 
e) I, II e III. 
 
10. (Ime 2013) Assinale a alternativa que apresenta o mesmo valor da expressão 
   2 24cos 9 – 3 4cos 27 – 3 :    
   
 
a) sen (9°) 
b) tg (9°) 
c) cos (9°) 
d) sec (9°) 
e) cossec (9°) 
 
11. (Ime 2012) O valor de y sen70 cos50 sen260 cos280      é: 
a) 3 
b) 
3
2
 
c) 
3
3
 
d) 
3
4
 
e) 
3
5
 
 
12. (Ime 2012) Seja 
3
arcsen x arcsen y arcsen z ,
2
π
   onde x, y e z são números reais 
pertencentes ao intervalo [–1,1]. Determine o valor de 100 100 100
101 101 101
9
x y z .
x y z
  
 
 
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a) –2 
b) –1 
c) 0 
d) 1 
e) 2 
 
13. (Ime 2011) O valor de x que satisfaz a equação sen(arccotg(1 + x)) = cos(arctg(x)): 
a) 
3
2
 
b) 
1
2
 
c) 
1
4
 
d) 
1
2
 
e) 
3
2
 
 
14. (Ime 2010) Considere o sistema abaixo, em que 1 2 3x , x , x e Z pertencem ao conjunto dos 
números complexos. 
 
 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
(1 i)x ix ix 0
2ix x x Z
(2i 2)x ix ix 0
    

  

   
 
 
O argumento de Z, em graus, para que 3x seja um número real positivo é: 
 
Obs.: i 1  
a) 0º 
b) 45º 
c) 90º 
d) 135º 
e) 180º 
 
15. (Ime 2013) Seja o número complexo 
 
2
a
z ,
ib 1 ib


 onde a e b são números reais 
positivos e i 1.  Sabendo que o módulo e o argumento de z valem, respectivamente, 1 e 
 – rd,π o valor de a é 
a) 
1
4
 
b) 
1
2
 
c) 1 
d) 2 
e) 4 
 
16. (Ime 2014) Para o número complexo z que descreve o lugar geométrico representado 
pela desigualdade z 26i 10,  sejam 1α e 2α os valores máximo e mínimo de seu 
argumento. O valor de 1 2α α é 
a) 1
5
tan
12
π 
 
  
 
 
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b) 1
5
2 tan
13
  
  
 
 
c) 1
5
tan
13
  
 
 
 
d) 1
5
2 tan
12
  
  
 
 
e) 1
12
2 tan
5
  
  
 
 
 
17. (Ime 2012) As raízes cúbicas da unidade, no conjunto dos números complexos, são 
representadas por 1, w e w
2
, onde w é um número complexo. O intervalo que contém o valor de 
 61– w é: 
a) ( , 30]  
b)  30, 10   
c)  10, 10  
d) 10,30 
e) (30, ) 
 
18. (Ime 2011) Seja o triângulo retângulo ABC com os catetos medindo 3 cm e 4 cm. Os 
diâmetros dos três semicírculos, traçados na figura abaixo, coincidem com os lados do 
triângulo ABC. A soma das áreas hachuradas, em cm
2
, é: 
 
 
a) 6 
b) 8 
c) 10 
d) 12 
e) 14 
 
19. (Ime 2010) Seja ABC um triângulo de lados AB , BC e AC iguais a 26, 28 e 18, 
respectivamente. Considere o círculo de centro O inscrito nesse triângulo. A distância AO vale: 
a) 
104
6
 
b) 
104
3
 
c) 
2 104
3
 
d) 104 
e) 3 104 
 
20. (Ime 2012) As dimensões dos lados de um paralelepípedo reto retângulo, em metros, 
valem a, b e c. Sabe-se que a, b e c são raízes da equação 3 26x 5x 2x 3 O.    Determine, 
em metros, o comprimento da diagonal deste paralelepípedo. 
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a) 
1
6
 
b) 
1
3
 
c) 
1
2
 
d) 
2
3
 
e) 1 
 
21. (Ime 2010) Sejam ABC um triângulo equilátero de lado 2 cm e r uma reta situada no seu 
plano, distante 3 cm do seu baricentro. Calcule a área da superfície gerada pela rotação deste 
triângulo em torno da reta r. 
a) 28 cmπ 
b) 29 cmπ 
c) 212 cmπ 
d) 216 cmπ 
e) 236 cmπ 
 
22. (Ime 2012) Uma pirâmide regular possui como base um dodecágono de aresta a. As faces 
laterais fazem um ângulo de 15° com o plano da base. Determine o volume desta pirâmide em 
função de a. 
a) 
3
a 3 2
2 2 - 3

 
b) 
3
a 3 2
2 2 3


 
c) 3
3 2
a
2 3


 
d) 3
3 2
a
2 3


 
e) 3
2 3
a
3 2


 
 
23. (Ime 2012) São dados os pontos 0P e 1P distantes 1cm entre si. A partir destes dois 
pontos são obtidos os demais pontos nP , para todo n inteiro maior do que um, de forma que: 
 
- o segmento n (n 1)P P  é 1cm maior do que o segmento (n 1) (n 2)P P ;  e 
- o segmento n (n 1)P P  é perpendicular a 0 (n 1)P P . 
 
Determine o comprimento do segmento 0 24P P . 
a) 48 
b) 60 
c) 70 
d) 80 
e) 90 
 
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24. (Ime 2011) A base de uma pirâmide é um retângulo de área S. Sabe-se que duas de suas 
faces laterais são perpendicularesao plano da base. As outras duas faces formam ângulos de 
30° e 60° com a base. O volume da pirâmide é: 
a) 
S S
3
 
b) 
S S
6
 
c) 
2S S
3
 
d) 
2S S
5
 
e) 
2
2S
3
 
 
25. (Ime 2013) Seja um triângulo ABC. AH é a altura relativa de BC, com H localizado entre B 
e C. Seja BM a mediana relativa de AC. Sabendo que BH AM 4,  a soma dos possíveis 
valores inteiros de BM é 
a) 11 
b) 13 
c) 18 
d) 21 
e) 26 
 
26. (Ime 2014) Em um quadrilátero ABCD, os ângulos ABC e CDA são retos. Considere que 
sen (BDC) e sen (BCA) sejam as raízes da equação 2x bx c 0,   onde b, c . Qual a 
verdadeira relação satisfeita por b e c ? 
a) 2 2b 2c 1  
b) 4 2 2b 2c b c  
c) 2b 2c 1  
d) 2 2b 2c 1  
e) 2b 2c 1  
 
27. (Ime 2014) Seja SABCD uma pirâmide, cuja base é um quadrilátero convexo ABCD. A 
aresta SD é a altura da pirâmide. Sabe-se que AB BC 5 ,  AD DC 2 ,  AC 2 e 
SA SB 7.  O volume da pirâmide é 
a) 5 
b) 7 
c) 11 
d) 13 
e) 17 
 
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Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: 
 [C] 
 
(1, 2, 3, 4, ..., 998, 999) 
 
Divisíveis por 6: (6  1, 6  2, 6  3, ..., 6  166). Total: 166. 
Divisíveis por 8: (8  1, 8  2, 8  3, ..., 8  124). Total: 124. 
Divisíveis por 6 e 8: (24  1, 24  2, 24  3, ..., 24  41). Total: 41. 
Divisíveis por 6 ou 8: 166 + 124 – 41 = 249. 
Números inteiros positivos, menores que 1000, que não são divisíveis por 6 ou por 8: 999 – 
249 = 750. 
 
Resposta da questão 2: 
 [E] 
 
Considere a figura. 
 
 
 
Temos 4 escolhas para a cor do quadrado A e 3 para a cor do quadrado B. Se a cor do 
quadrado C for igual à cor do quadrado B, então teremos uma escolha para o quadrado C e, 
portanto, 3 escolhas para o quadrado D. Por outro lado, se a cor do quadrado C for diferente 
da cor do quadrado B, então teremos 2 escolhas para C e, por conseguinte, 2 escolhas 
também para D. Dessa forma, podemos colorir o quadrado, de modo que não existam dois 
quadrados menores, com um lado comum, pintados da mesma cor, de 
4 3 1 3 4 3 2 2 36 48 84          maneiras. 
Portanto, sabendo que é possível pintar o quadrado de 44 256 formas, utilizando as quatro 
cores disponíveis, segue que a probabilidade pedida é igual a 
 
 
84 43
1 .
256 64
  
 
Resposta da questão 3: 
 [E] 
 
O piloto pode estacionar sua aeronave de 10 formas distintas, de modo que as duas vagas 
vizinhas estejam vazias. As outras 7 aeronaves podem ser estacionadas de 
 

(7, 2)
9
9!
P 36
7! 2!
 maneiras. Logo, pelo PFC, temos 10 36 360  casos favoráveis. 
 
Por outro lado, se ignorarmos a restrição das vagas vizinhas, as outras 7 aeronaves poderão 
ser estacionadas de  

(7, 4)
11
11!
P 330
7! 4!
 modos e, desse modo, teremos 10 330 3300  
casos possíveis. 
Portanto, a probabilidade pedida é dada por 
360 6
.
3300 55
 
 
Resposta da questão 4: 
 [C] 
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n  número de alunos 
x é o número de alunos que se matricularam em 4 disciplinas 
n x é o número de alunos que se matricularam em 3 disciplinas (cada aluno foi matriculado 
em 3 disciplinas no mínimo) 
 
 4x 3 n x 20    (total de matrículas) 
Logo, x 20 3n  . 
 
Sabemos que 6 alunos estão em A, ou seja, 6 é o número mínimo de alunos. 
Logo, x 20 3 6 2    . 
 
Resposta da questão 5: 
 [A] 
 
Vamos considerar x o número de caminhos para leste e y o número de caminhos para oeste. 
Para que o menino fique 5 m da sua posição inicial: x – y = 5 ou y – x = 5. 
Vamos admitir o caso que x – y = 5 e resolver o sistema: 
x y 9
.
x y 5
 

 
 
 
Portanto, x = 7 e y = 2, se considerássemos y –x = 5, teríamos x = 2 e y = 7. 
 
Portanto, temos duas opções: 
 
1. uma sequência com 7 lestes e 2 oestes 
2. um sequência com 7 oestes e 2 lestes 
 
O espaço amostral tem 2.2.2.2.2.2.2.2.2 = 2
9
 elementos, portanto a probabilidade pedida será 
dada por : P = 
7,2
9
9 9 6
2.P 2.4.9 9
.
2 2 2
  
 
Resposta da questão 6: 
 [C] 
 
Como 
 
2 2 2 2 n (2n 1) (2n 1)
1 3 5 (2n 1) ,
3
   
      
 
segue que para n = 40, obtemos 
 
2 2 2 2 40 (2 40 1) (2 40 1)
1 3 5 79
3
40 81 79
3
85320.
     
    
 


 
 
Portanto, 
 
4 4
80000 S 90000 8 10 S 9 10 .       
 
Resposta da questão 7: 
 [A] 
 
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   
 
2
2 4 62 4 6
22
sen x
sen x sen x sen x...sen x sen x sen x... ln2
ln2 tg x1 sen xe e 2 2
   
   
 
2
2
tg x
tg x
2 1 tgx 0
2 8 tgx 3
  
   
 
 
Como, 0 x ,
2
π
  
 
tgx 3 x
3
π
   
 
Logo, 
1
cos x 1 3 12 .
cos x senx 21 3 1 3
2 2

  
 

 
 
Resposta da questão 8: 
 [C] 
 
Aplicando o teorema de Laplace na primeira coluna, obtemos: 
 
1 1 1 2
n
n 1
n n 1
n 1
n n 1
3 0 0 ... 0 0 1 1 1 ... 1 1
1 3 0 ... 0 0 1 3 0 ... 0 0
0 1 3 ... 0 0 0 1 3 ... 0 0
1.( 1) . ( 1).( 1)
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
0 0 0 ... 3 0 0 0 0 ... 3 0
0 0 0 ... 1 3 0 0 0 ... 1 3
3
3
Δ
Δ Δ
Δ Δ
 




 
 
    
 
 
 
 
 
Logo: 
1
2 1
2
3 2
3
4 3
9
10 9
9
10 1
10
10
3
3
3
...................
3
3.(3 1)
3 1
1 29523
29524
   
   
   
   

   

  
 
 
 
Resposta da questão 9: 
 [B] 
 
Sejam a, b e c reais positivos. 
 
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I. Correta. 
Temos 
 
2 2 2 2 2 2
2 2 2
1
a b c ab bc ca (2a 2b 2c 2ab 2bc 2ca)
2
1
[(a b) (a c) (b c) ] 0.
2
           
       
 
 
II. Correta. Segue que 
 
3 3 2 2 2 2
2 2
2
a b a b ab a (a b) b (a b)
(a b)(a b )
(a b) (a b) 0.
      
  
   
 
 
III. Incorreta. Fazendo a 1 e b 2, temos 
 
2 2 4
(1 2 ) (1 2) 3 1.      
 
Absurdo. 
 
Resposta da questão 10: 
 [B] 
 
Lembrando que cos3x = 4cos
3 
x – 3.cosx, temos: 
 
   
     
 
     
 
   
 
   
     
2 2
2 2
3 2 2
3
cos 9° 4cos 9° – 3 4cos 27° – 3
4cos 9° – 3 4cos 27° – 3
cos 9°
4cos 9° – 3cos 9° . 4cos 27° – 3 cos 27° . 4cos 27° – 3
cos 9 cos 9
4cos 27° – 3cos 27° cos(81 ) sen(9°)
tg(9°)
cos 9° cos 9° cos 9°
   
        
   
     
     
  
 
 
 
   
 
 
Resposta da questão 11: 
 [D] 
 
 
y sen70 cos50 sen260 cos 280
y sen70 cos50 ( sen10 cos80 )
sen120 sen20 cos90 cos70
y
2 2
sen120 cos90 sen20 cos70
y
2
3
0 0
2y
2
3
y
4
     
      
 
 
  

 


 
 
Resposta da questão 12: 
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 [C] 
 
Como arcsen : [ 1, 1] , ,
2 2
  
   
 
 vem 
 
arcsen x , arcsen y
2 2 2 2
   
      e arcsen z .
2 2
 
   
 
Logo, sendo 
 
3
arcsen x arcsen y arcsen z ,
2

   
 
concluímos que 
 
arcsen x arcsen y arcsen z .
2

   
 
Daí, 
 
x y z 1   
 
e, portanto, 
 
100 100 100 100 100 100
101 101 101 101 101 101
9 9
x y z 1 1 1
x y z 1 1 1
0.
      
   

 
 
Resposta da questão 13: 
 [D] 
 
arccotg(1 x) a   e arctg(x) b, 
 
temos sen a cos b  ou sen a cos b  
 
ou seja, cotg a tg b ou cotg a tg b  
 
logo, x + 1 = x ou x + 1 = – x 
 
x + 1 = x (não possui solução) 
x+1 = – x 
2x = – 1 
x = – 1/2 
 
Resposta da questão 14: 
 [E] 
 
Temos 
 
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1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 3 1
3 1 3
1 2 3
1 2 3
1
2 3
2 3
1
2 3
3
1
(1 i)x ix ix 0 (1 i)x ix ix 0
2ix x x Z 2ix x x Z
(2i 2)x ix ix 0 ( 1 3i)x 0
L ' L L
(1 i)x ix ix 0
2ix x x Z
( 1 3i)x 0
ix ix 0
x x Z
x 0
x x
Z 2x
x 0
        
 
      
 
      
 
    

  

  
  

  




 

.


 
 
Escrevendo Z sob a forma Z (cos isen ),     segue que θ deve ser igual a 180 para que 
3x seja um número real positivo. 
 
Resposta da questão 15: 
 [D] 
 
Temos: 
 




 
  


 
 
 
2
2 2
2
2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
a
z
ib(1 ib)
abi
b (1 b 2bi)
abi(1 b 2bi)
b (1 b )
2ab ab(b 1)i
.
b (1 b ) b (1 b )
 
 
Sabendo que  argz , temos Im(z) 0. Logo, como a, b 0, concluímos que b 1. 
Portanto, dado | z | 1, vem: 
 
 
  

 
2
2 2 2
2ab 2a
1 1
4b (1 b )
a 2.
 
 
Resposta da questão 16: 
 [D] 
 
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A Equação z 26i 10,  representa um círculo com centro no ponto (0, 26) e raio 10 no plano 
de Gauss, conforme figura acima. 
 
10 5 5
sen tg
26 13 12
θ θ    
    11 2 1 2
5 5
tg tg 2 2 arctg 2tg
12 12
α α θ α α 
   
         
   
 
 
Resposta da questão 17: 
 [B] 
 
Sabendo que 1, w e 2w são as raízes cúbicas da unidade, com  w cis120 e  
2
w cis240 , 
vem 
 
  
   
  
    
  
 
6 3 2
2 3 2
2 2
2
2
(1 w) [(1 w) ]
(1 3w 3w w )
9 (w w)
9 (cis 240 cis120 )
9 ( i 3 )
27.
 
 
Portanto,    27 ( 30, 10]. 
 
Resposta da questão 18: 
 [A] 
 
2 2 2
BC 3 4 BC 5cm   
 
1 2A A é a área da região que se obtém subtraindo a área do triângulo ABC da área do 
semicírculo de diâmetro BC. 
3A é a área do semicírculo de diâmetro 3cm e 
4A é a área do semicírculo de diâmetro 4cm. 
 
3 4 1 2A A A A(A )   que é a área pedida. 
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Logo: 
 
2 2 2
3 4 5
4 32 2 2
A 6
2 2 2 2
π π π
      
      
      
     
 
 
 
 
 
Resposta da questão 19: 
 [D] 
 
 
 
Área do triângulo: A 
A = 36(36 26)(36 28)(36 18) 72 10    
 
36.r 72 10
r 2 10


 
 
Aplicando o teorema de Pitágoras, temos: 
 
 
2
2 2
AO 8 2 10
AO 64 40
AO 104
 
 

 
 
Resposta da questão 20: 
 Questão anulada no gabarito oficial. 
 
A questão foi anulada, pois o polinômio dado apresenta apenas uma raiz real, como mostra o 
cálculo abaixo. 
 
Utilizando o teorema das raízes racionais, percebemos que 1 é raiz da e equação, pois: 
 
6.1
3
 – 5.1
2
 + 2.1 – 3 = 0 
 
Aplicando, agora, o teorema de Briot-Ruffini, podemos fatorar a equação: 
 
 
 
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(x – 1).(6x
2
 + x + 3) = 0 
 
x – 1 = 0 ou 6x
2
 + x + 3 = 0 
 
Na segunda equação 71   (a equação possui duas raízes complexas) 
 
Portanto, não é possível que as três raízes da equação polinomial sejam arestas de um 
paralelepípedo. 
 
Resposta da questão 21: 
 [E] 
 
Considere a figura, com G sendo o baricentro do triângulo ABC. 
 
 
 
Pelo Teorema de Pappus-Guldin, segue que a área S da superfície gerada pela rotação do 
triângulo ABC em torno da reta r é dada por 
 
 S x 2p,θ   
 
em que θ é o ângulo de rotação, x GH e 2p é o perímetro do triângulo. 
Portanto, o resultado pedido é 
 
 3S 2 3 3 2 36 cm .π π     
 
Resposta da questão 22: 
 [A] 
 
Considere a figura, em que AB a e O é o centro do círculo circunscrito à base da pirâmide. 
 
 
 
Sabendo que a medida do apótema da base OM é dada por 
 
 
  
  
  
  
AB a a (2 3 )
OM u.c.,
2180 3 3
2 tg 2
12 3 3
 
 
segue que a área da base da pirâmide é igual a 
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 
    
 
2
a (2 3 )
6 AB OM 6 a
2
3a (2 3 ) u.a.
 
 
Na figura, V é o vértice da pirâmide e  VMO 15 . 
 
 
 
Logo, 
 
    
 
VO
tg VMO VO OM tg15
OM
a
VO u.c.
2
 
 
Portanto, o volume da pirâmide é dado por 
 

        


 

3
2
3
2 31 a a
3a (2 3 ) 2 3 2 3
3 2 2 2 3
2 3a
.
2 2 3
 
 
Resposta da questão 23: 
 [C] 
 
Considere a figura. 
 
 
 
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Pelo Teorema de Pitágoras, é fácil ver que 
 
2 2 2 2
0 n 0 1 1 2 n 1 nP P P P P P P P .    
 
Logo, como cada segmento é 1cm maior do que o anterior, vem 
 
2 2 2 2
0 nP P 1 2 n
n(n 1)(2n 1)
.
6
   
 

 
 
Portanto, 
 
2
0 24 0 24
24 (24 1) (2 24 1)
P P P P 70cm.
6
    
   
 
Resposta da questão 24: 
 [A] 
 
 
 
Sabendo que a.b = S, temos: 
 
No triângulo ACD: h = a.tg60°
 
 ( I ) 
 
No triângulo ACB: h = b.tg30° ( II ) 
 
Fazendo ( I ).( II ), temos: 
 
h
2
 = a.b.tg30°.tg60° 
 
h
2
 = S.1 
 
h S 
 
Calculando agora o volume da pirâmide, temos: 
S h S S
V .
3 3
 
  
 
Resposta da questão 25: 
 [B] 
 
Considere a figura. 
 
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Como BM é mediana e AC 2 AM 8,   vem 
 
          
       
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
1
4 BM 2 (AB BC ) AC BM [AB (CH 4) ] 16
2
1
BM (AB CH 8 CH 16) 16.
2
 
 
Além disso, dos triângulos retângulos ABH e AHC, obtemos 
 
    
2 2 2 2 2
AB BH AH AB 16 AH 
 
e 
    
2 2 2 2 2
AC CH AH 64 CH AH 
 
Logo, 
 
 
2 2
AB 80 CH , 
 
Donde 
 
  
2
BM 32 4 CH. 
 
Assim, como 0 CH AC  e 32 4 CH  deve ser um quadrado perfeito, segue que BM 6 ou 
BM 7. Por conseguinte, o resultado pedido é 7 6 13.  
 
Resposta da questão 26: 
 [E] 
 
 
 
ˆ ˆBCA e BDCα β  
2a 2b 180 a b 90       
 
Como senα e senβ são raízes da equação podemos escrever: 
 
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   
2 2 2 2 2 2 2
sen sen b
sen sen c
sen sen b sen 2 sen sen sen b 1 2c b b 2c 1
α β
α β
α β α α β β
  

 
              
 
 
Resposta da questão 27: 
 [B] 
 
 
 
 
No triângulo BMC temos: 2 2BM 1 5 BM 2    
 
No triângulo AMD temos: 2 2MD 1 2 MD 1 e BD 3     
 
No triângulo ADS temos: 2 2 2 2x 2 y y x 2     
 
No triângulo SBD temos: 2 2(x 7) y 9   
 
Trabalhando com as duas últimas relações acima temos: 
 
2 2
2
49 14x x x 7
14x 42
x 3 e
y 3 2 7
   
  

  
 
 
O volume V da pirâmide será dado por: 
 
1 2 2 2 1
V 7 7
3 2 2
  
     
 
 
 
 
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Resumo das questões selecionadas nesta atividade 
 
Data de elaboração: 12/08/2021 às 22:17 
Nome do arquivo: Revis?o IME - PARTE 1 
 
 
Legenda: 
Q/Prova = número da questão na prova 
Q/DB = número da questão no banco de dados do SuperPro® 
 
 
Q/prova Q/DB Grau/Dif. Matéria Fonte Tipo 
 
 
1 ............. 106907 ..... Elevada ......... Matemática ... Ime/2010 .............................. Múltipla escolha 
 
2 ............. 106914 ..... Elevada ......... Matemática ... Ime/2010 .............................. Múltipla escolha 
 
3 ............. 124318 ..... Média ............ Matemática ... Ime/2012 .............................. Múltipla escolha 
 
4 ............. 124327 ..... Elevada ......... Matemática ... Ime/2012 .............................. Múltipla escolha 
 
5 ............. 124254 ..... Elevada ......... Matemática ... Ime/2013 .............................. Múltipla escolha 
 
6 ............. 106905 ..... Média ............ Matemática ... Ime/2010 .............................. Múltipla escolha 
 
7 ............. 135101 ..... Elevada ......... Matemática ... Ime/2014 .............................. Múltipla escolha 
 
8 ............. 106903 ..... Elevada ......... Matemática ... Ime/2010 .............................. Múltipla escolha 
 
9 ............. 124247 ..... Média ............ Matemática ... Ime/2013 .............................. Múltipla escolha 
 
10 ........... 124245 ..... Elevada ......... Matemática ... Ime/2013 .............................. Múltipla escolha 
 
11 ........... 124322 ..... Elevada ......... Matemática ... Ime/2012 .............................. Múltipla escolha 
 
12 ........... 124317 ..... Média ............ Matemática ...Ime/2012 .............................. Múltipla escolha 
 
13 ........... 127892 ..... Elevada ......... Matemática ... Ime/2011 .............................. Múltipla escolha 
 
14 ........... 106910 ..... Média ............ Matemática ... Ime/2010 .............................. Múltipla escolha 
 
15 ........... 124252 ..... Média ............ Matemática ... Ime/2013 .............................. Múltipla escolha 
 
16 ........... 135099 ..... Elevada ......... Matemática ... Ime/2014 .............................. Múltipla escolha 
 
17 ........... 124319 ..... Média ............ Matemática ... Ime/2012 .............................. Múltipla escolha 
 
18 ........... 127891 ..... Elevada ......... Matemática ... Ime/2011 .............................. Múltipla escolha 
 
19 ........... 106904 ..... Elevada ......... Matemática ... Ime/2010 .............................. Múltipla escolha 
 
20 ........... 124314 ..... Média ............ Matemática ... Ime/2012 .............................. Múltipla escolha 
 
21 ........... 106912 ..... Elevada ......... Matemática ... Ime/2010 .............................. Múltipla escolha 
 
22 ........... 124320 ..... Média ............ Matemática ... Ime/2012 .............................. Múltipla escolha 
 
23 ........... 124316 ..... Média ............ Matemática ... Ime/2012 .............................. Múltipla escolha 
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Página 22 de 22 
 
 
24 ........... 127893 ..... Elevada ......... Matemática ... Ime/2011 .............................. Múltipla escolha 
 
25 ........... 124250 ..... Média ............ Matemática ... Ime/2013 .............................. Múltipla escolha 
 
26 ........... 135094 ..... Elevada ......... Matemática ... Ime/2014 .............................. Múltipla escolha 
 
27 ........... 135096 ..... Elevada ......... Matemática ... Ime/2014 .............................. Múltipla escolha