4 - QUESTAO_LEI_DOS_SENOS_E_COSSENOS

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1. (Ufu 2018) O compasso é um instrumento usado no desenho artístico e no desenho técnico. Um exemplo de compasso especial é o compasso articulável, que possui cabeça de fricção para ajuste preciso e suave do raio, um braço articulável e outro com barra prolongadora do braço, onde fica a ponta seca, conforme ilustra a figura abaixo.
O esquema abaixo mostra um compasso articulável ajustado de modo que o braço articulável é perpendicular a e 
Para essa configuração, a medida, em do raio da circunferência traçado com o compasso é 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
2. (Uece 2018) Se as medidas de dois dos lados de um triângulo são respectivamente e e se a medida do ângulo entre esses lados é graus, então, a medida, em metros, do terceiro lado é 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
3. (Unicamp 2018) Considere que o quadrado representado na figura abaixo, tem lados de comprimento de e que é o ponto médio do segmento Consequentemente, a distância entre os pontos e será igual a
 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: 
Considere o texto e a ilustração a seguir para responder à(s) questão(ões) a seguir.
A fabricação de uma peça triangular de vértices A, B e C, a partir da qual será construída uma pirâmide aberta (sem a face APC), exige as seguintes especificações:
I. e são cevianas, perpendiculares em do triângulo com 
II. 
 
4. (Insper 2018) Se e então em centímetros, é igual a 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
5. (Uece 2017) As medidas, em metro, dos comprimentos dos lados de um triângulo formam uma progressão aritmética cuja razão é igual a Se a medida de um dos ângulos internos deste triângulo é então, seu perímetro é 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
6. (Fuvest 2017) O paralelepípedo reto-retângulo representado na figura, tem medida dos lados e 
O seno do ângulo é igual a 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
7. (Enem 2017) Uma desenhista projetista deverá desenhar uma tampa de panela em forma circular. Para realizar esse desenho, ela dispõe, no momento, de apenas um compasso, cujo comprimento das hastes é de um transferidor e uma folha de papel com um plano cartesiano. Para esboçar o desenho dessa tampa, ela afastou as hastes do compasso de forma que o ângulo formado por elas fosse de A ponta seca está representada pelo ponto a ponta do grafite está representada pelo ponto e a cabeça do compasso está representada pelo ponto conforme a figura.
Após concluir o desenho, ela o encaminha para o setor de produção. Ao receber o desenho com a indicação do raio da tampa, verificará em qual intervalo este se encontra e decidirá o tipo de material a ser utilizado na sua fabricação, de acordo com os dados.
	Tipo de material
	
Intervalo de valores de raio 
	I
	
	II
	
	III
	
	IV
	
	V
	
Considere como aproximação para 
O tipo de material a ser utilizado pelo setor de produção será 
a) I. 
b) II. 
c) III. 
d) IV. 
e) V. 
 
8. (Unicamp 2017) Considere o triângulo retângulo exibido na figura abaixo, em que e Então, o ângulo é igual a
 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
9. (Ufpr 2017) Considere o triângulo a seguir. 
a) Quanto mede o ângulo 
b) Quanto mede 
 
10. (Eear 2017) Seja um triângulo inscrito em uma circunferência de raio Se esse triângulo tem um ângulo medindo seu lado oposto a esse ângulo mede 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
11. (Uerj 2017) Ao coletar os dados para um estudo topográfico da margem de um lago a partir dos pontos e um técnico determinou as medidas e representadas no esquema abaixo.
Calcule a distância, em metros, entre os pontos e definidos pelo técnico nas margens desse lago. 
 
12. (Unesp 2017) Uma lancha e um navio percorrem rotas lineares no mar plano com velocidades constantes de e respectivamente. Suas rotas, como mostra a figura, estão definidas por ângulos constantes de medidas iguais a e respectivamente. Quando a lancha está no ponto e o navio no ponto a distância entre eles é de 
Sendo o ponto em que a lancha colidirá com o navio, demonstre que o ângulo obtuso será igual a Em seguida, calcule a distância entre e considerando 
 
13. (Upe-ssa 1 2017) João está procurando cercar um terreno triangular que ele comprou no campo. Ele sabe que dois lados desse terreno medem, respectivamente, e e formam entre si um ângulo de O terreno será cercado com três voltas de arame farpado. Se o preço do metro do arame custa qual será o valor gasto por João com a compra do arame?
Dados:
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
14. (Fac. Albert Einstein - Medicin 2017) No pentágono da figura, o lado mede o lado mede o lado mede e os ângulos e medem e respectivamente.
Sendo a área do triângulo igual a a medida, em do lado é 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
15. (G1 - ifal 2017) Um triângulo possui lados iguais a e O cosseno do maior ângulo interno desse triângulo é: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
Gabarito: 
Resposta da questão 1:
 [D]
Considere a figura.
Seja o ponto de tal que Ademais, sendo podemos concluir que o triângulo é isósceles de base Daí, como temos 
Pela Lei dos Senos, vem
Adicionalmente, do triângulo encontramos
Em consequência, sendo podemos afirmar que a resposta é 
 
Resposta da questão 2:
 [C]
Seja a medida do terceiro lado. Logo, pela Lei dos Cossenos, encontramos
 
Resposta da questão 3:
 [C]
Se o lado do quadrado mede então sua diagonal mede Daí, como é ponto médio de vem Ademais, sendo temos e, portanto, pela Lei dos Cossenos, encontramos
 
Resposta da questão 4:
 [B]
Desde que os triângulos e são congruentes por LLL, vem e, assim, podemos concluir que o quadrilátero é inscritível. Ademais, como e tem-se que é um trapézio isósceles de bases e com 
Portanto, sabendo que pela Lei dos Cossenos, temos
 
Resposta da questão 5:
 [C]
Sabemos que o maior lado de um triângulo é oposto ao seu maior ângulo. Podemos, então aplicar o teorema dos cossenos no triângulo considerado no enunciado:
Portanto, o perímetro do triângulo será dado por:
 
Resposta da questão 6:
 [E]
 
Resposta da questão 7:
 [D]
O compasso forma, com a superfície do papel, um triângulo isóscele de lados e (raio), e ângulos e graus. Sabendo-se disto, pode-se calcular o raio 
 
Resposta da questão 8:
 [C]
Calculando:
 
Resposta da questão 9:
 a) 
b) Aplicando o teorema dos senos no triângulo assinalado e admitindo que temos:
 
Resposta da questão 10:
 [B]
Seja a medida do lado do triângulo que é oposto ao ângulo de Pela Lei dos Senos, tem-se que
 
 
Resposta da questão 11:
 Tem-se, pela Lei dos Cossenos, que a resposta é
 
Resposta da questão 12:
 Considere a figura.
Os ângulos e são opostos pelo vértice e, portanto, são congruentes. 
Se é o tempo, em horas, decorrido até o instante do encontro, então e Daí, vem Finalmente, aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo encontramos 
 
Resposta da questão 13:
 [C]
Pela lei dos cossenos:
 
Resposta da questão 14:
 [B]
Aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo temos 
Desse modo, como a área do triângulo é igual a vem 
Por conseguinte, pelo Teorema de Pitágoras, encontramos 
 
Resposta da questão 15:
 [B]
Note que um triangulo com tais lados não forma um triangulo retângulo, para comprovar basta aplicar o Teorema de Pitágoras.
Nesse sentido, para obter o valor do cosseno desejado, basta aplicar a lei dos cossenos sobre os três lados. Seja o ângulo relativo ao lado de maior medida e os lados do triângulo. Logo:
 
Resumo das questões selecionadas nesta atividade
Data de elaboração:	11/02/2019 às 23:21
Nome do arquivo:	LEI DOS SENOS E COSSENOS 
Legenda:
Q/Prova = número da questão na prova
Q/DB = número da questão no banco de dados do SuperPro®Q/prova	Q/DB	Grau/Dif.	Matéria	Fonte	Tipo
 
1	180053	Média	Matemática	Ufu/2018	Múltipla escolha
 
2	179233	Baixa	Matemática	Uece/2018	Múltipla escolha
 
3	175579	Baixa	Matemática	Unicamp/2018	Múltipla escolha
 
4	175099	Elevada	Matemática	Insper/2018	Múltipla escolha
 
5	168944	Média	Matemática	Uece/2017	Múltipla escolha
 
6	165939	Média	Matemática	Fuvest/2017	Múltipla escolha
 
7	174954	Média	Matemática	Enem/2017	Múltipla escolha
 
8	165858	Média	Matemática	Unicamp/2017	Múltipla escolha
 
9	166360	Média	Matemática	Ufpr/2017	Analítica
 
10	162892	Baixa	Matemática	Eear/2017	Múltipla escolha
 
11	166211	Baixa	Matemática	Uerj/2017	Analítica
 
12	166404	Média	Matemática	Unesp/2017	Analítica
 
13	167642	Baixa	Matemática	Upe-ssa 1/2017	Múltipla escolha
 
14	171443	Média	Matemática	Fac. Albert Einstein - Medicin/2017	Múltipla escolha
 
15	167337	Elevada	Matemática	G1 - ifal/2017	Múltipla escolha
 
Estatísticas - Questões do Enem
Q/prova	Q/DB	Cor/prova	Ano	Acerto
 
7	174954	azul	2017	23% 
 
Página 14 de 14
AB
ABCDEFGH,
AB4,BC2
==
BF2.
=
µ
HAF
1
25
1
5
2
10
2
5
3
10
OP.
10cm,
120.
°
C,
B
A
(cm)
0R5
<£
5R10
<£
10R15
<£
15R21
<£
21R40
<£
1,7
3.
ABD
AB2cm,
=
cm,
BC1cm
=
CD5cm.
=
θ
15.
°
30.
°
45.
°
60.
°
?
α
x?
53.
R.
30,
°
R
2
R
2R
2R
3
A,
B
T,
AT32m;
=
83.
BT13m
=
µ
AB1,
T
20
=°
A
B,
80
30kmh,
α
,
β
L
93.
N,
10km.
P
$
LPN
.
αβ
+
N
P,
9
cos().
16
αβ
+=-
10m
6m
133.
120.
°
R$5,00,
3
sende120
2
°=
1
cosde120
2
°=-
R$300,00
R$420,00
R$450,00
R$500,00
R$520,00
ABCDE
7m
AB
3cm;
AE
8cm;
CD
4cm
ˆˆ
BEC,A
ˆ
D
30,60
°°
90
°
52m
×
BCE
2
10,5cm,
cm,
DE
18
20
22
24
6,9
135
11.
11
.
15
1
.
27
-
26
.
33
2
.
27
-
1.
-
E
OP
AEBP.
P
ACBC,
=
12.
ABC
AB.
ABOP,
P
$
µ
$
$
180120
ABCBACBPEAEO30.
2
°-°
ººº==°
$
µ
ACAB8AB
sen30sen120
senABCsenACB
AB83cm.
=Û=
°°
Û=
AEO,
$
AO5
tgAEOEO
tg30
EO
EO53cm.
=Û=
°
Û=
ABEP,
=
EPEO8353133cm.
+=+=
x
15.
222
2
2
x7(52)2752cos135
2
x49502352
2
x169
x13.
=+-×××°Þ
æö
=+-××-Þ
ç÷
èø
=Þ
=
ABCD
1cm,
2cm.
C
AE,
CE2cm.
=
ˆ
ACD45,
=°
ˆ
DCE135
=°
22
22
DE1(2)212cos135DE5
DE5cm.
=+-×××°Û=
Þ=
13.
AQP
CPQ
µ
µ
PCQPAQ
º
ACPQ
AQCP
=
APCQ
=
ACPQ
AC
PQ,
µ
µ
CAPACQ45.
º=°
14.
AC2,
>
µ
222
2
22
2
CPACAP2ACAPcosCAP
(10)AC42AC4cos45
(AC22)2
AC32cm.
=+-×××Û
=+-×××°Û
-=Þ
=
222
222
2222
2
(x1)x(x1)2x(x1)cos120
1
x2x1xx2x12x(x1)
2
x2x1xx2x1xx
5
2x5x0x0(não convém)oux
2
+=+--××-×°
æö
++=+-+-××-×-
ç÷
èø
++=+-++-
-=Þ==
P
5
Px x1x13x37,5.
2
=+-++==×=
2222
2222
2222
222
2
2222
ABFy42y20y25
EHFz42z20z25
EHAx22x8x22
LeidosCossenos:
zxy2xycosa2082022225cosa
1
810cosa8cosa
10
13
9
1
senacosa1sena1sena1sena
1010
1010
D®=+®=®=
D®=+®=®=
D®=+®=®=
=+-×®=+-×××
×=®=
æö
+=®+=®=-=®=
ç÷
èø
10,10
R
120,30
ABCD,
30
R:
R1013
R10R10317cm15R21
sen120sen3022
=Þ×=×Þ=»Þ<£
°°
(
)
(
)
2
22
2
22
22
2
AC21AC5
AD26AD40
55402540cos2200cos20
102
coscos45
2
102
θθ
θθθ
=+®=
=+®=
=+-×××®×=
=®=®=°
756018045
αα
+°+°=°Þ=°
45,
α
=°
x823
x8
sen60sen4522
83
xx46
2
=Þ×=×Þ
°°
×
=Þ=×
l
30.
°
1cm,
2RR.
sen30
=Û=
°
l
l
µ
222
2
22
ABATBT2ATBTcosATB
1
AB321323213
2
AB1609
AB40m.
=+-×××Û
æö
=+-×××-Þ
ç÷
èø
=Þ
@
$
LPM
()
αβ
+
t
NP30t
=×
LP80t.
=×
8
LPNP.
3
=×
LNP,
C
222
2
2
2
2
LNNPLP2NPLPcos()
889
10NPNP2NPNP
3316
100
NP100
9
NP3km.
αβ
=+-×××+Û
æöæö
=+×-××××-Û
ç÷ç÷
èøèø
×=Þ
=
22222
1
a1062106cos120a136120a196a14
2
Perímetro1061430m
3voltas90mcusto590450reais
æö
=+-×××°Þ=-×-Þ=®=
ç÷
èø
=++=
=Þ=×=
ABE,
22
22
1
BE38238cos60BE964224
2
BE7cm.
=+-×××°Û=+-××
Þ=
BCE
2
10,5cm,
1
7CEsen3010,5CE6cm.
2
×××°=Û=
2
22
DE64DE20cm.
=-Þ=
222
222
hipcatcat
1169
1213681
=+
=+
¹+
θ
AE.
a,b,c
222
222
abc2bccos()
1196296cos()
121117108cos()
1
cos()
27
θ
θ
θ
θ
=+-×××
=+-×××
=-×
-
=
D
E
3cm.
2cm.
5cm.
6cm.
AP
CQ
R,
ABC,
APCQ4cm;
==
AQCP.
=
AQ10cm
=
AC2,
>
AC,
52
AO
32
42
33
23
1.
120,
°
5,5.
6,5.
7,5.
8,5.