Aula 01_Sumário Unidade 3

Prévia do material em texto

11/08/2021 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG613/impressao/3 1/35
Unidade 03
Aula 01
Projeto de Vigas Parte 1
Olá, estudante, bem-vindo(a) à terceira unidade. Nesta unidade, iremos estudar sobre projeto de
vigas e colunas. Na primeira aula, você vai entender melhor toda a distribuição de tensões em vigas
com uso dos conhecimentos da unidade anterior. Vamos usar essas informações para projeto de
vigas. Adiante, iremos tratar de projeto de colunas. Bons estudos!
Conceitos Básicos
Aqui, nesta seção, iremos relembrar os conceitos básicos de vigas.
Em geral, vigas são elementos estruturais projetados para suportar carregamentos aplicados
perpendicularmente a seus eixos e também são longas barras retilíneas com área de seção
transversal constante.
11/08/2021 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG613/impressao/3 2/35
Admitimos também que os carregamentos atuantes em vigas vão produzir principalmente esforços
de momento �etor e esforço cortante, pois as cargas em geral são aplicadas perpendicularmente ao
eixo longitudinal, não gerando esforço axial. Entretanto, as vigas reais apresentam algum esforço
axial que é desprezado. Obviamente, o calculista deve estar ciente de possíveis esforços axiais e
que estes podem ser predominantes nos cálculos. Aqui não incluiremos o esforço axial.
O momento �etor provoca tensão axial de tração e compressão na seção da viga ao longo de sua
altura, como mostra a Figura 2. Na transição entre a tração e compressão, existe uma região livre de
tensão normal, chamada de superfície neutra ou linha neutra. A distribuição de tensão é dada pela
fórmula de �exão:
Onde é a tensão normal, M é o momento �etor, I é o momento de inércia e y é a posição do ponto
de cálculo da tensão referente a linha neutra.
Figura 1. Sistema de vigas. 
Fonte: http://tinyurl.com/yc7tbrer
= σ =      (1.1)σx
M ⋅ y
I
σ
11/08/2021 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG613/impressao/3 3/35
A equação obtida anteriormente é baseada em algumas hipóteses sobre a tensão e deformação nas
vigas:
1. O eixo longitudinal x que passa pela superfície neutra da viga permanece com o mesmo compri
mento, pois não se deforma;
2. As seções transversais da viga permanecem planas após a deformada e também permanecem p
erpendiculares ao eixo longitudinal;
3. A deformação de seção transversal que ocorre no seu próprio plano será desprezada. Embora e
xista o efeito de Poisson quando há tração/compressão, essa deformação não será considerada.
O esforço cortante vai provocar tensões de cisalhamento transversal e longitudinal na seção da
viga. A viga é submetida a um esforço V, como mostra a Figura 3(a), numa posição qualquer da viga.
Essa força de cisalhamento vai se distribuir ao longo da área da seção, como mostra a Figura 3(b),
como uma tensão cisalhante transversal à viga. No sentido longitudinal da viga, haverá também
tensões cisalhantes longitudinais. Logo, num elemento de tensão, representado na Figura 3(b), à
direita, existem as tensões cisalhantes longitudinais e transversais e também as tensões que estão
na face escondida do elemento de tensão.
A expressão genérica para a tensão de cisalhamento que atua numa seção transversal da viga é
dada por:
Onde E é o módulo de elasticidade dos materiais, b(y) é a largura da seção da viga na posição y em
relação à linha neutra. Para uma seção com único material homogêneo, a equação se resume em:
Figura 2. Distribuição de tensões de um plano numa viga sob
momento �etor.
= y ⋅ E ⋅ dA    (1.2)τxy
V
b (y) ⋅ E ⋅ ⋅ dA∫A y
2 ∫
Ay
11/08/2021 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG613/impressao/3 4/35
Na qual é o momento de inércia em relação ao eixo z que passa pela linha neutra, e Q é o
momento estático da área Ay em relação ao eixo z.
Variação de Tensão ao Longo de uma Viga
Prismática
Como visto anteriormente, a variação de tensão normal ao longo da altura da viga é linear,
enquanto a variação da tensão de cisalhamento é usualmente parabólica. Se ocorrer mudança
brusca da seção, decorrente de diferentes materiais ou da geometria (como per�s metálicos), as
tensões também vão mudar nessa interface.
Entretanto, onde ocorre a máxima tensão normal principal e onde ocorre a máxima tensão de
cisalhamento?
Inicialmente, vamos considerar uma viga de seção retangular de base b e altura h para calcular as
máximas tensões de cisalhamento e normal. As expressões de tensão, em função da posição y na
altura, são dadas por:
A tensão de cisalhamento máxima é dada por:
Substituindo as tensões na equação do cisalhamento máximo e simpli�cando, temos:
=      (1.3)τxy
V ⋅ Q
b (y) ⋅ Iz
Iz
Figura 3. Distribuição de tensões de cisalhamento devido ao esforço cortante.
=    ,     = 0    e       = ( − )      (1.4)σx
12M ⋅ y
b ⋅ h3
σy τxy
6V
b ⋅ h3
h2
4
y2
=       (1.5)τm xá +( )
−σx σy
2
2
τ2xy
− −−−−−−−−−−−−−−
√
=       (1.6)τm xá
3
2bh3
16 +M2y2 V 2( − 4 )h2 y2
2− −−−−−−−−−−−−−−−−−−−√
11/08/2021 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG613/impressao/3 5/35
A seção transversal da viga deve ser dada, assim como o momento �etor e o esforço cortante são
obtidos do carregamento na viga. Logo, essa tensão de cisalhamento �ca em função da posição y ao
longo da altura da viga.
Para saber a posição onde a tensão de cisalhamento é realmente máxima, podemos considerar que
a tensão máxima é função primariamente de y, dados os esforços internos e a seção transversal
retangular da viga. Assim, reescrevemos a equação da seguinte forma:
O que resulta nas seguintes posições:
As equações acima mostram que a posição da tensão de cisalhamento máxima �ca dependente dos
esforços internos e da altura da viga. Quando , a tensão de cisalhamento máxima
�ca na linha neutra. Caso contrário, em duas posições fora da linha neutra
Podemos fazer o mesmo procedimento visto anteriormente para calcular a máxima tensão normal
ao longo da altura da viga. A tensão normal é dada por:
Para obter a posição de valor máximo, derivamos a equação acima em relação a y e igualamos a
zero:
Que resulta em equações mais complexas para as posições:
A tensão normal máxima em vai ocorre quando uma das raízes da segunda equação for
menor que zero, pois vai gerar raízes imaginarias. Caso contrário, as raízes gerando raízes reais, a
tensão normal vai ocorrer na posição da segunda equação.
(y) =      (1.7)τm xá
3
2bh3
16 +M2y2 V 2( − 4 )h2 y2
2− −−−−−−−−−−−−−−−−−−−√
y = 0    para      ≤ 2h2V 2 M2
y = ±      para  > 2        (1.8)
− 2V 2h2 M2
− −−−−−−−−−√
2V
h2V 2 M2
≤ 2h2V 2 M2
(y) = +      (1.9)σ1
6My
bh3
3
2bh3
16 +M2y2 V 2( − 4 )h2 y2
2− −−−−−−−−−−−−−−−−−−−√
= 0       (1.10)
d [ (y)]σ1
dy
y = ±    
h
2
y = ±         (1.11)
2 − 6 ± 2V 2h2 M2 − 10 + 9V 4h4 M2V 2h2 M4
− −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√
− −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
√
4V
±h/2
11/08/2021 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG613/impressao/3 6/35
Atualmente, a análise de tensões em vigas pode ser realizada por métodos que usam programa de
computador. Por exemplo, a Figura 4 mostra a distribuição de tensões de uma viga engasta e livre,
sujeita a uma força na extremidade livre. Automaticamente, um programa pode mostrar as tensões
máximas para análise de dimensionamento.
Unidade 03
Aula 02
Projeto de Vigas Parte 2
Projeto de Vigas Prismáticas
Na seção anterior, você estudou que as tensões máximas vão ocorrer de uma combinação de
momento �etor e esforço cortante. Entretanto, �cou claro que a tensão normal máxima ocorre em 
, quando o momento �etor é dominante, e a tensão de cisalhamento máxima ocorre na linha
neutra. Essa situação é verdade quando o vão da viga é relativamente longo, compredominância de
Figura 4. Distribuição de tensão de cisalhamento máxima em viga
engastada.
±h/2
11/08/2021 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG613/impressao/3 7/35
momentos �etores altos. Desse modo, podemos projetar uma viga prismática inicialmente olhando
somente o momento �etor (tensão normal) e, depois, veri�cando a tensão de cisalhamento, como
iremos abordar o dimensionamento nessa seção.
Você também já viu em Resistência dos Materiais que o projeto de qualquer componente estrutural
ou passa pela comparação das tensões normais e de cisalhamento pelas suas respectivas tensões
admissíveis, ou então utiliza-se um critério de falha. A tensão admissível é dada por:
ou
Onde F.S. é o fator de segurança e dado por normas de projeto. Como visto anteriormente, a tensão
de falha vai depender se o material for dúctil ou frágil.
Se o vão da viga for relativamente longo, gerando altos momentos �etores internos, geralmente, o
dimensionamento de um projeto de vigas inicialmente tem como base o momento �etor. Depois,
faz-se uma veri�cação quanto à resistência ao cisalhamento. Um projeto de �exão necessita, então,
da determinação do módulo de resistência da viga, que é a relação entre o momento de inércia, I, e
a posição de maior tensão c. Dessa forma, e, utilizando a equação de momento 
, temos:
Onde M é determinado no diagrama de momento �etor da viga e é a tensão admissível do
material.
Observe que o peso próprio da viga ainda é desconhecido quando da determinação do momento
�etor, pois ainda é desconhecida a seção transversal da viga.
Em muitos casos, o peso próprio desconhecido da viga será pequeno, podendo ser desprezado em
comparação com as cargas que a viga deve suportar. Entretanto, devemos estar atentos porque o
momento �etor adicional causado pelo peso próprio gera um módulo de resistência S que deve ser
ligeiramente superior ao .
O próximo passo de análise é determinar a seção transversal da viga. Isso pode ser feito a partir de
uma forma simples (uma seção retangular ou circular, por exemplo), ou uma seção mais complexa,
como per�s de abas largas. No caso de seção de forma simples, esta pode ser determinada
diretamente pela expressão . No caso de seções mais complexas, o engenheiro escolhe
um per�l particular que satisfaça a condição e que esteja relacionado em um manual ou
catálogo com as formas padronizadas disponíveis pelos fabricantes.
=σadm
σfalha
F .S.
= (2.1)τadm
τfalha
F .S.
S = I/c
σ = Mc/I
=      (2.2)Snec
M
σadm
σadm
Snec
= I/cSnec
S > Snec
11/08/2021 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG613/impressao/3 8/35
A Figura 1 mostra alguns per�s de seção de aço disponíveis no mercado para construção de
edifícios. Esses per�s são apresentados em diversas dimensões padronizados por normas de
projeto. A Figura 2 mostra os per�s usados aqui nessa aula e nós exercícios seguintes. Usaremos
aqui o per�l de abas largas, em forma de C e em forma de L. As tabelas a seguir, obtidas do livro de
R. C. Hibeller (2010), apresentam as diversas dimensões para esses per�s.
Figura 1. Per�s de algumas seções de aço.
Figura 2. Per�s (a) de abas largas, (b) C e (c) L.
11/08/2021 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG613/impressao/3 9/35
11/08/2021 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG613/impressao/3 10/35
SAIBA MAIS
Você pode encontrar mais informações sobre per�s para construção civil nos sites de
fabricantes. Por exemplo, selecionamos o site do Gerdau. Clique aqui, e veja que lá tem ainda
catálogos para outras aplicações.
http://web.archive.org/web/20190109105458/https://www.gerdau.com/br/pt/produtos/perfis-estruturais-gerdau
11/08/2021 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG613/impressao/3 11/35
Determinada a seção transversal da viga, pode-se veri�car a tensão de cisalhamento pela formula
de cisalhamento . Na maioria dos casos, essa veri�cação não apresenta problemas.
Entretanto, se a viga for “curta” e suportar grandes cargas concentradas, a tensão de cisalhamento
pode ser determinante para a de�nição da seção da viga.
O seguinte procedimento é recomendado para o dimensionamento da seção da viga sob momento
�etor e esforço cortante:
1. Determinação dos diagramas de momento �etor e força cortante.
2. Dimensionamento pela tensão de �exão. Se a viga for relativamente longa, pode-se determinar
a seção da viga calculando o módulo de resistente, com a expressão . Para
formas simples, a seção pode ser determinada por . Se o projeto for de per�s metáli
cos, vários valores de S podem ser selecionados através de tabelas. Obviamente, a seção escolh
ida deve ter menor seção transversal, tendo assim menor peso e menor custo.
3. Veri�cação da tensão de cisalhamento. A tensão de cisalhamento deve ser menor que a tensão
de cisalhamento admissível, isto é,   onde é a tensão de cisalhamento
máxima. Se a viga tiver uma seção retangular . No caso de um per�l de aba
s largas, podemos admitir a força de cisalhamento distribuída em toda alma, de forma que 
.
4. Adequação dos elementos de �xação. No caso viga composta por elementos esbeltos, deve-se c
onsiderar o �uxo de cisalhamento entre os elementos, de forma a dimensionar os elementos de
�xação como pregos, parafusos ou colas.
Os exercícios a seguir ilustram algumas aplicações de dimensionamento de vigas. Vale ressaltar que
o dimensionamento da seção da viga envolve outros aspectos de dimensionamento, como
instabilidade local ou global. Em geral, esses detalhes são vistos em disciplinas avançadas de
dimensionamento, como Projeto de Vigas Metálicas.
≥ VQ/bIτadm
= /Snec Mm xá σadm
= I/cSnec
≥ Q/bI,τadm Vm xá Vm xá
≥ 1, 5 /Aτadm Vm xá
≥ /τadm Vm xá Aalma
11/08/2021 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG613/impressao/3 12/35
Exemplo 1: Uma viga de ser feita de aço com tensão de �exão admissível de 150 MPa e tensão
admissível ao cisalhamento de 80 MPa. Selecione um per�l do código W que seja apropriado
para viga suportar o carregamento mostrado abaixo.
Solução:
Deve-se inicialmente obter o diagrama de força cortante e momento �etor.
O maior momento �etor é dado por 15,3 kN.m
Tensão de �exão. O módulo resistente necessário é dado por
Usando as tabelas apresentadas, temos as opções de per�s:
W250x18 com  
W150x18 com  
Observar que ambos têm peso igual por metro, 18 Kg/m, sendo as duas opções compatíveis em
termos de custo. A diferença entre eles está nas espessuras.
Vamos olhar a tensão de cisalhamento. No caso de abas largas, podemos considerar que o
cortante de 22,5 kN é distribuído na alma:
Para o W250x18, d = 250 mm e tw=4,83 mm
NA-PRATICA
= = = 1, 02( )     = 102( )    mSnec
Mmax
σadm
15, 3( )103
150( )106
10−4 m3 103 m3
S = 179( )    m103 m3
S = 120( )    m103 m3
= = = 18, 6   MPa <    τmed
Vmax
Aw
22, 5( )103
(250   mm) (4, 83   mm)
τadm
11/08/2021 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG613/impressao/3 13/35
Para o W150x18, d = 150 mm e tw=4,32 mm
A primeira opção fornece melhor resistência aos esforços e tem o mesmo pelo da segunda
opção. Logo escolhemos aqui o per�l W250x18.
= = = 37.72   MPa <    τmed
Vmax
Aw
22, 5( )103
(150   mm) (4, 32   mm)
τadm
11/08/2021 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG613/impressao/3 14/35
Exemplo 2: Uma viga é composta de duas peças de madeira juntas por pregos, como mostra a
�gura abaixo. A viga tem momento �etor máximo de -7 kN.m e força cortante máximo de 4 kN.
Calcule as tensões normais e de cisalhamento admissíveis que a madeira deve ter para suportar
os esforços. Se a força admissívelao cortante dos pregos é 3 kN espaçamento máximo entre os
pregos. O centroide está a 60 mm do topo da viga.
Solução:
Momento de inércia da seção superior:
Momento de inércia da seção inferior:
Momento de inércia total
Momento estático na interface
Fluxo de cisalhamento
NA-PRATICA
= + (0, 15 ⋅ 0.03) ⋅ = 9, 45 ⋅    Iz1
0, 15 ⋅ 0, 033
12
0, 0452 10−6m4
= + (0, 03 ⋅ 0.15) ⋅ = 17, 55 ⋅    Iz2
0, 03 ⋅ 0, 153
12
0, 0452 10−6m4
= 27 ⋅Iz 10
−6m4
Q = ∑ ⋅ = (0, 15 ⋅ 0, 03) ⋅ 0, 045 = 20, 25 ⋅    Ay y~ 10−5m3
11/08/2021 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG613/impressao/3 15/35
Espaçamento entre os parafusos
Tensão normal vai tracionar as �bras superiores e comprimir as �bras inferiores. Na �bra
superior:
Na �bra inferior
Tensão de cisalhamento
q = = = 30   kN/m
V ⋅ Q
Iz
4000 ⋅ 20, 25 ⋅ 10−5
27 ⋅ 10−6
p = = = 0, 1 =    10   cm    (resposta)
Fadm
q
3.000
30.000
> = = 15, 5   MPaσadm
Mc
Iz
7( ) ⋅ 0, 06103
27 ⋅ 10−6
> = = 31, 0   MPa    (resposta)σadm
Mc
Iz
7( ) ⋅ 0, 12103
27 ⋅ 10−6
= = = 1, 0MPa (resposta)τadm
VQ
b ⋅ Iz
4000 ⋅ 20, 25 ⋅ 10−5
0, 03(27 ⋅ )10−6
Vídeo
Selecionamos um vídeo para você de um ensaio de uma viga de seção I reforçada externamente.
Observe que a conexão do reforço falha antes da falha da viga propriamente dita. Esses
aspectos de falha em diferentes locais de viga são vistos em disciplina avançadas de projeto. Por
enquanto observe atentamente o vídeo:
ASSISTA
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/EADG613/nova_novo/#
11/08/2021 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG613/impressao/3 16/35
Unidade 03
Aula 03
Flambagem de Colunas I
Nesta aula, começamos a estudar a instabilidade lateral de colunas, também conhecida como
�ambagem. Uma forma de você veri�car a �ambagem é utilizar uma régua comum �exível e aplicar
carga compressiva na extremidade. Você percebe que a régua tende a deformar lateralmente
ocasionado uma instabilidade. Portanto, para colunas esbeltas, temos de veri�car também a carga
de �ambagem para o dimensionamento. Bons estudos!
Conceito da Carga Crítica
Nas aulas passadas, foi visto principalmente que o dimensionamento de uma estrutura deve
satisfazer os critérios de resistência do material e também de deslocamentos limites, não levando
em conta a sua estabilidade. Um bom exemplo é a utilização de uma régua, como foi mencionado no
início. Você pode aplicar uma força de compressão na extremidade sem atingir a tensão de
resistência limite do material, como mostra a Figura 7. Os deslocamentos axiais também não
causam nenhum problema, mas ocorre um deslocamento lateral tornando a régua bastante curva.
Então mesmo com uma carga pequena, em relação a resistência do material, a régua pode vir a
quebrar (falhar) devido a uma instabilidade lateral.
11/08/2021 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG613/impressao/3 17/35
Um elemento estrutural longo e esbelto sujeito a um carregamento axial é denominado de coluna e
está sujeito à instabilidade lateral. Os deslocamentos laterais instáveis são denominados de
�ambagem. Usualmente, uma �ambagem de uma coluna pode conduzir uma estrutura ou um
mecanismo a uma falha súbita e dramática.
Dessa forma, o projetista deve ter maior atenção no cálculo da dimensão de colunas, de modo a
evitar a �ambagem.
Para entender o comportamento da �ambagem, vamos considerar o mecanismo apresentado na
Figura 8(a). Temos duas colunas pinadas no ponto A, sendo que a extremidade da coluna superior
apenas desloca verticalmente, e a extremidade da coluna inferior é pinada. O comprimento das
duas colunas é dado por . As colunas estão comprimidas por uma força P. No pino A, existe uma
Figura 7. Barra �exionada por
�ambagem devido à compressão axial. 
Fonte: http://tinyurl.com/yb7klqse.
Figura 8. Equilíbrio de um sistema mecânica de colunas.
L/2
11/08/2021 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG613/impressao/3 18/35
mola lateral na horizontal de rigidez . A Figura 8(a) representa uma situação ideal, onde não há
deslocamento lateral do ponto A, pois, se consideramos um pequeno defeito inicial ∆, temos a
con�guração mostrada na Figura 8(b).
Devemos agora fazer o equilíbrio de forças das colunas da Figura 8(b). Para isso, é apresentado o
diagrama de corpo livre das forças do nó A na direção horizontal, como mostra a Figura 8(c). Tem-se
as duas componentes horizontais dadas por , sendo o ângulo que as barras fazem
com a vertical quando deformadas.
A força devido à mola é dada por , onde é dado por , logo 
.
Podemos classi�car as forças em duas categorias: força perturbadora e força restauradora. A força
perturbadora é a soma das forças horizontais devida à força P, isto é, . A força
restauradora é aquela produzida pela força da mola, isto é, .
Podemos ainda considerar que o ângulo é muito pequeno em relação ao comprimento das colunas.
Há, assim, três situações de equilíbrio de forças:
1. A força restauradora é maior que a força perturbadora, isto é, . Con
siderando o ângulo muito pequeno, temos:
Essa situação é chamada de equilíbrio estável, pois a força desenvolvida pela mola é su�ciente para
retornar a barra para a posição original.
2. Por outro lado, a força perturbadora pode ser maior que a força restauradora produzindo um e
quilíbrio instável, tendo
Nesse caso, se a carga P é aplicada, ocorre um deslocamento do pino A e mecanismo tende a sair da
posição de equilíbrio.
3. A situação intermediária entre as duas outras situações anteriores é o equilíbrio neutro. Dessa
forma, podemos de�nir a carga crítica do mecanismo
Do equilíbrio neutro apresentado anteriormente, podemos agora de�nir carga crítica. A carga
máxima que uma coluna ou mecanismo pode suportar quanto atinge a eminência de �ambar e
chamada de carga crítica. Observe o termo na eminência de �ambar, isto é, na eminência de entra
k
= P  tan (θ)Px θ
F = KΔ Δ Δ = sen (θ)L2
F = K sen (θ)L2
2 = 2P  tan (θ)Px
F = K sen (θ)L2
K sen (θ) > 2P  tan (θ)L2
P <      (3.1)
KL
4
P >      (3.2)
KL
4
=      (3.3)Pcrt
KL
4
11/08/2021 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG613/impressao/3 19/35
num equilíbrio instável onde a coluna ou mecanismo entra em colapso. Essa carga crítica vai
depender principalmente das condições de apoio e da geometria da coluna ou mecanismo.
Coluna Ideal Apoiada por Pinos
Agora que você entendeu o conceito de �ambagem e de carga crítica, vamos determinar nessa
seção a carga crítica de �ambagem para uma coluna com extremidades rotuladas, como mostra a
Figura 3.3(a). Aqui estamos considerando uma coluna ideal, isto é, ela é perfeitamente retilínea
antes de ser carregada, feita de material homogêneo e o carregamento que atua sobre ela é
aplicado no centroide da seção transversal. Consideramos também que o material apresenta
comportamento elástico linear e que a coluna �amba num plano 2D. Situações fora das condições
ideais são apresentadas posteriormente.
Na condição apresentada na Figura 3.3(a), a carga pode ser aplicada, sem �ambar, até atingir a
tensão de compressão de falha do material. Entretanto, a coluna pode �ambar e atingir sua carga
crítica menor que resistência do material.
Considerando agora uma pequena carga F aplicada na lateral, como mostra a Figura 3.3(b), haverá
deslocamento lateral. Essa carga lateral pode ser retirada posteriormente e a con�guração da
coluna permanece o mesmo, como mostra a Figura 3.3(c).
Figura 9. Coluna ideal com carga axial aplicada e sua con�guração
deformada.
Pcr
11/08/2021 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG613/impressao/3 20/35
Para determinação da carga crítica de �ambagem, devemos olhar uma seção transversalda viga
numa posição genérica x, pelo método do corte, e fazer o diagrama de corpo livre como, mostra a
Figura 3.4. Observe que a carga P realiza um momento �etor interno devido à própria �echa da
viga. Esse momento é dado por . Essa equação de momento de�ne também a linha
elástica da coluna pela equação
ou
onde é o módulo de elasticidade e é o momento de inércia.
A equação acima é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coe�cientes
constantes. Fazendo uso de cálculo de equações diferenciais, obtemos a seguinte solução para a
linha elástica da coluna:
As duas constantes de integração e são obtidas pelas condições de contorno. Considerando 
 em , temos que . Considerando em , tem-se a seguinte equação:
v
M = −Pv
EI = M = −Pv     (3.4)
vd2
dx2
+ ( )v = 0     (3.5)vd
2
dx2
P
EI
E I
Figura 10. Equilíbrio de força
e momento numa seção da
coluna.
v = sen( x) + cos( x)      (3.6)C1
P
EI
− −−
√ C2
P
EI
− −−
√
C1 C2
v = 0 x = 0 = 0C2 v = 0 x = L
sen( L) = 0     (3.7)C1
P
EI
− −−
√
11/08/2021 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG613/impressao/3 21/35
Essa solução é satisfeita com uma solução trivial quando , mas não condiz com a solução
mecânica esperada, pois teríamos o deslocamento nulo em todos os casos. Logo, outra possibilidade
é fazer
que será satisfeita quando
ou
O menor valor de é chamado de carga crítica ou carga de Euler, devido ao matemático Leonhard
Euler.
É dada por
A condição deformada ou �ambagem da coluna vai ser dada por
onde a constante representa o deslocamento máximo, , que ocorre no ponto médio da
coluna.
A equação da carga crítica é dependente do módulo de elasticidade, momento de inércia e do
comprimento da coluna. Portanto, diferentes matérias podem apresentar diferentes valores de
carga crítica. O momento de inércia, uma propriedade geométrica, pode aumentar ou diminuir a
carga crítica. Por isso, uma coluna ira �ambar relativamente ao eixo principal da seção transversal
com menor momento de inércia. O comprimento da coluna tem grande in�uência, pois diminui a
carga crítica com inverso do seu comprimento ao quadrado.
Podemos modi�car a equação 3.11 de forma a incluir o raio de giração, para �nalidade de projeto:
ou
= 0C1
sen( L) = 0      (3.8)P
EI
− −−
√
L = nπ  (3.9)
P
EI
− −−
√
P =        para n = 1, 2, 3, …      (3.10)
EIn2π2
L2
P
=      (3.11)Pcr
EIπ2
L2
v = sen( )      (10.12)C1
πx
L
C1 vm xá
=      (3.13)Pcr
E (A )π2 r2
L2
11/08/2021 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG613/impressao/3 22/35
Tem-se então a tensão crítica devida a �ambagem da coluna.
Com a equação acima é possível construir o grá�co de tensão crítica em função de , chamado
de índice de esbeltez, e também a tensão de escoamento, como mostra a Figura 10.5. Veja que em
termos de projeto, o engenheiro deve veri�car a tensão de falha do material e a tensão crítica de
�ambagem. Observar quanto maior o índice de esbeltez, menor a tensão crítica. Quando diminui o
índice de esbeltez, a tensão de escoamento é quem dita a tensão crítica.
=       (3.14)σcr
Eπ2
(L/r)2
σcr
L/r
Figura 11. Grá�co de carga crítica (incluindo a tensão de
escoamento) para um aço estrutural e uma liga alumínio para
diferente valores de índice de esbeltez.
VÍDEO
Encontramos um vídeo para você de um ensaio real de uma coluna feita de palito de picolé.
Veja como ocorre o deslocamento lateral assim que a carga vai aumentando. Além disso, a
coluna perde as características geométricas de uma coluna ideal.
11/08/2021 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG613/impressao/3 23/35
Exemplo 1 – Uma coluna de aço, E = 200 GPa, comprimento de 4 m, recebe uma carga de 50 kN.
Determine a seção transversal da coluna usando um per�l de C padrão americano. Considere
apenas o dimensionamento usando carga crítica de �ambagem sem levar em conta fatores de
segurança.
Solução:
Podemos usar diretamente a equação de Euler
Para cálculo do momento de inércia mínimo necessário
Para essa situação temos as seguintes opções
C200x17 com  
C180x18 com 
C150x19 com 
Escolhemos a primeira opção, C200x17, pois tem o menor peso de 17 kg/m, área com 2180
mm2. A tensão normal de compressão será:
Uma tensão baixa para um aço comum.
NA-PRATICA
= >Pcr
EIπ2
L2
Paplicado
I > = = 4, 05( )    
PaplicadoL
2
Eπ2
50( )103 42
200( )π2 109
10−7 m4
I > 0, 405( )    m106 m4
= 0, 549( )    mIy 106 m4
= 0, 487( )    mIy 106 m4
= 0, 437( )    mIy 106 m4
σ = = 22, 9 MPa
50( )103
2180   mm2
11/08/2021 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG613/impressao/3 24/35
Colunas com Vários Tipos e Apoios
Na seção anterior, a carga crítica de �ambagem foi obtida apenas para uma coluna com
extremidades pinadas, mas podemos ter outras con�gurações de apoio. Por exemplo, vamos
considerar uma coluna engastada e livre como mostra a Figura 3.6.
Podemos montar a equação diferencial da coluna engastada/livre e depois resolver como
anteriormente, ou então de�nirmos o conceito de comprimento equivalente. O comprimento
equivalente representa a distância entre pontos de momento �etor nulos. Essa distância é de�nida
por um coe�ciente chamado de fator de extremidade. Logo, a equação da carga crítica pode ser
reescrita da seguinte forma:
ou
Figura 12. Coluna engastada sob força axial de
compressão.
k
=       (3.15)Pcr
EIπ2
(kL)2
=      (3.16)σcr
Eπ2
(kL/r)2
11/08/2021 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG613/impressao/3 25/35
Nessa equação é o índice de esbeltez equivalente. Os valores de k para algumas condições
de apoio estão indicados na Figura 3.7.
(kL/r)  
Figura 13. Valores do coe�ciente k para diferentes colunas sob condições de apoio.
11/08/2021 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG613/impressao/3 26/35
Exemplo 2 – Calcule a carga e a tensão crítica de uma coluna bi engastada, de comprimento de 3
m e seção de retangular de 4 por 5 cm. O material é um alumínio com E = 70 GPa.
Solução:
A carga crítica é calculada por
Entretanto, temos de usar o menor momento de inércia:
Para um viga bi-engastada . Logo a carga crítica:
Tensão crítica
NA-PRATICA
=Pcr
EIπ2
(kL)2
I = = = 2, 66( )    
bh3
12
0, 05 ⋅ 0, 043
12
10−7 m4
k = 0, 5
= = 81, 8   kNPcr
70( )2, 66( )π2 109 10−7
(0, 5 ⋅ 3)2
= = = 40, 9   MPaσcr
Pcr
A
81, 8( )103
0, 04 ⋅ 0, 05
Vídeo
Veja um vídeo sobre um exercício para calcular a carga crítica de �ambagem de uma seção
transversal circula e outra quadrada, considerando as áreas iguais. Veja que quem determinar,
nesse caso a carga crítica, é o momento de inércia.
ASSISTA
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/EADG613/nova_novo/#
11/08/2021 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG613/impressao/3 27/35
Unidade 03
Aula 04
Flambagem de Colunas II
Bem-vindo(a) a mais uma aula sobre �ambagem. Aqui, iremos aprofundar um pouco mais sobre
�ambagem para considerar situações reais de projeto, como imperfeições e plasticidade. Esteja
atento às modi�cações da carga/tensão crítica em relação à equação de Euler. Boa aula!
Formula Secante
Na seção anterior, foi calculada a carga crítica de �ambagem para várias situações de apoio
considerando uma coluna ideal, ou seja, uma situação não realista em relação à prática. Só para
lembrar, a coluna ideal admite geometria perfeitamente retilínea antes de ser carregada, é feita de
material homogêneo e o carregamento atua no centroide da seção transversal. Por exemplo, a
Figura 14 mostra várias colunas que recebem carga de vigas por consolo, isto é, fora do centroide
da coluna.
11/08/2021 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG613/impressao/328/35
Figura 14. Exemplo de colunas de um galpão em construção.
Fonte:http://tinyurl.com/ya6sopw2.
Figura 15. Coluna com carga excêntrica e equilíbrio de forças.
11/08/2021 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG613/impressao/3 29/35
Uma condição mais realista é considerar uma excentricidade e entre o ponto de aplicação da carga
e o centroide da seção transversal. A Figura 15(a) mostra essa situação, considerando que os
pontos A e B estejam livres para girar. A Figura 15(b) mostra o equilíbrio de forças de um corte
interno numa posição genérica x. O diagrama de corpo livre fornece o seguinte momento:
Onde é a excentricidade e é o deslocamento do ponto x. Essa equação de momento de�ne
também a linha elástica da coluna pela equação
ou
Onde é o módulo de elasticidade e é o momento de inércia.
A resolução da equação diferencial permite obter:
As duas constantes de integração e são obtidas pelas condições de contorno. Considerando 
 em , temos que . Considerando em , tem-se que:
Ou, de outra forma, usando manipulações geométricas
Finalmente, temos a expressão do deslocamento da coluna
Observe que a equação acima apresenta um comportamento não linear entre e . Logo, o
princípio da superposição dos efeitos não pode ser usado para o cálculo dos deslocamentos. Isso
porque o momento interno atuante na coluna depende tanto da carga como do deslocamento ,
M = −P (e + v)     (4.1)
e v
EI = −P (e + v)     (4.2)
vd2
dx2
+ ( )v = − e       (4.3)
vd2
dx2
P
EI
P
EI
E I
v = sen( x) + cos( x) − e      (4.4)C1
P
EI
− −−
√ C2
P
EI
− −−
√
C1 C2
v = 0 x = 0 = eC2 v = 0 x = L
=       (4.5)C1
e [1 − cos( L)]P/EI− −−−−√
sen( L)P/EI− −−−−√
= e ⋅ tan( )       (4.6)C1
P
EI
− −−
√ L
2
= e[tan( )sen( x) + cos( x) − 1]       (4.7)P
EI
− −−
√ L
2
P
EI
− −−
√ P
EI
− −−
√
P v
P v
11/08/2021 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG613/impressao/3 30/35
isto é, . Isso signi�ca que a carga in�uencia o deslocamento e ambos contribuem
para o momento M.
Deslocamento Máximo
Considerando que o carregamento é simétrico, o deslocamento máximo da coluna ocorrerá em 
, dado por
Formula Secante
Em termos de projeto, o que um engenheiro quer saber é qual a tensão máxima que uma coluna
pode suportar considerando a �ambagem. O momento �etor máximo ocorre no ponto médio da
coluna; logo, temos:
Ou
Considerando o raio de giração na equação acima, podemos reescrevê-la na forma conhecida com
fórmula secante:
ou
Considerando o raio de giração na equação acima, podemos reescrevê-la na forma conhecida com
formula secante:
Onde:
 – Tensão máxima compressiva no regime elástico atuante na coluna
P – Carga axial aplicada na coluna. quando e≠0.
M = −P (e + v)
x  =  L/2
= e[sec( ) − 1]        (4.8)vm xá
P
EI
− −−
√ L
2
M = P (e + )      (4.9)vm xá
M = Pe[sec( )]      (4.9)P
EI
− −−
√ L
2
= +      (4.10)σm xá
P
A
Mc
I
= + sec( )      (4.11)σm xá
P
A
Pec
I
P
EI
− −−
√ L
2
= [1 + sec( )]      (4.12)σm xá
P
A
ec
r2
L
2r
P
EA
− −−−
√
σmáx
P < Pcr
11/08/2021 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG613/impressao/3 31/35
e – Excentricidade da força P medida entre o ponto de aplicação da carga e o centroide da seção.
c – Distância do eixo neutro à �bra mais externa da coluna, onde atua a tensão compressiva
máxima.
A – Área da seção transversal da coluna.
E – Módulo de elasticidade do material.
r – Raio de giração da seção transversal.
Observe novamente na equação secante que existe uma forte relação não linear entre a carga e
deslocamento. Sendo assim, o princípio da superposição dos efeitos não pode ser aplicado e,
portanto, as cargas devem ser superpostas antes da determinação das tensões. Adicionalmente, o
fator de segurança utilizado em projeto deve ser aplicado na carga em vez de tensão devido a essa
relação não linear.
Podemos ainda traçar as curvas em função de para vários valores de taxa de
excentricidade . Por exemplo, a Figura 16 mostra essas curvas para um aço estrutural A-36
com tensão de escoamento e módulo de elasticidade .
As curvas são comparadas com a formula de Euler quando   . Observar também que para
situações reais, a tensão máxima é menor que aquelas previstas pela formula de Euler.
Em termos de projeto, o Engenheiro pode determinar inicialmente a seção transversal da coluna,
calculando a taxa de excentricidade e uma tensão na equação da formula
secante. Por tentativa e erro é possível calcular por um processo de tentativa e erro, pois não
Figura 16. Curvas em função para vários valores de taxa de
excentricidade para um aço estrutural A-36.
kL/r
ec/r2
kL/r /A
ec/r2
= = 250 MPaσm xá σe E = 200 GPa
ec/ = 0r2
ec/r2 =σm xá σe
Pe Pe
11/08/2021 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG613/impressao/3 32/35
pode ser calculado explicitamente. Outra forma é usar grá�cos semelhantes ao apresentado na
Figura 16. Uma vez determinado é possível aplicar um fator de segurança adequado de forma a
especi�car a carga segura da coluna.
Pe
11/08/2021 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG613/impressao/3 33/35
Exemplo 1:Uma coluna engastada e livre na extremidade recebe uma carga excêntrica de 50 kN,
com excentricidade de 4 cm em relação ao eixo neutro. A coluna tem 2 m de comprimento e
seção de abas largas W200x22. O material é um aço com E = 200 GPa.
Solução:
A �gura abaixo mostra os eixos e as dimensões do per�l de abas largas.
Para o cálculo de carga crítica, deve-se veri�car o eixo que apresenta menor momento de
inércia.
Nesse caso:
Como a coluna �amba em torno do eixo y, . O coe�ciente k = 2 para coluna
engastada e livre.
Podemos aplicar a fórmula secante:
NA-PRATICA
= 1, 42( )  m ,     = 22, 3 mm,  b = 102 mm,  d = 206 mm e A = 2860 mIyy 106 m4 ry m2
c = b/2 = 51 mm
= [1 + sec( )]σm  xá
P
A
ec
r2
L
2r
P
EA
− −−−
√
= 1 + secσm  xá
50( )103
2, 86( )10−3
⎡
⎣
⎢
40 ⋅ 51
(22, 3)2
⎛
⎝
⎜
2 ⋅ 2000
2 ⋅ 22, 3
50( )103
200( )2, 86( )109 10−3
− −−−−−−−−−−−−−−−−
⎷

⎞
⎠
⎟
⎤
⎦
⎥
= 176, 7   MPa    (resposta)σm  xá
11/08/2021 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG613/impressao/3 34/35
Exemplo 2 : Uma coluna de aço é bi-rotulada nas suas extremidades. A carga P é aplicada
excêntrica de 2,5 cm em relação ao centroide de sua seção transversal. A coluna tem
comprimento de 2 m e seção transversal retangular de 5 x 7,5 cm. Determine a carga excêntrica
admissível que pode ser aplicada. Considere E = 200 GPa e   .
Solução:
Propriedades geométricas (usar menor momento de inércia):
Como a coluna �amba em torno do eixo de menor inércia; logo, . O
coe�ciente k = 1 para coluna birrotulada.
Podemos aplicar a formula secante:
Veri�car que o força P �ca implícita na equação. Dessa forma, temos de fazer um processo
iterativo de tentativa e erro. Por exemplo:
NA-PRATICA
= 250 MPaσe
I = = = 7, 81( )    
bh3
12
0, 075 ⋅ 0, 053
12
10−7 m4
A = bh = 0, 075 ⋅ 0, 05 = 3, 75( )    10−3 m2
r = = 0.0144   m
7, 81( )10−7
3, 75( )10−3
− −−−−−−−−−
⎷

e = 2, 5   cm = 0, 025   m
c = 0, 05/2 = 0, 025 m
= [1 + sec( )]σm xá
P
A
ec
r2
L
2r
P
EA
− −−−
√
250( ) = 1 + sec106
P
3, 75( )10−3
⎡
⎣
0, 025 ⋅ 0, 025
(0.0144)2
⎛
⎝
1 ⋅ 4, 5
2 ⋅ 0.0144
P
200( )3, 75( )109 10−3
− −−−−−−−−−−−−−−−−
√
⎞
⎠
⎤
⎦
P = 10 kN     →      = 72, 7 MPaσm xá
P = 12 kN     →      = 114, 0 MPaσm xá
P = 14 kN     →      = 189, 0 MPaσm xá
P = 16 kN     →      = 364, 6 MPaσm xá
11/08/2021 IESB
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/template/new_template/#/EADG613/impressao/3 35/35
Como passou da tensão máxima, a carga está entre 14 e 16 kN
Podemos admitir ums carga admissívelde 
P = 15 kN     →      = 254, 9 MPaσm xá
P = 14, 9 kN     →      = 246, 8 MPaσm xá
= 14, 9   kN       (resposta) .Padm