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COORDENADORIA DE MATEMÁTICA
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Oscar Luiz Teixeira de Rezende
Rony Cláudio de Oliveira Freitas
Vitória - ES
Estatística Descritiva Oscar Luiz Teixeira de Rezende
 Rony Cláudio de Oliveira Freitas
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CAPÍTULO I
1-UM BREVE HISTÓRICO
Pesquisas arqueológicas indicam que há 3000 anos A.C. já se faziam censos na Babilônia, 
China e Egito. Até mesmo o 4º livro do Velho Testamento faz referência a uma instrução dada 
a Moisés, para que fizesse um levantamento dos homens de Israel que estivessem aptos para 
guerrear. Outro registro bíblico, informa que o Imperador César Augusto, ordenou que se 
fizesse o Censo de todo o Império Romano. Usualmente, estas informações eram utilizadas 
para a taxação de impostos ou para o alistamento militar.
Contudo, mesmo que a prática de coletar dados sobre colheitas, composição da população 
humana ou de animais, impostos, etc., fosse conhecida pelos egípcios, hebreus, caldeus e 
gregos, e se atribuam a Aristóteles cento e oitenta descrições de Estados, apenas no século 
XVII a Estatística passou a ser considerada disciplina autônoma, tendo como objetivo básico a 
descrição dos BENS do Estado.
As palavras censo e estatística, que são comumente usadas no trato das analises de dados 
estatísticos, tem origem no latin. Censo, que é derivado da palavra “censere”, significa taxar, e 
estatística, derivada de “status”, significa estado. 
Um fato histórico relevante do uso da estatística foi atribuído a Florence Nightingale (1820-
1910), conhecida por muitos como a fundadora da profissão de enfermeiro. Ela salvou 
milhares de vidas utilizando a estatística. Ao encontrar um hospital em más condições 
sanitárias e sem suprimentos, tratou de melhorar estas condições e passou a utilizar a 
estatística para convencer as autoridades da necessidade de uma reforma médica mais ampla. 
Ela elaborou gráficos para mostrar que durante a guerra da Criméia, morreram mais soldados 
em conseqüência das más condições sanitárias do que em combate. Florence Nightingale é 
considerada uma das pioneiras na estatística social e nas técnicas de utilização de gráficos 
estatísticos.
JÁ no Brasil, só se pode falar realmente sobre 
estatística a partir do império,quando foi realizado 
o primeiro censo, em 1872, e mais precisamente 
com a fundação do IBGE em 1936 em que os 
levantamentos estatísticos ganharam regularidade 
e mais apoio do estado. Antes disto, no período 
colonial, a Coroa Portuguesa era quem 
determinava os levantamentos populacionais, 
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realizados precariamente, com o objetivo maior de "conhecer a população livre e adulta apta a 
ser usada na defesa do território". 
Atualmente, a estatística está consolidada com um poderoso instrumento da pesquisa cientifica 
através do desenvolvimento técnicas de coleta, organização e analise de dados, que estão se 
tornando cada vez mais sofisticadas com surgimento de poderosos softwares de tratamento de 
dados. 
2–APLICAÇÕES
Você já parou para pensar no quanto a Estatística está presente em vários aspectos de nosso 
cotidiano? Nas pesquisas que medem a popularidade dos políticos, na apuração de resultados 
de pesquisas e censos, na medição da audiência de um programa de televisão ou na análise 
dos indicadores econômicos. Em todas essas situações, a Estatística é necessária. Já nos 
estudos acadêmicos ela tem importância capital para validar as pesquisas nas diversas áreas 
do conhecimento, o que torna o seu estudo multidisciplinar: a mesma análise estatística de 
dados de um físico poderia também ser usado por um economista, agrônomo, químico, 
geólogo, matemático, biólogo, sociólogo psicólogo e cientista político. Mesmo que as 
interpretações dessas análises sejam diferentes devido as diferenças entre as áreas do 
conhecimento, os conceitos empregados, as limitações das técnicas e as conseqüências dessas 
interpretações são essencialmente as mesmas.
3- RAMOS DA ESTATÍSITICA
De forma geral o estudo da Estatística se divide em três ramos: a Estatística Descritiva, que 
incluem técnicas que dizem respeito à síntese e a descrição de dados; a probabilidade, que 
incluem técnicas que analisam situações que envolvem o acaso e a inferência que incluem 
técnicas que dizem respeito a analise e a interpretação de dados amostrais.
4- A PESQUISA E A ESTATÍSTICA
São inúmeros os conceitos sobre pesquisa. Vários estudiosos, nos diferentes campos do 
conhecimento humano estabelecem o significado desta palavra de acordo com o objetivo de 
seu estudo. Segundo o dicionário Aurélio, o conceito geral é: a investigação e estudo, 
minudentes e sistemáticos, com o fim de descobrir ou estabelecer fatos ou princípios 
relativos a um campo qualquer do conhecimento.
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4.1. TIPOS DE PESQUISA
Os critérios para a classificação dos tipos de pesquisa variam de acordo com o enfoque dado 
pelo autor, pois esta divisão obedece a interesses, condições, campos, metodologia, situações, 
objetivos e objetos de estudo. Neste trabalho vamos definir os seguintes tipos de pesquisa:
1) Pesquisa pura ou fundamental. É aquela que procura o progresso científico, ampliação 
de conhecimentos teóricos, sem a preocupação de utilizá-los na prática. Tem por meta o 
conhecimento pelo conhecimento.
2) Pesquisa aplicada. Como o próprio nome indica, caracteriza-se por seu interesse prático, 
isto é, que os resultados sejam aplicados ou utilizados, imediatamente, na solução de 
problemas que ocorrem na realidade.
4.2. CARACTERÍSTICAS DE UMA PESQUISA
Para que uma pesquisa seja bem planejada e chegue a resultados satisfatórios é importante 
que obedeça algumas características básicas:
- O procedimento deve ser sistematizado.
- Explorações deve ser técnica, sistemática e exata.
- Exploração deve ser lógica e objetiva.
- Organização quantitativa dos dados.
- Relato e registro meticuloso e detalhado da pesquisa.
4.3. FASES DA PESQUISA
1) Escolha do tema. Na escolha de um tema a ser pesquisado deve se levar em conta alguns 
aspectos: consonância com as aptidões do pesquisador, mereça ser investigado 
cientificamente e que tenha condições de ser formulado e delimitado em função da pesquisa.
2) Levantamento dos dados. Devem ser utilizados três procedimentos básicos: pesquisa 
documental, pesquisa bibliográfica e contatos diretos.
3) Formulação do problema. Definir um problema significa especificá-lo em detalhes 
precisos e exatos. Na formulação do problema deve haver clareza, concisão e objetividade.
4) Definição dos termos. Devem ser claros, compreensivos, objetivos e adequados.
5) Construção de hipóteses. A hipótese é uma proposição que se faz na tentativa de 
verificar a validade de resposta existente para um problema. A sua função na pesquisa 
científica é propor explicações para certos fatos e ao mesmo tempo orientar a busca de outras 
informações.4
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6) Indicações de variáveis. Ao se colocar o problema e a hipótese, deve ser feita também a 
indicação das variáveis, que devem ser definidas com clareza e objetividade e de forma 
operacional. 
As variáveis (dados) estatísticas podem ser divididos me dois grupos: 
a) Qualitativos: que se distinguem por características não numéricas, tais com sexo, 
marca de um determinado produto, etc.
b) Quantitativos: consistem em números que representam contagens ou medidas. Estes 
números podem ser divididos em dois grupos: os dados discretos, que resultam de 
um conjunto finito de valores, ou um conjunto enumerável destes valores, e os dados 
contínuos que resultam de um número infinito de valores possíveis, que podem ser 
associados a pontos em uma escala continua de tal maneira que não haja lacunas ou 
interrupções. Para facilitar o entendimento destes dois grupos de dados e só levar em 
consideração que os dados que representam contagem são discretos, e os que 
representam medida são contínuos. Assim, o número de alunos de uma determinada 
faculdade constituem dados discretos, já o peso destes alunos constituem um dado 
contínuo.
7) Delimitação da pesquisa. Após a escolha do assunto, o pesquisador pode decidir ou pelo 
estudo de todo o universo da pesquisa ou sobre uma amostra.
Aqui vamos falar um pouco mais do que constitui um universo e uma amostra.
Uma população estatística ou universo estatístico é a denominação que se da a todos os 
entes portadores de pelo menos uma característica comum.
Assim, os estudantes, por exemplo, constituem uma população, pois apresentam pelo 
menos uma característica comum: são todos que estudam.
Como em qualquer estudo estatístico temos em mente pesquisar uma ou mais 
características dos elementos de uma população, esta característica deve estar perfeitamente 
definida. E isto se dá quando: considerado um elemento qualquer, podemos afirmar, sem 
ambigüidades, se esse elemento pertence ou não à população. É necessário, portanto, existir 
um critério de constituição da população, válido para qualquer pessoa, no tempo ou no espaço. 
Na maioria das vezes, por impossibilidade ou inviabilidade econômica ou temporal, 
limitamos as observações referentes a uma determinada pesquisa a apenas uma parte da 
população. A essa parte proveniente da população em estudo denominamos amostra. Assim 
uma amostra é um subconjunto finito de uma população.
A estatística Indutiva tem por objetivos tirar conclusões sobre as populações, com base 
em resultados verificados em amostras retiradas dessa população. Mas, para as inferências 
serem corretas, é necessário garantir que a amostra seja representativa da população, ou 
seja, ela deve possuir a mesma característica básica da população, no que diz respeito ao 
fenômeno que desejamos pesquisar. É preciso, pois, que a amostra ou as amostras que vão 
ser usadas sejam obtidas por processos adequados.
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Na coleta de uma amostra, o pesquisador deve ficar atento para as técnicas de amostragem, 
que garanta quanto possível, o acaso na escolha. Desta forma, cada elemento da população 
passa a ter a mesma chance de ser escolhido, o que garante à amostra o caráter de 
representatividade, pois nossas conclusões relativas à população vão ser baseadas nos 
resultados obtidos nas amostras dessa população. A seguir vamos descrever os principais tipos 
de amostragens;
a) Amostragem casual ou aleatória simples
Este tipo de amostragem é equivalente a um sorteio lotérico. Na prática, a amostragem 
casual ou aleatória simples, pode ser realizada numerando-se a população de um até n 
e sorteando-se, a seguir, por meio de um dispositivo aleatório qualquer k números 
dessa seqüência, os quais corresponderão aos elementos pertencentes à amostra.
b) Amostragem proporcional estratificada
Muitas vezes a população se divide em sub-populações – estratos. Como é provável 
que a variável em estudo apresente, de estrato em estrato, um comportamento 
heterogêneo e, dentro de cada estrato, um comportamento homogêneo, convém que o 
sorteio de elementos da amostra leve em consideração tais estratos.
Assim, quando empregamos a amostragem proporcional estratificada, consideramos a 
existência dos estratos e obtemos os elementos da amostra proporcional ao número de 
elementos dos mesmos.
Exemplo:
Suponha que noventa alunos de uma turma, 54 sejam meninos e 36 sejam meninas. E 
desejamos estudar a variável estatura dos alunos dessa turma. 
Como a estatura é diferenciada para cada sexo, vamos então obter uma amostra 
proporcional estratificada, colhendo uma amostra de 10% da população.
Sexo População 10% amostra
M 54
4,5
100
5410
=
x 5
F 36
6,3
100
3610
=
x 4
Total 90
0,9
100
9010
=
x 9
 Tomando as informações da tabela acima, sorteiam-se aleatoriamente 5 alunos do 
sexo masculino e 4 alunos do sexo feminino, formando assim uma amostra proporcional 
estratificada de 10% da população.
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c) Amostra sistemática
Quando os elementos da população já estão ordenados não há necessidade de construir 
o sistema de referência. São exemplos: os prontuários médicos de um hospital, os 
prédios de uma rua, as linhas de produção etc. Nesses casos, a seleção dos elementos 
que constituirão a amostra pode ser feita por um sistema imposto pelo pesquisador. A 
esse tipo de amostragem denominamos sistemática.
Exemplo:
Suponhamos uma rua contendo novecentos prédios, dos quais desejamos obter uma 
amostra formada de cinqüenta prédios. Podemos, neste caso, usar o seguinte 
procedimento: como 18
50
900
= , escolhemos por sorteio casual um número de 1 a 18 
(inclusive), que indicaria o primeiro elemento sorteado para a amostra; os demais 
elementos seriam periodicamente considerados de 18 em 18. Assim, se o número 
sorteado fosse o 4, tomaríamos, pelo lado direito da rua, o 40 prédio, o 220, o 400 etc., 
até voltarmos ao início da rua pelo lado esquerdo. 
8) Seleção métodos e técnicas. Os métodos e as técnicas a serem empregados em uma 
pesquisa cientifica podem ser selecionados desde a proposição do problema, da formulação 
das hipóteses de delimitação do universo ou amostra. A seleção instrumental metodológica 
está, portanto, diretamente relacionada com o problema a ser estudado, e a escolha 
dependerá dos fatores relacionados com a pesquisa.
Tanto os métodos quanto as técnicas devem adequar-se ao problema ser estudado, e 
numa investigação em geral nunca se utiliza apenas um método e uma técnica, mas sim todos 
aqueles que forem necessários ou apropriados para um determinado caso.
9) Organização instrumental da pesquisa. na organização do material de pesquisa, dois 
aspectos tem que ser levados em consideração: Organização do material para a investigação e 
a organização de fatose documentos que o investigador vem acumulando no transcurso de 
seus estudos.
10) Teste de instrumentos e procedimentos. Numa pesquisa, nem sempre é possível 
prever todas as dificuldades e problemas que ocorreram e que envolva a coletas de dados, 
muitas vezes questionários, procedimentos ou instrumentos utilizados podem não funcionar 
bem, assim, a aplicação de um pré-teste poderá evidenciar possíveis erros e possibilitar a 
reformulação de falhas na elaboração da pesquisa.
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4.4. EXECUÇÃO DA PESQUISA
São as seguintes as fases de execução de uma pesquisa:
1) Coleta de dados. Etapa da pesquisa em que se inicia a aplicação dos instrumentos 
elaborados e das técnicas selecionadas, a fim de se efetuar a coleta dos dados previstos.
2) Elaboração (tratamento) dos dados. Após a coleta os dados são elaborados e 
classificados de forma sistemática, e devem seguir os seguintes passos:
a) Seleção: Um exame minucioso dos dados a fim de detectar falhas ou erros, 
evitando informações confusas, distorcidas ou incompletas que podem prejudicar o 
resultado da pesquisa.
b) Codificação: Técnica operacional utilizada para categorizar os dados que se 
relacionam mediante a uma codificação para transformá-los em símbolos para 
poderem ser tabelados e contados.
c) Tabulação: Dispor os dados em tabelas, possibilitando maior facilidade na 
verificação das inter-relações entre eles.
3) Analise e interpretação dos dados. A analise de dados é uma tentativa de evidenciar as 
relações existentes entre o fenômeno estudado e outros fatores, já a interpretação é uma 
atividade intelectual que procura dar um significado mais amplo às respostas, vinculando-
as a outros conhecimentos.
4) Apresentação dos dados. A apresentação dos dados se da por meio de tabelas, 
quadros, gráficos, etc.
5) Conclusões. É a última fase do planejamento e organização de uma pesquisa, que explica 
os resultados finais considerados relevantes. As conclusões devem ser vinculadas à 
hipótese de investigação, cujo conteúdo foi comprovado ou refutado. A exposição geral da 
pesquisa, desde o planejamento às conclusões, incluindo os processos metodológicos 
empregados, devem ser apresentados em um relatório final.
5-COMO ORGANIZAR OS DADOS ESTATÍSTICOS DE 
UMA PESQUISA
Uma das formas de sintetizar os valores que uma ou mais variáveis podem assumir, 
para que tenhamos uma visão global da variação dessa ou dessas variáveis, é apresentar 
esses valores em tabelas ou gráficos.
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5.1- TABELAS
COMPOSIÇÃO DE UMA TABELA
 
De acordo com a Resolução 886 da Fundação IBGE, nas células deve colocar:
• Um traço horizontal (  ) quando o valor é zero, não só quanto a natureza das coisas, 
como quanto ao resultado do inquérito;
• Três pontos (…) quando não temos dados;
• Um ponto de interrogação (?) quando temos dúvida quanto à exatidão de determinado 
valor;
• Zero ( 0 ) quando o valor é muito pequeno para ser expresso pela unidade utilizada. Se 
os valores são expressos em numerais decimais, precisamos acrescentar à parte 
decimal um número correspondente de zeros ( 0,0; 0,00; 0,000; ...).
Alguns Exemplos de Tabela
5.5.1-TABELA DE DUPLA ENTRADA
Excesso de tempo anual em congestionamento severo
Computando as vias transversais (passageiro x h)
CIDADE AUTOMÓVEL ÔNIBUS
Belo Horizonte 6.063.141 40.536.342
Brasília 498.842 2.407.701
Campinas 3.507.658 2.452.520
Curitiba 2.819.055 2.366.449
FONTE: Revista dos Transportes Públicos
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5.5.2-DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA
Número de horas extras de 20 motoristas de uma
Empresa no período de 30 dias
HORAS EXTRAS NÚMERO DE MOTORISTAS
0 |---------- 10 2
10 |---------- 20 1
20 |---------- 30 5
30 |---------- 40 8
40 |---------- 50 4
Total 20
FONTE: Dados Fictícios
Orientações básicas para a construção de uma tabela de distribuição de freqüência 
quando os dados são contínuos
1) Determinar o intervalo dos dados
2) Determinar o número K de classes, sobservaçõedenúmerok ≈ ,em geral, tomar o 
valor de k entre 5 e 15.
3) Calcular a amplitude de classe dividindo o intervalo por k (intervalo/k), fazendo o 
arredondamento conveniente.
4) Certificar-se de que k vezes a amplitude é maior do que o intervalo, para evitar que 
valores extremos sejam excluídos.
5) Estabelecer limites de classe, rever os limites, que devem tocar-se, mas não se 
interceptar.
6) Distribuir os dados, determinando com que freqüência, eles aparecem dentro de cada 
classe.
7) Rever a distribuição de forma a evitar que uma determinada classe tenha freqüência 
zero.
Exemplo:
Os dados a seguir correspondem a estatura, em cm, de uma amostra de 40 alunos de 
uma determinada escola:
150 154 155 157 160 161 162 164 166 169
151 155 156 158 160 161 162 164 167 170
152 155 156 158 160 161 163 164 168 172
153 155 156 160 160 161 163 165 168 173
Construindo uma tabela de distribuição de freqüência para estes dados temos:
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1) Determinar o intervalo de dados, amplitude total:
AT=173 – 150 = 23
2) determinar o número de classe 
k = 40 , considere o valor de k= 6 pois é o inteiro mais próximo.
3) Determinar a amplitude de classe
 
6
23
==
k
ATh , considere h = 4 que é o inteiro mais próximo
4) Verificar se todos os dados estão incluídos
AThk ≥. , ou seja 234.6 ≥
5) Construir a tabela
i ESTATURAS
(cm)
FREQÜENCIA FREQUÊNCIA
RELATIVA
1 150|------154 4 0,100
2 154|------158 9 0,225
3 158|------162 11 0,275
4 162|------166 8 0,200
5 166|------170 5 0,125
6 170|------174 3 0,075
Total 40 1,000
5.2- GRÁFICO
 É uma forma de apresentação de dados cujo objetivo é o de produzir no investigador ou 
no publico em geral, uma impressão mais rápida e viva do fenômeno em estudo, já que os 
gráficos falam mais rápido à compreensão que as séries.
Alguns exemplos;
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5.2.1-GRÁFICO DE LINHAS
Fonte: Folha de São Paulo
5.2.2-GRÁFICO EM COLUNAS
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5.2.3- GRÁFICO EM BARRAS MULTIPLAS
5.2.3-GRÁFICO DE SETORES
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5.3.4-GRAFICO POLAR
5.3.5-PICTOGRAMA
14
PRECIPITAÇÃO 
PLUVIOMÉTRICA(mm) EM 
RECIFE -1993
20
70
120
170
220
270
320
janeiro
fevereiro
março
abril
maio
junho
julho
agosto
setembro
outubro
novembro
dezembro
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5.3.6-HISTOGRAMA, POLIGONO DE FREQÜÊNCIA E CURVA DE 
FREQÜÊNCIA.
Quando os dados estatísticos estão distribuídos em classe podemos utilizar três tipos de 
gráficos para representar os dados:
1) HISTOGRAMA
É um gráfico de colunas que retrata a distribuição de freqüência. Ele relaciona as 
classes com as suas respectivas freqüências. 
i ESTATURAS
(cm)
FREQUÊNCIA Ponto médio de 
classe (xi)
Freqüência 
calculada( ifc )
1 150|------154 4 152 4,25
2 154|------158 9 156 8,25
3 158|------162 11 160 9,75
4 162|------166 8 164 8
5 166|------170 5 168 5,25
6 170|------174 3 172 2,75
Total 40
15
150 154 158 162 170166 174 Estatura
freqüência
4
9
11
8
5
3
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2) POLIGONO DE FREQÜÊNCIA
É um gráfico que relaciona os pontos médio classe com as freqüências.
3) CURVA DE FREQÜÊNCIA
A curva de freqüência é uma curva suavizada do polígono de freqüência. Para eliminar 
os “bicos“ do polígono de freqüência fazemos o cálculo de uma outra freqüência, chamada 
freqüência calculada, que leva em consideração a influência das classes vizinhas, através do 
cálculo da média ponderada. 
4
2 postiant
i
fff
fc
++
=
16
152 156 160164 168 Estatura
freqüência
4
9
11
8
5
3
172
152 156 160 164168 Estatura
Freqüência
calculada
4,25
8,25
8
5,25
2,75
172
9,75
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Obs: O polígono de freqüência nos informa a situação real do fenômeno 
estudado, enquanto a curva de freqüência informa a tendência do fenômeno.
6- MEDIDAS RELACIONADAS COM AS VARIÁVEIS 
QUANTITATIVAS
6.1.SOMATÓRIO 
Consideremos a seguinte soma indicada : 0 + 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + ... + 
100. Podemos observar que cada parcela é um número par e portanto pode ser representada 
pela forma 2n, neste caso, com n variando de 0 a 50. Esta soma pode ser representada 
abreviadamente por: ∑
=
50
0
2
n
n , que se lê: “somatório de 2n com n variando de 0 a 50”. A letra 
grega ∑ , que é o esse maiúsculo grego (sigma), é o sinal de somatório e é usada para 
indicar uma soma de várias parcelas.
Em ∑
=
n
i
a
1
1 a letra i é denominada índice do somatório (em seu lugar, pode figurar qualquer 
outra letra) e os valores 1 e n, neste caso, são denominados, respectivamente, limites 
inferior e superior.
6.1.1-Número de parcelas de um somatório
17
Seja },,,,{ 321 naaaa  um conjunto de n números reais, o símbolo ∑
=
n
i
a
1
1
representa a sua soma, isto é n
n
i
aaaa +++=∑
=
21
1
1
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6.1.2-Propriedades de um somatório
1) Somatório de uma constante
2) Somatório do produto de uma constante por uma variável
3) Somatório de uma soma algébrica
4) Separação do último termo
5) Separação do primeiro termo
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6) Avanço dos limites
6.2 PRODUTÓRIO
∏
i=1
n
X i=X 1. X 2. X 3 ... X n
6.2.1 Propriedades do produtório
1) ∏
i=1
n
b=b.b.b...b=bNT , sendo NT o número de termos do produtório
2) ∏
i=1
n
cX i=cX 1 .cX 2.cX 3 ...cX n=c
˙
∏
i=1
n
X i
3) ∏
i=1
n
X i Y˙ i=X 1Y˙ 1. X 2Y˙ 2 . X 3 Y˙ 3 ...X n y˙n= X 1 .X 2 .X 3 ... X N  ˙Y 1 .Y 2 .Y 3 ...Y N =∏
i=1
n
X i
˙
∏
i=1
n
Y i
4) ∏
i=1
n
i=1.2.3...n=n!
5) log
˙
∏
i=1
n
X i=log X 1 . X 2 . X 3... X n=log X 1logX 2log X 3....log X n=∑
i=1
n
logX i
∀ X i0
19
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6.3- MEDIDAS DE POSIÇÃO
As medidas de posição, também chamadas de tendência central, constituem um 
procedimento para a redução de dados estatísticos expressados por valores que se encontram 
situados entre os extremos de uma série ou distribuição. Normalmente estas medidas tendem 
a se aproximar do centro da distribuição. As três medidas mais comuns são: a média, a 
mediana e a moda.
6.3.1-A MÉDIA
A média é a medida estatística mais popular e, portanto, mais usada na interpretação 
de dados. A média tem certas propriedades matemáticas interessantes e úteis, o que explica a 
sua maior importância como medida de tendência central. Na figura a seguir ilustramos a 
média, em um histograma, como o centro de conjunto de dados, no sentido de que é o ponto 
de equilíbrio dos mesmos.
Os tipos de média mais utilizada são: a média aritmética, a média geométrica e a 
média harmônica. Cada uma com especificidade para determinado tipo de dado. 
1) Média aritmética
Dos tipos de média a aritmética é a mais utilizada, em todo o resto deste texto será 
chamada simplesmente de média. A média de um conjunto de valores é o valor obtido 
somando-se todos eles e dividindo-se o total pelo número de valores. 
n
x
X i∑= , onde xi representa o valor da variável i, e n é o número de vezes que ela aparece.
Exemplo: Calcular a média dos seguintes dados: 20, 80, 40, 60, 50
50
5
6050408020
=
++++
=X 
20
Média
Estatística Descritiva Oscar Luiz Teixeira de Rezende
 Rony Cláudio de Oliveira Freitas
__________________________________________________________________
Quando os dados estão tabulados, calcula-se a média utilizando a fórmula
∑
∑
=
i
ii
f
xf
X , fi é freqüência da variável xi .
Criam-se as colunas, xi que representa o ponto médio de cada classe, que é o representante 
de todos os valores dentro da classe, e ii xf produto da freqüência pelo ponto médio de classe.
Exemplo: 
A tabela abaixo corresponde a estatura de 40 alunos de umadeterminada escola. Calcular a 
estatura média destes alunos.
i ESTATURAS
(cm)
FREQUÊNCIA xi ii xf
1 150|------154 4 152 608
2 154|------158 9 156 1404
3 158|------162 11 160 1760
4 162|------166 8 164 1312
5 166|------170 5 168 840
6 170|------174 3 172 516
Total 40 6440
cm
f
xf
x
i
ii 161
40
6440
=== ∑
∑
Média Ponderada: Quando as observações têm importâncias diferentes.
i
1
1 x variávelda peso o é onde; in
i
i
n
i
ii
w
w
xw
x
∑
∑
=
=
=
Exemplo: Um professor divide os 100 pontos da avaliação semestral de sua disciplina usando o 
seguinte critério: uma avaliação individual valendo 40 pontos, um trabalho em grupo valendo 
20 pontos , um seminário valendo 25 pontos e um trabalho individual valendo 15 pontos. Qual 
a média final de um aluno que recebeu as seguintes notas: avaliação individual 85, trabalho 
em grupo 75, seminário 70 e trabalho individual 65.
25,76
100
1565257020754085
=
⋅+⋅+⋅+⋅
=x
21
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Propriedades da média aritmética
a) A média de um conjunto de números pode sempre ser calculada.
b) Para um conjunto de dados a média é única.
c) A média é sensível a todos os valores do conjunto. Assim, se um valor se modifica a média 
também se modifica.
d) Somando-se ou subtraindo-se uma constante a cada valor de um conjunto de dados, a 
média ficará aumentada ou subtraída desse valor.
∑
i=1
n
 X i±k 
n
=
∑
i=1
n
X i±∑
i=1
n
K 
n
=
∑
i=1
n
X i
n
±
∑
i=1
n
K
n
= X±nK
n
= X±K
e) Multiplicando-se ou dividindo-se uma constante a cada valor de um conjunto de dados, a 
média fica multiplica ou dividida por essa constante.
∑
i=1
n
KX i
n
=K
˙
∑
i=1
n
X i
n
=K X
f) A soma algébrica dos desvios em relação a média é nula
d i=X i− X
∑
i=1
n
d i=∑
i=1
n
X i− X =∑
i=1
n
X i−∑
i=1
n
X=n X−n X=0
g) A soma do quadro dos desvios em relação à media é minima, isto é SQD=∑
i=1
n
 X i− X 
2 é 
mínimo
seja f c =∑
i=1
n
 X i−c 
2=∑
i=1
n
X i
2−2c
˙
∑
i=1
n
X i∑
i=1
n
c2=nc22
˙
∑
i=1
n
X ic∑
i=1
n
X i
2
 f(c) é uma função do segundo grau na variável “c” e com concavidade voltada para cima 
pois n>0. Então essa função passa por um mínimo e a abscissa desse mínimo é:
cmin=
−2
˙
∑
i=1
n
X i
−2n
=
∑
i=1
n
X i
n
= X
como essa função está no seu ponto mínimo quando c= X
temos que SQD=∑
i=1
n
 X i− X 
2 é um mínimo.
22
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2) Média Geométrica
A média geométrica deve ser usada para o cálculo da média de séries cujos elementos se 
apesentam segundo uma progressão geométrica ( como exemplo a média de populações, 
lindices de custo de vida, juros compostos etc.) ou que revelem elementos “muito grande” 
comparativos com os demais, como por exemplo 18, 20 22, 24 e 850, onde a média 
geométrica é aproximadamente igual a 43,8, resultado que não foi tão influenciado pelo valor 
850. 
A principal inconveniência da média geométrica, consiste no fato de ela ser 
grandemente influenciada pelos elementos “pequenos” de uma série.
n
n
i
iG XX ∏
=
=
1
Quando os dados estão distribuídos em freqüência
X G=
∑
i=1
n
f i∏i=1
n
X i
f i
Exemplo: Determine o fator de crescimento médio para uma aplicação, composta à taxas 
anuais de juros de 10%, 8%, 9%, 12% e 7%.
O fator de crescimento para cada ano será: 1,10; 1,08; 1,09; 1,12 e 1,07
Fator de crescimento médio= 09,107,112,109,108,110,15 =⋅⋅⋅⋅
3) Média Harmônica
A média harmônica é particularmente recomendada para calcular a média de um conjunto de 
dados que constituem uma série de valores que são inversamente proporcionais. Obtém-se a 
média harmônica dividindo-se o número n de valores pela soma dos inversos de todos os 
valores.
∑
=
i
H
x
nX 1
23
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Exemplo:
Um carro, no trajeto em entre Vitória e Cachoeiro, faz a viagem de ida com uma velocidade 
média de 60Km/h e a volta com a velocidade média de 80Km/h. Determinar a velocidade 
média para a viagem de ida e volta.
hkmXmédiavelocidade H /57,68
80
1
60
1
2
=
+
==
 
6.3.2 – Mediana
A mediana é o valor central de um conjunto ordenado de dados, ela divide o conjunto em dois 
grupos iguais, 50% dos valores menores ou igual mediana e 50% dos valores maiores ou 
iguais à mediana
Processo para calcular a mediana
1) Para dados não agrupados
Inicialmente ordenam-se os dados em ordem crescente ou decrescente
Para um número impar de valores a mediana é o valor:
 
2
1+= nxMe , onde n é o número de dados.
 b) Para um número par de valores, a mediana é a média dos valores do meio.
2
1
22
+
+
=
nn xx
Me , onde n é o número de dados.
 
Exemplo: Calcular a mediana do seguinte conjunto de dados: 20 50 40 30 60 65 80 45 90 70
 Valores ordenados: 20 30 40 45 50 60 65 70 80 90 
55
2
6050
2
1
22
=
+
=
+
=
+
nn xx
Me
2) Quando os dados estão distribuídos em classe (agrupados) calcula-se a mediana usando os 
seguintes procedimentos.
24
Classe da 
mediana
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Exemplo: Determinar a mediana dos dados correspondentes a 40 alunos de uma determinada 
escola.
i ESTATURAS
(cm)
FREQUÊNCIA Fi
1 150|------154 4 4
2 154|------158 9 13
3 158|------162 11 24
4 162|------166 8 32
5 166|------170 5 37
6 170|------174 3 40
Total 40
1) Cria-se uma coluna Fi chamada freqüência acumula, esta freqüência determina o 
posicionamento dos valores dentro da distribuição. Na tabela observamos que existem 32 
estaturas entre 150cm e 166cm, 13 estaturas entre 150cm e 158cm, e assim por diante. Uma 
observação importante é que na tabela de distribuição de freqüência os dados já estão 
ordenados
2) Determina-se em que classe a mediana está. Na tabela temos 20
2
40
2
==
∑ if . A mediana 
ocupa a 20ª posição, estando, portanto, na 3ª classe. 
3) Numa tabela de freqüência há uma perda de informação a respeito dos dados originais, 
sabemos que a mediana é um valor que está entre 158cm e 162cm. Para recuperamos um 
valor para a mediana vamos estimar que existem 11 variáveis na 3ª classe eqüidistantes um 
da outra.
cmM e 54,16011
47158 =⋅+=
Usando o mesmo raciocínio podemos desenvolver a seguinte fórmula para o cálculo da 
mediana 
158 162
Mediana
13ª posição 20ª posição
11
4 
25
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__________________________________________________________________
*
)(
*
2
i
ant
i
i f
hF
f
Me
⋅



−
+=
∑

 
*
il - Limite inferior da classe mediana.
*
if - Freqüência simples da classe mediana.
F(ant) – freqüência acumulada da classe anterior a classe mediana.
h – amplitude da classe mediana.
Aplicando a fórmula vem:
cmh
f
antF
f
lMe
i
i
i 54,16054,2158411
1320158
)(
2
*
*
=+=

 −
+=








−
+=
∑
6.3.3- Moda
A moda é a medida estatística que aparece com maior freqüência.
 Exemplo: Determina a moda dos dados a seguir: 20 30 50 40 40 60 40 90 80 80
40=Mo
Obs: A moda, não necessariamente é única. Um conjunto de dados pode ter duas, três, 
quatro, ... ou até nenhuma moda.
Quando os dados estão distribuídos em classe, pode-se atribuir o valor da moda como sendo o 
ponto médio da classe de maior freqüência. No exemplo anterior a moda seria então 160cm. 
No entanto este tipo de moda não leva em consideração a instabilidade nas fronteiras das 
classes, onde estão as variáveis que com pequenas modificações da amplitude do intervalo, 
tendem a migrar para as classes vizinhas. Foi pensando nesta instabilidade que se 
desenvolveu uma fórmula para o cálculo da moda, levando em consideração as freqüências 
das classes vizinhas. A figura a seguir representa uma parte do histograma de uma 
distribuição, em que são representadas: a classe de maior freqüência (que contém a moda) e 
as classes vizinhas.
 
26
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__________________________________________________________________
Os triângulos PQT e RST são semelhantes, então:
h
DD
Dx
xh
x
D
D
21
1
2
1
+
=⇒
−
=
Como xM io +=  , temos:
h
DD
DM io
21
1
+
+= 
h
DD
DlMo i .
21
1*
+
+=
posti
anti
ffD
ffD
−=
−=
*
2
*
1
Exemplo:
Determinar a moda dos dados representados na tabela anterior.
Primeiro determina-se o classe em que a moda está, ou seja a classe de maior freqüência, e 
sem seguida aplica-se a fórmula
cmh
DD
DlMo i 6,1596,11584)811()911(
911158.
21
1*
=+=⋅
−+−
−
+=
+
+=
27
Q
D
1
D
2
P
R
freqüência
x h-xT
M
o
S
i Classes
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__________________________________________________________________
Neste caso a moda foi um pouco menor que o ponto médio de classe. Esta diferença se deve 
ao fato da classe anterior à classe modal ter uma freqüência maior que a da classe superior, 
arrastando a média para um valor um pouco abaixo do centro da classe.
6.3.4- Separatrizes
Medida estatística que separam os dados em grupos que apresentam o mesmo número 
de valores.
Exemplo: 
Mediana: Separa os dados em dois grupos que apresentam o mesmo número de 
valores .
Quartis: separa os dados em quatro grupos que apresentam o mesmo número de 
valores.
Decis:separa os dados em dez grupos que apresentam o mesmo número de valores.
Percentis: separa os dados em cem grupos que apresentam o mesmo número de 
valores.
Para calcular as separatrizes podemos adaptar a fórmula da mediana generalizando para o 
cálculo de um percentil k qualquer.
*
)(
*
100
i
ant
i
ik f
hF
fk
P
⋅



−
+=
∑

Observação: Para calcular o quartil 3 temos: Q3 = P75
Exemplo: Calcular o 20P dos dados da tabela anterior.
Primeiro é preciso determinar a classe onde está o 20P
8
100
4020
=
x
, ocupa a 8ª posição ou seja está na classe 2.
cmP 78,15578,11544
9
4815420 =+=

 −
+= 
28
kP
K% (100-K)%
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A interpretação do percentil é a seguinte: 20% das estaturas estão abaixo de 155,78cm 
enquanto que 80% estão acima.
6.4-MEDIDAS DE DISPERSÃO OU VARIABILIDADE
Nas análises de dados, alem da informação quanto ao “meio” de um conjunto de dados, é 
conveniente dispor também de uma medida para avaliar a dispersão, ou seja, se os valores 
estão relativamente próximos uns aos outros.
Imagine uma pesquisa em três residências a respeito do consumo de água durante o período 
de 5 dias e os resultados estão apresentados na tabela a seguir:
CONSUMO
(1000 LITROS)
TOTAL
RESIDÊNCIA A 1,0 2,0 1,5 2,5 3,0 10,0
RESIDÊNCIA B 0,5 3,0 4,0 1,5 1,0 10,0
RESIDÊNCIA C 1,0 2,0 0,3 2,7 4,0 10,0
Observe que o consumo médio das três residências foi o mesmo, diax /2000
5
10000
== , no 
entanto, uma observação rápida e visual indica que a residência C teve um consumo mais 
diferenciado a cada dia se comparada às outras, ou seja um consumo menos estável. É 
exatamente este tipo de informação que as medidas de dispersão fornecem numa análise de 
dados. As principais medidas de dispersão serão estudadas a seguir.
6.4.1- Intervalo ou amplitude
Diferença entre o maior e o menor valor em um grupo de dados
Exemplo:
Determinar o intervalo do conjunto de dados: 12, 20, 3, 2, 15, 17.
18220 =−=AT
No exemplo das residências temos:
Amplitude relativa ao consumo de água da residência A é 2.000 litros, o da residência B é 
3500 litros e o da residência C é 3700 litros.
Obs. A amplitude não é considerada uma boa medida de dispersão pois só leva em 
consideração os extremos do intervalo, não sendo sensível a todo conjunto de 
dados.
29
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6.4.2-Desvio Médio Absoluto
n
xx
DMA
i∑ −
=
No conjunto de dados 12, 20, 3, 2, 15, 17 , temos 50,11
6
69
==x . O desvio relativo ao valor 
12 é 0,5, ou seja 5,05,11121 =−=d . A interpretação deste valor é que 12 esta a 0,5 pontos 
acima da média. Já o desvio relativo ao valor 2 é 5,950,1124 −=−=d , o que significa que 2 
está a 9,5 pontos abaixo da média.
Como a média dos desvios sempre será zero, uma forma de captar a dispersão dos dados é 
calcular a média dos valores absolutos dos desvios.
Exemplo:
Calcular o desvio médio absoluto dos dados 12, 20, 3, 2, 15, 17.
6
|5,1117||5,1115||5,112||5,113||5,1120||5,1112| −+−+−+−+−+−
=DMA
6
5,55,35,95,85,85,0
6
|5,5||5,3||5,9||5,8||5,8||5,0| +++++
=
++−+−++
=DMA
0,6
6
36
==DMA
Como sugestão, calcule o desvio médio absoluto relativo ao consumo de água nas três 
residências apresentadas na tabela anterior e compare os resultados.
6.4.3- Variância
A variância é também uma medida que capta a variabilidade de um conjunto de dados, e é 
definida como a soma dos quadros dos desvios dividido pelo número de observações menos 
um. Para representar a variância usaremos a letra 2s .
( )
1
2
2
−
−
=
∑
n
xx
s i 
Exemplo: Calcular a variância do conjunto de dados: 12, 20, 3, 2,15, 17.
30
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__________________________________________________________________
5
)5,1117()5,1115()5,112()5,113()5,1120()5,1112( 2222222 −+−+−+−+−+−
=s
50,55
5
25,3025,1225,9025,7225,7225,0
5
)5,5()5,3()5,9()5,8()5,8()5,0( 2222222
=
+++++
=
++−+−++
=s
 
Quando os dados estão associados a alguma unidade de medida o valor da variância será na 
unidade de medida ao quadrado.
No caso do consumo de água de uma residência, se os dados estão em litros à variância estará 
em litros ao quadrado, o que em muitos casos dificulta a interpretação. 
Para facilitar os cálculos e evitar que sejam feitas muitas aproximações dos desvios 
apresentamos uma outra fórmula para o cálculo da variância.
)1()(2])(2[)( que Temos 221
222 equaçãoxxxxxxxxxx iiii ∑ ∑∑∑∑ +−=++=−
)2()(22 que temos,22 como 2equaçãoxnxxxnxexxxx iiii ∑∑ ∑∑ === 
)3()()( como 22 quaçãoexnx∑ =
Substituindo em (1) os valores de (2) e (3) vem:
2
222222
i
2
i )()()(2x)(x ∑ ∑∑∑∑ 



−=−=+−=−
n
x
nxxnxxnxnx iii
( )
111
)(
2
2
2
2
2
2
−
−
=
−




−
=
−
−
=
∑ ∑∑ ∑∑
n
n
x
x
n
n
x
nx
n
xx
s
i
i
i
i
i
( )
1
2
2
−
−
=
∑ ∑
n
n
x
x
s
i
i 
Quando os dados estão tabelados e são apresentados em associação com a freqüência em que 
eles aparecem, podemos adaptar a fórmula anterior para:
( )
∑
∑ ∑
∑
−
−
=
1
2
2
2
i
i
i
ii
f
f
x
xf
s
31
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6.4.4- Desvio Padrão
A medida de dispersão mais usada nas analises de dados é o desvio padrão,e o seu cálculo e 
feito extraindo a raiz quadrada da variância.
( )
1
2
−
−
=
∑
n
xx
s i ou ainda 
( )
1
2
2
−
−
=
∑ ∑
n
n
x
x
s
i
i
Da mesma forma que a variância podemos adaptar a fórmula quando os dados estão 
associados a uma freqüência
( )
1
1
2
12
−
−
= ∑
∑ ∑
∑
i
i
f
f
x
xf
s
i
Exemplo:
Calcular o desvio do conjunto de dados: 12, 20, 3, 2, 15, 17.
Como já calculamos anteriormente a variância como 50,552 =s o desvio padrão será:
45,750,55 ==s
Como sugestão calcule o desvio padrão do consumo de água das três residências na tabela 
anterior e compare os resultados.
Em muitas situações praticas é necessário fazer uma estimativa para ao desvio padrão e uma 
sugestão de alguns autores especializados é estimar o desvio padrão como sendo um quarto 
da amplitude.
4
amplitudes =
O ideal mesmo é calcular o desvio padrão, pois como sabemos, a amplitude só leva em 
consideração os extremos de um conjunto de dados. 
Exemplo: 
Calcular o desvio padrão, correspondente as estaturas de um grupo de 40 alunos de uma 
determinada escola, apresentados na tabela a seguir
Calcular o desvio padrão dos dados a seguir:
32
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i ESTATURAS
(cm)
FREQUÊNCIA
( )if
xi ii xf 2ii xf
1 150|------154 4 152 608 92416
2 154|------158 9 156 1404 219024
3 158|------162 11 160 1760 281600
4 162|------166 8 164 1312 215168
5 166|------170 5 168 840 141120
6 170|------174 3 172 516 88752
Total 40 6440 1038080
Observem que na tabela foi acrescentada a coluna 2ii xf para ajudar nos cálculos e utilizar a 
fórmula associada com as freqüências que os dados são apresentados
cms 64,580,312592125952
39
40
64401038080
2
==−=
−
=
 6.4.5- Coeficiente de variação
C.V.%= s
X
˙100
 Note que coeficiente de variação é expresso em porcentagem, ele é útil para comparar a 
variabilidade de diferentes conjuntos de valores. 
 Exemplo: Desejamos analisar a variabilidade das notas de matemática de duas turmas, a 
turma A e a Turma B. Foram calculadas a média e o desvio podrão de cada turma: X A=7,5 , 
sA=1,6 e X B=7,9 e sB=2,3 . Qual das duas turmas apresentou maior variabilidade nas 
notas?
C.V.A=
1,6
7,5
˙100=21,33% e C.V.B=
2,3
7,9
˙100=29,11% 
Concluímos que a turma B tem uma maior variabilidade nas notas pois o seu coeficiente de 
variação é maior.
33
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6.5- INTERPRETAÇÃO A RESPEITO DA MÉDIA E DO DESVIO 
PADRÃO
Quando a distribuição de um conjunto de dados se aproxima de uma distribuição normal, ou 
seja, a curva de freqüência tem o formato de um sino, valem as seguintes regras empíricas 
para estes dados.
• Cerca de 68% destes dados estão a menos de 1 desvio padrão a contar da 
média.
• Cerca de 95% destes dados estão a menos de 2 desvio padrão a contar da 
média.
• Cerca de 99,7% destes dados estão a menos de 3 desvio padrão da média.
OBS: As medidas estatísticas apresentadas nesse capítulo estão calculadas tendo 
como referencia uma amostra, que tem como norma a representação pelas letras 
do nosso alfabeto. No caso das medidas calculadas tendo como referencia uma 
população, a representação será com letras do alfabeto Grego. Além disso, na 
variância populacional, a SQD será divido por n.
( )
n
xxi∑ −
=
2
2σ e n
xi∑
=µ
7- BOXPLOTS
 O Boxplot é um resumo esquemático usado para descrever as características mais 
proeminentes de um conjunto de dados que incluem: centro, dispersão, extensão e a natureza 
de qualquer desvio em relação à simetria e a identificação de outliers, observações que 
normalmente esta distantes da maior parte dos dados. Como apenas um outlier pode afetar 
drasticamente os valores da média e do desvio-padrão um boxplot é baseado em medidas 
“resistentes” à presença de alguns outliers. Para traçar um boxplot precisamos calcular o 
valores máximo e mínimo de um conjunto de dados, assim como mediana, primeiro quartil e 
terceiro quartil.
Exemplo:
Considere o seguinte conjunto de dados:
40 52 55 60 70 75 85 90 90 92 94 94 95 98 100 115 125 125 
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 Rony Cláudio de Oliveira Freitas
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O resumo dos cinco medidas segue:
Min xi=40 Q1=72,5 Me=90
Max x i=125 Q3=96,5
O boxplot é esquematizado a a seguir:
7.1- Outliers
Para detectar a presença de outliers, são usados os seguintes critérios:
1) O valor de uma variável x i é considerada um outliers moderado se:
Q1−3,0 f x iQ1−1,5 f ou Q31,5 f xiQ33,0 f , sendo f =Q3−Q1
2) O valor de uma variável x i é considerada um outliers extremo se:
x iQ1−3,0 f ou x iQ 33,0 f , sendo f =Q3−Q1
Exemplo:
Identificar a existência ou não de outliers e traçar o boxplot dos dados a seguir
5,3 8,2 13,8 74,1 85,3 88,0 90,291,5 92,4 92,9 93,6 94,3 94,8
94,9 95,5 95,8 95,9 96,6 96,7 98,1 99,0 101,4 103,,7 106,0 113,5
Os indica relevantes são:
Min xi=5,3 Q1=90,2 Me=94,8 1,5 f =9,75
Max x i=113,5 Q3=96,7 f =96,7−90,2=6,50 3,0 f =19,50
Dessa foram, qualquer observação menor que 90,2-9,75=80,45 ou maior que 
96,75+9,75=106,5 é um outlier. Há um outlier extremidade superior da amostra e quatro na 
extremidade inferior. Como 90,2-19,5=70,7, as três observações 5,3; 8,2 e 13,8 são outliers 
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extremos, enquanto 74,1 e 113,5 são outliers moderado.7.2 Boxplots 
comparativos
Um boxplot comparativo ou lado a lado é uma forma muito eficiente de revelar semelhanças e 
diferenças entre dois ou mais conjunto de dados constituindo de observações da mesma 
variável.
Exemplo: Os dados a seguir correspondem as notas de estatística de duas turmas:
Turma A: 6,0 7,0 8,0 9,0 5,0 6,5 7,5 8,7 5,5 6,0 5,5
Turma B: 2,0 3,0 9,0 5,0 10,0 7,0 8,0 4,0 9,5 3,5 2,0
A seguir está esquematizado o boxplot comparativo da varável nota de estatística na duas 
turma A e B.
Observe que a turma B apresentou um dispersão maior que a a turma A, pois a distância entre 
os quartis 1 e 3 é maior.
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8 -REGRESSÃO E CORRELAÇÃO
A regressão e a correlação são duas técnicas estritamente relacionadas que envolvem 
uma forma de estimação. Mais especificamente, a analise de correlação e regressão 
compreende a análise de dados amostrais para saber se e como duas ou mais variáveis estão 
relacionadas uma com a outra numa população.
O nosso objetivo será o estudo de situações que envolve duas variáveis. O coeficiente 
de correlação é um número que resume o grau de relacionamento entre duas variáveis. A 
analise de regressão tem como resultado uma equação matemática que descreve o 
relacionamento entre as variáveis. Esta equação pode ser usada para estimar valores futuros 
de uma variável quando se conhecem ou supõem conhecidos valores da outra variável.
Uma regressão linear, constitui uma tentativa de estabelecer uma equação 
matemática linear que descreve o relacionamento entre duas variáveis. Duas importantes 
características da equação linear são: o coeficiente angular “a” e o coeficiente linear “b” da 
reta. Uma equação linear tem a forma y = ax + b e a seguinte representação gráfica:
x
ya
∆
∆
=
 O processo mais simples para verificar se duas variáveis se relaciona em situações que 
aproximam de um modelo linear, consiste em plotar estas variáveis e verificar se uma relação 
linear parece razoável. 
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x
x∆
b
y∆
y
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8.1. Coeficiente de correlação linear
O instrumento empregado para medir a correlação linear é o coeficiente de correlação. Esse 
coeficiente deve indicar o grau de intensidade da correlação entre duas variáveis x e y , e, 
ainda , o sentido dessa correlação (positivo ou negativo).
O coeficiente de correlação que usaremos é o coeficiente de correlação de Pearson, 
que é dado por:
( )( )
( ) ( )∑ ∑ ∑∑
∑ ∑∑
−−
−
=
]][[ 2222 yynxxn
yxxyn
r onde n é o número de observações.
Assim para tirarmos algumas conclusões significativas sobre o comportamento simultâneo das 
variáveis analisadas temos as seguintes situações:
Se r = 1, a correlação entre duas variáveis é perfeita e então positiva
Se r=-1, a correlação entre duas variáveis é perfeita e então negativa 
Se r=0, não correlação entre as variáveis.
Se 1||6,0 ≤≤ r , há uma correlação significante entre as variáveis. 
Se 6,0||3,0 ≤≤ r , há uma correlação relativamente fraca entre as variáveis.
Se 3,0||0 << r , a correlação é muito fraca e praticamente, nada podemos concluir sobre a 
relação entre as duas variáveis em estudo.
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8.2.Regressão 
O método mais usado para ajustar uma linha reta a um conjunto de pontos é conhecido 
como o técnica dos quadrados mínimos.
Os valores de a e b para a reta y = ax + b que minimiza a soma dos quadrados 
mínimos são as soluções das chamadas equações normais:
∑ ∑ ∑
∑ ∑
+=
+=
)()(
)(
2 xbxaxy
nbxay
onde n é o número de observações.
donde tiramos que:
xay
n
xay
b
xxn
yxxyn
a
−=
−
=
−
−
=
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑∑
22 )()(
))(()(
Exercícios
A tabela abaixo relaciona o número de moradores por residência e o consumo mensal de água 
em uma amostra de dez residências de uma determinada cidade.
Nº Número de 
moradores
Xi
Consumo
(1000 litros)
Yi
XiYi Xi2 Yi2
01 2 20
02 3 30
03 4 35
04 2 25
05 5 35
06 6 35
07 3 20
08 4 15
09 5 30
10 6 40
∑
1) Completar a tabela.
2) Determinar o coeficiente de correlação:
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( )[ ] ( )[ ] =−−
−
=
∑ ∑∑ ∑
∑ ∑ ∑
2222 YYnXXn
YXXYn
r
3)Classificar a correlação
4) Construir o diagrama de dispersão
Fazer a analise de regressão linear é descrever, através de um modelo matemático da forma 
y=ax+b , a relação entre as duas variáveis.
5) Determinar o valor de a:
( )∑ ∑
∑ ∑ ∑
−
−
= 22 XXn
YXXYn
a =
6) Determinar o valor de b:
XaYb −= =
Escrever a equação de regressão: Y= aX +b =......................... 
Traçar no diagrama de dispersão do item 4 o gráfico da equação de regressão
Estime qual deverá ser o consumo de água de uma residência que tem 3 moradores.
40
Y
X
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9-EXERCÍCIOS
1. Uma loja vende cinco produtos básicos A, B, C, E. O lucro por unidade comercializada 
destes produtos vale respectivamente $200,00; $300,00 $500,00 $1.000,00; $5.000,00. A 
loja vendeu em determinado m6es 20, 30, 20, 10 e 5 unidades respectivamente. Qual foi o 
lucro médio por unidade comercializada por esta loja?
2. O desvio padrão pode ser zero? Explique.
3. Calcule a média e a variância e desvio padrão para os seguinte conjunto de dados, 
supondo que eles representem:
83, 92, 100, 57, 85, 88, 84, 82, 94, 93, 91, 95
4. Qual seria o efeito sobre a média de um conjunto de números se adicionasse 10:
a) a um dos números. b) a cada um dos números
5. Para duas emissões de ações ordinária de um industria eletrônica, o preçomédio diário, no 
fechamento dos negócios, durante um período de um mês, para as ações A, foi de 
R$150,00 com desvio padrão de R$5,00. Para as ações B, o preço médio foi de R$50,00 
com desvio padrão de R$3,00. Nessas condições qual ação teve o seu preço mais estável 
nesse período? 
6. Os dados a seguir correspondem a vida útil em horas de duas marcas diferentes de 
ferramentas de corte em um processo industrial
 Marca A:
 123 120 100 25 50 70 100 25 60 47
Marca B:
 70 90 85 90 80 82 90 70 85 88
a) Determine a vida útil média, mediana e o desvio padrão de cada uma das diferentes 
marcas.
b) Se você fosse comprar ferramentas, qual das duas marcas você compraria? Porque? 
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7. Uma população encontra-se dividida em três estratos, com tamanho, respectivamente 
n1=40, n2=100 e n3=60. Sabendo que, ao ser realizada uma amostragem estratificada 
proporcional, nove elementos da amostra foram retirados do 3º estrato, determine o 
número total de elementos da amostra.
8. Um banco selecionou ao acaso 25 contas de pessoas físicas em uma agência, em um 
determinado dia, obtendo os seguintes saldos em dolares:
52.500,00 18.300,00 35.700,00 43.800,00 22.150,00
6.830,00 3.250,00 17.603,00 35.600,00 7.800,00
16.323,00 42.130,00 27.606,00 18.350,00 12.521,00
25.300,00 31.452,00 39.610,00 22.450,00 7.380,00
28.800,00 21.000,00 14.751,00 39.512,00 17.319,00
Agrupe, por freqüência, estes dados.
A tabela abaixo corresponde a notas de estatística atribuídas a 44 alunos da turma A de 
uma determinada Faculdade . 
CLASSES notas fi Fi fci Xi fi.Xi fixi2
1 0 |----- 2 5 5
2 2 |----- 4 13 24
3 4 |----- 6 27 70
4 6 |----- 8 30
5 8 |----- 10 44 126
TOTAL 246
Complete a tabela acima e:
a) Construa o Histograma.
b) Construa e a curva de freqüência.
c) Determine o percentual de alunos que conseguiram notas entre 2e 6.
d) Determine a média das notas.
e) Calcular a nota modal.
f) O professor determinou que os alunos que conseguiram nota inferior a mediana, 
farão uma prova de recuperação. Qual é a nota mediana?
g) O professor determinou que o grupo formado pelos alunos que obtiveram as 
10% melhores notas irão ajudar na recuperação do grupo alunos que obtiveram 
as 15% piores notas. Determinar a nota mínima que estabelece as 10% 
melhores notas e a nota máxima que estabelece as 15% piores notas.
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h) Calcular o quartil 3.
i) Calcular a variância e o desvio padrão.
j) Se o professor errou a nota de três alunos, tendo que acrescentar 0,5 pontos a 
cada nota, qual será a nova média da turma?
k) Se um aluno tirou uma nota 2,5, esta nota poderá ser considerada normal nesse 
contexto? 
l) Qual o percentual de alunos que tiraram notas superiores a 5,5?
10.Um grupo de 85 moças tem estatura média de 160,6 cm com desvio padrão igual a 
5,79cm. Outro grupo de 125 moças tem uma estatura média de 161,9 cm sendo o desvio 
padrão igual à 6,01 cm. Qual o coeficiente de variação de cada um dos grupos? Qual o 
grupo mais homogêneo?
11.Um produtor mediu o tempo (em minutos) de uso diário da Internet por seus assinantes. 
Com os dados obtidos construí-se o seguinte histograma: 
a) Que porcentagem do total de assinantes fica entre meia hora e uma hora e meia na 
rede
b) Qual a média, a mediana e a moda do tempo de uso da internet?
c) Construa a curva de freqüência
d) Calcular o desvio-padrão de tempo de usa da internet.
e) Calcular Q1 e P70
f) Calcular o percentual de assinantes que usam mais de 130 minutos de internet 
diariamente.
12.Observando os dados da tabela abaixo:
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a) Agrupe os dados relativos à telefonia fixa em classes de amplitude 6, a partir de 6. Em 
seguida, calcule a média e o desvio padrão dos dados agrupados.
b) Agrupe os dados relativos à telefonia móvel em classes de amplitude 6 a partir de 3. 
Em seguida, calcule a média e os desvio padrão dos dados agrupados.
c) Suponha que, num levantamento posterior, cada valor da tabela relativo à telefonia fixa 
tenha aumentado 15% e, para a telefonia móvel, esse aumento tenha sido de 10%. 
Admita, ainda, que os limitantes de cada intervalo dos itens anteriores tenham 
aumentado na mesma proporção. Quais serão, então, a nova média e a nova variância 
das variáveis em questão?
13.Os dados a seguir representam o número de passageiros que viajaram sem o pagamento 
de passagem, em uma determinada linha de ônibus urbano, num período de 40 dias, entre 
as 8 e 9 horas da manhã.
0 1 0 2 3 0 0 1 2 3
5 5 0 1 1 2 3 5 5 1
 2 1 5 0 1 2 2 3 5 1
1 1 0 0 0 2 2 5 5 2
Pede-se:
Construir uma tabela de distribuição de freqüência.
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a) Traçar o histograma.
b) Calcular a Média.
c) Calcular a Moda.
d) Calcular a Mediana.
e) Quartil 1
f) Calcular o desvio padrão.
g) Se em um determinado dia 7 passageiros não pagaram passagem, este 
resultado poderá ser considerado normal neste contexto?
14.Numa classe com 20 alunos as notas do exame final podiam variar de 0 a 100 e a 
nota mínima para aprovação era 70. realizado o exame, verificou-se que oito alunos 
foram reprovados. A média aritmética das notas desses oitos alunos foi 65, 
enquanto a média dos aprovados foi 77.
Após a divulgação dos resultados, o professor verificou que uma questão havia sido 
mal formulada e decidiu atribuir 5 pontos a mais para todos os alunos. Com essa 
decisão, a média dos aprovados passou a ser 80 e a dos reprovados 68,8.
a)Calcule a média aritmética das notas das notas da classe toda antes da atribuição 
dos cinco pontos extras.
b)Com a atribuição dos cinco pontos extras, quantos alunos, inicialmente 
reprovados, atingiram nota para aprovação?
15.Certa empresa, estudando a variação de demanda de seu produto em relação à variação de 
preço de venda, obteve a tabela:
Preço (X) 38 42 50 56 59 63 70 80 95 110
Demanda (Y)
)(yi)
350 325 297 270 256 246 238 223 215 208
Determine o coeficiente de correlação.
a) Estabeleça a equação da reta ajustada.
b) Estime Y para X =60 e X=120
A tabela abaixo representa a produção de uma industria:
ANOS 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988
QUANTIDA
DE (t)
34 36 36 38 41 42 43 44 46
Calcule: 
a) O coeficiente de correlação;
Sugestão: par simplificar os cálculos, use para o tempo um variável auxiliar, por exemplo 
X’ = X –1984
b) A resta ajustada;
c) A produção estimada para 1989
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CAPÍTULO 2
Estatística com OpenOffice
1.Planilhas Eletrônicas
Planilhas eletrônicas são Softwares concebidos prioritariamente para se efetuarem cálculos que 
envolvam variáveis. Com elas podem-se utilizar várias funções matemáticas, com destaque 
para aquelas relacionadas com cálculos e representações de funções, Estatística e Matemática 
Financeira. Hoje, são várias as possibilidades de escolha de planilhas eletrônicas, desde as 
pagas, como o Excel da Microsoft, até as de uso livre, como o OpenOffice. Apesar do primeiro 
ser, sem dúvida, o mais conhecido e utilizado, seja em aplicações domésticas ou em 
empresas, o segundo destaca-se pela sua eficiente qualidade, pela similaridade com o Excel e, 
principalmente, por ser gratuito e, por esse fato, foi o escolhido para ser utilizado neste 
trabalho.
2.Trabalhando com o OpenOffice
O OpenOffice é um programa de planilha eletrônica, desenvolvido pela Sun Microsystems Inc. 
e aperfeiçoado por usuários de várias comunidades espalhadas pelo mundo que roda em várias 
plataformas, Windows e Linux entre outras. Nos últimos anos, assim como todas as aplicações 
informáticas, tem passado por aperfeiçoamentos e ajustes visando maior usabilidade e 
aproveitamento do desenvolvimento dos computadores. Neste material utilizaremos o 
BrOffice.org 2.0, desenvolvido por FILHOCFFILHOCF com base no OpenOffice.org..
Não há, neste trabalho, a pretensão de oferecer um curso de OpenOffice, somente serão 
mostrados recursos básicos que possam auxiliar as aplicações de Estatística básica. Assim, 
serão mostradas, sempre em forma de aplicações, estratégias para o trabalho com: construção 
de tabelas com dados simples e agrupados por classes, construção de gráficos de colunas e de 
setores, construção de histogramas, construção de box-plot e regressão linear.
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 O ambiente de trabalho
Figura 1.
A área de trabalho do Microsoft OpenOffice
 
2.2. As funções no OpenOffice
São várias as formas de inserção de funções (operações matemáticas) no OpenOffice, entre 
elas:
a) Utilizando os menus ou submenus selecionados na Barra de menus, clicando com o 
mouse, ou recorrendo a teclas de atalho.
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Figura 2.
Criação de função pelo menu Inserir
b) Clicando no ícone correspondente da linha de entrada.
Figura 3.
Criação de função pelo ícone
c) Simplesmente digitando = dentro da célula selecionada e escolhendo uma função entre a 
lista que será apresentada.
Figura 4.
Criação de função pela caixa de nome
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Nos dois primeiros casos será aberto o quadro Assistente de Funções que apresenta uma 
série de funções para serem escolhidas. As funções estão classificadas por categoria conforme 
mostrado a seguir:
Figura 5.
A caixa assistente de função
Para cada categoria escolhida, o menu apresenta as diferentes funções, bem como uma breve 
descrição da função escolhida e da sua sintaxe.
Após a seleção da função desejada, você poderá digitar a fórmula no quadro Fórmula ou clicar 
em Próximo para que os argumentos necessários sejam inseridos. Após a inserção, basta 
clicar em OK.
Figura 6.
Argumentos da função
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Cabe lembrar que, a partir do momento que a forma de escrita e posicionamento dos diversos 
elementos estiverem incorporadas pelo usuário, estes comandos poderão ser digitados 
diretamente na célula, o poupando, assim, de ter que passar por todas estas etapas. Bastará, 
então, digitar o sinal de igualdade (=) para que o OpenOffice entenda que é uma função e, em 
seguida, inserir os comandos. Esta inserção poderá ocorrer tando diretamente na célula quanto 
na linha de entrada.
Figura 7.
Inserção de função diretamente na célula
3.Construção de tabelas
Para compreendermos o processo de construção de tabelas de dados com o auxílio do 
OpenOffice é necessário que separemos as variáveis em dois grupos: 1º grupo – as variáveis 
qualitativas e as quantitativas discretas e 2º grupo – as quantitativas contínuas. Vamos 
realizar os estudos a partir de exemplos práticos.
3.1 Grupo (variáveis qualitativas e variáveis 
quantitativas discretas)
As variáveis tratadas nesse grupo são aquelas que não exigem agrupamentos de dados. 
Vamos observar como seria construída uma tabela para representar os seguintes resultados de 
uma pesquisa:
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3.1.1.Freqüência absoluta
A freqüência absoluta é calculada com o 
auxílio da função CONT.SE. Esta função 
calcula a quantidade de células, dentro de 
um intervalo, que contenham um 
parâmetro desejado. Este parâmetro pode 
ser um número, uma palavra, uma 
expressão, etc.
51
Retorna o número de elementos que atendem a 
determinados critérios dentro de um intervalo de célula.
Sintaxe
CONT.SE(intervalo;critérios)
Intervalo   é o intervalo ao qual os critérios deverão ser 
aplicados.
Critérios   indica os critérios na forma de um número, 
uma expressão ou uma seqüência de caracteres. Esses 
critérios determinam quais células serão contadas. Você 
também pode inserir um texto de pesquisa na forma de 
uma expressão regular, por exemplo, "b.*" para todas as 
palavras que começam com b. Também é possível indicar 
um intervalo de células que contém o critério de 
pesquisa. Se você quiser pesquisar um texto literal, 
coloque o texto entre aspas duplas.
CONT.SE
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Acompanhe as instruções a seguir: 
3.1.2.Freqüência relativa
Para se calcular a freqüência relativa há a 
necessidade de introduzir a função SOMA. 
Esta função soma uma seqüência de 
valores numéricos ou uma série de 
números isolados. Será utilizada para 
totalizar as freqüências absolutas.
52
Adiciona todos os números em um intervalo de células.
Sintaxe
SOMA(número1; número 2; ...; número 30)
O parâmetro Número de 1 a 30 representa até 30 
argumentos cuja soma deverá ser calculada.
Exemplo
Se você inserir os números 2, 3 e 4 nas caixas