Introdução à Matemática Financeira

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MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
 
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Fatores de produção da economia (1) x valores em dinheiro (2) 
(1) trabalho, tecnologia, bens, recursos, capital, ... x 
(2) salário, aluguel, lucro, juro, correção monetária (inflação), câmbio,... 
Matemática financeira 
Estuda a evolução dos valores em dinheiro ao longo do tempo: 
• juros simples e compostos; descontos; correção monetária. 
• diagrama de fluxo de caixa; valor presente e valor futuro. 
• séries de pagamentos; sistemas de amortização. 
Análise financeira 
Objetiva a tomada de decisão nas empresas e nos projetos, utilizando a 
matemática financeira : 
• lucratividade, endividamento, liquidez, atividade, depreciação, ... 
• avaliação de investimentos (VPL, TIR, Pay-Back,...) 
• riscos financeiros. 
• comparação de alternativas. 
• recursos para financiamento e capital de giro. 
ANÁLISE FINANCEIRA - INTRODUÇÃO 
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Capital: valor aplicado através de alguma operação financeira. 
 = Principal = Valor Atual = Valor Presente (Present Value - PV) 
 
Juros: remuneração do capital. 
Exemplo: 100 unidades de moeda são trocadas por 105 a serem recebidas daqui a 
um mês. Os juros sobre as 100 unidades são 5 unidades. 
 
Regime de capitalização: 
É o processo de formação de juros e como são incorporados ao capital. 
 
Regime de Capitalização a Juros Simples: os juros são calculados sempre 
em função do capital inicial empregado. (não sobre o saldo devedor) 
 
Regime de Capitalização a Juros Compostos: os juros são calculados em 
função do saldo existente no início de cada período. (“juros sobre juros”) 
 
Taxa de juros: remuneração percentual do dinheiro para um período. 
 Exemplos: 12 % a.a. ou 12/100 = 0,12 a.a. (a.a. = ao ano). 
 1% a.m. ou 1/100 = 0,01 a.m. (a.m. = ao mês). 
MATEMÁTICA FINANCEIRA - CONCEITOS 
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Período Saldo no início de 
cada período 
Juros no período 
 (sobre o capital inicial) 
Saldo no final 
 de cada período 
1º mês R$100,00(inicial =P) 0,1 x R$100,00 = R$10,00 R$110,00 ( =100+10) 
2º mês R$110,00 0,1 x R$100,00 = R$10,00 R$120,00 ( =110+10) 
3º mês R$120,00 0,1 x R$100,00 = R$10,00 R$130,00 ( =120+10) 
4º mês R$130,00 0,1 x R$100,00 = R$10,00 R$140,00 (montante) 
Evolução no Regime de Capitalização a Juros Simples: 
capital de R$100,00 com taxa de juros de 10% a.m. (= 0,10 ao mês) 
JUROS SIMPLES 
Exemplo acima: 
 
Juros: J = P.i.n = R$100,00 x 10% x 4 = 
 =100 x 0,10 x 4 = R$40,00 
 
Montante: M = P+J = R$100,00+R$40,00= 
 = R$140,00 
J = juros 
P = principal ( capital inicial ) 
i = taxa de juros 
n = número de períodos 
M = montante 
Total de juros: R$140,00 – R$100,00 = R$40,00 
J = P . i . n 
M = P + J ou J = M – P 
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JUROS SIMPLES - outros exemplos 
1- Você pegou por empréstimo um capital de R$100,00 a ser quitado após 4 meses 
por um montante de R$140,00. Qual o total de juros simples e a taxa de juros 
simples que foram cobrados ? 
 
fórmulas: J=P.i.n M=P+J 
dados: P=100 , n=4 , M=140 incógnitas: J=? i= ? 
 
J= M - P = 140 -100 = 40 Juros cobrados: R$40,00 
i= J/ (P.n) = 40/ (100x4) = 0,1 = 10/100 taxa 10% ao mês ( n= 4 meses) 
2- Você terá que pagar num prazo de 4 meses o montante de R$3200,00 relativo a 
um empréstimo numa taxa de juros simples de 15% a.m. 
Qual o capital que você pegou emprestado? Quanto vai pagar de juros? 
 
fórmulas: J=P.i.n M=P+J 
dados: n=4, M=3200, i=15% incógnitas: P=? J=? 
 
J= P.0,15.4 = 0,6P 
M= P+J ... 3200 = P+0,6P ... 3200 = 1,6P .... P = 3200/1,6 = 2000 
 Principal = R$2000,00 
J = M – P = 3200 – 2000 = 1200 ... Juros = R$1200,00 
JUROS SIMPLES - outros exemplos 
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JUROS COMPOSTOS 
Evolução no Regime de Capitalização a Juros Compostos : 
capital de R$100,00 com taxa de juros de 10% a.m. (= 0,10 ao mês) 
Período Saldo no início de 
cada período 
Juros no período (sobre o 
saldo no início do período) 
Saldo no final de cada 
período (Mn) 
1º mês R$100,00 (inicial=P) 0,1 x R$100,00 = 10,00 R$110,00 (=100+10) 
2º mês R$110,00 (M1) 0,1 x R$110,00 = 11,00 R$121,00 (=110+11) 
3º mês R$121,00 (M2) 0,1 x R$121,00 = 12,10 R$133,10 (121+12,10) 
4º mês R$133,10 (M3) 0,1 x R$133,10 = 13,31 R$146,41 (montante) 
Mn = Montante M em n períodos : 
M1 = P + i.P = P (1+i) 
M2 = M1 + i.M1 = M1(1+i) = P(1+i)(1+i)= P(1+i)2 
 
 
J = juros 
P = principal ( capital inicial ) 
i = taxa de juros 
n = número de períodos 
 
Exemplo acima : 
P = R$100,00; i = 0,10a.m.; n = 4 meses 
 
M = R$100,00(1+ 0,10)4 = 100x1,14 = 
 = 100x1,4641 = R$146,41 
 
J = R$146,41 - R$100,00 = R$46,41 
Mn = P(1+i)
n J = M - P 
unidade de tempo de n e i 
 (ano, mês, dia,..) conforme i 
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JUROS COMPOSTOS - Exemplos 
1) Determinar o montante a ser pago relativo a um empréstimo de 
R$100.000,00 pelo prazo de 1 ano na taxa de 5% ao mês. 
 (Normalmente todos os financiamentos usam juros compostos ) 
 
 P= R$100.000,00; n= 1ano= 12 meses em função da taxa i= 5% ao mês 
 
 M = P(1+i)n = 100.000(1+0,05)12 = R$179.585,63 
2) Determinar o valor que foi emprestado numa taxa de 10% a.a. que 
após 60 meses corresponde a uma dívida de R$10.000,00. 
 
 M= R$10.000,00; i = 10% a.a; n = 60 meses = 5 anos ( i=10%a.a.) 
 
 P = M / (1+i)n = 10.000 / (1+0,1)5 = R$6.209,00 
3) Determinar a taxa i que aplicada ao principal de R$6209,00 resulta num 
montante de R$10.000,00 em 5 anos. 
 
 M = P(1+i)n 10.000 = 6.209(1+i)5 (1+i)5=10.000/6209=1,61 
 
 1+i = 1,611/5 = 1,610,2 ou 1+i = 5√ 1,61 1+i = 1,1 
 
 i = 0,1 = 10% a.a. ( com referência a 5 anos) 
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TIPOS DE TAXAS DE JUROS E INFLAÇÃO 
Taxa Nominal - o período de capitalização é diferente do período da taxa. 
 Ex.: juros de 12% ao ano capitalizados mensalmente 
 
Taxa Efetiva - o período de capitalização coincide com o período da taxa. 
 Ex: juros de 1% ao mês capitalizados mensalmente 
 
A conversão Taxa Nominal / Taxa Efetiva é feita proporcionalmente aos 
 períodos (como juros simples) ainda que num regime de juros compostos. 
 Ex.: taxa nominal de 12% a.a. significa taxa efetiva de 1% a.m. ou 6% a.s. 
Inflação – um processo duradourode elevação dos preços; 
 pode ocorrer com mais intensidade em alguns setores da economia e 
 em algumas regiões de um país. 
 
Taxa de Inflação - medida nos setores de mercadorias e serviços; 
 mostra a elevação dos preços (%) em certo período - INPC, IGP, etc. 
Taxa Real de Juros - é a taxa efetiva de juros na ausência da inflação. 
 
 (1 + taxa efetiva ) = (1 + taxa real) x (1 + taxa de inflação) 
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Exemplo : 
R$100.000,00 aplicados no início de um determinado mês resultaram em 
R$132.600,00 no final do mês. 
A taxa de inflação mensal nesse mês foi de 30% a.m. 
Qual foi a taxa real do rendimento ? 
 
(1 + taxa real ) = (1 + taxa efetiva) / (1 + taxa de inflação) ...(*) 
 
rendimento = 132.600 – 100.000 = 32.600 
 
taxa efetiva = 32.600 / 100.000 = 326/1000 = 32,6% 
 
taxa de inflação = 30% 
 
Então, substituindo na expressão acima (*) : 
 
1 + taxa real = ( 1 + 0,326 ) / ( 1 + 0,30 ) = 1,326 / 1,30 = 1,02 
 
taxa real = 1,02 – 1 = 0,02 = 2% a.m. 
 
Taxa real de juros do rendimento = 2% a.m. 
TAXAS DE JUROS E INFLAÇÃO- Exemplo 
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Duas taxas i1 e i2, de diferentes sistemas de capitalização (ao mês , ao 
ano, etc..), são equivalentes, se aplicadas ao mesmo capital P, durante o 
mesmo período de tempo, produzem o mesmo montante . 
 
A aplicação de R$1.000,00 à taxa de 10% ao mês durante 3 meses é 
equivalente a uma única aplicação com a taxa de 33,1% ao trimestre. 
 
i= 0,10 a.m. em 3 meses equivale a i= 0,331 a.t. em 3 meses (trimestre) 
 
 M = P(1+i)n = 1000(1+0,10)3 = 1000x1,331 = R$1331,00 (juros compostos) 
 
 equivale a M = P(1+0,331)1 = 1000x1,331 = R$1331,00 
 
 ou seja : (1+i mensal )
3 = (1+i trimestral)
1 
TAXAS DE JUROS EQUIVALENTES ( em juros compostos ) 
Numa aplicação de 1 ano = 2 semestres = 3 quadrimestres = 4 trimestres = 
 = 12 meses = 24 quinzenas = 360 dias: 
(1+ianual)=(1+isemest)² = (1+iquadr)
3 = (1+itrim)
4 = (1+imens)¹² = (1+iquinz)
24 =(1+idia)
360 
 
Ex.: (1+12%a.a.) = (1+ i semestral)2 1+i semestral = 1,121/2 = 1,058 
 i = 0,058 = 5,8% ao semestre Então 12% a.a = 5,8% a.s. em 1 ano 
 
Obs:“Taxas proporcionais” : juros simples – proporção direta aos períodos. 
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OPERAÇÕES DE DESCONTO 
$ 100 
+ juros 
$ ? 
valor presente montante 
$ ? 
- desconto 
 $100 
valor atual valor nominal 
investimento hoje valor futuro do investimento 
valor a receber no futuro 
p. ex.: duplicata, cheque pré-datado. 
valor c/ desconto 
hoje 
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DUPLICATA 
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Valor Nominal ou Valor de Face de um título = valor que vem declarado no título = 
o que ele vale na data do vencimento. (duplicata,“cheque pré-datado”,... ) 
 
Valor Atual = valor do título em data que precede seu vencimento. 
 (antes do vencimento, o título tem um valor menor do que o nominal) 
 
Desconto “D” = diferença entre o Valor Nominal “N” (valor futuro na data de 
vencimento) e o Valor Atual “A” (na data do desconto). 
 
 
OPERAÇÕES DE DESCONTO 
D= N – A ou A= N – D 
O cálculo de D usa fórmulas correspondentes aos cálculos de juros. 
Desconto Comercial (desconto “por fora” ) ... taxa de desconto sobre N 
Desconto Racional (desconto “por dentro”) ... taxa de desconto sobre A 
Com desconto simples ( cálculos como em juros simples) 
Desconto Comercial Simples D = N i n A = N – D 
Desconto Racional Simples D = A i n N = A (1 + i n) 
Com desconto composto ( “desconto sobre desconto” análogo a juros composto ) 
Desconto Comercial composto A = N(1 – i )n D = N – A 
Desconto Racional composto N = A(1 + i )n D = N.[(1+i)n – 1 ] / (1+i)n 
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OPERAÇÕES DE DESCONTO - EXEMPLOS 
2) Um título de R$100.000,00 teve desconto racional simples de 10% a.m. 90 
dias antes do seu vencimento. Calcule o valor atual e o desconto. 
 
N = R$100.000,00 ; i = 10% a.m. ; n = 90 dias = 90/30= 3 meses 
 
A = N / (1 + i n) = 100.000 / (1+0,1 x 3) = 100.000 / 1,3 = R$76.923,08 D= N – 
A = 100.000 – 76.923,08 = R$23.076,92 
1) Qual o valor do desconto bancário simples de um título de R$2.000,00, com 
vencimento para 60 dias, a taxa de 15% a.m.? 
 
 N = R$2.000,00; i= 15% a.m. ; n= 60 dias = 60/30 = 2 meses 
 
 D = N. i. n = 2.000 x 0,15 x 2 = R$600,00 
 A= N – D = 2.000 – 600 = R$1.400,00 
3) Qual o desconto racional composto de um título de R$10.000,00 com 
vencimento para 5 meses, a uma taxa de desconto de 3,5% ao mês. 
N = A(1+i)ⁿ A= N/ (1+i)ⁿ = 10000/(1+ 0,035)5 = 10000 / 1,188 = 8419,70 
D = N – A = 10000 – 8419,70 = R$1580,30 
ou, D =N.[(1+i)n -1] / (1+i)n = 10.000,00 [(1,035)5-1]/1,0355 = R$1.580,30 
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FLUXO DE CAIXA - entradas e saídas de dinheiro ao longo do tempo. 
DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA - representação gráfica do fluxo. 
Entradas / recebimentos (+) 
Saídas / pagamentos (-) 
tempo 
Exemplo : 
Aplicação hoje de R$1000,00 com resgate de R$1100,00 em 12 meses. 
juros = 1100 -1000 = R$100,00 
taxa = 100/1000 = 10% no período = 10% ao ano 
-1000,00 
+1100,00 
12 0 
meses 
VF = valor futuro 
VP = valor presente 
 aplicação : saída (-) 
 resgate : entrada (+) 
Diagrama de Fluxo de Caixa 
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SÉRIE OU ANUIDADE 
Sucessão de pagamentos destinada a liquidar uma dívida, ou 
Sucessão de recebimentos para formar um capital. 
Séries Uniformes - características : 
 
Anuidade Constante: todos os pagamentos (ou recebimentos) são iguais. 
Anuidade Periódica: pagamentos (ou recebimentos) em períodos iguais. Anuidade 
Postecipada: série periódica com pagamentos (ou recebimentos) 
 no fim de cada intervalo de tempo referente à taxa de juros. 
(*)Anuidade Antecipada: série periódica com pagamentos (ou recebimentos) 
 no início de cada intervalo de tempo referente à taxa de juros. 
0 1 3 6 meses 
0 2 3 6 meses 
 
Dívida 
Pagamentos 
Recebimentos 
Investimento 
0 1 2 3 4 meses 
Série Postecipada 
4 pagamentos iguais 
0 1 2 3 meses 
* Série Antecipada 
$200 $300 $500 
$100 $300 $600 
Principal Principal 
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Um fluxo de caixa com n pagamentos (ou recebimentos) de mesmo valor (PMT - 
Payment)dentro do regime de juros compostos a uma taxa i correspondendo a 
um montante de valor futuro VF . 
SÉRIE UNIFORME 
(Série Postecipada 
 com juros compostos) 
VF = PMT [(1 + i)ⁿ - 1] 
 i 
Exemplo 1: Num investimento serão feitos depósitos de R$1.000,00 ao final de 
cada ano, durante 3 anos. Qual o valor futuro no final do terceiro ano, a uma taxa de 
juros de 12% a.a. ? 
 
VF = 1.000 [(1 + 0,12)³- 1] = 1.000 x 0,4049 = 404,9 = R$ 3.374,40 
 0,12 0,12 0,12 
 
Exemplo 2: Uma empresa financia a venda de suas máquinas por um prazo de 24 
meses, a uma taxa efetiva de 3,0% a.m. Qual o valor da prestação mensal para uma 
máquina que custa à vista R$50.000,00? 
 
VF = M = P(1+i)n VF = 50000(1+0,03)24 = R$101.639,71 
VF= 101639,71 = PMT[(1+0,03)24 -1] 
 0,03 
PMT = 0,03 x 101639,71 = R$ 2952,35 
 1,0328 
VF = M = P(1+i)n 
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SÉRIE UNIFORME – Postecipada x Antecipada 
Antecipada ( “entrada + n pagamentos” ) 
0 1 2 3 4 meses 
P = ( valor à vista – PMT ) 
(1 + n) pagamentos PMT 
(valor à vista) 
Postecipada ( “n pagamentos sem entrada” ) 
0 1 2 3 4 5 meses 
P = valor à vista 
n pagamentos PMT 
(valor à vista) 
Exemplo: R$1000,00 em 5 vezes a 10% a.m. 
 
VF = P(1+i)n = 1000(1+0,10)5 = R$1610,51 
 
VF = PMT [(1 + i)ⁿ - 1] 
 i 
PMT = i . VF___ = 0,1x 1610,51__ = 
 [(1 + i)ⁿ - 1] (1+0,10)5 -1 
 
 = 161,051 / 0,61051 PMT= R$ 263,80 
Exemplo: R$1000,00 em 1+4 vezes a 10% a.m. 
 
VF = P(1+i)n = (1000-PMT)(1+0,1)4 = 
 
VF = PMT [(1 + i)ⁿ - 1] = PMT [(1 + 0,1)4- 1] 
 i 0,1 
 
1,4641 (1000 - PMT) = 4,641PMT 
1464,1 - 1,4641PMT= 4,641PMT 
6,1051PMT = 1464,1 PMT= R$ 239,82 
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AMORTIZAÇÃO 
Devolução do principal referente a uma dívida, acrescido de juros. 
Através dos seguintes Sistemas de Amortização : 
Sistema Price, Sistema Francês ou Sistema de Prestação Constante (SPC): 
sistema de amortização em que o principal, acrescido de 
juros, é restituído por meio de pagamentos de mesmo valor (Bancos). 
 
Consultar na “Tabela Price” o valor das prestações de um financiamento. 
 
Sistema de Amortização Constante (SAC), Sistema Hamburguês : sistema 
de amortização em que a parcela referente à amortização é igual em todos os 
pagamentos. (Sistema Financeiro da Habitação) 
 
Sistema de Amortização Misto: sistema de amortização em que cada valor de 
prestação, de amortização, de juros e de saldo devedor é igual à média dos 
respectivos valores calculados pelo SPC e pelo SAC. 
 
Sistema Americano: sistema de amortização em que, ao final de cada período, 
pagam-se apenas os juros, sendo o principal restituído com pagamento único, no 
momento em que se liquida a dívida. 
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AMORTIZAÇÕES SPC (PRICE) e SAC - Exemplo 
Financiamento de R$ 10.000,00, em 5 meses, com juros de 2% a. m. 
(SPC)PRICE : prestações iguais 
 = PMT da série uniforme 
 (VP = 10000, n=5, i=0,02) 
 
 juros decrescentes: 
 = 0,02 x saldo devedor 
 
 amortização crescente: 
 = prestação - juros 
 
 (financiamentos de carros, 
 eletrodomésticos, empréstimos,..) 
SAC: amortizações iguais 
 = valor inicial ÷ n. de prestações 
 = 10000 ÷ 5 = 2000 
 
juros decrescentes: 
= 0,02 x saldo devedor 
 
prestações decrescentes: 
 = juros + amortização 
 
 ( financiamento de imóveis) 
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Sistema de Amortização Constante 
 prestação decrescente = 
 = juros + amortização constante 
AMORTIZAÇÃO - SAC X PRICE 
Tabela Price 
prestação constante = 
 = juros + amortização 
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Métodos de avaliação usando diagrama de fluxo de caixa 
 
1. Método do Valor Presente Líquido 
 compara o valor presente do fluxo de caixa com o investimento inicial, 
 considerando como taxa de juros a taxa mínima de atratividade. 
 
2. Método do Payback 
 analisa no fluxo de caixa o prazo em que as receitas pagam o investimento. 
 
3. Método da Taxa Interna de Retorno 
 analisa a taxa de remuneração correspondente ao fluxo de caixa previsto. 
AVALIAÇÃO DE INVESTIMENTOS 
Taxa mínima de atratividade – a taxa de juros mínima que um investidor 
 se propõe a ganhar quando faz um investimento. São considerados : 
 
1. Custo de Oportunidade : a melhor remuneração em outros investimentos. 
 
2. Risco do Negócio : quanto maior o risco, maior a remuneração esperada. 
 
3. Liquidez : velocidade para sair do investimento realizando o esperado. 
Objetiva a tomada de decisão sobre investir ou não em um projeto. 
 Prof. Paulo Lira 23 
VP = Soma dos VP de FC1 a FCn = 
 
 = FC1 / (1 + i)
1 + ... + FCn / (1 + i)
n 
MÉTODO DO VALOR PRESENTE LÍQUIDO - VPL 
0 1 2 3 ..... n anos 
FC0 = Investimento Inicial 
Valor Presente (VP) = valor em $ de hoje do investimento a ser feito (VF). 
 
VF = VP(1+ i)n então, 
0 1 ano 
Exemplo 1 : 
 
Comprar por 
R$100 mil 
Vender por 
R$130 mil (VF) sendo a taxa de custo de 20% a.a. 
VP = 130 / (1+ 0,20)1 = 130 / 1,2 = R$108,33 
maior que os R$100,00 da compra é lucrativo ! 
VP = VF / (1+ i)n , sendo i = taxa mín. de atratividade 
VPL (NPV) = VP – Investimento inicial (VPL maior que zero projeto viável ) 
No exemplo: VPL = R$108,33 – R$100,00 = R$8,33 ... maior que 0 viável! 
No caso geral de uma série com Fluxos de Caixa FC ... 
 ( FC = receita – despesa, de 1 a n ) 
FC1 FCn 
VPL = VP – FC0 (maior que 0 projeto viável) 
 Prof. Paulo Lira 24 
VP = Soma dos VP de FC1 a FCn = 
 
 = FC1 / (1 + i)
1 + ... + FCn / (1 + i)
n 
MÉTODO DO VALOR PRESENTE LÍQUIDO - VPL 
0 1 2 3 ..... n anos 
FC0 = Investimento Inicial 
Valor Presente (VP) = valor em $ de hoje do investimento a ser feito (VF). 
 
VF = VP(1+ i)n então, 
0 1 ano 
Exemplo 1 : 
 
Comprar por 
R$100 mil 
Vender por 
R$130 mil (VF) sendo a taxa de custo de 20% a.a. 
VP = 130 / (1+ 0,20)1 = 130 / 1,2 = R$108,33 
maior que os R$100,00 da compra é lucrativo ! 
VP = VF / (1+ i)n , sendo i = taxa mín. de atratividade 
VPL (NPV) = VP – Investimento inicial (VPL maior que zero projeto viável ) 
No exemplo: VPL = R$108,33 – R$100,00 = R$8,33 ... maior que 0 viável! 
No caso geral de uma série com Fluxos de Caixa FC ... 
 ( FC = receita – despesa, de 1 a n ) 
FC1 FCn 
VPL = VP – FC0 (maior que 0 projeto viável)Prof. Paulo Lira 25 
MÉTODO DO VALOR PRESENTE LÍQUIDO – VPL – Exemplo 
Avaliar pelo VPL a viabilidade de um projeto com expectativa de durar 3 anos 
com o seguinte Fluxo de Caixa anual ( valores em mil R$ ). 
A Taxa de Retorno mínima é de 5% a.a. ( taxa mínima de atratividade) 
0 1 2 3 anos 
3000 
1100 1210 1331 
Diagrama de FC 
Cálculo dos VP de cada FC : 
VP FC1 = 1100 / (1+0,05) = 1047,62 
VP FC2 = 1210 / (1+0,05)
2 = 1097,51 
VP FC3 = 1331 / (1+0,05)
3 = 1149,77 
 
VP = VP FC1 + VP FC2 + VP FC3 = 3294,90 
VPL = VP – Custo Inicial = 3294,90 – 3000 = 294,90 
VPL > 0 VIÁVEL (taxa de retorno desejada e lucro de 294,90 em 3 anos) 
Custo inicial de implantação = 3000 FC0 = 3000 
Despesa no ano 1 = 1000 
Receita no ano 1 = 2100 
FC1 = 2100 – 1000 = 1100 
Despesa no ano 2 = 1500 
Receita no ano 2 = 2710 
FC2 = 2710 – 1500 = 1210 
Despesa no ano 3 = 2000 
Receita no ano 3 = 3331 
FC3 = 3331 – 2000 = 1331 
 Prof. Paulo Lira 26 
O período de payback é o tempo necessário para um investidor recuperar seu 
investimento inicial em um projeto. 
 
Payback Simples: períodos de FC cuja soma cobre o investimento inicial. 
 
No exemplo anterior ... 
 FC1 + FC2 = 1100 + 1210 = 2310 ... menor que 3000 
 ... 2 anos não pagam o invest. inicial. 
 FC1 + FC2 + FC3 = 1100 + 1210 + 1331 = 3641 ... maior que 3000 
 ... 3 anos pagam o invest. inicial ... Payback = 3 anos. 
 
 
Payback Descontado: períodos de FC cuja soma dos VP cobre o invest. inicial. 
 
No exemplo anterior ... 
 VP FC1 + VP FC2 + VP FC3 = 1047,62 + 1097,51 + 1149,77 = 3294,90 
 ... só com 3 anos é pago o invest. inicial ... Payback = 3 anos. 
 
Como o projeto tem previsão de durar 3 anos esse Payback de 3 anos é viável. 
AVALIAÇÃO DE INVESTIMENTOS - MÉTODO DO PAYBACK 
 Prof. Paulo Lira 27 
TIR (IRR – Internal Return Rate) é a taxa de desconto para a qual a soma dos 
valores presentes dos fluxos de caixa é igual ao investimento inicial. 
 
 VP FC1 + VP FC2 + VP FC3 = invest. inicial ( FC0 ) 
 
 
 - é a taxa de retorno que o investidor vai obter se investir no projeto. 
 - deve ser maior que a taxa mínima de atratividade. 
AVALIAÇÃO DE INVESTIMENTOS 
 MÉTODO TIR = TAXA INTERNA DE RETORNO 
 
No exemplo anterior ... FC0 = 3000 FC1 = 1100 FC2 = 1210 FC3 = 1331 
 
 1100/ (1+r) + 1210/ (1 + r)2 + 1331/ (1 + r)3 = 3000 
 
O cálculo de r é uma equação do grau n : usar a calculadora financeira para n>2. 
 
Teclando na HP12-C : 
3000 CHS g CF0; 1100 g CFj ; 1210 g CFj ; 1331 g CFj ; f IRR ; obtém = 10% 
 
TIR = r = 10% a.a. , maior que os 5% a.a. previstos como taxa de retorno desejada. 
 
 Então o projeto é viável e lucrativo. 
 
FC1 / (1 + r)
1 + ... + FCn / (1 + r)
n = FC0 ( com TIR = r ) 
 Prof. Paulo Lira 28 
Cálculo da TIR - TAXA INTERNA DE RETORNO – Exemplo para n = 2 
Qual a TIR de um projeto com custo inicial R$4000,00 e duração de 2 anos, com 
fluxos de caixa : FC1 = R$2000,00 e FC2 = R$4000,00 ? 
0 1 2 anos 
4000 
2000 4000 
Diagrama de FC Soma dos VP dos FC = investim. inicial 
 2000 / (1+r) + 4000 / (1+r)2 = 4000 
[÷ 2000 ] ... 1 / (1+r) + 2 / (1+r)2 = 2 
[ x (1+r )2 ] ... (1+r) + 2 = 2 (1+r)2 
 1 + r + 2 = 2 (1 + 2r +r2 ) 
 2 r2 + 3r - 1 = 0 ( equação do 2º grau ) 
r = [ -b (+/-) √ ( b2 – 4ac ) ] / 2a = 
 = [ -3 (+/-) √ 9 + 8 ] / 4 = 
 = [- 3 (+/-) 4,12 ] / 4 .... r1 = [ - 3 + 4,12 ] / 4 = 1,12 / 4 = + 0,28 
 r2 = [ -3 - 4,12 ] / 4 = - 7,12 /4 = - 1,78 
Como a taxa não deve ser negativa : r = 0,28 = 28 % . 
Então TIR = 28% a.a.