Lista2-2

Prévia do material em texto

Preparação para o ENA 2021
Lista 2
Paulo Rodrigues
www.cadernosdematematica.com.br
7 de outubro de 2020
Aquecimento
Neste arquivo:
▶ Soluções completas da Lista 0
▶ Dicas para a Lista 1
▶ Problemas da Lista 2
Respostas das Questões da Lista 0
1 2 3 4 5 Desafio
B D C E B n = 32
Idade de Maria
(1) A razão da idade de Maria para a de Alice é 3 : 5. Alice tem 30 anos. Qual a idade
de Maria?
(a) 15 (b) 18 (c) 20 (d) 24 (e) 50
Sugestões e Fatos que ajudam:
Sendo M a idade de Maria, o enunciado afirma que M/30 = 3/5.
Solução – Idade de Maria
Solução:
M
A
=
3
5
=⇒ M = 3
5
× A = 3
5
× 30 = 90
5
= 18.
Equação quadrática
(2) Sejam a e b as raízes da equação x2 − mx + 2 = 0. Suponha que a + 1/b e b + 1/a
são as raízes da equação x2 − px+ q = 0. Quanto é q?
(a)
5
2
(b)
7
2
(c) 4 (d)
9
2
(e) 8
Sugestões e Fatos que ajudam:
O produto das raízes da equação quadrática ax2 + bx+ c = 0 é c/a.
A partir deste fato, com a notação da questão, observe que ab = 2 e que
q =
(
a+ 1b
) (
b+ 1a
)
.
Solução – Equação quadrática
Solução: Como a e b são as raízes da primeira equação, temos que ab = 2 e q é o produto das
raízes da segunda equação. Então,
q =
(
a+
1
b
)(
b+
1
a
)
=
(
ab+ 1
b
)(
ab+ 1
a
)
=
=
(
2+ 1
b
)(
2+ 1
a
)
=
9
ab
=
9
2
.
Porcos e Cabras
(3) Dois fazendeiros concordam que os porcos valem $ 300 e que as cabras valem $ 210.
Quando um fazendeiro deve ao outro, ele paga a dívida em porcos ou cabras, com o “troco”
recebido na forma de cabras ou porcos quando necessário. (Por exemplo, uma dívida pode
ser paga com dois porcos, com uma cabra recebida como troco). Qual é o menor montante
positivo que pode ser pago desta maneira?
(a) $ 5 (b) $ 10 (c) $ 30 (d) $ 90 (e) $ 210
Sugestões e Fatos que ajudam:
Observe que 210 e 300 são múltiplos de 30. A soma e a diferença de múl-
tiplos de 30 resulta um múltiplo de 30.
Solução – Porcos e Cabras
Solução: O montante que pode ser pago desta maneira pe do tipo 210x − 300y com x e y
inteiros (possivelmente negativos). Por exemplo, uma dívida de 120 pode ser paga dando 2 cabras
e recebendo 1 porco. Neste caso, x = 2 e y = 1.
Uma dívida de 180 pode ser paga com 2 porcos e recebendo duas cabras. Neste caso, y = −2 e
x = 2.
A expressão 210x− 300y resulta sempre em um múltiplo de 30 pois
210x− 300y = 30(7x− 10y).
Com isso eliminamos as alternativas a e b. Para mostrar que pode ser 30, basta encontrar x e y
tais que 30(7x − 10y) = 30. Simplificando obtemos 7x − 10y = 1. Esta equação possui soluções
inteiras. Uma é x = 3 e y = 2. Então podemos pagar $30 dando 3 cabras e recebendo 2 porcos.
Probabilidade?
(4) Seis inteiros positivos distintos são escolhidos ao acaso entre 1 e 2021, inclusive.
Qual é a probabilidade de que algum par destes inteiros tenha uma diferença que é um
múltiplo de 5?
(a) 12 (b)
3
5 (c)
2
3 (d)
4
5 (e) 1
Sugestões e Fatos que ajudam:
Quantos são os possíveis restos na divisão de um número por 5? O que
acontece com a diferença se dois números deixam restos iguais?
Solução – Probabilidade?
Solução: Um número pode deixar resto 0, 1, 2, 3 ou 4 na divisão por 5. Vamos colocar todos
os inteiros de 1 a 2021 em cinco caixas de acordo com o resto por 5:
5, 10 , 15, 20,
25, 30, 35, . . . ,
...
2015, 2020
1, 6, 11 , 16, 21,
26, 31, 36, . . . ,
...
2016, 2021
2, 7, 12 , 17, 22,
27, 32, 37, . . . ,
...
2012, 2017
3, 8, 13 , 18, 23,
28, 33, 38, . . . ,
...
2013, 2018
4, 9, 14, 19, 24,
29, 34, 39, . . . ,
...
2014, 2019
Resto 0 Resto 1 Resto 2 Resto 3 Resto 4
Quando escolhemos seis números quaisquer, como temos somente cinco caixas, dois números
estarão na mesma caixa. Como estes dois números na mesma caixa deixam restos iguais por 5 a
diferença entre eles é um múltiplo de 5.
Como sempre existirão dois números cuja diferença é um múltiplo de 5, a probabilidade procurada
é 1.
Comentários
(1) O problema difere dos problemas clássicos de Probabilidade porque não é necessário
determinar o tamanho do espaço amostral porque todos os casos são favoráveis. Na
verdade trata-se de um problema de Princípio das Casas dos Pombos (link para vídeo
explicando), também conhecido como Princípio de Dirichlet.
(2) Por que a diferença entre dois números na mesma caixa resulta em um múltiplo de 5?
Suponha que temos dois números na caixa do resto r. Então os números serão da forma
n = 5q1 + r e m = 5q2 + r, sendo r o resto, com 0 ⩽ r ⩽ 4. A diferença entre os números
será n−m = 5(q1 − q2), um múltiplo de 5.
https://youtu.be/VrvpUl_3V_U
Área no Retângulo
(5)
A diagonal DB do retângulo ABCD é divi-
dida em três segmentos de medida 1 cm por
retas paralelas ℓ e ℓ ′ que passam por A e C
e são perpendiculares a DB.
Qual número é mais próximo da área de
ABCD, expressa em cm2?
D Q C
A BP
M
N
1
1
1
(a) 4.1 (b) 4, 2 (c) 4, 3 (d) 4, 4 (e) 4, 5
Sugestões e Fatos que ajudam:
Lembre da propriedade h2 = mn, sendo h a altura e m e n projeções dos
catetos sobre a hipotenusa. Utilize isto para calcular NC.
Solução – Área no Retângulo
Solução:
Existem várias maneiras de resolver o problema.
A mais direta é usando a propriedade h2 = mn,
sendo m e n as projeções dos catetos sobre a hi-
potenusa, em um triângulo retângulo.
Utilizando esta propriedade no triângulo DCB
com altura NC e projeções DN = 2 e NB = 1,
obtemos
NC2 = DN× NB = 2× 1 = 2.
Portanto, NC =
√
2. Podemos agora determi-
nar a área do △DCB considerando a base DB e
a altura NC.
D Q C
A BP
M
N
1
1
1
SDBC =
1
2
DB× NC = 1
2
3×
√
2 =
3
√
2
2
.
Portanto, SABCD = 2SBCD = 3
√
2 ≈ 4, 2 cm2.
Desafio 1
Um pequeno quadrado é construído den-
tro de um quadrado de área 1 dividindo
cada lado do quadrado unitário em n partes
iguais, e então conectando os vértices aos
pontos de divisão mais próximos aos vérti-
ces opostos, como na figura. Determine o
valor de n se a área do quadrado pequeno é
1
1985 .
1/n
Sugestão:
O lado do quadrado pequeno é altura do paralelogramo “diagonal”. É possível
calcular a área deste paralelogramo em função de n e a partir daí usar a área para
calcular a altura (lado do quadrado).
Solução:
Vamos determinar a área do paralelogramo P diago-
nal como a área do quadrado menos a área dos dois
triângulos.
SP = 1 − 2 ×
1
2
n − 1
n
× 1 = 1
n
Vamos determinar a área pela fórmula base x altura.
Como a altura é igual ao lado do quadrado central,
conseguiremos determinar n.
A base b pode ser calculada usando Pitágoras no
triângulo retângulo de hipotenusa b e catetos 1 e
(n − 1)/n.
b =
√
12 +
(
n − 1
n
)2
.
Portanto,
bh =
1
n
=⇒ h = 1√
n2 + (n − 1)2
Portanto, como h2 = 1/1985, chegamos a n2 + (n −
1)2 = 1985. Resolvendo esta equação encontramos
uma única solução positiva: n = 32.
n−1
n
1
h
Respostas das Questões da Lista 1
6 7 8 9 10
D E E D B
Quantas raízes reais?
(6) Quantos números reais diferentes satisfazem a equação
(x2 − 5)2 = 16?
(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 4 (e) 8
Sugestões e Fatos que ajudam:
a2 = b2 implica em a = b ou a = −b.
Eleição do Grêmio
(7) Alice, Bruna e Carlos foram os candidatos na recente eleição do grêmio estudantil.
O gráfico mostra como os votos foram distribuídos entre os três candidatos. Se Bruna
recebeu 36 votos, quantas votos foram contabilizados ao todo?
Alice
45%
Carlos
25%
Bruna
30%
(a) 70 (b) 84 (c) 100 (d) 106 (e) 120
Sugestões e Fatos que ajudam:
Se 30% é 36, quanto é 10%?
Acendendo e Apagando Lâmpadas
(8) Quantas configurações existem para cinco lâmpadas, se cada lâmpada pode estar
acesa ou apagada? A figura abaixo ilustra uma configuração possível.

(a) 15 (b) 16 (c) 20 (d) 25 (e) 32
Sugestões e Fatos que ajudam:
Quantas configurações existem para duas lâmpadas somente? E para três.
Procure usar o princípio multiplicativo ou faço uma árvore de possibilida-
des.
Octógono Regular
(9) O octógono regular ABCDEFGH tem área 1. Qual a área do retângulo ABEF?
AB
C
D
E F
G
H
(a) 1−
√
2
2 (b)
√
2
4 (c)
√
2− 1 (d) 12 (e)
1+
√
2
4
Sugestões e Fatos que ajudam:
Além de traçar BE e AF, traces as diagonais HC e DG. Determineos ân-
gulos entre as diagonais traçadas.
Semicircunferência Inscrita
(10) Uma semicircunferência está inscrita em um triângulo isósceles de base 16 cm
e altura 15 cm de tal modo que o diâmetro da semicircunferência está sobre a base do
triângulo isósceles, como mostrado na figura. Qual a medida, em cm, do raio da semicir-
cunferência?
(a) 4
√
3 (b) 12017 (c) 10 (d)
17
√
2
2 (e)
17
√
3
2
Sugestões e Fatos que ajudam:
Calcule a área do triângulo de duas maneiras diferentes: (1) utilizando a
basa e a altura e (2) decompondo o triângulo em dois ligando o centro da
circunferência ao vértice superior.
Desafio 2
São dadas duas circunferências tangentes externamente de raios r e R e centros O1 e O2,
respectivamente. Traçamos a reta tangente às duas circunferências nos pontos distintos
A e B, como mostra a figura. Mostre que a medida de AB é igual a 2
√
Rr.
A B
O1
O2
Sugestão
Construa o trapézio retângulo ABO2O1. Observe que três dos lados medem r, R e r+ R. O problema consiste
em determinar o quarto lado, que também é altura. Talvez a solução apareça colocando a altura na vertical
(gire a figura).
Lista 2
A lebre e a tartaruga
(11) Uma tartaruga desafia uma lebre para uma corrida. A lebre concorda ansiosamente
e rapidamente corre à frente, deixando para trás a lenta tartaruga. Confiante de que
vai vencer, a lebre pára para tirar uma soneca. Enquanto isso, a tartaruga anda em um
ritmo lento e constante durante toda a corrida. A lebre acorda e corre para a linha de
chegada, apenas para encontrar a tartaruga já lá. Qual dos seguintes gráficos corresponde
à descrição da corrida, mostrando a distância d percorrida pelos dois animais ao longo do
tempo t do início ao fim?
(a) tempo
di
st
ân
ci
a
(b) tempo
di
st
ân
ci
a
(c) tempo
di
st
ân
ci
a
(d) tempo
di
st
ân
ci
a
(e) tempo
di
st
ân
ci
a
Descontos Sucessivos
(12) Para o consumidor, um único desconto de n% é mais vantajoso do que qualquer
um dos seguintes descontos:
(1) dois descontos sucessivos de 15%
(2) três descontos sucessivos de 10%
(3) um desconto de 25% seguido por um desconto de 5%
Qual é o menor valor inteiro positivo possível de n?
(a) 27 (b) 28 (c) 29 (d) 31 (e) 33
Dados Diferentes
(13) As faces em cada um de dos dois dados justos são numeradas com 1, 2, 3, 5, 7 e
8. Quando os dois dados são lançados, qual é a probabilidade de que sua soma seja um
número par?
(a) 49 (b)
1
2 (c)
5
9 (d)
3
5 (e)
2
3
Equação Irracional?
(14) Suponha que o número real x satisfaz√
49− x2 −
√
25− x2 = 3.
Qual o valor de
√
49− x2 +
√
25− x2?
(a) 8 (b)
√
33+ 8 (c) 9 (d) 2
√
10+ 4 (e) 12
Cevianas e Áreas
(15) Em um triânguloABC, o pontoD divide o ladoAC de tal modo queAD : DC = 1 : 2.
Seja E o ponto médio de BD e seja F o ponto de interseção das retas BC e AE. Sabendo
que a área de △ABC é 360 cm2, determine a área do △EBF em cm2.
B F C
D
A
E
(a) 24 (b) 30 (c) 32 (d) 36 (e) 40
Desafio 3
Uma circunferência de raio r está inscrita em um setor circular de raio R. O
comprimento da corda AB é igual a 2a.
R
2a
B
A
Prove que
1
r
=
1
R
+
1
a
.