AULA 16_DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES CONTÍNUAS (PARTE 02)

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ESCOLA DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA 
Probabilidade 
 e 
 Estatística 
Profa. Kellen Carla Lima 
Profa. Kellen Carla Lima 
CAPÍTULO 6 PARTE 02 
𝒗. 𝒂. 𝒄 𝒇𝒅𝒑 
𝒇𝒅𝒂 
𝑬(𝑿) 
M
o
d
el
o
s:
 
Profa. Kellen Carla Lima 
𝑺𝟐(𝑿) 
𝑺(𝑿) 
𝑼
𝒏
𝒊𝒇
𝒐
𝒓
𝒎
𝒆
 
𝑵
𝒐
𝒓
𝒎
𝒂
𝒍 
 
𝑬
𝒙
𝒑
𝒐
𝒏
𝒆
𝒏
𝒄
𝒊𝒂
𝒍 
Profa. Kellen Carla Lima 
A normal é a mais 
importante de todas as 
distribuições, 
porque (i) a normalidade ocorre naturalmente 
em muitas, senão todas as medidas de 
situações físicas, biológicas e sociais, e (ii) é 
fundamental para a inferência estatística; 
que podem ser aproximadas por uma 
normal: altura, peso, erros de medida 
em experimentos, notas em testes, etc. 
Muitas populações 
numéricas possuem 
distribuições, 
como uma normal, a soma e média têm 
uma distribuição aproximadamente 
normal. 
Mesmo que as 
variáveis aleatórias 
não sejam 
distribuídas 
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Profa. Kellen Carla Lima 
Profa. Kellen Carla Lima 
A função densidade de probabilidade de X ~ N(μ, σ) é: 
𝒇 𝒙 =
𝟏
𝟐𝝅 𝝈
× 𝒆 
− 
𝟏
𝟐
𝒙−𝝁
𝝈
𝟐
 
𝒆 = 𝟐, 𝟕𝟏𝟖𝟐𝟖 
𝝅 = 𝟑, 𝟏𝟒𝟏𝟓𝟗 
𝝁 = 𝒎é𝒅𝒊𝒂 𝒑𝒐𝒑𝒖𝒍𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍 
𝝈 = 𝒅𝒆𝒔𝒗𝒊𝒐 𝒑𝒂𝒅𝒓ã𝒐 𝒑𝒐𝒑𝒖𝒍𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍 
𝒙 = 𝒒𝒖𝒂𝒍𝒒𝒖𝒆𝒓 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒅𝒂 𝒗𝒂𝒓𝒊á𝒗𝒆𝒍 𝒄𝒐𝒏𝒕í𝒏𝒖𝒂 (−  𝒂 + ) 
Sendo que: 
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Ao variarmos os 
parâmetros μ e σ, 
obtemos distribuições 
normais diferentes. 
x 
𝒇(𝒙) 
μ 
σ 
Mudar σ aumenta ou diminui a dispersão. 
Mudar μ translada a distribuição para a esquerda ou para a direita. 
P
ro
fa
. K
ell
en
 C
ar
la 
 L
im
a 
Profa. Kellen Carla Lima 
 
𝟏
𝟐𝝅 𝝈
× 𝒆 
− 
𝒙−𝝁
𝟐𝝈
𝟐
𝒅𝒙
 
𝒃
𝒂
 
Para calcular 𝑷(𝒂 ≤ 𝑿 ≤ 𝒃) quando X é uma v.a normal com parâmetros 𝝁 e 
𝝈, devemos calcular: 
Nenhuma das técnicas de integração-padrão 
podem ser usadas para calcular a expressão 
acima. Assim, quando 𝝁 = 𝟎 e 𝝈 = 𝟏, a expressão 
acima foi calculada numericamente e tabulada 
para valores determinados de 𝒂 e 𝒃. Essa tabela 
também é usada para calcular probabilidades de 
quaisquer outros valores de 𝝁 e 𝝈 que estejam em 
consideração. P
ro
fa
. K
ell
en
 C
ar
la 
 L
im
a 
Transforma-se X em uma normal padronizada (distribuição “Z”) ao substrair de X a sua 
média e dividir pelo desvio padrão: 
Uma distribuição normal (com qualquer combinação de μ e σ) pode ser transformada 
em uma distribuição normal padronizada (Z). 
A distribuição normal padronizada tem μ = 0 e σ =1. 
Precisamos transformar X unidades em Z unidades. 
𝒁 =
𝑿 − 𝝁
𝝈
 
Profa. Kellen Carla Lima 
Profa. Kellen Carla Lima 
A função densidade de probabilidade, Z~N(0,1): 
P
ro
fa
. K
ell
en
 C
ar
la 
 L
im
a 
𝑺𝒆𝒏𝒅𝒐 𝒒𝒖𝒆: 
𝒆 = 𝟐, 𝟕𝟏𝟖𝟐𝟖 
𝝅 = 𝟑, 𝟏𝟒𝟏𝟓𝟗 
𝒛 = 𝒒𝒖𝒂𝒍𝒒𝒖𝒆𝒓 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒓𝒆𝒂𝒍 
Profa. Kellen Carla Lima 
z 
𝒇(𝒛) 
0 
1 
Também conhecida como distribuição “Z”, apresenta média = 0 e desvio padrão = 1 
Valores acima da média têm Z positivo. 
Valores abaixo da média têm Z negativo. 
Profa. Kellen Carla Lima 
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Se X tem distribuição normal com média 100 e desvio padrão 50, o valor Z para X = 200 é? 
Isto significa que X = 200 está 2 desvios-padrão (2 incrementos de 50 unidades) acima da média de 100. 
Note que, a distribuição é a mesma, apenas a escala e locação mudaram. Assim, podemos expressar o 
problema em termos dos valores originais (X) ou de valores padronizados (Z). 
𝒁 =
𝑿 − 𝝁
𝝈
=
𝟐𝟎𝟎 − 𝟏𝟎𝟎
𝟓𝟎
= 𝟐, 𝟎 Resolução: 
Profa. Kellen Carla Lima 
A probabilidade é medida pela área abaixo da curva. 
𝒂 𝒃 
𝒇(𝒙) 
𝑷(𝒂 ≤ 𝑿 ≤ 𝒃) 
N
o
te
 q
u
e
, 
a
 p
ro
b
a
b
il
id
a
d
e
 d
e
 q
u
a
lq
u
e
r 
v
a
lo
r 
in
d
iv
id
u
a
l 
é
 
0
. 
𝒇(𝒙) 
𝟎. 𝟓 𝟎. 𝟓 
A área total abaixo da curva é 1 e a curva é simétrica, então metade da área está abaixo da 
média e metade está acima da média. 
𝑷 −∞ < 𝑿 < 𝝁 = 𝟎, 𝟓 𝑷 𝝁 < 𝑿 < ∞ = 𝟎, 𝟓 
𝑷 −∞ < 𝑿 < ∞ = 𝟏. 𝟎 Profa. Kellen Carla Lima 
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As probabilidades de uma distribuição 
normal padronizada estão tabeladas em 
qualquer livro texto; 
A tabela a seguir mostra a 
probabilidade de valores abaixo de z; 
z = valores padronizados! 
𝜱 𝒛 = 𝑷(𝒁 ≤ 𝒛) 
𝐒𝐞𝐧𝐝𝐨: 
Função Densidade Normal Padronizada 
𝜱 𝒛 = á𝒓𝒆𝒂 𝒔𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆𝒂𝒅𝒂 
Profa. Kellen Carla Lima 
Listam segundas casas decimais para z. 
L
is
ta
m
 v
a
lo
re
s
 d
e
 z
 a
té
 a
 1
a
 c
a
s
a
 d
e
c
im
a
l.
 P(Z < 2,00) = 0,9772 
O valor nas células da tabela mostram a probabilidade de Z =   até o valor desejado de z. 
Profa. Kellen Carla Lima 
Profa. Kellen Carla Lima 
P(Z < 2,00) = 0,9772 
Z 0 2,
00 
0,9772 
Profa. Kellen Carla Lima 
P(Z < -2,00) = 0,0228 
Profa. Kellen Carla Lima 
04 
02 
03 
01 Para encontrar P(a < X < b) quando X é distribuída normalmente: 
Represente o problema para a curva normal de X. 
Tranforme valores de X em valores de Z. 
Use a Tabela da Normal Padronizada. 
Profa. Kellen Carla Lima 
P
ro
fa
. K
ell
en
 C
ar
la 
 L
im
a 
Seja X o tempo necessário, em segundos, para baixar um arquivo da internet, então 
suponha que X SEJA NORMAL com média 8 e desvio-padrão 5. Encontre 
𝑷(𝑿 < 𝟖, 𝟔). 
𝑿 
𝟖, 𝟔 
𝟖, 𝟎 
𝒁 𝟎, 𝟏𝟐 𝟎 𝑿 𝟖, 𝟔 𝟖 
𝝁 = 𝟖 
 
 𝝈 = 𝟓 
𝝁 = 𝟎 
 
𝝈 = 𝟏 
𝑷(𝑿 < 𝟖, 𝟔) 𝑷(𝒁 < 𝟎, 𝟏𝟐) 
𝒁 =
𝑿 − 𝝁
𝝈
=
𝟖, 𝟔 − 𝟖, 𝟎
𝟓
= 𝟎, 𝟏𝟐 
𝟎, 𝟓𝟒𝟕𝟖 
𝑷 𝑿 > 𝟖, 𝟔 = 𝑷 𝒁 > 𝟎, 𝟏𝟐 = 𝟏, 𝟎 – 𝑷 𝒁 ≤ 𝟎, 𝟏𝟐 
 
𝑷(𝑿 > 𝟖, 𝟔) = 𝑷(𝒁 > 𝟎, 𝟏𝟐) = 𝟏, 𝟎 – 𝟎, 𝟓𝟒𝟕𝟖 = 𝟎, 𝟒𝟓𝟐𝟐 
𝒁 
𝟎, 𝟏𝟐 
 𝟎 
𝟎, 𝟓𝟒𝟕𝟖 
Encontre 𝑷(𝑿 > 𝟖, 𝟔). 
𝟏, 𝟎 – 𝟎, 𝟓𝟒𝟕𝟖 = 𝟎, 𝟒𝟓𝟐𝟐 
Profa. Kellen Carla Lima 
= 𝑷(𝟖 < 𝑿 < 𝟖, 𝟔) 
 
= 𝑷 𝟎 < 𝒁 < 𝟎, 𝟏𝟐 
 
= 𝑷 𝒁 < 𝟎, 𝟏𝟐 – 𝑷 𝒁 ≤ 𝟎 
 
= 𝟎, 𝟓𝟒𝟕𝟖 – 𝟎, 𝟓𝟎𝟎𝟎 = 𝟎, 𝟎𝟒𝟕𝟖 
 
 
𝑪𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒆 𝒁 − 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔: 
𝒁 𝟎, 𝟏𝟐 𝟎 
𝑿 𝟖, 𝟔 𝟖 
Seja 𝑿 ~ 𝑵(𝟖; 𝟓). Determine 𝑷(𝟖 < 𝑿 < 𝟖, 𝟔). 
𝟎, 𝟎𝟒𝟕𝟖 
𝟎, 𝟓𝟎𝟎𝟎 
𝒁 =
𝑿 − 𝝁
𝝈
=
𝟖, 𝟎 − 𝟖, 𝟎
𝟓
= 𝟎 
𝒁 =
𝑿 − 𝝁
𝝈
=
𝟖, 𝟔 − 𝟖, 𝟎
𝟓
= 𝟎, 𝟏𝟐 
Profa. Kellen Carla Lima 
Profa. Kellen Carla Lima 
X ? 8,0 
0,2 
Z ? 0 
Seja X o tempo em segundos levado para baixar um arquivo na internet. Suponha que X é uma normal com 
média 8 e desvio-padrão 5. Encontre X tal que 20% dos tempos de download sejam menores do que X. 
PASSO 1  Encontrar o valor de Z que corresponde a probabilidade 
conhecida, usando a tabela da normal padronizada. 
Z …. 0,03 0,04 0,05 
-0,9 …. 0,1762 0,1736 0,1711 
-0,8 …. 0,2033 0,2005 0,1977 
-0,7 …. 0,2327 0,2296 0,2266 
X ? 8,0 
0,2 
Z -0,84 0 
PASSO 2  Converter o valor de Z em X usando a fórmula abaixo: 
Então 20% dos tempos de download de uma distribuição de tempos normal , com 𝝁 = 8 e 𝝈 = 5 estão abaixo de 3,8 seg. 
𝑿 = 𝝁 + 𝒁𝝈 = 𝟖, 𝟎 + −𝟎, 𝟖𝟒 × 𝟓, 𝟎 = 𝟑, 𝟖𝟎 
P
rofa. K
ellen C
arla L
ima 
Profa. Kellen Carla Lima 
𝑭 𝑿 = 𝑷 𝑿 ≤ 𝒙 = 𝟏 − 𝒆−𝝀𝒙 
Usada para modelar intervalo de tempo entre ocorrência de eventos (duração ou tempo de 
espera). 
𝒇 𝒙 = 𝝀𝒆−𝝀𝒙, 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒙 ≥ 𝟎 
Ex: Tempo entre chegadas de caminhões 
para descarregar carregamento; Tempo 
entre transações em um caixa rápido; 
Vida útil de equipamentos eletrônicos 
ou mecânicos. 
Definida por um único parâmetro: 
λ (lambda), a probabilidade de o 
evento durar pelo menos por um 
valor x é: 
 
𝑨 𝒇𝒅𝒑 𝒅𝒆 𝑿~𝑬𝒙𝒑(𝝀) é: 
1/ λ, ou seja o tempo médio de espera 
é o inverso do n° de chegadas por 
unidade de tempo! 
Média Desvio-padrão 
𝒙 = 𝒒𝒖𝒂𝒍𝒒𝒖𝒆𝒓 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒗𝒐, 𝒙 ≥ 𝟎 
𝝀 = 𝒏° 𝒎é𝒅𝒊𝒐 𝒅𝒆 “𝒄𝒉𝒆𝒈𝒂𝒅𝒂𝒔” 𝒐𝒖 𝒆𝒗𝒆𝒏𝒕𝒐𝒔 𝒑𝒐𝒓 𝒖𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 𝒅𝒆𝒕𝒆𝒎𝒑𝒐 
Sendo que: 
Profa. Kellen Carla Lima 
O número médio de chegadas por hora é 15, então: λ = 15 
 
Três minutos equivale a 0,05 hora 
 
𝑷(𝒕𝒆𝒎𝒑𝒐 𝒅𝒆 𝒆𝒔𝒑𝒆𝒓𝒂 < 𝟎, 𝟎𝟓) = 𝟏 – 𝒆
− 𝝀𝒙 = 𝟏 – 𝒆
− (𝟏𝟓)(𝟎, 𝟎𝟓) = 𝟎, 𝟓𝟐𝟕𝟔 
 
Portanto, exite uma probabilidade de 52,76% de que o tempo de espera entre a 
chegada de 2 consumidores seja menor do que 3 minutos. 
Consumidores chegam ao balcão de serviços a uma taxa média de 15 por hora. Qual a 
probabilidade de o tempo entre a chegada de dois consumidores consecutivos ser 
menos de 3 minutos? 
Profa. Kellen Carla Lima 
04 03 
02 
01 
Resumo do Capítulo 6 
v.a.c 
𝒇𝒅𝒑 e 𝒇𝒅𝒂 
Uniforme 
Normal 
Exponencial 
Valor Esperado 
Variância 
Desvio-padrão 
Profa. Kellen Carla Lima 
Profa. Kellen Carla Lima 
Obrigada! 
Profa. Kellen Carla Lima 
Prezad@ ESTUDANTE, 
Ao final de todas as aulas, você resolverá 2 (dois) exercícios, os quais 
deverão ser submetidos por intermédio do Multiprova. O primeiro será 
confeccionado pela professora e resolvido pelo (a) discente. O 
segundo será confeccionado e resolvido pelo (a) discente. 
Leia atentamente as regras que constam no plano 
de curso e no Multiprova.