Aula 1 - Algebra Linear

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NOTA DE AULA 1
Temas Abordados na Aula Anterior 
ØDefinição; 
ØNomenclatura 
ØRepresentação 
ØDimensão ou Ordem 
ØTipos de Matriz 
ØDP e DS 
ØSoma e Subtração de Matrizes 
ØMultiplicação por um escalar 
Øexercícios 
Soma
A e B de mesma dimensão
C= A+B com cij = aij + bij










+










−
−
987
654
321
021
102
121 










=
9106
7 5 2
4 4 2
Subtração
A e B de mesma dimensão
C= A-B com cij = aij - bij










−










−
−
987
654
321
021
102
121 










−−−
−−−
−
=
968
5 56
20 0 
Multiplicação por um escalar
Matriz A e escalar k
C = k.A com cij = k.aij










987
654
321
.3










=
272421
181512
9 6 3 
Produto de Matrizes
Amxp e Bpxn (número de colunas da primeira deve ser igual ao número de 
linhas da segunda matriz)
Cmxn= A.B com cij = ai1.b1j + ai2.b2j +... + aip.bpj










=
9 8 7 
3 4 5 
42 02 16 




















−
−
987
654
321
.
021
102
121 
Igualdade de matrizes
Matriz Am× n e Bm× n
A = B se aij = bij








=








333231
232221
131211
333231
232221
131211
bbb
bbb
bbb
aaa
aaa
aaa









=
=
=
=
=
=
=
=
=
→
3333
3232
3131
2323
2222
2121
1313
1212
1111
ba
ba
ba
ba
ba
ba
ba
ba
ba
Produto de Matrizes










9 8 7 
3 4 5 
42 02 16 










−
−
021
102
121 










987
654
321
Propriedade comutativa
 Na soma vale a comutativa: A+B = B+A
 Na multiplicação não vale a comutativa:
A.B = B.A em geral!A.B = B.AA.B = B.A em geral!




−−
=







− 42
12 9 
54
21
.
02
21 




−
=



−




8 6
2 3 
02
21 
.
54
21
Transposição










=










963
852
741
987
654
321
T
Amxn
Cnxm= AT com cij = aji
Propriedades
 (A.B).C = A.(B.C)(A.B).C = A.(B.C)
 C.(A+B) = C.A +C.BC.(A+B) = C.A +C.B
 (A+B).C = A.C + B.C(A+B).C = A.C + B.C
 A.I = I.A = AA.I = I.A = A
 ((αα .A).B = A.(.A).B = A.(αα .B) = .B) = αα .(A.B).(A.B)
 A.0 =0 e 0.A = 0A.0 =0 e 0.A = 0
 (A.B)(A.B)tt == BBtt.A.Att
1 - Observe a matriz e responda . 
a) Qual é a ordem de A?
b) Escreva o elemento a52
c) Escreva a sua transposta
d) Para que valores de i tem-se aij = 0? 









 −−
=
15595
14084
13363
12212
11101
A
2-
3-
4-
5 – Dada a matriz , obtenha a matriz X tal que X = (A + At )t








−−
−
=
234
400
511
A
6-