Aula 7 - Engrenagens (parte 2)

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Engrenagens Cilíndricas 
de Dentes Retos – Parte 2
Disciplina: Elementos de Máquinas 
Profa. Dra. Gabriela Camarinha
Interferência
Circunferência 
de Base
Circunferência 
de Base
Circunferências 
Primitivas
Adendos
Motora
Interferência
Interferência
• Interferência se verifica em primeiro lugar pelo
contato do topo dos dentes da roda (maior
numero de dentes) sobre os flancos dos dentes
do pinhão (menor numero de dentes) na região
não evolvente.
• Provoca desgaste dos dentes
• Adelgaçamento – remoção material na região de
interferência durante a fabricação.
• Como a altura de adendo tem um valor
normalizado (a = m), a condição de interferência
torna-se mais severa quanto maior for o número
de dentes da roda. O limite é atingido quando o
número de dentes tende para infinito.
Interferência
• Número mínimo de dentes do pinhão (NG=NP ) 
• ∅ − Ângulo de pressão ou contato
• k =1 dente de altura completa (ht ) (adendo longo
• k = 0,8 dente de altura menor que ht (adendo curto)
Exemplo:
Ângulo de contato = 20° e k = 1 (altura completa)
Interferência
• Número mínimo de dentes do pinhão (NG >NP ) 
• 𝐦𝐠 =
𝐍𝐠
𝐍𝐩
= 𝐦
• k =1 dente de altura completa (ht ) 
• k = 0,8 dente de altura menor que ht
• Número máximo de dentes na coroa
(1)
(2)
• Procedimento para evitar interferência:
1. Calcular Np mínimo 
2. Calcular NG máximo para Np escolhido 
3. Verificar se NG = m Np → NG máximo 
4. Se 3 não verificar, escolha Np maior e repita 1,2 e 3 até verificar 
NG ≤ NG máximo
Interferência
Interferência
• Ângulo de pressão 20°
Calculado através das equações (1) e (2)
Interferência
• Ângulo de pressão 25°
Calculado através das equações (1) e (2)
Interferência
• Regra prática para se calcular o número mínimo de dentes para do 
pinhão quando não se sabe o módulo:
• De tal maneira que pode-se criar uma tabela simplificada que serve 
para uma consulta rápida e inicial de referência.
Interferência
• A interferência pode ser eliminada com mais dentes no pinhão;
• Acréscimo de dentes implica acréscimo de d, se P deve ser
mantido;
• Ângulo de pressão mais elevado pode eliminar interferência
(implica em círculo de base menor);
• Ângulo de pressão alto eleva a força radial transmitida ao eixo;
Interferência
Análise de Forças
∅
Análise de Tensão
A figura a) mostra o pinhão
montado no eixo a, rodando no
sentido horário com uma
velocidade angular 𝛚𝟏 . Este
transmite rotação à engrenagem
(coroa), montada no eixo b com
uma rotação 𝛚𝟐 . As reações
entre os dentes em contato
ocorrem ao longo da linha de
ação. Na figura b) as duas rodas
foram separadas para melhor
visualização das forças
Análise de Tensões
F21 – Força exercida pela roda 2 na engrenagem 1
F12 – Força exercida pela roda 1 na engrenagem 2
Fa1 – Força exercida pelo eixo a na engrenagem 1
Fb2 – Força exercida pelo eixo b na engrenagem 2
Ta1 – Torque exercido pelo eixo a na engrenagem 1
Tb2 – Torque exercido pelo eixo b na engrenagem 2
Direções tangencial (t) e radial (r)
A carga transmitida (𝛚𝐭)é dada pela componente tangencial da força, 
(𝐅𝟏𝟐
𝐭 ), ou seja:
𝛚𝐭 = 𝐅𝟏𝟐
𝐭 =
𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎 × 𝐇
𝛑𝐝𝛚
Se não houver perdas de potência entre as engrenagens, 𝐅𝟏𝟐
𝐭 = 𝐅𝟐𝟏
𝐭 em 
que:
H (KW) – Potência transmitida;
d (mm) – Diâmetro primitivo da engrenagem;
𝜔 (rpm)– Velocidade angular da engrenagem.
Análise de Tensões
Por geometria:
𝐅𝟏𝟐
𝐫 = 𝐅𝟏𝟐
𝐭 𝐭𝐚𝐧∅
𝐅𝟏𝟐 =
𝐅𝟏𝟐
𝐭
𝐜𝐨𝐬∅
= 𝐅𝟏𝟐
𝐭 𝟐 + 𝐅𝟏𝟐
𝐫 ²
O torque é dado por:
𝐓𝟏𝟐 = 𝐅𝟏𝟐
𝐭 𝐝
𝟐
Lembrando:
𝐻 = 𝑇𝜔
𝐻 = 𝐹𝑡ν
ν = 𝜋𝑑𝜔
ν – velocidade na linha primitiva (mm/s)
Análise de Tensões
Exemplo 13-7 (Shigley)
O pinhão roda a 1750 rpm e transmite 2,5 kW à engrenagem intermediaria sem
torque. Os dentes são cortados segundo o sistema de 20° de profundidade
completa possuem m=2,5mm. Desenhe um diagrama de corpo livre da
engrenagem 3 e mostrem todas as forças que atuam.
Calcular os diâmetro para determinar wt
𝑚 =
𝑑
𝑁
𝑑 = 𝑚𝑑
𝑑2 = 2,5 × 20 = 50mm 𝑑3 = 2,5 × 50 =150mm
Calcular wt:
ωt =
60000H
πd2ω
=
60000 × 2,5
π × 50 × 1750
= 0,546 kN
A força tangencial da engrenagem 2 sobre a engrenagem 3 é F23
t = ωt =
0,546 kN
𝐹23
𝑟 = 𝐹23
𝑡 tan∅ = 0,546 tan 20 = 0,199 𝐾𝑁
Assim:
F23 =
F23
t
cos ∅
=
0,199
cos 20
= 0,581KN
Como a engrenagem 3 é livre (não transmite torque para o seu 
eixo), dessa forma 𝐹43
𝑡 = 𝜔𝑡 :
𝐹43
𝑡 = 0,546KN 𝐹43
𝑟 = 0,199 𝐾𝑁 F23 = 0,581KN
- Reações no eixo b: toda ação corresponde a uma reação de 
igual intensidade, mas que atua no sentido oposto, assim:
𝐹𝑏3
𝑥 = − 𝐹23
𝑡 + 𝐹43
𝑟 = − −0,546 + 0,199 = 0,347KN
𝐹𝑏3
𝑦
= − 𝐹23
𝑟 + 𝐹43
𝑡 = − 0,199 − 0,546 = 0,347KN
𝐹𝑏3 = 𝐹𝑥
2 + 𝐹𝑦
2
Exemplo 13-7 (Shigley)
• BUDYNAS, R. G.; NISBETT, J. K. Elementos de máquinas de Shigley:
projeto de engenharia mecânica. 10ª Ed. Porto Alegre: Amgh
Editora, 2016. (Cap. 13-7 e 13-14)
• NORTON, R. L. Projeto de máquinas: Uma abordagem integrada. 4ª
Ed. Porto Alegre: Artmed Editora AS, 2013. (Cap. 12)
Referência Bibliográfica