PROBABILIDADE e Amostragem_FMC_EST-II

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PAULO VIEIRA NETO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Probabilidade e Amostragem: Conceitos Básicos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
São Paulo, Julho/2004 
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PROBABILIDADE: O termo probabilidade tem uso muito amplo na conversa cotidiana entre as pessoas no sentido de sugerir um 
grau de incerteza sobre o ocorrido no passado, o que ocorrerá no presente e no futuro. O torcedor de um time de futebol pode apostar na 
probabilidade de seu time ganhar no próximo jogo. Embora seu time seja favorito em ganhar, pode ser que ele venha perder ou empatar. O aluno 
poderá ficar contente em realizar as próximas provas porque ele acredita que sua “probabilidade” de obter boas notas seja grande. 
A idéia de probabilidade tem um papel muito importante quanto à situação que envolva a tomada de decisão. O Publicitário 
precisa lançar uma propaganda sobre um determinado produto no mercado, logo ele precisará de informações sobre a 
“probabilidade” de sucesso que esta propaganda alcançará. 
Para avaliarmos a probabilidade de um evento, podemos tomar como base duas escolas de pensamento: 
1. A escola objetiva ou clássica: parte da premissa que as regras do cálculo das probabilidades devem ser aplicadas 
somente a eventos que podem ser repetidos indefinidamente sob as mesmas condições. 
2. A escola subjetiva ou personalista: Considera que a probabilidade de ocorrência de um determinado evento é medido pelo grau de 
crença que cada indivíduo atribui a ocorrência desse evento. Neste caso, teremos diferentes probabilidades para um mesmo evento. 
 
EXPERIMENTO ALEATÓRIO: Em quase tudo, em maior ou menor grau, defrontamos o acaso. Quando afirmamos: O 
time de basquete de tal Universidade deve ganhar no sábado, pode resultar: 
 
1. que, mesmo sendo favorito, ele perca; 2. que, como previmos, ele ganhe. 3. que empate. 
O resultado final, das três situações em epígrafe, depende do acaso. Fenômenos similares a esse são chamados fenômeno 
aleatórios ou experimentos aleatórios. 
Experimento ou fenômenos aleatórios são aqueles que, mesmo repetidos várias vezes sob condições parecidas, 
apresentam resultados imprevisíveis. 
 
ESPAÇO AMOSTRAL (S): Ao conjunto de todos possíveis resultados de um experimento aleatório damos o nome de 
Espaço Amostral ou Conjunto Universo e indicaremos por S. 
 
EVENTOS (E): Qualquer subconjunto do espaço amostral S de experimento aleatório, chamamos de evento. Assim, que 
seja E, se E ⊂ S (E está contido em S), então E é um evento de S. 
Se E = S, é chamado evento certo = 1. Se E ⊂ S e E é um conjunto unitário, é chamado evento elementar. 
Se E = ∅, E é chamado evento impossível. P(E) = 0 
 
Evento Simples: É formado por um único elemento do espaço amostral. Quando lançamos uma moeda, o evento que 
consiste na saída da face cara (Ca) é um evento simples. Se lançarmos duas moedas, o evento (Co,Co), por exemplo, é um 
evento simples. 
 
Evento Composto É formado por mais de um elemento do espaço amostral. No lançamento de duas moedas, o espaço 
amostral é: S = {Ca,Ca; Ca,Co; Co,Ca; Co,Co}. Seja A o evento que consiste no aparecimento de pelo menos (no mínimo) 
uma cara (Ca) no lançamento de duas moedas uma vez. Verificamos que o evento A é constituído por três elementos do 
espaço amostral: (CaCa), (CaCo) e (CoCa). Trata-se, portanto, de um evento composto. Outro exemplo: o evento 
consistente no aparecimento da soma 8, quando lançamos dois dados, é um evento composto, pois abrange cinco 
elementos do espaço amostral: (3,5); (5,3); (2,6); (6,2); (4,4). 
 
Evento Certo é aquele que ocorre em todas as realizações do experimento aleatório. Exemplo: o evento consistente no 
nascimento de um menino ou uma menina em um parto, o espaço amostral é: S = {M, F} (Masculino ou Feminino). Ora, 
em um parto, certamente nascerá um menino ou uma menina. 
Se E = S, é chamado evento certo = 1. 
 
Em síntese: 
Evento Simples: É formado por um único elemento do espaço amostral. Exemplo: No lançamento de 3 moedas, sair 
Ca, Ca, Ca é um evento simples; 
Evento Composto É formado por mais de um elemento do espaço amostral. Exemplo: No lançamento de 2 dados, obter a 
soma três, do espaço amostral, (1,2) ou (2,1); sair a soma onze: (5,6) ou (6,5). 
Evento Certo é aquele que ocorre em qualquer realização do experimento aleatório. No lançamento de um dado, 
certamente sairá a face 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. 
Evento Impossível é aquele que não ocorre em qualquer realização de um experimento aleatório. Exemplo: no 
lançamento de um dado sair a face 8. 
Evento Complementar (Ac): de um evento A qualquer, o evento Ac chamado (complementar de A), tal que Ac = S – A, 
ou seja, é um outro conjunto formado pelos elementos que pertencem ao Espaço Amostral (S), porém não pertencem a A. 
Exemplo: No lançamento de duas moedas, o espaço amostral é: S = {Ca,Ca; Ca,Co; Co,Ca; Co,Co}. Vamos definir o 
evento A = {Co, Co} = duas coroas. Todos os demais eventos de S que não fazem parte de A, são chamados de Evento 
complementar de A(Ac). Neste exemplo temos: (Ac) = {Ca,Ca; Ca,Co; Co,Ca}. 
Eventos mutuamente exclusivos ou disjuntos ou incompatíveis: dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos 
quando a realização de um exclui a realização do(s) outro(s). Exemplo: Se S = {A, B}. Sabemos que a A e B são eventos 
aleatórios e não podem ocorrer simultaneamente. Neste caso a ocorrência de A exclui a ocorrência de B e vice-versa. 
Exemplo: No lançamento de um dado, o espaço amostral será: {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Seja A, sair um número menor que 3, A 
= {1, 2}; B, sair um número maior que 3, B = {4, 5, 6}. A e B são mutuamente exclusivos e A ∪ B não constitui S. 
Nota: Se a união de “n” eventos mutuamente exclusivos for o próprio S (Espaço Amostral) ou ainda se formarem partição 
do Espaço Amostral (S), diz-se que estes são mutuamente exclusivos e exaustivos. 
 
Exemplos: 
No lançamento de um dado, são possíveis as ocorrências de 6 situações, podem sair 1, 2, 3, 4, 5, 6. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, temos: 
A = sair um número par = {2, 4, 6} ⊂ S; logo A é um evento de S. 
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ⊂ S; logo B é um evento certo de S (B = S), todas as situações podem ocorrer = 100% = 1. 
C = sair o número 4 {4} ⊂ ; logo é um evento elementar de S. Pode ocorrer uma em seis = 1/6. 
D sair um número > 7 = ∅ ⊂ S; logo D é um evento impossível de acontecer. 
 
 3
PROBABILIDADE: Dado um experimento aleatório, admitindo S o seu espaço amostral, vamos supor que todos os elementos tenham a mesma 
chance de ocorrer, i.e., que S é um conjunto eqüiprovável. Chamamos de Probabilidade de um evento A(A ⊂ S) o número real P(A), tal que: 
 
 n(A) onde: 
P(A) = -------- n(A) é o número de elementos de A; 
 n(S) n(S) é o número de elementos de S. 
 
Considerando: o nascimento de uma criança o evento A nascer um menino, sexo masculino M, temos: 
S = {M, F} ⇒ n(S) = 2 [ M: masculino; F: feminino ] 
A = {M} ⇒ n(A) = 1. logo: P(A) = n(A)/n(S) ⇒ P(A) = 1/2 ⇒ 50%. 
O resultado epigrafado permite-nos afirmar que no nascimento de uma criança, em um único parto, a chance de nascer um menino é de 50%. 
 
No lançamento de um dado, temos: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = 6 
1.A probabilidade do evento A sair um n° par: n(A) = {2, 4, 6} ⇒ P(A) = n(Par)/n(S) ⇒ P = 3/6 = 1/2 = 50% 
2.A proba. do evento B “obter um n° ≤ 6”; S: {1, 2, 3, 4, 5, 6}= 6; B: {1, 2, 3, 4, 5, 6} = 6; P(B) = 6/6 = 1 = 100%. 
3.A probabilidade do evento C "obter um n° = 4"; S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = 6 C: {4} ⇒ P(C) = 1/6 = 16,667%. 
4.A probabilidade do evento D "obter um n° > 7"; S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = 6 D: ∅ = n(D) = 0; P(D) = 0/6 = 0 
 
EVENTOS COMPLEMENTARES: Sendo p a probabilidade de um evento ocorrer (sucesso) e q a probabilidade da não ocorrência do 
mesmo (insucesso), então para que um mesmo evento ocorra há a relação p + q = 1 ⇒ q = 1 - p. Assim, o exemplo 3, a probabilidade de 
sair o 4 no lançamento de um dado é p = 1/6, então, a probabilidadede não sair o 4 no lançamento de um dado é: q = 1 - 1/6 = 5/6. 
 
EVENTOS INDEPENDENTES: Dois eventos são independentes quando a ocorrência de um não implica na ocorrência do 
outro ou vice-versa. 
Exemplo: No lançamento de 2 dados, o resultado obtido no lançamento de um deles não depende do resultado obtido no outro. 
Se dois eventos são independentes, a probabilidade da realização simultânea, de ambos, é igual ao produto das probabilidades de realização 
dos dois eventos. Sendo p1 a probabilidade de realização do primeiro evento e p2 a probabilidade de realização do segundo evento, a 
probabilidade de que tais eventos ocorram ao mesmo tempo é dada por: p = p1 x p2 
 
 
 •  
 
 
1.Probabilidade: 
 
Quando estamos interessados em estudar um determinado fenômeno coletivo, verificamos a necessidade de descrevê-lo 
através‚s de um modelo matemático que nos permita explicar a melhor maneira possível este fenômeno. 
 
A teoria da probabilidade permite construir modelos matemáticos que explicam grande número de fenômenos coletivos e 
fornecem estratégias para tomada de decisões. Em conseqüência o conhecimento do cálculo de probabilidade‚ uma 
necessidade para o estudo da Estatística Indutiva ou Inferencial. 
 
Iniciaremos nosso trabalho com o estudo da teoria das probabilidades destacando a princípio o estudo do cálculo de probabilidades. 
 
Fenômenos aleatórios: Entendemos por fenômeno qualquer acontecimento natural. Observam-se os fenômenos e seus 
possíveis resultados, podemos classificá-los em dois tipos: 
 a) determinístico; 
 b) aleatórios. (ao acaso). 
Fenômenos determinísticos: são aqueles, repetidos sob as mesmas condições iniciais, produzem sempre o mesmo 
resultado. As condições iniciais determinam o único resultado possível do fenômeno 
Fenômenos aleatórios: são aqueles, repetidos sob as mesmas condições iniciais, podem produzir mais de um o mesmo 
resultado. As condições iniciais não determinam o resultado do fenômeno. 
 
Experimento ou fenômenos aleatório: são aqueles que, mesmo repetidos várias vezes sob as mesmas condições, 
apresentam resultados imprevisíveis. 
 
ESPAÇO AMOSTRAL (S): Conjunto dos resultados possíveis de um experimento. 
Ex.: Lançamento de uma moeda pode ocorrer dois resultados: cara (c) ou coroa (k), S = {c, k} 
Lançamento de um dado há 6 resultados possíveis: 1, 2, 3, 4, 5, 6. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
Experimentos ou Fenômenos aleatórios: são aqueles que, mesmo repetidos várias vezes sob as mesmas condições, 
apresentam resultados imprevisíveis 
Conjunto universo ou Espaço amostral (S): Ao conjunto dos possíveis resultados de um experimento damos o nome de 
espaço amostral (S) ou conjunto universo. 
 
PONTO AMOSTRAL : Cada um dos elementos de (S) recebe o nome de ponto amostral. 
Evento : Qualquer subconjunto do espaço amostral (S) de um experimento aleatório. 
)S(n
)A(n
)A(P = n(A) = número de elementos de A. - n(S) = número de elementos de S. 
EVENTO CERTO A probabilidade de um evento certo ‚ igual a 1 
EVENTO IMPOSSÍVEL. A probabilidade de um evento impossível‚ igual a zero 
 
A probabilidade de um evento E qualquer (E contido S) ‚ um nº real P(E). 
Eventos COMPLEMENTARES: Sendo p a probabilidade de que um evento ocorra (sucesso) e q a probabilidade de que não ocorra 
(insucesso), existe a relação: p + q = 1 ? q = 1 - p 
Eventos INDEPENDENTES: dois eventos são independentes quando a realizado ou a não-realização de um dos eventos não 
afeta a probabilidade da realização do outro e vice-versa. p = p1 x p2 
Eventos MUTUAMENTE EXCLUSIVOS: dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos quando a realização de um exclui 
a realização do(s) outro(s). p = p1 + p2 
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ESPAÇO AMOSTRAL FINITOS EQUIPROVÁVEIS: Quando associamos a cada ponto amostral a mesma probabilidade, o espaço 
amostral chama-se equiprovável ou uniforme. Em particular, se S contém‚m "n" pontos, então, a probabilidade de cada ponto ser 1/n. Por 
outro lado, se um evento A contém‚ "r" pontos, então P(A) = r(1/n) = r/n. Esse método de avaliar P(A)‚ usualmente enunciado como: 
 
 nº de vezes em que o evento A pode ocorrer. 
 P(A) =  
 nº de vezes em que o Espaço Amostral S ocorre 
 
 
PROBABILIDADE CONDICIONAL: Seja E: lançar um dado e o evento A = {sair nº 3} P(A) = 1/6. 
Considerando agora o evento B = {sair um nº ímpar} = {1,3,5}. Para o cálculo das probabilidades calculamos as 
probabilidades condicionais. No exemplo acima, podemos estar interessados no resultado do evento A condicionada a 
ocorrência do evento B. Em símbolos, designamos por P(A/B): lê-se "probabilidade do evento A condicionada a 
ocorrência de B", ou, ainda, "probabilidade de A dado B". 
Assim: 
 P(A/B) = 1/3 
 
Devemos observar que dada à informação da ocorrência de um evento, teremos o espaço amostral (S) reduzido; no exemplo: S = {1, 2, 3, 4, 5, 
6} foi reduzido para S = {1, 3, 5} - sair nº ímpar - ‚ nesse espaço amostral reduzido que avaliaremos a probabilidade do evento. 
Definiremos a probabilidade condicionada da seguinte maneira: 
“Dados dois eventos, A e B, denotaremos P(A/B) a probabilidade condicionada do evento A, quando B tiver ocorrido, por”: 
ocorreu já B pois 0, B com 
)B(P
)BA(P
)B|A(P ≠= I 
TEOREMA DO PRODUTO: A partir da definição de probabilidade condicional, podemos enunciar o teorema do produto. 
"A probabilidade da ocorrência simultânea de 2 eventos, A e B, do mesmo espaço amostral, igual ao produto da 
probabilidade de um deles pela probabilidade condicional do outro, dado o primeiro" 
 ( )( ) ( )( ) Bn BAn)B|A(P ou )B|A(PP(B) B)P(A BP BAP)B|A(P III =→•=⇒= 
 ( )( ) ( )( ) An AB n)A|B(P ou )A|B(PP(A) A)P(B AP AB P)A|B(P III =→•=⇒= 
r fenômeno qualquer acontecimento natural. Se observamos os fenômeno 
 
Como evento é um conjunto, podemos realizar com eles as operações conhecidas, tais como união e intersecção de conjuntos. Logo: 
A U B - é um evento que ocorre se A ocorrer ou B ocorrer ou ambos ocorrerem. 
A I B - é evento que ocorre se A e B ocorrerem 
A , (lê-se A traço ou "não de A" – “AC”) é o evento que ocorre se A não ocorrer (Evento complementar). 
Exemplo: Seja o experimento sortear um cartão dentre dez cartões numerados de 1 a 10. Sejam os eventos: 
A: {Sair o número 6} e B: {sair um número ímpar}, então: 
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} 
A = {6} e B = {1, 3, 5, 7, 9} 
A U B = {1, 3, 5, 6, 7, 9} 
A I B = ∅ (evento impossível) 
 
AC {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10} (AC = Complementar de A) 
 
BC = {2, 4, 6, 8, 10} ( BC = Complementar de B) 
 
A U AC = S (O próprio espaço amostral). 
 
Regras para o cálculo das probabilidades: 
 
1. 0 ≤ P(A) ≤ 1. A probabilidade de um evento de ser um número que esteja no intervalo maior ou igual a zero ou menor ou igual a 1. 
2. P (S) = 1. A probabilidade de o evento ocorrer é igual 1, 100%. 
3. P (∅) = 0. A probabilidade do evento ocorrer é impossível, é igual a zero. 
4. Regra da Soma das Probabilidades. Se A e B forem dois eventos mutuamente exclusivos (A I B = ∅), logo: 
P (A U B) = P(A + B) ? P(A) + P(B) 
5. A e B não forem eventos mutuamente exclusivos, logo: 
P (A U B) = P(A) + P(B) - P(A I B) 
 
6. Se Ac é o evento complementar de A, logo: 
P(Ac ) = 1 – P(A) 
 
7. Probabilidade Condicional: 
 
( ) ( )( ) 0P(B) com ,BP
BAP
A/BP ≠= I 
8. Regra do produto: Se A e B não são independentes: 
P(A I B ) = P(A).P(B/A) ou P(A I B) = P(B).P(A/B) 
 
Exercícios de Probabilidade: 
 
1.Qual a probabilidade de nascer uma criança do sexo masculino (M) ou do sexo feminino (F), em um único parto? 
 5
 
2.Qual a probabilidade de sair um rei quando retiramos uma carta de um baralho de 52 cartas? 
 
3. No lançamento de um dado, calcule a probabilidade de sair: a) um número par b) um número ímpar. 
 
4.No lançamento de dois dados, calcule a probabilidade de sair o número 5. Lembre-se: pode ser combinado (1,4); (4,1); (3, 2) (2,3). (Espaço amostral "S": 36) 
4.1. Calcule a probabilidade de sair o número 13. 4.2. Calcule a probabilidade de sair o número 6. 
4.3. Calcule a probabilidade de sair um número menor ou igual a 12. 
 
5.Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas. Sendo retirada uma peça, calcule: 
 a) a probabilidade de essa peça ser defeituosa. b) a probabilidade dessa peça não ser defeituosa. 
 
6.Determine a probabilidade de cada evento: 
 a. um número ímpar aparece no lançamento de um dado; b. sair uma 1 cara no lançamento de duas moedas; 
 c. sair três coroas no lançamento de duas moedas. 
 
7.Um inteiro entre 3 e 11 ser escolhido ao acaso. 
 a. qual a probabilidade de que este número seja ímpar? b. qual a probabilidade de que este número seja par? 
 c. qual a probabilidade de que este número seja divisível por 3? d. qual a probabilidade de que este número seja divisível por 2? 
 
8.Num sorteio de números de 1 a 100, qual a probabilidade de o número ter dois algarismos: 
 a. iguais? b. distintos? 
 Lembre-se: a. S = [1, 2, 3, ..., 100] n(S) = 100 E = [11, 22, 33, ..., 99] n(E) = 9 
 b. S = [1, 2, 3, ..., 100] n(S) = 100 E = [10, 12, 13, 14, ..., 98] n(E) = 90 - 9 = 81 
 
9. No lançamento de moeda ao acaso três vezes, qual a probabilidade de saírem três caras? [é aconselhável fazer a árvore de 
possibilidades, para facilitar a contagem]. 
 
10. Lançando um dado três vezes sucessivas, qual a probabilidade de saírem números maiores que 4 nas três jogadas? 
 
11. Lançam-se dois dados. Pede-se 
 a. Determine o espaço amostral; b. Enumere o evento A = {a soma dos pontos ‚ 9}; 
 c. Enumere o evento B = {Σ dos pontos = 7}; d. Calcule a probabilidade de do evento A; 
 e. Calcule a probabilidade do evento B; f. Qual a probabilidade da soma não ser 9? 
 
12. São dadas duas urnas com determinado número de bolas. 
 Urna A Urna B 
 5 brancas 4 brancas 
 4 pretas 3 pretas 
 3 vermelhas 6 vermelhas 
 a. Calcular a probabilidade de retirar uma bola branca da urna A; 
 b. Qual a probabilidade de retirarmos uma bola preta da urna B? 
 c. Determine a probabilidade de retirarmos uma bola branca ou vermelha da urna A. 
 Os eventos são mutuamente exclusivos, aplica-se a regra da soma: P(X) + P(Y) 
 
 
AMOSTRAGEM: É uma técnica para recolher amostras, garantindo, tanto possível, o acaso na escolha. Uma amostra é representativa 
da população quando constituída por elementos selecionados de acordo com técnicas conhecidas. As mais conhecidas são: 
 
• Amostragem causal simples; 
• Amostragem sistemática; 
• Amostragem estratificada. 
 
Amostragem causal simples: Todos os elementos da população têm igual probabilidade de serem selecionados para constituir a 
amostra. Ex.: Imaginemos que o nosso gerente da loja deseja obter uma amostra dos clientes cadastrados em sua firma. O gerente 
poderá conferir o número de Cada - cadastro - de cada Cliente e sortear aqueles que farão parte da amostra. Para realizar o sorteio 
o gerente poderá utilizar fichas numeradas de zero a nove. Ele retira uma ficha da urna, aleatoriamente, anota o primeiro dígito, do 
cliente a ser selecionado. Depois ele recoloca a ficha na urna misturando-as e sorteia o segundo dígito. Exemplo: 
 Primeira ficha retirada: 3 
 Segunda ficha retirada: 7 
 Terceira ficha retirada: 5 
O resultado do primeiro sorteio, para o cliente selecionado, foi de número 375. 
Amostragem sistemática: Os elementos são selecionados para compor uma amostra por um sistema preestabelecido. 
Imaginemos que a secretaria da Escola deseja retirar uma amostra dos alunos matriculados na escola. Se os as fichas estiverem 
organizadas por ordem alfabética, a funcionária da escola poderá obter uma amostra sistemática, ela pode escolher a 3ª ficha, de 
cada 3 fichas, ou a 5ª ficha de cada 5, ou a 10ª ficha de cada 10, e assim sucessivamente. 
 
Amostragem estratificada: Quando a população encontra-se dividida em estratos, i.e., quando a população está dividida em grupos distintos. 
Ex.: O Diretor das Faculdades Capital deseja obter uma amostra da comunidade acadêmica. Acontece que as FAC é constituída por três grupos 
distintos de pessoas: professores, funcionários e alunos. Logo, para obter uma amostra representativa deve escolher uma amostra dentro de cada grupo. 
 
 
AMOSTRAGEM 
Amostra: é uma parte da população, retirada segundo uma regra conveniente. 
 
Amostragem pode ser classificadas como: probabilística e não-probabilística. 
 
PROBABILÍSTICA: São amostragens em que a seleção é aleatória de tal forma que cada elemento da população tem uma 
probabilidade de fazer parte da amostra. 
Se N define o tamanho da população e se todos os elementos da população possuem igual probabilidade, teremos que 1/N é de cada 
elemento participar da amostra. 
 
NÃO PROBABILÍSTICA OU INTENCIONAIS: São amostragens que há uma escolha dos elementos da amostra. Para fazerem 
INFERÊNCIAS ESTATÍSTICAS (tirar conclusões sobre a população, a partir de observação amostral) torna-se mister que o 
processo seja probabilístico, pois somente neste caso poderemos avaliar a probabilidade de erro. 
 
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ALGUNS TIPOS DE AMOSTRAGEM PROBABILÍSTICA 
Amostragem simples ao acaso: também conhecida por amostragem ocasional, acidental, causal, randômica etc., a amostragem 
simples ao acaso destaca-se por ser um processo de seleção fácil e muito usado. Todos os elementos da população têm igual 
probabilidade de serem escolhidos. 
 
Amostragem sistemática: Trata-se de uma variação da amostragem simples ao acaso, muito conveniente, quando a população 
está naturalmente ordenada. Imagine as fichas de fichário, Listas dos alunos da Universidade São Marcos etc. 
 
Amostragem estratificada: No caso de população heterogênea, onde não podemos distinguir subpopulações mais ou menos homogêneas, 
denominados estratos, podemos usar a amostragem estratificada. (Estratificar uma população é dividi-la em L subpopulações denominadas estratos). 
 
 
Reny Reis Gattás 
Probabilidade condicional - independência 
Um comerciante tem um lote de 100 lâmpadas, das quais 80 são da marca A, e as restantes da marca B. Sabe-se também que há 30 defeituosas 
da marca A e uma defeituosa da marca B . O comerciante pega, ao acaso, uma lâmpada a fim de vendê-la. Qual a probabilidade de ser: 
1) da marca A? 2) da marca B? 3) defeituosa? 
4) Não ser defeituosas? 5) defeituosa e da marca A? 6) defeituosa e da marca B? 
 
Consideremos a tabela abaixo: 
 
 A B 
D A ∩ D (30) B ∩ D ( 1) D (31) 
N A ∩ N (50) B ∩ N (19) N (69) 
 A (80) B (20) Total ⇒ 100 
 
De imediato, temos: 
 80 20 31 
1) P(A) = --------- ; 2) P(B) = --------- 3) P(D) = --------- ; 
100 100 100 
 
 69 30 1 
4) P(N) = ---------; 5) P(A ∩ D) = --------- 6) P(B ∩ D) = -------- 
 100 100 100 
 
Vamos supor que o comerciante pegue uma lâmpada, e ao verificar tenha sido da marca B. Sabendo que a lâmpada é da marca B, qual a 
probabilidade de ser defeituosa? Uma vez que temos a informação de que a lâmpada é da marca B, não tem mais sentido considerarmos a população 
das 100 lâmpadas. Nossa lâmpada agora é uma entre as 20 da marca B. Nossa população ficou reduzida a 20 elementos, dos quais apenas um tem a 
característica de ser defeituoso. Logo, a probabilidade de ser defeituosa, sabendo que é da marca B (denotemos por: P(D|B), é 1/20). 
Então, considerando o atributo "defeituoso", podemos pensar nas probabilidades: 
 
( i ) P(D): Probabilidade de uma lâmpada, selecionada ao acaso, ser defeituosa. ? Vimos que P(D) = 31/100 
 
( ii ) P(D|B): Probabilidade de uma lâmpada, selecionada ao acaso, ser defeituosa, 
 dado que sabemos que é da marca B, vimos que P(D|B) = 1/20. 
 
Através da tabela, em epígrafe,é imediato o cálculo das probabilidades do tipo ( ii ). Assim, por exemplo: 
 
 P(D|A): Probabilidade de ser defeituosa, dado que sabemos que é da marca A, = 30/80 
 
 P(B|D): Probabilidade de ser da marca B, dado que sabemos que é defeituosa, = 1/31 
 
 P(N|A): Probabilidade de ser não ser defeituosa, dado que sabemos que é da marca A, = 50/80 
 
 19 50 19 30 
P(B|N) = ------; P(A|N) = --------; P(N|B) = --------; P(A|D) = -------; 
 69 69 20 31 
 
Vejamos como relacionar as probabilidades do tipo ( i ) (probabilidades calculadas quando não temos nenhuma informação) às 
probabilidades do tipo ( ii ) (probabilidades calculadas com base em informação). Vimos que: 
 
 1 1/100 P(B ∩ D) 
 P(D|B) = --------- ; = ------------ = --------------- 
 20 20/100 P(B) 
 
 30 30/100 P(A ∩ D) 
 P(D|A) = --------- ; = ------------ = ------------- 
 80 80/100 P(A) 
 
Logo: 
 P( B ∩ D ) P( B ∩ D ) 
 P( D|B ) = --------------- e P( D|A ) = ---------------- 
 P( B ) P( A ) 
 
Isto nos sugere a seguinte definição: 
Definição: Sejam A, B dois eventos aleatórios, sendo P(A) > 0. A probabilidade condicional de B, dado A, denotada por P(B|A), é definida por: 
 P( B ∩ A ) 
 P( B|A ) = --------------- P(A) ≠ 0 
 P( A ) 
 
 
Se P(B) > 0, a probabilidade condicional de A dado B é: 
 P( B ∩ A ) 
 P ( A|B ) = --------------- 
 P( B ) 
 7
 
 P( B ∩ A ) 
De P ( B|A ) = --------------- → Segue que: P( A ) × P( B|A ) = P( B ∩ A ): 
 P( B ) 
 
Esta última relação é muito útil para o cálculo de probabilidades de eventos intersecções. 
 
 
PROBABILIDADE 
Fórmula de Bayes 
Reni Gattas 
Apresentamos uma fórmula prática, de grande aplicação, iniciaremos com um exemplo simples: 
Suponhamos que a população de determinada localidade consista somente de indivíduos pertencentes às raças A, B e C, numa proporção de 10%, 30% 
e 60%, respectivamente. Suponhamos também que um boletim local afirme que 10% de A; 5% de B e 2% de C são portadores de certa doença D. 
Sabendo-se que uma pessoa deste lugar é portadora de D, determinar a probabilidade de ser da raça A. 
 
Solução: Desejamos saber 
( ) ( )( ) 0P(D) com ,DP
DAP
A/DP ≠= I 
 
1º Passo: determinar P(D) 
Note que S = A ∪ B ∪ C e D = S ∩ D. 
 
D = D ∩ S = (D ∩ A) ∪ (D ∩ B) ∪ (D ∩ C) 
 
 
 
 
ANEXO II 
 
Conjuntos numéricos: o conhecimento dos conjuntos é de grande valia para o estudo na área da matemática pura ou aplicada. 
 
N* = {1, 2, 3, 4, 5, ...} - conjunto dos números naturais; 
 8
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} - conjunto dos números inteiros não negativos; 
Z = {... -n, -3, -2, -1 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} - conjunto dos números inteiros'; 
Q = {x|x = p/q onde p, q ∈ Z ∧ q ≠ 0} - conjunto dos números racionais, isto é, todos os números que podem ser 
representados por fração natural decimal correspondente; 
R = Conjunto dos números reais - {números reais} ∪ {números irracionais}; 
C = Conjunto dos números complexos; 
 
Observação: por convenção, um asterisco (*) retira o zero de qualquer conjunto numérico. Um sinal de (+) ou (-) à direita, na parte 
superior ou inferior da letra que refere ao conjunto, indica números positivos ou negativos. 
 
Z* = Conjunto dos números inteiros sem o zero; 
Q* = Conjunto dos números racionais sem o zero; 
R* = Conjunto dos números reis sem o zero; 
Z+ = Conjunto dos números inteiros positivos com o zero; 
Z
-
 = Conjunto dos números negativos positivos com o zero; 
Q*− = Conjunto dos números racionais positivos sem o zero; 
Q
-
 = Conjunto dos números racionais negativos com o zero; 
R+ = Conjunto dos números reais positivos com o zero; 
R*− = Conjunto dos números reais negativos sem o zero; 
 
Símbolos 
 
∪ União ∩ Interseção ⊂ Contido ⊃ Contém ∈ Pertence ∉Não pertence ! Fatorial 
< menor que > Maior que ≥ Maior ou igual ≤ Menor ou igual + Adição - Subtração ÷ Divisão 
× Multiplicação ≅ Aproximado ∃ Existe ∀ Qualquer ∴ Portanto Σ Somatória π Produtório 
 
 
 
Bibliografia utilizada 
 
ALLEN, R. G. D. Estatística para Economistas. Rio de Janeiro : Zahar, 1979. 
BOTTER, D.A. , PAULA, G.A., LEITE, J.G. e CORDANI, L.K. Noções de Estatística. São Paulo : IME/USP, 1996. 
BUSSAB, Wilton O. & MORENTTIN, Pedro A. Estatística básica. São Paulo : Atual, s/d. 
CRESPO, Antônio Arnot. Estatística fácil. São Paulo : Saraiva, 1998. 
FERREIRA, Wilson & TANAKA, Osvaldo K. Elementos de Estatística. São Paulo : McGraw-Hill, s/d. 
FONSECA, Jairo Simon da & MARTINS, Gilberto de Andrade. Curso de estatística. São Paulo : Atlas, 1996. 
GATTÁS, Reny Reis. Elementos de probabilidade e inferência. São Paulo : Atlas, 1978. 
LAPPONI, Juan Carlos. Estatística usando o Excel. São Paulo : Lapponi Treinamento, 2000. 
LEVIN, Jack. Estatística aplicada a ciências humanas. São Paulo: Harbra, s/d. 
OLIVEIRA, Francisco Estevam Martins de. Estatística e Probabilidade. 2. ed. São Paulo : Atlas, 1999. 
MAGALHÃES, Marcos Nascimento e LIMA, Antônio Carlos Pedroso de. Noções de probabilidade e estatística. São Paulo : 
IME/USP, 2001. 
MARTINS, Gilberto de Andrade & DONAIRE, Denis. Princípios de estatística. São Paulo : Atlas, 1993. 
MARTINS, Gilberto de Andrade. Estatística Geral e Aplicada. São Paulo : Atlas, 2001. 
MORETTIN, Luiz Gonzaga. Estatística básica - probabilidade. São Paulo : Makron Books, 1999. 2 v. 
NAZARETH, Helenalda. Curso básico de estatística. São Paulo : Ática, 1987. 
OLIVEIRA, Francisco Estevam Martins de. Estatística e Probabilidade. 2. ed. São Paulo : Atlas, 1999. 
SILVA NETO, Lauro Araújo. Opções: do tradicional ao exótico. 2. ed. São Paulo : Atlas, 1996. 
SPIEGEL, Murray Ralph. Estatística. 2. ed. São Paulo : McGraw-Hill, 1995. 
__________________. Probabilidade e Estatística. São Paulo : Pearson, 2004. 
SPINELLI, Walter & SOUZA QUEIROZ, Maria Helena. Introdução à estatística. São Paulo : Ática, 1990. 
TIBONI, Conceição Gentil Rebelo. Estatística básica para o curso de Turismo. São Paulo : Atlas, 2002. 
TOLEDO, Geraldo Luciano & OVALLE, Ivo Isidoro. Estatística básica. São Paulo : Atlas, s/d. 
UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO – USP “IME - Instituto de Matemática e Estatística”. MAE-116, Noções de Estatística, 
[Obtido em 15 dez. 2004]. Disponível em http://www.ime.usp.br/~mae116 
VIEIRA, Sonia & HOFFMANN, Rodolfo. Elementos de estatística. São Paulo : Atlas, 1988. 
______, Sonia & Wada Ronaldo. Estatística: introdução ilustrada. 2. ed. São Paulo : Atlas, 1992