Mat - Tema 2

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Definição 
Interpretação de gráficos e seus principais pontos. 
Propósito 
Reconhecer que, na vida cotidiana, muitas quantidades dependem de uma ou mais 
variáveis; portanto, o conceito de gráfico das funções torna-se essencial ao 
profissional, pois os gráficos fazem parte da comunicação cotidiana e conseguem, 
muitas vezes, passar informações independentemente de idiomas locais. 
Preparação 
Este tema tem como pré-requisito o entendimento das operações com números. Antes 
de iniciar seus estudos, tenha em mãos uma calculadora científica ou use a calculadora 
de seu smartphone ou computador. 
OBJETIVOS 
Módulo 1 
Interpretar os conceitos básicos de intervalo 
Módulo 2 
Identificar pontos no plano 
Módulo 3 
Interpretar as informações contidas em um gráfico 
Módulo 4 
Identificar pontos notáveis de um gráfico 
http://estacio.webaula.com.br/cursos/temas/graficos_e_interpretacoes_graficas/
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. 
Módulo 1 
• Interpretar os conceitos básicos de intervalo 
Introdução 
No decorrer deste tema, os intervalos merecem destaque. Será necessário que você analise 
situações gráficas e localize os melhores momentos – os intervalos – para possíveis 
intervenções. 
A palavra intervalo nos remete a uma forma de medir. 
Quando consideramos o intervalo das 9 às 11 horas, temos todos os minutos, segundos e 
qualquer subdivisão de tempo compreendida nesse período. 
No contexto matemático, os intervalos são subconjuntos do conjunto dos números reais R. 
Veja o exemplo 
Todos os valores entre 3 e 5. 
Isto significa, por exemplo, que o número irracional π, que é aproximadamente 3,14, pertence 
a este intervalo, bem como o número 4, pois eles são maiores que 3 e menores que 5. 
É claro que você pode usar a Língua Portuguesa para descrever tais conjuntos, mas a 
Matemática também é uma linguagem com características próprias, que serão abordadas ao 
longo deste tema. 
Conceitos 
Intuitivamente, ao pensar em números reais, você deve imaginar uma reta infinita, onde cada 
ponto dela é um número real. Esse objeto será chamado de Reta Real e admite o símbolo R. 
Essa reta é organizada de forma crescente do menos infinito ( - ∞ ) ao mais infinito ( + ∞ ). 
 IR 
 
 3 −√2 0 1 𝜋 
9
2
 
Reta Real. 
Um intervalo é um subconjunto dos números reais. 
Para uma representação gráfica desse conceito, adotaremos a seguinte notação: 
 
 
A bola fechada indica que o extremo do intervalo está contido no conjunto. 
 
 
 
A bola aberta indica, em nossa representação, que o extremo do intervalo não está contido no 
conjunto. 
Portanto: 
 1 
 Este intervalo compreende todos os números reais de 1 até 6, excluindo o 1 e 
incluindo o 6. 
 6 
 
 
TRANSFERINDO A LINGUAGEM 
Quando tratarmos do conjunto dos números reais, os símbolos: 
 
 
A bola fechada é representada por: 
≥ (maior ou igual) e ≤ (menor ou igual) ou [ ] (colchetes) 
Exemplo: 
Se x ∈ R e -4 ≤ x ≤ 2, isso significa que x pode ser maior que -4 ou igual a -4 e menor 
que 2 ou igual a 2; portanto, dentro do intervalo. 
 
 -4 x está dentro do intervalo 2 
Sobre a notação de conjuntos, podemos representar tal intervalo da seguinte forma: 
[−4,2] = {𝑥 ∈ 𝑅;−4 ≤ 𝑥 ≤ 2} 
Ou seja, todos os números reais a partir do número -4 até o número 2. 
Um intervalo que possui as extremidades é chamado de intervalo fechado. 
 
 
 
A bola aberta é representada por: 
> (maior) e < (menor) ou ( ) (parênteses) 
Exemplo: 
Se x ∈ R e -4 < x < 2, x pode ser maior que -4 e menor que 2. Portanto, os extremos não 
fazem parte do conjunto. 
 
 
4 x está dentro do intervalo 2 
 
Sobre a notação de conjuntos, podemos representar tal intervalo da seguinte forma: 
(−4,2) = {𝑥 ∈ 𝑅;−4 < 𝑥 < 2} 
Ou seja, todos os números reais depois do número -4 anteriores ao número 2. 
Um intervalo que não possui as extremidades é chamado de intervalo aberto. 
 
 
A amplitude de um intervalo é sempre definida por: 
 
𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒 = 𝐿𝑆 − 𝐿𝐼 Onde: 
 LS = Limite superior do intervalo 
 LI – Limite inferior do intervalo 
Portanto, nos casos anteriores, podemos calcular a amplitude do intervalo subtraindo a 
extremidade mais à direita da extremidade mais à esquerda: 
2 − (−4) = 6 
Isto é, nos dois casos, o intervalo possui a amplitude de 6 unidades. 
http://estacio.webaula.com.br/cursos/temas/graficos_e_interpretacoes_graficas/#exemplo1
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Você deve estar se perguntando: 
Mesmo com os intervalos abertos, onde as extremidades não estão incluídas, a amplitude é a 
mesma dos intervalos fechados? 
A resposta é sim! 
Isso acontece porque, mesmo nos intervalos abertos, é possível pensar que podemos ficar 
bem perto do limite aberto. Na verdade, podemos ficar “infinitamente” perto de um limite 
aberto. Logo, a amplitude (também traduzida na figura como o comprimento do trecho da 
reta) será igual se o limite for fechado ou aberto. 
Agora, vamos entender as semirretas. 
Veja o exemplo 
x ∈ R e x ≥ 6, x pode ser maior que 6 ou igual a 6 e, portanto, estará dentro do intervalo 
(destacado em vermelho) . 
 
 
 6 
Sobre a notação de conjuntos, podemos representar tal intervalo da seguinte forma: 
[6,∞ ) = {𝑥 ∈ 𝑅; 𝑥 ≥ 6} 
Ou seja, todos os números reais a partir do número 6. Note que uma semirreta pode 
possuir, no máximo, uma extremidade e, neste caso, diremos que a semirreta é 
fechada. 
Veja o exemplo 
X ∈ R e x < 6, isto significa que x pode ser apenas menor que 6, e nunca igual a 6; portanto, 6 
não está dentro do intervalo. 
 
 
 6 
 Sobre a notação de conjuntos, podemos representar tal intervalo da seguinte forma: 
(−∞, 6) = {𝑥 ∈ 𝑅; 𝑥 < 6} 
Ou seja, todos os números reais antes do número 6. A semirreta que não possui a sua 
extremidade é denominada semirreta aberta. 
Note que uma semirreta tem a amplitude infinita. 
 
Reconhecimento e contexto 
RESUMO 
Dados 𝑎,𝑏∈ℝ, tal que 𝑏>𝑎defina: 
•Intervalo Fechado: 𝑎,𝑏=𝑥∈ℝ;𝑎≤𝑥≤𝑏 
•Intervalo aberto:𝑎,𝑏=𝑥∈ℝ;𝑎<𝑥<𝑏 
•Semirreta Fechada:𝑎,∞=𝑥∈ℝ;𝑥≥𝑎e (−∞,𝑎]=𝑥∈ℝ;𝑥≤𝑎 
•Semirreta aberta(𝑎,∞)=𝑥∈ℝ;𝑥>𝑎e (−∞,𝑎)=𝑥∈ℝ;𝑥<𝑎 
•Intervalos não abertos e não fechados:𝑎,𝑏=𝑥∈ℝ;𝑎<𝑥≤𝑏e 𝑎,𝑏=𝑥∈ℝ;𝑎≤𝑥<𝑏 
oComprimento de um intervalo 𝐼=𝑎,𝑏é dado por 𝐼=𝑏−𝑎. 
oComprimento de um intervalo 𝐼=𝑎,𝑏é dado por 𝐼𝑏−𝑎 
Designaremos os valores de 1 até 12 como os meses do ano, 1 para janeiro, 2 para fevereiro, e 
assim por diante, até chegarmos a 12 para dezembro. 
 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
Caracterize por intervalos o segundo trimestre do ano 
O segundo trimestre de um ano contém os meses de abril, maio e junho. No gráfico da reta 
que temos, consideramos 1 para janeiro, 2 para fevereiro, e assim em diante. Assim, podemos 
seguir a lógica de 1 para janeiro; 2 para fevereiro; 3 para março; 4 para abril; 5 para maio; 6 
para junho; 7 para julho; ....; 12 para dezembro. 
Logo, o segundo trimestre seria o intervalo dos números que representam os meses de abril, 
maio e junho, que seriam 4, 5 e 6. Portanto, o intervalo do segundo trimestre seria [4, 6]. 
Representado pela figura: 
 
 46 
 
1. Considere os intervalos a seguir: 
I. 
 
 -1 5 
II. 
 
 -0,5 3,14 
 
a) { x ∈ R; -1 <x ≤ 5 } e { x ∈ R; 0,5 <x < 3,14 }. 
b) { x ∈ R; -1< x ≤ 5 } e { x ∈ R; 0,5 ≤ x < 3,14 } 
c) { x ∈ R ; -1 ≤ x ≤5 } e { x ∈ R; 0,5 < x < 3,14 }. 
d) { x ∈ R; -1 ≤ x ≤ 5 } e { x ∈ R; 0,5 ≤ x ≤ 3,14 }. 
e) { x ∈ R; -1< x <5 } e { x ∈ R; 0,5 < x < 3,14 }. 
Comentário 
Parabéns! A alternativa B está correta. 
A atividade em questão tem o propósito das associações, isto é, > , < bola aberta e ≥, ≤ bola 
fechada. Assim, devemos procurar a alternativa que contenha aberto em -1, fechado em 5, 
fechado em 0,5 e aberto em 3,14. A única alternativa com exatamente essa combinação é a 
letra b. 
Vamos apresentar algumas soluções aceitáveis para cada uma das representações. 
a. { x ∈ R; -1 < x ≤ 5 } ou os números reais maiores que -1 e menores ou iguais a 5 ou os 
números reais entre -1 e 5, incluindo o número 5 ou (-1, 5]. 
b. { x ∈ R; 0,5 ≤ x < 3,14 } ou os números reais maiores ou iguais a 0,5 e menores que 3,14 
ou os números reais entre 0,5 e 3,14, incluindo o número 0,5 ou ( 0,5 , 3,14 ]. 
2. Veja, a seguir, o desempenho de um corredor durante uma competição dos 100 metros 
rasos. A reta em questão mostra a marcação da distância na pista e, a cada 10 metros, é 
apresentado o desempenho do corredor em comparação à sua velocidade máxima. 
 
 
Em qual dos intervalos a seguir o corredor manteve a sua velocidade maior ou igual à de 99% 
de sua capacidade máxima. 
a) [ 50 , 80 ]. 
b) [ 30 , 100 ] 
c) [ 0, 50 ) e ( 80 , 100 ] 
d) ( 59, 61 ). 
e) [ 50 , ∞ ) 
Comentário 
 
Parabéns! A alternativa A está correta. 
 
A palavra maior ou igual presume que estamos considerando o valor de 99% em nossa análise. 
Sendo assim, o intervalo que corresponde ao que foi pedido é a letra A. 
 
Módulo 2 
• Identificar pontos no plano 
Introdução 
Na vida cotidiana, muitas quantidades mensuráveis dependem de uma ou mais variáveis. Por 
exemplo: o crescimento das plantas depende da luz solar e das chuvas; a velocidade depende 
da distância percorrida e do tempo gasto; a tensão elétrica depende da corrente e resistência. 
O plano cartesiano é uma das formas mais eficientes para representar o relacionamento entre 
duas ou mais variáveis. 
Neste módulo, apresentaremos algumas ideias de como podemos fazer uso dessa ferramenta. 
 
Conceitos 
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O plano cartesiano apresenta duas linhas numéricas: uma horizontal, da esquerda para a 
direita, e outra vertical, de baixo para cima. 
Utiliza-se a letra x para simbolizar os 
valores sobre a reta horizontal e a letra y para simbolizar os valores sobre a reta vertical. 
Observe que: 
 À medida que x aumenta, o ponto se move mais para a direita. Quando x diminui, o 
ponto se move mais para a esquerda. 
 À medida que y aumenta, o ponto se move mais para cima. Quando y diminui, o 
ponto se move mais para baixo. 
Atenção 
As retas horizontal e vertical também são chamadas, respectivamente, de "abscissa" e 
"ordenada”. O ponto ( 0,0 ) é chamado de “origem”. 
As coordenadas são sempre escritas em determinada ordem. A coordenada horizontal vem 
primeiro. Então, em seguida, vem a coordenada vertical. Isso é chamado de par ordenado. 
Os números são separados por vírgula e, em torno deles, ficam os parênteses. 
Vejamos um exemplo: 
Vamos marcar os pontos no plano cartesiano: (1,-2); (2, 4); (-3,0);(-1,-2); (0, 5). Em primeiro 
lugar, precisamos montar uma tabela com os pontos dados: 
x y 
1 -2 
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2 4 
-3 0 
-1 -2 
0 5 
 
Atenção 
Percebeu que a notação se parece com a de intervalo aberto que aprendemos no Módulo 1? 
Portanto, você deve se manter atento ao que é pedido no enunciado de cada questão. 
Agora, marcaremos as coordenadas no plano cartesiano. Sendo a primeira na reta horizontal, 
abscissa, e a segunda na vertical, ordenada. 
 
Vamos verificar se você entendeu? 
Na figura a seguir, vemos o ponto (4,2). 
 
Diga o que ocorre se movimentássemos o ponto: 
 Duas unidades para cima. 
 Três unidades para a esquerda e, depois, duas unidades para baixo. 
 a) O ponto moveria duas unidades na reta da variável y para cima. Logo, parou em 4,4. 
 b) O ponto moveria 3 unidades para a esquerda, parando em 1,2 e, depois, foi 
deslocado duas unidades para baixo, parando em 1,0. 
 
Saiba mais 
Pesquise calculadoras e aplicativos na Internet para representar os pontos no plano 
cartesiano. O GeoGebra é um exemplo de ferramenta disponível na internet. 
Acabamos de vislumbrar o plano cartesiano como forma de representação gráfica de uma 
tabela, ilustrando a relação de dois ou mais objetos ou grandezas. 
Um gráfico, nessas condições, é uma estrutura matemática bem definida. Em todos os 
exemplos e nas atividades, vimos que podemos representar pontos em uma tabela e as 
tabelas no plano cartesiano. Essa associação entre as tabelas e os pontos no plano cartesiano 
forma a ideia central do módulo 3. 
1. (ENEM 2016) Uma família resolveu comprar um imóvel em um bairro cujas ruas estão 
representadas na figura. As ruas com nomes de letras são paralelas entre si e perpendiculares 
às ruas identificadas com números. Todos os quarteirões são quadrados, com as mesmas 
medidas, e todas as ruas têm a mesma largura, permitindo caminhar somente nas direções 
vertical e horizontal. Desconsidere a largura das ruas. 
 
A família deseja que esse imóvel tenha a mesma distância de percurso até o local de trabalho 
da mãe, localizado na rua 6 com a rua E, 6,E; o consultório do pai, na rua 2 com a rua E, 2,E; e a 
escola das crianças, na rua 4 com a rua A, 4,A. 
Com base nesses dados, o imóvel que atende às 
pretensões da família deverá ser localizado no encontro das ruas: 
a) ( 3 , C ) 
b) ( 4 , C ) 
c) ( 4 , D ) 
d) ( 4 , E ) 
e) ( 5 , C ). 
Comentário 
Parabéns! A alternativa C está correta. 
Deve-se notar que podemos caminhar apenas pelas ruas; dessa forma, procuramos o ponto 
que tenha exatamente a mesma distância dos pontos 6,E; 4,A e 2,E. A partir da figura, 
podemos perceber que a família pretende morar em 4,D. Note que o ponto só poderia estar 
no interior de um triângulo, onde somente é possível a locomoção pelas ruas. Desta forma, a 
figura a seguir ilustra a nossa conclusão. 
 
2. A tabela a seguir apresenta a relação entre as idades e as alturas de uma família. Já a 
figura representa graficamente a tabela. 
Nomes Idades (anos) Alturas (metros) 
Danielle 45 1,80 
Bernardo 12 1,50 
Rodrigo 50 2,05 
Ademir 82 1,76 
Marcelo 38 1,86 
Guara 72 1,60 
Yasmin 5 1,00 
 
Associe cada ponto à pessoa correspondente na tabela. 
 
Nomes 
 
Letras 
Danielle D 
Bernardo A 
Rodrigo C 
Ademir F 
Marcelo E 
Guara B 
Yasmin G 
A 
Nomes Letras 
Danielle D 
Bernardo F 
Rodrigo G 
Ademir A 
Marcelo E 
Guara B 
Yasmin C 
B 
Nomes Letras 
Danielle D 
Bernardo F 
Rodrigo C 
Ademir A 
Marcelo E 
Guara D 
Yasmin G 
C 
Nomes Letras 
Danielle D 
Bernardo E 
Rodrigo C 
Ademir A 
Marcelo F 
Guara B 
Yasmin G 
D 
Nomes Letras 
Danielle D 
Bernardo F 
Rodrigo C 
Ademir A 
Marcelo E 
Guara B 
Yasmin G 
E 
Agora marque a alternativa correta: 
 
a) A 
b) B 
c) C 
d) D 
e) E 
Comentário 
Parabéns! A alternativa E está correta. 
Podemos perceber que as idades de todos os membros da família são diferentes. Logo, as 
letras estão em ordem decrescentes das idades. 
Nomes Letras 
Danielle D 
Bernardo F 
Rodrigo C 
Ademir A 
Marcelo E 
Guara B 
Yasmin G 
 
Módulo 3 
• Interpretar as informações contidas em um gráfico 
Introdução 
Neste módulo, você será apresentado ao conceito de função. O objetivo é fazer com que você 
perceba o quanto essas ideias estão à nossa volta, mesmo que não sejam percebidas. 
 
O que é função? 
A palavra função apareceu pela primeira vezem um artigo de Gottfried Leibniz, em 1692. Ele 
chamou de função as quantidades geométricas variáveis relacionadas a uma curva. No 
entanto, foi Daniel Bernoulli, em 1718, que definiu o conceito de função de maneira 
formal pela primeira vez, e se tratava de algo bem diferente do que conhecemos hoje em dia. 
 
Saiba mais 
Para conhecer mais sobre a história e a formalização do conceito de função, leia o livro 
História da Matemática: uma visão crítica, desfazendo mitos e lendas. 
 
Podemos perceber o conceito de função quando temos duas quantidades ("variáveis") e 
observamos que há uma relação entre elas. Se acharmos que, para cada valor da primeira 
variável, existe apenas um valor da segunda variável, dizemos que a segunda variável é uma 
função da primeira variável. 
No módulo anterior, vimos que podemos representar tabelas utilizando o plano cartesiano, no 
qual uma função não é nada além de uma tabela em que todos os valores da primeira coluna 
estão relacionados aos valores da segunda coluna, sem ambiguidades entre os valores da 
primeira coluna e os da segunda. É claro que esta não é a definição formal de função, mas, na 
prática, é o que se deseja. 
Vejamos alguns exemplos de função: 
1) Vamos fazer uma tabela com a seguinte relação: a cada número real x, associamos o seu 
valor ao quadrado (x ⋅ x = x²). A seguir, podemos acompanhar o que ocorre com esta tabela de 
forma associada ao plano cartesiano. 
Valor de x Valor de y = x² 
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-2 4 
-1 1 
0 0 
1 1 
2 4 
 Os valores da primeira coluna da tabela dependem explicitamente dos valores da 
segunda. 
Devido à nossa experiência com o Ensino Médio, é possível ligar os pontos azuis, tendo, assim, 
melhor compreensão do todo que a tabela poderia nos dar. 
 
2) Desta vez, faremos uma tabela com a seguinte relação: a cada número real x, associamos 
sua raiz quadrada √𝑥 
Valor de x Valor de y = 
 
√𝑥 
1 i ∉ R 
0 0 
1 1 
2 
3 
4 2 
 
 Percebemos que -1, em particular, não gera valores em nossa tabela, pois estamos 
trabalhando apenas com números reais. 
 Note que todo valor maior ou igual a zero possui um lugar em nossa tabela. O caso é 
que os valores menores que zero não fazem parte dela. 
O maior conjunto de valores admissíveis de uma função, em analogia à primeira 
coluna de nossas tabelas, é conhecido como domínio da função. 
3) Qual é o custo de azulejar qualquer parede quadrada, com azulejos quadrados de 10cm 
(0,1m) de lado, sabendo que cada 1m² dos azulejos é vendido a R$32 nas Casas Pitágoras? 
Solução: 
Temos de analisar o problema e entender as suas variáveis. Primeiramente, devemos perceber 
que o metro quadrado depende do comprimento lado do quadrado. Assim, podemos fazer 
uma primeira tabela: 
Lado da parede quadrada Parede em m² Quantidade de azulejos 
1 1 100 
2 4 400 
3 9 900 
x x² 100 ⋅ x² 
Para preencher a última coluna, basta entendermos quantos azulejos de 0,1m de lado são 
necessários para preenchermos um metro quadrado. A figura a seguir ilustra a ideia de um 
metro quadrado dividido em azulejos de 10cm de lado e, como podemos ver, são necessários 
100 azulejos. 
 
Podemos perceber que a quantidade 100 representa o número necessário de azulejos para 
preencher um metro quadrado de azulejos, que custa R$32 nas Casas Pitágoras. Sendo assim, 
existe uma relação de 100 → R$32. Concluímos, então, que a tabela final relaciona a 
metragem da parede com o custo em azulejos. 
Lado da parede quadrada Custo em azulejos $ 
1 32 
2 32 ⋅ 4 
3 32 ⋅ 9 
x 32 ⋅ x² 
 
Daí, a relação que expressa o custo e a metragem da parede é Cx = 32 ⋅ x² reais. 
 
Ambiguidade 
Um conceito importante sobre a construção da relação entre uma tabela e a sua 
representação gráfica é que ela não pode ser ambígua, isto é, os valores do que estamos 
caracterizando por variável dependente não devem gerar duas possibilidades. 
Vamos entender melhor a questão da ambiguidade e por que ela não é uma função: 
Exemplo: 
Veja uma tabela com as soluções da equação y² = x, onde x ∈ [ 0 , ∞ ). 
Valores de x Solução de y² = x 
0 0 
1 1 ou -1 
2 √2𝑜𝑢 − √2 
3 √3𝑜𝑢 − √3 
4 2 ou -2 
 
Neste exemplo, fica clara a ambiguidade pela não unicidade das soluções do problema, 
deixando-nos o dilema em cada ponto, se estamos considerando a parte positiva ou negativa. 
Quando esse tipo de fenômeno ocorrer, diremos que a relação estabelecida não é uma 
função. 
Portanto, 
uma função f é uma tabela de pares ordenados com a seguinte propriedade: 
se (x,y) e (x,b) estiverem na mesma tabela, então b = y. 
Em outras palavras, uma tabela não pode conter pares ordenados distintos que possuam o 
mesmo primeiro elemento. 
Sendo f uma função, o domínio de f é: o conjunto de todos os x, para o qual exista um y, tal 
que o par (x,y) esteja na tabela f. 
Desta forma, ao observarmos um gráfico no plano cartesiano, o que devemos perceber, a fim 
de entender se ele representa uma função, é se as retas verticais o tocam em um único 
ponto. 
Veja os exemplos: 
Não é função 
 
Não é função 
 
É função 
 
Atenção 
Você já deve ter notado que sempre associamos as tabelas a uma figura no plano cartesiano, 
que representa todos os pontos possíveis das tabelas em questão. 
Essas figuras são chamadas de gráficos. Quando as tabelas representarem, de fato, uma 
função, a imagem será chamada de gráfico de função.
 
Reconhecimento e contexto 
Agora, apresentaremos uma série de exemplos a fim de que você possa entender que nem 
sempre podemos, de forma explícita, construir a tabela, embora a relação com o gráfico ainda 
se faça presente. 
1) A ilustração a seguir mostra um homem andando por um brinquedo em um parque: 
 
Questão 1 
Quais diferentes medidas podemos ver em função do tempo associadas à ilustração? 
A altura do homem em relação ao solo e sua velocidade variam em função do tempo. 
 
Questão 2 
Agora, com uma caneta e um papel, tente desenhar o gráfico da altura do homem em 
função do tempo. 
Observe o gráfico da altura do homem em função do tempo. 
http://estacio.webaula.com.br/cursos/temas/graficos_e_interpretacoes_graficas/#complementar3
http://estacio.webaula.com.br/cursos/temas/graficos_e_interpretacoes_graficas/#complementar3
 
 
2) A ilustração a seguir apresenta um recipiente sendo cheio por água. 
 
Questão 1 
Quais diferentes variáveis podemos ver em função do tempo associadas à ilustração? 
A quantidade de litros de água que está dentro do recipiente e a velocidade em que o 
recipiente fica cheio variam em função do tempo. 
Questão 2 
Agora, com uma caneta e um papel, tente desenhar o gráfico da quantidade de litros de água 
no recipiente em função do tempo. 
Ao analisarmos a ilustração com cuidado, percebemos que já havia água no balde; depois, ele 
recebe mais um litro de água, além do que já estava entrando, fazendo com que o fluxo de 
água fosse maior nesse intervalo de tempo, retornando, mais tarde, à vazão natural. Obtemos 
assim: 
http://estacio.webaula.com.br/cursos/temas/graficos_e_interpretacoes_graficas/#complementar4
http://estacio.webaula.com.br/cursos/temas/graficos_e_interpretacoes_graficas/#complementar4
http://estacio.webaula.com.br/cursos/temas/graficos_e_interpretacoes_graficas/#complementar5
http://estacio.webaula.com.br/cursos/temas/graficos_e_interpretacoes_graficas/#complementar5
 
 
 
Os gráficos dos exemplos que acabamos de ver representam uma tabela em que a quantidade 
de água no recipiente ou a altura da cabeça do homem variam sem ambiguidade em função 
do tempo, apresentando, assim, o conceito de função. 
Geralmente, na escola, estudamos funções como fórmulas pré-estabelecidas. No entanto, 
como vimos nos exemplos anteriores, essa ideia não é completa. Devemos ser capazes de 
enxergar o conceito de função na diversidadeà nossa volta, conforme os exemplos a seguir: 
1) A imagem mostra um gráfico do desempenho do corredor Usain Bolt ao conquistar o 
recorde mundial dos 100 metros rasos, no campeonato mundial de atletismo. 
A reta vertical apresenta a velocidade do corredor em metros por segundo (m/s), e a reta 
horizontal mostra a distância percorrida em metros. 
O gráfico é uma função que mede a velocidade do corredor em cada momento da trajetória. 
 
2) Já esta imagem mostra o crescimento do PIB argentino, do início dos anos 1960 até a 
década de 2010. 
O gráfico apresenta o histórico do desenvolvimento econômico argentino. A partir dele, 
podemos apresentar uma tendência, auxiliando um futuro investidor. 
http://estacio.webaula.com.br/cursos/temas/graficos_e_interpretacoes_graficas/#complementar6
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1. Qual das opções a seguir não apresenta um gráfico de função? 
 
 
 A B C 
 
 
 D E 
 
Marque a opção correta: 
 
a) A 
b) B 
c) C 
d) D 
e) E 
Comentário 
Parabéns! A alternativa C está correta 
Os itens A, B e D são funções, e o item C não é uma função, de acordo com o que foi 
visto neste módulo, pois a reta vertical toca o gráfico em mais de um ponto. 
 
Em relação à alternativa E, o ponto é que, na “tabela” que apresenta o gráfico, o que ocorreu 
foi que ela pulou alguns valores. De acordo com a definição de função, podemos entender que, 
em momento algum, é relatado que não é possível pularmos valores. Sendo assim, o item E 
não contradiz em nada a definição de função. Logo, também se trata de um gráfico de função. 
2. Em 2020, houve uma pandemia global provocada pelo vírus SAR-CoV-2. Tal pandemia trouxe 
danos incalculáveis às economias globais e provocou milhares de mortes pelo mundo inteiro. 
O estudo do epidemiologista Neil Ferguson, do Imperial College, apresentou um gráfico 
mostrando requisitos de leito de cuidados intensivos (UTI) por 100 mil habitantes EM 
DIFERENTES CENÁRIOS: 
 
 Mostra o número de leitos de UTI por 100 mil habitantes que a Inglaterra possuía em 2019, 
antes do surto. 
 Mostra a epidemia não mitigada. 
 Mostra o isolamento do caso. 
 Mostra o isolamento dos casos e a quarentena das famílias. 
 Mostra uma estratégia de mitigação com o fechamento de escolas e universidades. 
 Mostra o isolamento de casos, a quarentena doméstica e o distanciamento social das pessoas 
com mais de 70 anos. 
 
Assinale a alternativa correta: 
a) Nenhum dos gráficos apresentados nas figuras são funções. 
b) Os picos em todos os cenários ocorrem em maio. 
c) Em todos os cenários, em junho, na Inglaterra, serão necessários 150 leitos de UTI a 
cada 100 mil habitantes. 
d) O sistema de saúde inglês volta ao normal em todos os cenários em agosto. 
e) Os picos de todos os cenários na Grã-Bretanha ocorrem no mês de junho. 
Comentário 
Parabéns! A alternativa D está correta. 
A letra A é falsa, pois não há ambiguidade nos pontos, portanto todos os cenários são funções. 
Para responder se o item B é verdadeiro ou falso, temos duas opções: fazer o recorte do mês 
de maio ou fazer o recorte dos picos. O mesmo vale pra avaliarmos o item E. 
Optamos por fazer o recorte dos picos, como ilustra a figura: 
 
O gráfico deixa claro que os picos se concentram durante os meses de maio e junho é não só 
em maio ou só em junho. 
No caso do item C, percebemos que o cenário amarelo e azul não chegam aos 150 leitos de UTI 
por 100 mil habitantes. 
Esse raciocínio evidencia que a resposta é a letra D. O recorte a seguir deixa claro que em 
todos os cenários o sistema de saúde inglês volta a normalidade no mês de agosto. 
 
Módulo 4 
• Identificar pontos notáveis de um gráfico 
Introdução 
Estamos chegando ao final deste tema. Dessa forma, é sempre bom entendermos o que 
aprendemos até aqui. Já sabemos como definir intervalos e marcar pontos no plano 
cartesiano, identificar gráficos de funções e, a partir da nossa observação, termos uma ideia de 
qual tipo de gráfico determinado fenômeno está produzindo. 
O intuito deste último módulo é identificar pontos especiais nos gráficos de função com o 
objetivo de balizar o processo de tomada de decisão. 
 
Raízes ou zeros 
As raízes ou zeros de uma função f serão os valores no eixo OX, que também fazem parte da 
sua função/tabela ( x , y ), onde y = f(x). Isto é, correspondem aos valores x que são associados 
ao valor zero, ( x , 0 ). 
Você, provavelmente, encontrará a seguinte representação nos livros de cálculo: 
São os valores de x tais que fx = 0. 
Graficamente, são os valores da função que se encontram sobre a reta horizontal (eixo OX). 
Vamos ver alguns exemplos: 
1) Descreveremos o conjunto das raízes apresentados no gráfico das funções a seguir. 
O gráfico das funções a serem consideradas está em roxo. 
Neste gráfico, podemos perceber que o gráfico 
da função nunca toca o eixo OX. 
Este tipo de gráfico é comumente conhecido como gráfico de uma função constante. 
Sendo assim, o conjunto de todas as suas raízes é vazio. 
2) As raízes de uma função são os valores da primeira coordenada, cujo gráfico da função f 
está sobre o eixo OX. Neste caso, temos uma única raiz, x=1. 
 
Agora é com você! 
Analise os gráficos a seguir e responda: 
Quais são as raízes das funções a seguir? 
 
Podemos ver os valores na reta horizontal que são tocados pelo gráfico da função, isto é, {-
1,0,1,2}. 
Desta forma, temos que a função em questão possui 4 raízes. 
 
 
Os valores no eixo OX fazem parte da sua tabela/ gráfico da função. Neste sentido, podemos 
ver o valor x=0 e x=4. 
O caso aqui é que todos os valores de x maiores que 4 fazem parte da nossa tabela e estão 
sobre o eixo horizontal. Portanto, as raízes da função dada pelo gráfico são 4 e [4,∞). Ou seja, 
a função pode ter uma infinidade de raízes. 
Máximos e mínimos de um gráfico 
http://estacio.webaula.com.br/cursos/temas/graficos_e_interpretacoes_graficas/#complementar7
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Devemos sempre ter em mente que, quando falamos em ponto de máximo ou mínimo de um 
gráfico, este é um par ordenado, um elemento da nossa tabela, e, por isso, possui dois valores 
associados. 
 
O valor de x é o que geralmente chamamos na literatura de máximo ou mínimo. 
O valor de y = f ( x ) é o valor máximo ou valor mínimo. 
Muitas vezes, podemos nos confundir com o que o problema pede quando essas ideias não 
estão claras. 
Veja o exemplo 
Temos na imagem a seguir que: 
 O máximo da função ocorre em x = -0.45, e o seu valor máximo é y = f (-0.45) = 1.65. 
 O mínimo ocorre em x = 1.4, e o seu valor mínimo é y = f (1.4) = -1.21. 
 
 
Trata-se do que chamamos na literatura de máximos e mínimos globais. 
Dado o gráfico de uma função f, o ponto de máximo (ou mínimo) (x , f(x)) tem a propriedade 
de ser o ponto mais alto (ou mais baixo) do gráfico. Em linguagem matemática, é o ponto (x0, f 
(x0) tal que f (x0) ≥ f(x) (f(x0) ≤ f(x) ) para todo x admissível. 
 
1. O gráfico abaixo apresenta a taxa de desemprego de 2013. 
 
Em quais meses há o maior índice de desemprego e o menor índice? 
 
a) Maior índice: dezembro; Menor índice: junho 
b) Maior índice: junho; Menor índice: dezembro. 
c) Maior índice: agosto; Menor índice: setembro 
d) Maior índice: janeiro; Menor índice: setembro. 
Comentário 
Parabéns! A alternativa B está correta. 
A taxa mais alta do gráfico é 6,2%, ou seja, ponto mais alto do gráfico. Portanto o maior índice 
de desemprego ocorre no mês de junho, e o menor índice, em dezembro, onde se encontra o 
ponto mais baixo do gráfico, 4,5%. 
 
2. O gráfico a seguir mostra o nível de água emum reservatório durante o ano de 2015. 
 
Se os níveis de água no reservatório dependem dos níveis de chuva na região, assinale, 
respectivamente, os meses do ano em que mais choveu e em que menos choveu no ano de 
2015. 
 
a) Janeiro e dezembro. 
b) Fevereiro e novembro. 
c) Março e outubro. 
d) Fevereiro e setembro. 
e) Janeiro e agosto. 
 
Comentário 
Parabéns! A alternativa D está correta. 
O mês de fevereiro teve o maior volume de chuvas. Além disso, podemos perceber que, em 
novembro, choveu mais que em setembro.