Lista 2

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EAE 5811 - Econometria I
Prof. Dr. Denisard Alves
Monitores: Bruno Gasperini e Ricardo Sabbadini
Lista 2
Data de Entrega: 31/03
1) Prove que E[b0b] = �0� + �2
PK
k=1
1
�k
, em que b é o estimador de OLS
e �k é auto-valor da matriz X0X:
2) Considere o modelo de regressão linear múltipla y = X� + ": Suponha
que o modelo está sujeito a r restrições que podem ser escritas como R� = r,
onde R é uma matriz r por k e r é um vetor de dimensão r. Reescreva o modelo
de tal sorte que as restrições se tornem r "zero restrictions", isto é, restrições
em que cada coe…ciente é separadamente suposto igual a zero. Por exemplo, no
lugar de restringirmos a seguinte soma �1+�2 = 1; podemos de…nir � = �1+�2
e supor � = 0: Suponha que há menos restrições que parâmetros e que a matriz
R tem posto completo (não há restrições redundantes).
3) Derive o estimador de OLS restrito b�, encontre o multiplicador de La-
grange �� associado e encontre var[b�]: Ainda, mostre que a estatística F , sob
a hipótese de normalidade dos erros, pode ser escrita da forma
F =
(e0�e� � e0e)=J
e0e=(n�K) � FJ;n�K
4) Uma maneira alternativa de testar R� = q é usar um teste de Wald da
hipótese de que �� = 0; a estimativa dos multiplicadores de Lagrange do MQO
restrito é nula. Prove que
�0�fEst:V ar[��]g�1�� = (n� k)[
e0�e�
e0e
� 1] = JF
em que F é a estatística F usada para testar R� = q:
5) Prove sob a hipótese de R� = q, que o estimador
s2� =
(y �X�^�)0(y �X�^�)
n�K + J
é não viesado para �2 em que J é o número de restrições.
6) Suponha que o modelo verdadeiro seja
yt = �+ � ln(xt) + "t (1)
1
t = 1; :::; T , xt é um escalar e E["tjxt] = 0. Sejam ln(x) = [ln(x1) : : : ln(xT )]0;
x = [x1 : : : xT ]
0; y = [y1 : : : yT ]0 e " = ["1 : : : "T ]0: Entretanto, um econometrista
estima erroneamente
yt = a+ bxt + ut (2)
a) Mostre que E[utjx] 6=0:
b) Seja b^ o estimador de OLS de b em (2). Tal estimador é não viesado para
b, condicional em x?
7) Considere as hipóteses abaixo.
H0 : y = X� + u;
H1 : y = Z
 + ":
Mostre que, sob H0; a estatística J, do teste de modelos não-aninhados, em
que se testa H0; pode ser escrita como:
J = (
p
n� k1 � 1) y
0MxPzy
[y0Mxyy0PzMxPzy � (y0MxPzy)2]1=2
em que: k1 é o número de variáveis em X; Mx é a matriz "residual maker"
da regressão contra X, e Pz é a matriz projeção da regressão contra Z.
Dica: use o fato que a soma dos quadrados dos resíduos da regressão em que
se baseia o teste é igual à soma dos quadrados dos resíduos da regressão sob H0
menos a soma dos quadrados explicada da regressão deMxy contraMxZ
^ (em
que 
^ vem da estrimação por MQO sob H1).
Em seguida, mostre, que sob H0; n�1=2J converge em distribuição para uma
normal padrão.
Dica: Sob H0; Z e u são não-correlacionados.
8) (base de dados WAGE1.dta) A decomposição de Oaxaca é aplicada em
estudos de diferenciais de salário entre homens e mulheres quando o objetivo
é separar a parcela deste diferencial devido às diferenças de capital humano
daquela parcela não atribuída ao capital humano (que em muitos casos diz-se
ser atribuída à discriminação no mercado de trabalho):
E[lnwagem;i]� E[lnwagef;j ] = x0m;i�m � x0f;j�f
E[lnwagem;i]� E[lnwagef;j ] = x0m;i�m � x0m;i�f + x0m;i�f � x0f;j�f
E[lnwagem;i]� E[lnwagef;j ] = x0m;i(�m � �f ) + (xm;i � x0f;j)0�f
em que lnwagem;i é o logaritmo do salário recebido pelos homens, lnwagef;j
é o logaritmo do salário das mulheres, x0m é o vetor de variáveis explicativas
(variáveis de capital humano - educação, experiência e experiência ao quadrado
–e o intercepto) para os homens, e x0f é o mesmo vetor de variáveis para as
mulheres.
Construa o intervalo de con…ança de 95% para a parcela da decomposição
da diferença salarial que não é devida à diferenças no capital humano.
9) Resolva, usando o Stata, a aplicação 3 do capítulo 5 do livro de Greene
(sexta edição). Tal exercício está na página 105. No item (b) explique como
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você usaria o método Delta, isto é, quais as os vetores testados e seus jacobianos.
A coleta e o uso apropriado dos dados fazem parte do exercício.
10) (base de dados: hprice1.dta)
a) Estime, usando o Stata, o seguinte modelo:
price = �0 + �1lotsize+ �2sqrft+ �3bdrms+ ";
em que price é o preço da casas em milhares de dólares, lotsize é o tamanho
do terreno da casa, sqrft é a área da casa e bdrms é o número de quartos desta.
Obtenha o valor predito quando: lotsize = 10000, sqrft=2300 e bdrms=4.
b) Estime um intervalo de con…ança de 95% para a esperança do preço da
casa quando lotsize = 10000, sqrft=2300 e bdrms=4.
c) Estime um intervalo de con…ança de 95% para o preço da casa quando
lotsize = 10000, sqrft=2300 e bdrms=4. Diferentemente do item anterior, é
necessário que você leve em conta a variância do erro individual agora, pois o
intervalo de con…ança é feito para um valor e não para a esperança do preço
nesses valores.
11) Exercício computacional em MATLAB. Utilize os arquivos Y, W e Z.
Como resposta deve ser entregue um m-…le.
a) Regrida Y contra W e Z. Estime por MQO. Apresente as estimativas.
b) Encontre a soma dos quadrados dos resíduos, s2; estimador de �2; e a
matriz de variância e covariância.
c) Encontre o R2 da regressão e mostre que este é numericamente igual ao
quadrado da correlação entre Y e seus valores previstos.
d) Utilizando o teorema de FWL encontre as estimativas dos coe…cientes de
W e Z, separadamente.
e) Calcule para todos os coe…cientes de W e Z a estatística t sob a hipótese
nula que � = 0.
f) Calcule a estatística F que todos os parametros, exceto o da constante,
são nulos.
g) Calcule a estatística F que a soma dos parametros de W é igual a 10.
h) Calcule a estatística F que a diferenca entre o parametros de z1 e z2 é
igual a -1.
i) Calcule a estatística F das duas restrições dos itens (g) e (h).
j) Con…ra seus resultados no STATA.
12) Usando o Stata e os dados da tabela F2.2 de Greene, faça o seguinte:
a) Estime, por MQO, um modelo em que o consumo de gasolina per capita
(veja a aplicação 1 do capítulo 4 de Greene, página 78, para aprender como obter
essa variável) é explicado por renda per capita, um índice de preços de gasolina,
um índice de preços de carros usados e outro para novos, e uma tendência
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temporal. Exceto pela tendência, todas as variáveis devem estar em logaritmo
neperiano. Faça um teste de Chow para analisar uma possível quebra estrutural
após 1974. Os dois períodos a serem analisados são 1953-1973 e 1974-2004. Faça
esse teste rodando o modelo restrito e depois um modelo para cada período.
Comente os resultados.
b) Agora faça o mesmo teste, mas rodando apenas uma regressão com uma
dummy para o segundo período e suas interações com as variáveis explciativas.
O valor da sua estatística F deve ser o mesmo que o obtido no item (a).
c) Faça um teste parecido com o anterior, agora permitindo que no mod-
elo restrito haja interceptos distintos para os dois períodos. Teste se o único
coe…ciente que muda na quebra estrutural é esse intercepto.
d) Agora teste se houve apenas um desequilíbrio temporário nos anos de crise
do petróleo (1974, 1975, 1980 e 1981), isto é, se esses anos não são explicados
pelo modelo restrito.
e) Teste que nos dois períodos houve alterações apenas nos coe…cientes de
intercepto e de inclinação das variáveis renda per capita e preço da gasolina, mas
não nos de preços de carros ou no da tendência temporal. Comece do modelo
irrestrito como do item (b) e cheque a signi…cância dos coe…cientes de interesse.
13) No site www.ipeadata.gov.br obtenha as seguintes séries anuais para o
período de 1974 a 2007:
Consumo …nal - famílias - R$(milhões) - IBGE/SCN 2000 Anual - SCN_CFPPN;
Renda disponível bruta - R$(milhões) - IBGE/SCN 2000 Anual - SCN_RNDBN.
A …m de facilitar o exercício não de‡acione os dados, isto é, use variáveis
nominais (e não reais)
Considere as seguintes hipóteses:
H0 : Ct = �1 + �2Yt + �3Yt�1 + "0t
H1 : Ct = 
1 + 
2Yt + 
3Ct�1 + "1t
Nos itens abaixo, comente seus resultados.
a) Usando um "encompassing model", como em Greene seção 7.3.2, teste se
H0 está correta. Faça o teste sugeridono último parágrafo da seção citada.
b) Usando um "encompassing model", como em Greene seção 7.3.2, teste se
H1 está correta. Faça o teste sugerido no último parágrafo da seção citada.
c) Usando o teste J, como em Greene seção 7.3.2, teste se H0 está correta.
d) Usando o teste J, como em Greene seção 7.3.2, teste se H1 está correta.
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