AULA ATIVIDADE 01 CALCULO III

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Engenharias AULA ATIVIDADE ALUNO 
 
AULA 
ATIVIDADE 
ALUNO 
 
Curso: 
Engenharias 
 
 
Engenharias AULA ATIVIDADE ALUNO 
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral III 
Teleaula: 01 
INTEGRAIS MÚLTIPLAS 
 
Questão 1 
Seja a superfície P definida pela equação 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧 = 1 e cuja representação gráfica 
pode ser observada na figura seguinte: 
 
Determine a equação do plano tangente à superfície 𝑃 no ponto de coordenadas 
𝐴(1,2, −4). 
 
Questão 2 
Para o cálculo das integrais triplas é necessário identificar e selecionar uma das possíveis 
ordens de integração, quando possível. Nesse sentido, é necessário identificar se 
existem relações definidas entre os limites de integração. 
Diante desse tema, deseja-se calcular a integral tripla da função de três variáveis reais 
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 4𝑥 − 3𝑦𝑧 
na região 𝑊 definida como segue: 
𝑊 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3 | 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑧, 1 ≤ 𝑦 ≤ 2, 0 ≤ 𝑧 ≤ 1} 
Com base nesse tema, responda: 
a) Determine todas as possíveis ordens de integração que podem ser empregadas 
no cálculo da integral tripla de 𝑓 sobre a região 𝑊. 
 
 
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b) Calcule a integral tripla da função 𝑓 sobre 𝑊 utilizando uma das integrais 
apresentadas no item a. 
c) Determine o volume da região 𝑊 a partir do cálculo de uma integral tripla. 
 
Questão 3 
Considere o sólido S limitado pelo paraboloide elíptico dado pela equação 𝑥2 + 2𝑦2 +
𝑧 = 16 e pelos planos 𝑥 = 2, 𝑦 = 2 e pelos três planos coordenados, cuja representação 
gráfica é apresentada na sequência: 
 
Empregando o cálculo de integrais triplas, qual é o volume do sólido S descrito 
anteriormente? 
 
Questão 4 
Considere a superfície 𝑧 = 𝑥𝑦 limitada pelo cilindro 𝑥2 + 𝑦2 = 1 cuja representação 
gráfica é dada no que segue. 
 
 
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Determine a área aproximada da superfície 𝑧 = 𝑥𝑦 limitada pelo cilindro. 
 
Questão 5 
Determine a área da superfície que corresponde à parte do plano 5𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 + 6 = 0 
que está acima do retângulo [1,4] × [2,6] localizado no plano 𝑥𝑦. 
 
Questão 6 
Considere um sólido C em formato de cubo, definido por 
𝐶 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3; 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 0 ≤ 𝑦 ≤ 1, 0 ≤ 𝑧 ≤ 1} 
e cuja representação gráfica é dada a seguir. 
 
 
 
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Sabendo que a função densidade que caracteriza o sólido C é dada por 𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2 +
𝑦2 + 𝑧2, determine a coordenada �̅� do centro de massa do sólido C. 
 
TABELA DE DERIVADAS 
𝑑
𝑑𝑥
(𝑐) = 0 
𝑑
𝑑𝑥
[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] = 𝑓′(𝑥) + 𝑔′(𝑥) 
𝑑
𝑑𝑥
[𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)]
= 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)
+ 𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) 
𝑑
𝑑𝑥
[𝑓(𝑔(𝑥))] = 𝑓′(𝑔(𝑥))𝑔′(𝑥) 
𝑑
𝑑𝑥
[𝑐𝑓(𝑥)] = 𝑐𝑓′(𝑥) 
𝑑
𝑑𝑥
[
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
] =
𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)
[𝑔(𝑥)]2
 
𝑑
𝑑𝑥
(𝑥𝑛) = 𝑛𝑥𝑛−1 
𝑑
𝑑𝑥
(𝑒𝑥) = 𝑒𝑥 
𝑑
𝑑𝑥
[𝑎𝑥] = 𝑎𝑥 ln(𝑎) 
𝑑
𝑑𝑥
[ln(𝑥)] =
1
𝑥
 
𝑑
𝑑𝑥
[sen(𝑥)] = cos(𝑥) 
𝑑
𝑑𝑥
[cos(𝑥)] = −sen(𝑥) 
 
TABELA DE INTEGRAIS 
∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢 ∫ 𝑢𝑛 =
𝑢𝑛+1
𝑛 + 1
+ 𝐶, 𝑛 ≠ −1 
∫
1
𝑢
𝑑𝑢 = ln|𝑢| + 𝐶 ∫ 𝑒𝑢 𝑑𝑢 = 𝑒𝑢 + 𝐶 
∫ 𝑎𝑢 𝑑𝑢 =
𝑎𝑢
ln(𝑎)
+ 𝐶 ∫ sen(𝑢) 𝑑𝑢 = − cos(𝑢) + 𝐶 
∫ cos(𝑢) 𝑑𝑢 = sen(𝑢) + 𝐶 ∫ sec2(𝑢) 𝑑𝑢 = tg(𝑢) + 𝐶 
∫ 𝑢𝑒𝑢 𝑑𝑢 = (𝑢 − 1)𝑒𝑢 + 𝐶 ∫ ln(𝑢) 𝑑𝑢 = 𝑢 ln(𝑢) − 𝑢 + 𝐶