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AULA ATIVIDADE TUTOR Engenharias AULA ATIVIDADE TUTOR Curso: Engenharias AULA ATIVIDADE TUTOR Engenharias Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral III Teleaula: 02 Parte 1- Integrais múltiplas em outras coordenadas Prezado(a) tutor(a), Nesta aula atividade o objetivo é aprofundar os estudos a respeito das integrais múltiplas em outras coordenadas por meio da resolução de problemas. Nesse sentido, será necessária a aplicação de conceitos estudados anteriormente, como as técnicas de derivação e integração, por exemplo, além dos conteúdos abordados na primeira aula da disciplina e primeira unidade do material. Bom trabalho! Questão 1 Um pesquisador precisa calcular o volume de um sólido tridimensional utilizando integrais triplas e mudança de coordenadas, devido às características da região em estudo e a dificuldade em expressá- la segundo o sistema de coordenadas cartesianas. Para a resolução de seu problema, o pesquisador adotou uma mudança de coordenadas de modo que 𝑥, 𝑦 e 𝑧 deverão ser representados por 𝑥 = 𝑣 + 𝑤2 𝑦 = 𝑤 + 𝑢2 𝑧 = 𝑢 + 𝑣2 Qual é o jacobiano associado a essa transformação? Gabarito: O jacobiano de uma transformação 𝑥 = 𝑥(𝑢, 𝑣, 𝑤); 𝑦 = 𝑦(𝑢, 𝑣, 𝑤); 𝑧 = 𝑧(𝑢, 𝑣, 𝑤) é dado por | 𝜕(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝜕(𝑢, 𝑣, 𝑤) | = | | 𝜕𝑥 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝜕𝑣 𝜕𝑥 𝜕𝑤 𝜕𝑦 𝜕𝑢 𝜕𝑦 𝜕𝑣 𝜕𝑦 𝜕𝑤 𝜕𝑧 𝜕𝑢 𝜕𝑧 𝜕𝑣 𝜕𝑧 𝜕𝑤 | | Calculando as derivadas parciais obtemos: AULA ATIVIDADE TUTOR Engenharias 𝜕𝑥 𝜕𝑢 = 0; 𝜕𝑥 𝜕𝑣 = 1; 𝜕𝑥 𝜕𝑤 = 2𝑤 𝜕𝑦 𝜕𝑢 = 2𝑢; 𝜕𝑦 𝜕𝑣 = 0; 𝜕𝑦 𝜕𝑤 = 1 𝜕𝑧 𝜕𝑢 = 1; 𝜕𝑧 𝜕𝑣 = 2𝑣; 𝜕𝑧 𝜕𝑤 = 0 Desta forma, | 𝜕(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝜕(𝑢, 𝑣, 𝑤) | = | 0 1 2𝑤 2𝑢 0 1 1 2𝑣 0 | = 1 + 8𝑢𝑣𝑤 Portanto, o jacobiano da transformação é dado por 𝐽 = 1 + 8𝑢𝑣𝑤. Questão 2 Quando empregamos a mudança de variáveis utilizando coordenadas esféricas, devemos considerar o jacobiano associado, o qual é dado por: | 𝜕(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝜕(𝜌, 𝜙, 𝜃) | = 𝜌2 sen(𝜙) Partindo das equações de transformação em coordenadas esféricas 𝑥 = 𝜌 sen(𝜙) cos(𝜃) 𝑦 = 𝜌 sen(𝜙) sen(𝜃) 𝑧 = 𝜌 cos(𝜙) mostre que o jacobiano associado corresponde à 𝜌2 sen(𝜙). Evidencie todos os procedimentos necessários para a obtenção da expressão do jacobiano associado às coordenadas esféricas. Gabarito: Para que possamos determinar o jacobiano associado à transformação em coordenadas esféricas precisamos calcular as seguintes derivadas parciais: 𝜕𝑥 𝜕𝜌 = sen(𝜙) cos(𝜃) 𝜕𝑥 𝜕𝜙 = 𝜌 cos(𝜙) cos(𝜃) 𝜕𝑥 𝜕𝜃 = −𝜌 sen(𝜙) sen(𝜃) 𝜕𝑦 𝜕𝜌 = sen(𝜙) sen(𝜃) 𝜕𝑦 𝜕𝜙 = 𝜌 cos(𝜙) sen(𝜃) 𝜕𝑦 𝜕𝜃 = 𝜌 sen(𝜙) cos(𝜃) 𝜕𝑧 𝜕𝜌 = cos(𝜙) 𝜕𝑧 𝜕𝜙 = −𝜌 sen(𝜙) 𝜕𝑧 𝜕𝜃 = 0 AULA ATIVIDADE TUTOR Engenharias Calculando o jacobiano empregando a estratégia de cálculo de determinantes de ordem 3 podemos observar que: | 𝜕(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝜕(𝜌, 𝜙, 𝜃) | = | sen(𝜙) cos(𝜃) 𝜌 cos(𝜙) cos(𝜃) −𝜌 sen(𝜙) sen(𝜃) sen(𝜙) sen(𝜃) 𝜌 cos(𝜙) sen(𝜃) 𝜌 sen(𝜙) cos(𝜃) cos(𝜙) −𝜌 sen(𝜙) 0 | = (0 + 𝜌2 sen(𝜙) cos2(𝜙) cos2(𝜃) + 𝜌2 sen3(𝜙) sen2(𝜃)) − (−𝜌2 sen(𝜙) cos2(𝜙) sen2(𝜃) − 𝜌2 sen3(𝜙) cos2(𝜃) + 0) = 𝜌2 sen(𝜙) cos2(𝜙) cos2(𝜃) + 𝜌2 sen3(𝜙) sen2(𝜃) + 𝜌2 sen(𝜙) cos2(𝜙) sen2(𝜃) + 𝜌2 sen3(𝜙) cos2(𝜃) = 𝜌2 sen(𝜙) cos2(𝜙) [cos2(𝜃) + sen2(𝜃)] + 𝜌2 sen3(𝜙) [sen2(𝜃) + cos2(𝜃)] = 𝜌2 sen(𝜙) cos2(𝜙) + 𝜌2 sen3(𝜙) = 𝜌2 sen(𝜙) cos2(𝜙) + 𝜌2 sen(𝜙) sen2(𝜙) = 𝜌2 sen(𝜙) [cos2(𝜙) + sen2(𝜙)] = 𝜌2 sen(𝜙) Portanto, o jacobiano associado às coordenadas esféricas consiste em: | 𝜕(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝜕(𝜌, 𝜙, 𝜃) | = 𝜌2 sen(𝜙) Questão 3 Considere o sólido S limitado superiormente pela esfera 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 4, inferiormente pelo plano 𝑥𝑂𝑦 (𝑧 = 0), no interior do cilindro 𝑥2 + 𝑦2 = 1 e cuja representação gráfica é dada por: AULA ATIVIDADE TUTOR Engenharias Empregando a mudança para coordenadas cilíndricas, determine o volume aproximado para o sólido S empregando o cálculo de integrais triplas. Gabarito: Para o cálculo do volume por meio de integrais triplas utiliza-se a expressão 𝑉 = ∭𝑑𝑉 𝐸 O limite inferior para 𝑧 é definido pelo plano 𝑥𝑦 (𝑧 = 0). O limite superior é dado pela parte superior da esfera de equação 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 4, de onde obtemos 𝑧 = √4 − 𝑥2 − 𝑦2 A projeção do sólido sobre o plano 𝑥𝑦 tem representação gráfica dada por Devido às características da superfície, e de sua projeção sobre o plano 𝑥𝑦, podemos calcular a integral tripla por meio de coordenadas cilíndricas. Os limites de integração para a variável 𝑧, em coordenadas cilíndricas, correspondem a 0 ≤ 𝑧 ≤ √4 − 𝑟2 pois 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2. A projeção da superfície sobre o plano 𝑥𝑦 fornece os seguintes limites de integração 0 ≤ 𝑟 ≤ 1; 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 Além disso, 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃. Logo, AULA ATIVIDADE TUTOR Engenharias ∭ 𝑑𝑉 𝐸 = ∫ ∫ ∫ 𝑟 √4−𝑟2 0 𝑑𝑧 1 0 𝑑𝑟 2𝜋 0 𝑑𝜃 = ∫ ∫ 𝑟 [ ∫ 𝑑𝑧 √4−𝑟2 0 ] 1 0 𝑑𝑟 2𝜋 0 𝑑𝜃 = ∫ ∫ 𝑟√4 − 𝑟2 1 0 𝑑𝑟 2𝜋 0 𝑑𝜃 = ∫ [− 1 3 (4 − 𝑟2)3/2] 𝑟=0 𝑟=1 2𝜋 0 𝑑𝜃 = 1 3 (8 − 3√3) ∫ 𝑑𝜃 2𝜋 0 = 2𝜋 3 (8 − 3√3) ≈ 5,87 u. v. Observação: note que adotando a mudança 𝑢 = 4 − 𝑟2 então 𝑑𝑢 = −2𝑟 𝑑𝑟, ou − 1 2 𝑑𝑢 = 𝑟 𝑑𝑟, e, assim, ∫ 𝑟 √4 − 𝑟2 𝑑𝑟 = ∫ − 1 2 √𝑢 𝑑𝑢 = − 1 2 ∫ 𝑢 1 2 𝑑𝑢 = − 1 2 𝑢 3 2 3 2 = − 1 3 (4 − 𝑟2) 3 2 + 𝐶 Questão 4 Seja a região 𝐸, no primeiro octante, limitada pelas esferas 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 1 e 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 4 cuja representação gráfica é dada no que segue: Deseja-se calcular a integral tripla da função 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑧 sobre a região 𝐸, descrita anteriormente. Qual o valor assumido por ∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝐸 𝑑𝑉? Observação: o primeiro octante corresponde à parte do espaço cartesiano limitada pelos planos 𝑥 = 0, 𝑦 = 0 e 𝑧 = 0. Gabarito: Devido às características da região de integração podemos calcular a integral tripla por meio de coordenadas esféricas. A região 𝐸, descrita em coordenadas esféricas, é dada por AULA ATIVIDADE TUTOR Engenharias 1 ≤ 𝜌 ≤ 2 0 ≤ 𝜙 ≤ 𝜋 2 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋 2 Além disso, 2𝑧 = 2𝜌 cos(𝜙) 𝑑𝑉 = 𝜌2 sen(𝜙) 𝑑𝜌 𝑑𝜙 𝑑𝜃 Sendo assim, ∭2𝑧 𝐸 𝑑𝑉 = ∫ ∫ ∫ (2𝜌 cos(𝜙))𝜌2 sen(𝜙) 2 1 𝑑𝜌 𝜋 2 0 𝑑𝜙 𝜋 2 0 𝑑𝜃 = ∫ ∫ 2 cos(𝜙) sen(𝜙) ∫ 𝜌3 2 1 𝑑𝜌 𝜋 2 0 𝑑𝜙 𝜋 2 0 𝑑𝜃 = ∫ ∫ sen(2𝜙) ∫ 𝜌3 2 1 𝑑𝜌 𝜋 2 0 𝑑𝜙 𝜋 2 0 𝑑𝜃 = ∫ ∫ sen(2𝜙) [ 1 4 𝜌4] 1 2𝜋 2 0 𝑑𝜙 𝜋 2 0 𝑑𝜃 = ∫ ∫ sen(2𝜙) ( 15 4 ) 𝜋 2 0 𝑑𝜙 𝜋 2 0 𝑑𝜃 = ( 15 4 ) ∫ ∫ sen(2𝜙) 𝜋 2 0 𝑑𝜙 𝜋 2 0 𝑑𝜃 = ( 15 4 ) ∫ [− 1 2 cos (2𝜙)] 0 𝜋 2 𝜋 2 0 𝑑𝜃 = ( 15 4 ) ∫ 𝑑𝜃 𝜋 2 0 = 15𝜋 8 ≈ 5,89 Questão 5 Seja o sólido C limitado superiormente por 𝑧 = 4 − 𝑥2 − 𝑦2 e inferiormente pelo plano 𝑥𝑂𝑦 (𝑧 = 0). A representação desse sólido é dada na figura apresentada no que segue. Suponha que a densidade em um ponto P do sólido C é proporcional à distância de P ao plano 𝑥𝑂𝑦, ou seja, 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑘𝑧, 𝑘 ∈ ℝ. Determine o momento de inércia do sólido C em relação ao eixo 𝑧. AULA ATIVIDADE TUTOR Engenharias Gabarito: Sabemos que o momento de inércia de S em relação ao eixo z é dado por 𝐼𝑧 = ∭(𝑥 2 + 𝑦2) 𝐶 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)dV = 𝑘 ∭(𝑥2 + 𝑦2)𝑧 𝐶 𝑑𝑉 Em coordenadas cilíndricas, o sólido S pode ser representado por 0 ≤ 𝑟 ≤ 2 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 0 ≤ 𝑧 ≤ 4 − 𝑥2 − 𝑦2 = 4 − 𝑟2 pois sabemos que 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2. Portanto, o momento de inércia pode ser calculado da seguinte forma 𝐼𝑧 = 𝑘 ∫ ∫ ∫ 𝑟 2 4−𝑟2 0 𝑧 𝑟 2 0 𝑑𝑧 2𝜋 0 𝑑𝑟 𝑑𝜃 = 𝑘 ∫ ∫ 𝑟3 ∫ 𝑧 𝑑𝑧 4−𝑟2 0 2 0 𝑑𝑟 2𝜋 0 𝑑𝜃= 𝑘 ∫ ∫ 𝑟3 [ 1 2 𝑧2] 0 4−𝑟2 2 0 𝑑𝑟 2𝜋 0 𝑑𝜃 = 𝑘 2 ∫ ∫ 𝑟3(4 − 𝑟2)2 2 0 𝑑𝑟 2𝜋 0 𝑑𝜃 = 𝑘 2 ∫ ∫ 𝑟3(16 − 8𝑟2 + 𝑟4) 2 0 𝑑𝑟 2𝜋 0 𝑑𝜃 = 8𝑘 ∫ ∫ 𝑟3 2 0 𝑑𝑟 2𝜋 0 𝑑𝜃 − 4𝑘 ∫ ∫ 𝑟5 2 0 𝑑𝑟 2𝜋 0 𝑑𝜃 + 𝑘 2 ∫ ∫ 𝑟7 2 0 𝑑𝑟 2𝜋 0 𝑑𝜃 = 8𝑘 ∫ [ 1 4 𝑟4] 0 2 2𝜋 0 𝑑𝜃 − 4𝑘 ∫ [ 1 6 𝑟6] 0 2 2𝜋 0 𝑑𝜃 + 𝑘 2 ∫ [ 1 8 𝑟8] 0 2 2𝜋 0 𝑑𝜃 = 32𝑘 ∫ 𝑑𝜃 2𝜋 0 − 128 3 𝑘 ∫ 𝑑𝜃 2𝜋 0 + 16𝑘 ∫ 𝑑𝜃 2𝜋 0 = 64𝑘𝜋 − 256 3 𝑘𝜋 + 32𝑘𝜋 = 32 3 𝑘𝜋 Questão 6 Quando desejamos representar sólidos geométricos como esferas ou cones, os quais possuem partes que não se ajustam adequadamente ao sistema de coordenadas cartesianas, podemos empregar as coordenadas esféricas visando a simplificação dos cálculos e da representação dessas figuras. Nesse sentido, considere o sólido 𝑆 localizado no interior da folha superior do cone descrito pela equação 𝜙 = 𝜋 3 e limitado entre as esferas 𝜌 = 1 e 𝜌 = 2. AULA ATIVIDADE TUTOR Engenharias Com base nesse sólido, responda: a) Construa um esboço para o sólido 𝑆. b) Calcule o volume do sólido 𝑆 por meio de integrais triplas. Gabarito: a) O esboço construído para o sólido 𝑆 deve apresentar as seguintes características: Parte externa Parte interna b) O sólido 𝑆, em coordenadas esféricas, pode ser descrito como segue: 1 ≤ 𝜌 ≤ 2 0 ≤ 𝜙 ≤ 𝜋 3 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 Sendo assim, o volume de 𝑆 pode ser calculado como segue: 𝑉 = ∭𝑑𝑉 𝑆 = ∫ ∫ ∫ 𝜌2 sen(𝜙) 2 1 𝑑𝜌 𝜋 3 0 𝑑𝜙 2𝜋 0 𝑑𝜃 = ∫ ∫ sen(𝜙) ∫ 𝜌2 2 1 𝑑𝜌 𝜋 3 0 𝑑𝜙 2𝜋 0 𝑑𝜃 = ∫ ∫ sen(𝜙) [ 1 3 𝜌3] 1 2𝜋 3 0 𝑑𝜙 2𝜋 0 𝑑𝜃 = 7 3 ∫ ∫ sen(𝜙) 𝜋 3 0 𝑑𝜙 2𝜋 0 𝑑𝜃 = 7 3 ∫ [− cos(𝜙)]0 𝜋 3 2𝜋 0 𝑑𝜃 = 7 6 ∫ 𝑑𝜃 2𝜋 0 = 7𝜋 3 ≈ 7,33 u. v. Questão 7 (Adaptado de Stewart, 2013, p.930) Uma empresa precisa determinar o volume de uma peça de determinado motor, que possui estrutura semelhante à um “sorvete de casquinha”. A peça em questão é aproximada pelo sólido S limitado superiormente pelo cone z = √x2 + y2 e inferiormente pela esfera AULA ATIVIDADE TUTOR Engenharias x2 + y2 + z2 = z A representação gráfica do sólido S pode ser observada nas figuras a seguir: Fonte: STEWART, J. Cálculo – volume 2. São Paulo: Cengage Learning, 2013. Como podemos determinar o volume do sólido S? A esfera em questão passa pela origem e tem centro no ponto C (0, 0, 1 2 ). Utilizando coordenadas esféricas, podemos representar a esfera como p2 = ρ cos(ϕ) → ρ = cos (ϕ) A equação do cone pode ser reescrita como ρ cos(ϕ) = √(ρ sen(ϕ) cos(θ))2 + (ρ sen(ϕ) sen(θ))2 = √ρ2 sen2(ϕ) (cos2(θ) + sen2(θ)) = √ρ2 sen2(ϕ) = ρ sen(ϕ) Isso resulta em cos(ϕ) = sen(ϕ), ou seja, ϕ = π 4 , pois 0 ≤ ϕ ≤ π. AULA ATIVIDADE TUTOR Engenharias Portanto, o sólido S pode ser descrito em coordenadas esféricas por E = {(ρ, ϕ, θ); 0 ≤ ρ ≤ cos(ϕ) , 0 ≤ ϕ ≤ π 4 , 0 ≤ θ ≤ 2π} Desta forma, o volume do sólido pode ser calculado por V = ∭ dV E = ∫ ∫ ∫ ρ2 sen(ϕ) dρ cos(ϕ) 0 dϕ π 4 0 dθ 2π 0 = ∫ ∫ sen(ϕ) ∫ ρ2dρ cos(ϕ) 0 dϕ π 4 0 dθ 2π 0 = ∫ ∫ sen(ϕ) [ 1 3 ρ3] 0 cos(ϕ) dϕ π 4 0 dθ 2π 0 = 1 3 ∫ ∫ sen(ϕ) (cos(ϕ))3dϕ π 4 0 dθ 2π 0 = 1 3 ∫ [− (cos(ϕ))4 4 ] 0 π 4 dθ 2π 0 = 1 16 ∫ dθ 2π 0 = π 8 Parte 2: Estudo teórico complementar Agora você irá fazer um estudo dos temas dessa unidade. Para isso além de estudar o material do livro didático da disciplina, você deve acessar os links indicados e estuda-los. Como sugestão para favorecer a aprendizagem dos tópicos a seguir, faça esquemas destacando as principais informações. Os esquemas são uma boa estratégia de estudo, pois o ajudam a sintetizar as ideias principais e a relacioná-las entre si. Para acessar ao link encaminhado você deve estar na página (deve realizar o login) biblioteca virtual e deve abrir uma nova guia copiando nela o link que disponibilizarei. Integrais triplas em coordenadas cilíndricas Livro: Cálculo – volume 2 – 8ª edição. Autor: James Stewart Capítulo: 15 (seções 15.7) Link (acessar a biblioteca digital): https://bit.ly/33oDIye Acessar o link e resolver os seguintes exercícios (páginas 934-935): Exercício Solução https://bit.ly/33oDIye AULA ATIVIDADE TUTOR Engenharias 1-28 somente os ímpares As respostas encontram-se ao final livro seção 15.7: https://bit.ly/2IRzNQX Livro: Cálculo – volume 2 – 10ª edição. Autor: Howard Anton Capítulo: 14 (seções 14.6) Link (acessar a biblioteca digital): https://bit.ly/2wixRye Acessar o link e resolver os seguintes exercícios (páginas 1056): Exercício Solução 9-12 somente os ímpares As respostas encontram-se ao final livro seção 14.6: https://bit.ly/2WlNnnD Integrais triplas em coordenadas esféricas Livro: Cálculo – volume 2 – 8ª edição. Autor: James Stewart Capítulo: 15 (seções 15.8) Link (acessar a biblioteca digital): https://bit.ly/2QiROfl Acessar o link e resolver os seguintes exercícios (página 940): Exercício Solução 1-28 somente os ímpares As respostas encontram-se ao final livro seção 15.8: https://bit.ly/2IZZn6l Livro: Cálculo – volume 2 – 10ª edição. Autor: Howard Anton Capítulo: 14 (seções 14.6) Link (acessar a biblioteca digital): https://bit.ly/2wixRye Acessar o link e resolver os seguintes exercícios (páginas 1056): Exercício Solução 13-16 somente os ímpares As respostas encontram-se ao final livro seção 14.6: https://bit.ly/2WlNnnD https://bit.ly/2IRzNQX https://bit.ly/2wixRye https://bit.ly/2WlNnnD https://bit.ly/2QiROfl https://bit.ly/2IZZn6l https://bit.ly/2wixRye https://bit.ly/2WlNnnD