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Mecânica do Voo — 2021/1
Exercício: Expressão das derivadas dimensionais de estabilidade
Na seção 8.7.1 do livro do Durham são apresentadas as equações de estado
do modelo longitudinal linearizado, nos eixos da estabilidade. No entanto, essas
equações são escritas em função das derivadas dimensionais de estabilidade e
controle, algumas das quais não são apresentadas no livro. Este exercício con-
siste em obter a expressão de algumas dessas derivadas, para melhor entender o
processo de linearização. O procedimento é bem parecido com a derivação das
equações do Apêndice B. Para simplificar as expressões, assuma como no livro
que os eixos da estabilidade estão sendo usados, ou seja, 𝛼Ref = 0, 𝑤Ref = 0 e
𝑢Ref = 𝑉Ref.
Derive então as expressões das derivadas dimensionais de estabilidade 𝑀𝑞,
𝑀�̇�, 𝑋𝑢 e 𝑋𝑤. Abaixo temos algumas dicas e comentários.
• Considere as dependências funcionais do modelo aerodinâmico adimensi-
onal apresentadas na Seção 6.3.8. Isso significa que, para a linearização,
podemos considerar que
𝐶𝐷 = 𝐶𝐷0 + 𝐶𝐷𝛼𝛼 + 𝐶𝐷𝑀𝑀 + 𝐶𝐷𝛿𝑒 𝛿𝑒,
𝐶𝑚 = 𝐶𝑚0 + 𝐶𝑚𝛼𝛼 + 𝐶𝑚𝑀𝑀 + 𝐶𝑚𝑞 ̂𝑞 + 𝐶𝑚�̇� ̂ ̇𝛼
+ 𝐶𝑚𝛿𝑒 𝛿𝑒 + 𝐶𝑚𝛿𝑇 𝛿𝑇 + 𝐶𝑚ℎ ℎ̂,
onde, nesse contexto1, 𝑀 é a velocidade Mach da aeronave.
• Lembre-se que, como a linearização está sendo feita em relação ao modelo
nos eixos do vento, deve-se levar em conta as dependências funcionais de
todas as variáveis auxiliares em relação aos estados 𝑢, 𝑤, 𝑞 e 𝜃. Essas
relações são derivadas no Apêndice B.1 do livro e estão resumidas na
tabela no final da p. 98. Observe que, como as derivadas são avaliadas nos
eixos da estabilidade, a maior parte dos elementos da tabela é nulo.
• No Apêndice B.3 são derivadas as expressões de 𝑍𝑞, 𝑍�̇�, 𝑍𝑢 e 𝑍𝑤, cuja
obtenção é bem semelhante à de 𝑀𝑞, 𝑀�̇�, 𝑋𝑢 e 𝑋𝑤, respectivamente.
• Ao se apresentar os resultados das derivadas dimensionais de estabilidade
e controle, é comum usar a seguinte simplificação:
𝜕 ̄𝑞
𝜕𝑢
∣
Ref
= 𝜌Ref𝑉Ref =
2 ̄𝑞Ref
𝑉Ref
.
• Cuidado ao utilizar derivações de outros livros, pois muitas vezes são utili-
zadas outros modelos ou variáveis, nesse caso lembre de fazer as conversões
para as variáveis utilizadas no livro-texto.
1Como dito no Glossário do livro, o autor usa 𝑀 para número de Mach e momento de
arfagem, dependendo do contexto.
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