SAD_Teoria_Decisão

Prévia do material em texto

Sistemas de Apoio à 
Decisão 
 
Teoria da Decisão 
Os conceitos apresentados neste arquivo baseiam-se nas referências indicadas e não substitui os 
textos originais. 
 
 
Notas de aula 
2 
CAPÍTULO 8 – Teoria da Decisão 
Processos de Decisão 
Processo de decisão é aquele que requer um único ou diversos conjuntos de 
decisões para sua composição. Cada decisão possível tem um ganho ou perda a ele 
associado, o qual é determinado por circunstâncias externas ao processo, fatos que 
distinguem estes processos dos processos de decisão multiestágios. O conjunto de 
circunstâncias possíveis, conhecido como estados naturais, e uma distribuição de 
probabilidade que rege a ocorrência de cada estado, são supostos conhecidos. 
Tanto o conjunto de decisões possíveis, quanto o de estados naturais serão 
considerados finitos (consideração não feita em teoria mais elaborada). 
Denotaremos as decisões possíveis por D1, D2, ... Dm; os estados naturais por 
S1, S2, ... Sn; e o retorno associado da decisão Di e do estado Sj por gij (i = 1,2, ... m; 
j = 1, 2, ... n). Um processo que necessita da implementação de uma única decisão é 
definido totalmente pela Tabela 1. Esta tabela é conhecida como matriz de ganho já 
que as entradas gij são expressas em termos de ganhos por decisão tomada. Perdas 
são então representadas por ganhos negativos. 
Tabela 1 
 Estados Naturais 
 S1 S2 ... Sn 
Decisões 
D1 g11 g12 ... g1n 
D2 g21 g22 ... g2n 
... ... ... ... ... 
Dm gm1 gm2 ... gmn 
 
Exemplo 8.1. Uma grande companhia de energia oferece $ 60.000 ao 
proprietário de determinado sítio, pelos direitos de exploração do gás natural e 
opção para desenvolvimento futuro. A opção, se concretizada, é equivalente a um 
adicional de $ 600.000 ao proprietário, mas somente ocorrerá se o gás natural for 
descoberto durante a fase de exploração. O proprietário, vendo que o interesse da 
companhia é uma boa indicação de que o gás existe, está disposto a desenvolver o 
empreendimento ele mesmo. Para isto, é necessário contratar especialistas em 
exploração e desenvolvimento. O custo inicial é de $ 100.000, os quais serão 
3 
perdidos se nenhum gás for encontrado. Se o gás for descoberto, entretanto, o 
proprietário estimará um lucro de $ 2 milhões. 
As decisões do proprietário são D1 (aceitar a oferta da companhia de energia) e 
D2 (explorar e desenvolver ele próprio). Os estados naturais são S1 (não existe gás 
na terra) e S2 (existe gás na terra). Os ganhos (em milhares de $) do proprietário 
para cada combinação de eventos são dados pela tabela abaixo. 
 Estados Naturais 
 S1 S2 
Decisões 
D1 60 660 
D2  100 2.000 
 
Resta especificar ou estimar as probabilidades relacionadas os dois estados 
naturais, P(S1) e P(S2). 
Critério de Decisão Simplificado 
O critério minimax (ou pessimista) é usado para relacionar a decisão que 
minimiza o máximo possível as perdas do analista de decisões. Em termos de matriz 
de ganhos, ele é a decisão que maximiza o possível ganho mínimo. O critério 
otimista é usado para escolher a decisão que maximiza o possível ganho. O critério 
mediano é usado para selecionar a decisão na qual a média dos ganhos máximo e 
mínimo seja a maior possível. Como nenhum desses três critérios é baseado no 
estado natural provável, eles são considerados inferiores aos outros critérios em que 
isto é considerado. Dois critérios probabilísticos serão agora dados. 
Critério “A Priori”. 
O critério a priori (ou de Bayes) é usado para escolher a decisão que maximiza 
o ganho esperado. 
Critério “A Posteriori”. 
Se um experimento imperfeito for realizado para informar sobre o verdadeiro 
estado natural, então os dados deste experimento poderão ser combinados com as 
probabilidades iniciais dos vários estados para gerar uma distribuição de 
4 
probabilidade posterior. Designando o resultado do experimento por  e supondo 
que a sua confiabilidade é dada por probabilidades condicionadas (P/S1), (P/S2), 
..., (P/Sn). As probabilidades posteriores (ou a posteriori) dos estados – (PS1/), 
(PS2/), ..., (PSn/) – são determinadas pelo Teorema de Bayes. O critério a 
posteriori é usado para selecionar a decisão que maximiza o ganho esperado com 
respeito à distribuição de probabilidade posterior. 
Árvores de Decisão. 
Uma árvore de decisão é uma árvore orientada que representa um processo 
de decisão. Os nós representam pontos no tempo, onde (i) uma ou outra decisão 
deve ser feita pelo analista de decisões, ou (ii) o analista de decisões fica frente a 
um ou outro estado natural ou (iii) o processo termina. Saindo de um nó (i) existe 
uma ramo para cada possível decisão; saindo de um nó (ii) existe um ramo para 
cada estado natural. Abaixo de cada ramo, a probabilidade do evento 
correspondente é escrita, quando definida. 
Árvores de decisão são usadas na determinação de decisões ótimas em 
processos complicados. A técnica é começar com nós finais e sequencialmente 
retornar à rede, calculando os ganhos esperados nos nós intermediários. Cada 
ganho é escrito abaixo de seu nó correspondente. Uma decisão recomendada é 
aquela que leva a um ganho esperado máximo. Decisões que se tornam não 
recomendadas têm seus ramos riscados. 
Utilidade. 
A utilidade de um componente de pagamento é o seu valor numérico para um 
analista de decisões. Quando nenhum critério de decisão é aplicável, a menos que 
os componentes de pagamentos sejam quantificados na mesma unidade, o primeiro 
passo na análise de qualquer processo de decisão é determinar a utilidade de todos 
os componentes de pagamento não numéricos. 
Uma utilidade comum é a correspondência monetária, onde cada componente 
de pagamento (ex., uma casa nova) é substituído na matriz de ganho por seu valor 
em dólar. A correspondência monetária, entretanto, não é sempre apropriada. Um 
bom componente de $ 2 milhões é o dobro de um de $ 1 milhão, já que o primeiro 
5 
pode não corresponder ao dobro do último para um realizador de decisões. O 
primeiro milhão pode ser mais valioso que o segundo. Nos casos onde dólares não 
refletem a correspondência verdadeira de um componente de pagamentos em 
relação a outro, ou onde dólares não são a unidade de quantificação adequada, 
outras utilidades devem ser usadas. 
Loterias. 
Uma loteria L(A, B; p) é um evento aleatório que tem dois resultados, A e B, 
ocorridos com probabilidades p e 1 – p, respectivamente. 
Utilidades de Von Neumann. 
O procedimento a seguir, de quatro etapas é usado para determinar as 
utilidades de Von Neumann para uma tabela de número finito de componentes. 
Etapa 1: Listar os componentes de pagamento em ordem decrescente de 
conveniência: e1, e2, ..., ep. Onde, ei é menos conveniente que ej se i < j. 
Etapa 2: Arbitrariamente relacionar valores numéricos finitos u(e1) e u(ep) aos 
componentes e1 e ep, respectivamente, tal que u(e1) > u(ep). 
Etapa 3: Para cada componente ej convenientemente localizado entre e1 e ep, 
determinar uma probabilidade equivalente pj, lembrando que para o analista de 
decisões é indiferente entre obter ej com certeza e participar na loteria L(e1, ep; pj). 
Etapa 4: Fazer u(e1)  pj u(e1) + (1 – pj) u(ep) a utilidade de pagamento ej. 
A etapa 3 é altamente subjetiva. O valor de pj para cada componente ej (j = 1, 
2,…, p – 1) é uma determinação individual que pode varia drasticamente de uma 
pessoa para outra ou mesmo para uma mesma pessoa em duas épocas diferentes. 
As utilidades resultantes, entretanto, quantificam as correspondências dos 
componentes de pagamento para um determinado analista de decisões em um 
determinado momento. Entretanto, para uma racionalidade individual, será sempre 
esperado que a ordem dos p’s sejam as mesmas dos e’s. 
Uma utilidade é normalizada se u(e1) = 1 e u(ep) = 0, tomando as utilidades 
idênticas às probabilidades equivalentes. 
6 
Exercícios: 
1) Determinar as decisões recomendadas sob cada critério simplificado para o 
processono exemplo 8.1. 
2) Determinar as decisões recomendadas sob cada critério simplificado para o 
seguinte processo de decisão. Um comprador de vestidos de uma grande loja de 
departamentos deve fazer as ordens de encomenda do fabricante 9 meses antes 
que os vestidos sejam necessários. Uma decisão é quanto ao número de vestidos 
de comprimento médio a estocar. O ganho principal para a loja de departamentos 
depende desta decisão e também da moda 9 meses mais tarde. As estimativas dos 
ganhos (em milhares de dólares) do comprador são dadas na tabela 2. 
Tabela 2 
 S1: Comprimento 
médio em alta 
costura 
S2: Comprimento 
médio aceitável 
S3: Comprimento 
médio não 
aceitável 
D1: Nenhuma 
ordenação 
 50 0 80 
D2: Pequena 
ordenação 
 10 30 35 
D3: Moderada 
ordenação 
60 45  30 
D4: Lote Ordenado 80 40  45 
 
3) Determinar a decisão recomendada sob o critério a priori para o processo do 
exemplo 8.1, se o proprietário estimar a probabilidade de encontrar gás igual a 0,6. 
(Sugestão: utilize árvore de decisão). 
4) Determinar a decisão recomendada sob o critério a priori para o processo de 
decisão no exercício 2, se o comprador estimar P(S1) = 0,25, P(S2)= 0,40 e P(S3) = 
0,35. (Sugestão: utilize árvore de decisão). 
5) Incluir questão sobre o Teorema de Bayes. 
6) O proprietário do exemplo 8.1 fez sondagens no sítio onde o gás natural 
suspeita-se existir a um custo de $ 30.000. As abordagens indicaram que o gás não 
existe, mas o teste não é totalmente perfeito. A companhia que realiza as sondagens 
7 
garante que 30% das vezes o teste indica a inexistência de gás, quando ele de fato 
existe. Quando o gás não existe, o teste é correto 90% das vezes. 
Usando estes dados, após a estimativa inicial do proprietário de que a 
probabilidade de encontrar gás era de 0,6, determine, então, a decisão 
recomendada sob critério a posteriori. 
7) Resolver o exercício 6 se as sondagens tivessem indicado a presença de 
gás. 
8) Qual a decisão recomendada se as sondagens discutidas nos exercícios 6 e 
7 não tivessem sido realizadas, mas somente consideradas. 
9) Uma cidade está querendo fazer ela mesma a troca da frota municipal de 
automóveis a gasolina por carros elétricos. 
O fabricante dos carros elétricos afirma que a cidade terá lucro com o tempo, 
se ela realizar a conversão, mas a cidade tem suas dúvidas. Se o fabricante estiver 
correto, a conversão custará a cidade $ 450.000. Uma terceira possibilidade é que 
nenhuma situação venha a ocorrer e a cidade venha a “quebrar” com a conversão. 
De acordo com um levantamento de dados realizado, as respectivas probabilidades 
desses três eventos são 0,25, 0,45 e 0,30. 
A cidade realizou um programa piloto que, se implementado indicaria o custo 
potencial ou economia na conversão para carros elétricos. O programa envolve 
aluguel de três carros elétricos por três meses e utilizados sob condições normais. O 
custo para a cidade deste programa piloto seria de $ 50.000. O consultor da cidade 
acredita que os resultados do programa piloto seriam significativos, mas não 
conclusivos; ele compõe a tabela seguinte, uma compilação de probabilidades 
baseadas na experiência de outras cidades, para demonstrar sua afirmação. Que 
atitudes deveria a cidade tomar se ela quisesse maximizar a economia esperada? 
 Programa Piloto 
 Economia Inalterado Perda 
Conversão 
Economia 0,6 0,3 0,1 
Estabilidade 0,4 0,4 0,2 
Perda 0,1 0,5 0,4 
Sugestão: prepare uma árvore de decisão. 
 
8 
10) Imagine uma situação na qual os ganhos ilustrados na tabela do exemplo 
8.1 não correspondam realmente aos componentes relativos ao proprietário. 
Demonstre como a função de utilidade de Von Neumann pode ser usada para 
corrigir estas desigualdades. 
Os componentes de pagamento em ordem decrescente de preferência são: 
e1 = $ 2.000.000, e2 = $ 660.000, e3 = $60.000, e4 = $ 100.000 
Se $ 100.000 representam as economias de toda a vida do proprietário, então 
perdê-las seria catastrófico. Considerando que tal perda não pode ser mais 
importante para o proprietário que ganhar $ 2.000.000, ainda assim esta preferência 
não é refletida nos valores em dólar dos componentes de pagamento. Além disso $ 
660.000 pode ser dinheiro suficiente para satisfazer todos os desejos do proprietário. 
Dois milhões de dólares é obviamente melhor; mas ele pode não significar três 
vezes mais valioso, como sugerido apenas pelos números. 
Determine a matriz de ganhos para o processo de decisão em termos de 
utilidades. 
11) Determine a decisão recomendada sob o critério a priori para o caso do 
proprietário do exemplo 8.1, se a matriz de ganhos for a determinada no exercício 
10, e se o proprietário estimasse que a probabilidade de haver gás é de 0,6. 
12) Determine as decisões recomendadas sob cada critério simplificado para o 
seguinte processo de decisão. No outono, um fazendeiro recebe uma proposta de $ 
50.000 pela sua safra de laranja, a qual será colhida no começo do ano seguinte. Se 
o fazendeiro aceitar a oferta, o dinheiro será dela, independente da qualidade ou 
quantidade da safra. Se o fazendeiro não aceitar a oferta, ele pode vender suas 
laranjas no mercado aberto depois da colheita. Sob condições normais de produção, 
o fazendeiro pode conseguir uma receita de $ 70.000 no mercado aberto pela venda 
da colheita. Se acontecer uma geada, a maior parte de sua safra estará então, 
perdida, e ele pode conseguir uma receita de apenas $ 15.000 no mercado aberto. 
13) Um industrial deve decidir se estende o crédito a um fornecedor que espera 
abrir uma conta com a firma. Experiências anteriores mostram que 50% das contas 
novas são de risco baixo, 30% de risco médio e 20% de risco alto. Se o crédito for 
9 
estendido, o industrial calcula uma perde de $ 30.000 pelo baixo risco, $ 25.000 pelo 
médio risco e $ 50.000 pelo alto risco. Se o crédito não for estendido, o industrial 
não corre nenhum risco de perder dinheiro, já que nenhum negócio é feito com o 
fornecedor. Determine a decisão recomendada sob o critério a priori. 
14) Uma companhia está estudando um novo processo de produção que, se 
eficiente, economizará $ 3.500.00 ao ano durante os 5 anos seguintes. Se ele for 
deficiente, o montante de perdas em vendas mais o custo de conversão para o novo 
processo e então reconversão ao antigo atingirão $ 925.000. Determine a decisão 
recomendada sob o critério a priori se a companhia acredita que o novo processo 
tem uma chance de 80% de ser eficiente. 
15) Determine a decisão recomendada sob o critério a priori para o processo 
do exercício 2 se no passado o proprietário perdeu a maior parte de sua safra por 
causa de geada, uma vez em sete anos. 
16) Considere que o industrial do exercício 3, antes de tomar qualquer decisão, 
pagou $ 1.000 por uma sindicância sobre o fornecedor. A sindicância concluiu que o 
fornecedor é um risco baixo, mas o industrial sabe que essa sindicância não é 
totalmente confiável. O serviço de crédito informa que ele significará um risco médio, 
um risco baixo 30% e, um risco alto 5% das vezes; ele significará um risco baixo 
90% das vezes. Baseado nestes dados, determine a decisão recomendada para o 
industrial sob o critério a posteriori. 
17) A companhia do exercício 14 tem uma terceira opção possível; discriminar 
uma fase para integrar o novo processo dentro do seu processo formal e testar sua 
eficiência antes de decidir convertê-lo definitivamente. O custo da fase de teste é $ 
125.000, dos quais $ 75.000 são recuperados se o novo processo for bem sucedido. 
Se a fase de teste for deficiente, então um adicional de perda das vendas resultará 
de $ 25.000. 
Se o novo processo for totalmente eficiente, então a fase de teste operará 
eficazmente com uma probabilidade igual a 0,99. Se ele não for totalmente eficiente, 
a fase de teste pode, entretanto operar eficazmente; a companhia calcula que isto 
pode ocorrer com uma probabilidade de 0,6. Construauma árvore de decisão para 
todo o processo de decisão determine as medidas recomendadas. 
10 
18) O presidente de uma firma considerada competitiva acredita que um 
empregado da companhia está passando informações confidenciais a competidores. 
Ele tem 90% de certeza de que o informante é o tesoureiro da firma, cujos contatos 
têm sido extremamente importantes na obtenção de financiamentos para a 
companhia. Se o despede e ele não é o informante, a companhia perde seu perito e 
continua com um informante no seu quadro de funcionários, o que representa uma 
perda para a companhia de $ 500.000. Se o presidente não despede o tesoureiro, a 
companhia perde $ 300.000 sendo ele ou não o informante, já que em qualquer caso 
o informante permanece na companhia. 
Antes de decidir o caso do tesoureiro, o presidente pode ordenar que se façam 
testes com o detector de mentiras. Para evitar possíveis processos judiciais, estes 
devem ser aplicados a todos os empregados da companhia, com um custo total de $ 
30.000. Outro problema é que os testes com o detector de mentiras não é definitivo. 
Se uma pessoa está mentindo, os testes irão revelá-lo 90% das vezes; mas se uma 
pessoa não estiver mentindo, os testes irão indicá-lo somente 70% das vezes. Que 
atitudes poderia o presidente tomar? 
 
Referência bibliográfica 
BRONSON, R.. Pesquisa Operacional. São Paulo: MacGraw-Hill do Brasil, 
1985.