TEORIA DA DECISÃO

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TEORIA DA DECISÃO | Fernando Mori 
 
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TEORIA DA DECISÃO 
Arvores de Decisão e Teoria da Utilidade 
Fernando Mori 
prof.fmori@gmail.com 
Resumo 
Arvores de Decisão sem experimentação, com experimentação e Teoria da Utilidade 
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TEORIA DA DECISÃO 
 
 
 
Processos de decisão que envolvem um número finito de alternativas surgem 
com frequência na pratica. As ferramentas usadas para resolver esses problemas 
dependem em grande parte do tipo de dado disponível. O processo analítico 
hierárquico de análise é uma ferramenta de destaque para lidar com decisões 
sob certeza, nas quais o julgamento subjetivo é quantificado de maneira lógica e 
depois usado como base para chegar a uma decisão. Decisões sob certeza usam 
critérios que refletem a atitude do tomador de decisões em relação ao risco, que 
vai do otimismo ao pessimismo. Outra ferramenta de decisão sob incerteza e a 
teoria dos jogos, na qual dois oponentes com metas conflitantes visam obter o 
melhor entre as piores condições disponíveis para cada um. 
 
Exemplo: 
 
Carlos, brilhante aluno de uma escola de ensino médio, recebeu bolsas de estudo 
totais de três instituições, Universidade A, Universidade B, Universidade C. Para 
escolher uma Universidade ele prioriza dois critérios: localização e reputação 
acadêmica. Como excelente estudante que é, ele acha que a reputação acadêmica 
é cinco vezes mais importante do que a localização, o que resulta em um peso de 
aproximadamente 17% para a localização e 83% para a reputação. Então ele usa 
uma análise sistemática para classificar as três Universidades do ponto de vista 
de localização e reputação. 
 
Tabela dos critérios para escolha da Universidade, estimativa dos pesos em 
porcentagem: 
 
critério Universidade A Universidade B Universidade C 
localização 12,9 27,7 59,4 
reputação 54,5 27,3 18,2 
 
A estrutura do problema de decisão envolve uma única hierarquia (nível) com 
dois critérios (localização e reputação) e três alternativas de decisão 
(Universidade A, Universidade B, Universidade C). 
 
 
selecionar 
Universidad
e
localizacao 
0,17
Univ A
0,129
Univ B
0,277
Univ C
0,594
reputacao 
0,83
Univ A
0,545
Univ. B
0,273
Univ. C
0,182
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A classificação de cada universidade é baseada no cálculo dos seguintes pesos 
compostos: 
 
Universidade A = 0,17 x 0,129 + 0,83 x 0,545 = 0,4743 
Universidade B = 0,17 x 0,277 + 0,83 x 0,273 = 0,2737 
Universidade C = 0,17 x 0,594 + 0,83 x 0,182 = 0,2520 
 
Com base nestes cálculos, a Universidade A tem o peso composto mais alto e, em 
decorrência representa a melhor opção para Carlos. 
 
Outro exemplo para o processo de hierarquia analítica 
Consideremos um candidato que deve escolher entre determinadas ofertas de 
emprego, decidindo qual delas se enquadra nos seguintes objetivos: 
1) Alto salário inicial. 
2) Qualidade de vida onde o a empresa esta localizada. 
3) Interesse e motivação pelo trabalho. 
4) Localização da empresa próxima a família e parentes. 
 
Quando múltiplos objetivos são importantes para um tomador de decisão, pode 
ser difícil escolher entre alternativas. Por exemplo, um emprego pode oferecer 
um salário inicial bem alto, mas apresenta valores baixos com relação aos outros 
três objetivos. 
Para ilustrar o método AHP com clareza vamos analisar o exemplo com cuidado. 
Vamos supor que Joao tem três ofertas de emprego e devemos determinar qual 
ele vai aceitar Para o objetivo i o método gera um peso wi para o objetivo i. Por 
conveniência os pesos escolhidos sempre devem ter soma 1. 
 
 
Processos de decisão 
 
Define-se processo de decisão aquele que necessita de um único ou diversos 
conjuntos de decisões para a sua composição. 
Cada decisão sempre apresenta um ganho ou perda a ela associado, que é 
determinado por circunstancias externas ao processo. 
O tomador de decisão deve escolher uma alternativa de um conjunto de possíveis 
alternativas de decisão. O conjunto contém todas as alternativas viáveis que 
estão sendo consideradas. 
Definimos um estado da natureza possível como sendo uma das possíveis 
situações que pode ocorrer ao tomador de decisões. 
Cada combinação de uma alternativa de decisão e um estado da natureza resulta 
em um prêmio que é dado como uma das entradas da tabela de prêmios. O 
prêmio é uma medida quantitativa do valor para o tomador de decisão das 
consequências do resultado. 
A tabela de prêmios deve ser usada para encontrar uma alternativa ótima para o 
tomador de decisão de acordo com um critério apropriado. 
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O tomador de decisão geralmente tem alguma informação que deve ser levada 
em conta em relação a probabilidade relativa dos estados possíveis da natureza. 
Tal informação pode normalmente ser traduzida como uma distribuição de 
probabilidades, e assim o estado da natureza passa a ser uma variável aleatória 
cuja distribuição é conhecida previamente. 
 
 
Exemplo 1 
 
João é um torcedor apaixonado que está tentando tomar uma decisão pouco 
antes de um jogo entre palmeiras e Corinthians. 
Temos apenas duas possibilidades ou estados da natureza: 
V = vitória do Corinthians. 
D = derrota do Corinthians. 
 
O jogo é decisivo e necessariamente terá um vencedor. Em caso de empate o jogo 
deverá ser decidido nos pênaltis. 
João deve decidir por uma das ações: 
 
A1 = assistir o jogo no estádio. 
A2 = assistir ao jogo pela televisão. 
A3 = ouvir o jogo no rádio. 
 
A ação A1 envolve toda uma problemática de locomoção e obtenção do ingresso. 
Para João esta seria a opção mais agradável em caso de vitória do Corinthians, e 
seria a opção mais desagradável em caso de vitória do Palmeiras. 
A ação A2 envolve o elemento conforto e seria também agradável assistir a 
vitória pela televisão. No caso de derrota do Corinthians esta seria uma opção 
razoavelmente desagradável. 
A ação A3 levaria João em caso de vitória do Corinthians a um grande 
aborrecimento. Já em caso de derrota esta seria a opção menos desagradável. 
 Com a finalidade de tomarmos uma decisão devemos atribuir valores aos 
possíveis resultados obtidos. 
Assim atribuímos o valor 1000 ao prazer que João teria de assistir a vitória no 
estádio e -500 ao sofrimento de assistir uma derrota no estádio. 
 
Nat. Ação A1 A2 A3 
Vitoria 1000 600 -300 
Derrota -500 -100 200 
 
 
A distribuição de probabilidades dos possíveis estados da natureza não é 
certamente conhecida, pois em um jogo de futebol isso só é possível através do 
levantamento histórico das vitorias e derrotas em jogos. Vamos supor que temos 
uma probabilidade 0,6 de vitória do Corinthians e 0,4 de suas derrotas. 
 
 
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Arvores de Decisão 
 
As arvores de decisão fornecem uma maneira prática de mostrar visualmente o 
problema e em seguida organizar o trabalho computacional. Essas arvores 
devem ser usadas quando devemos executar uma sequência de decisões. 
Os pontos de junção na arvore de decisão são conhecidos como nós e as linhas 
são chamadas de ramificações. 
Um nó de decisão representado por um quadrado indica que uma decisão 
precisa ser tomada naquele ponto do processo. Um nó de evento representado 
por um círculo indica que um evento aleatório ocorre naquele ponto. 
 
No exemplo do João, a decisão a ser tomada é se ele vai assistir o jogo no estádio, 
na TV ou ouvir no radio. Neste caso a arvore deve começar por uma destas 
decisões e em seguida pode haver vitória ou derrota, com seus correspondentes 
prêmios. 
 
 
 
 
Assim temos três decisões possíveis, cada uma nos levando a um nó de 
probabilidade que tem o seu correspondente valor esperado. 
A ação ótima será sempre aquela que nos leva ao maior valor esperado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Assim podemos observar que a decisão será para o maior valor esperado de 400. 
A melhor decisão é A1. 
 
Os valores esperadossão calculados da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E(x / A1) = 1000.(0,6) + (-500).(0,4)
E(x / A2) = 600.(0,6) + (-100).(0,4)
E(x / A3) = -300.(0,6)+ 200.(0,4)
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Nos processos de tomada de decisão existem três critérios para encontrar a 
alternativa ótima. 
 
1) Critério do prêmio mínimo máximo: para cada uma das possíveis alternativas de 
decisão, encontre o prêmio mínimo ao longo de todos os estados possíveis da 
natureza. Em seguida encontre o máximo desses prêmios mínimos. A lógica 
deste método é que ele fornece a melhor garantia do prêmio que será obtido, 
independente de qual venha a ser o estado da natureza que venha a ocorrer. Este 
é um critério pessimista que nos diz que devemos escolher a alternativa que 
fornece o melhor prêmio com o pior estado da natureza possível. 
 
2) Critério da Probabilidade Máxima: . Identifique o estado de natureza mais 
provável (aquele que apresenta a maior probabilidade prévia). Para esse estado 
de natureza, encontre a alternativa de decisão com o prêmio máximo. Escolha 
essa alternativa de decisão. 
 
3) Regra de Decisão de Bayes: Usando as melhores estimativas possíveis para as 
probabilidades dos respectivos estados da natureza(as probabilidades prévias), 
calculamos o valor esperado do prêmio para cada uma das possíveis alternativas 
de decisão. Escolha a alternativa de decisão com o prêmio esperado máximo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCICIOS TOMADA DE DECISÃO 
 
 
1) A Silicon Dynamics desenvolveu um novo chip de computador que lhe permitirá 
começar a produzir e a comercializar um computador pessoal se ela assim o 
quiser. Alternativamente, ela pode vender os direitos referentes ao chip de 
computador por US$15 milhões. Se a empresa optar por fabricar computadores, 
a lucratividade da operação dependerá da habilidade da empresa em 
comercializar o computador durante o primeiro ano. Ela tem acesso suficiente a 
lojas que lhe pode garantir a venda de 10.000 computadores. No entanto se esse 
computador for bem aceito pelo mercado, a empresa poderá vender 100.000 
máquinas. Para fins de análise, esses dois níveis de venda são considerados 
como os dois resultados possíveis para comercialização do computador, mas não 
está claro quais seriam suas probabilidades prévias. O custo de implantação 
inicial da linha de montagem é de US$ 6 milhões. A diferença entre o preço de 
venda e o custo variável de cada computador é de US$600. 
a) Desenvolva uma formulação de análise de decisão para esse problema 
identificando as alternativas de decisão, os estados da natureza e a tabela de 
prêmios. 
b) Desenvolva um gráfico que represente o prêmio esperado para cada uma das 
alternativas de decisão versus a probabilidade prévia de vender 10.000 
computadores. 
c) Usando o gráfico do item b, encontre seu ponto de cruzamento. 
 
 
Resolução: 
 
 
 Estados da natureza 
alternativa Vender 10000 Vender 100000 
Montar os 
computadores 
0 54 
Vender os direitos 15 15 
Probabilidade prévia p 1 - p 
 
Diferença entre o custo variável e o preço de venda é $600,00 
 
L = R – C 
L = $600,00 por unidade. 
 
Vender 10000: lucro 10000 x 600 = $6.000.000 
Custo de implantação da linha é de $6.000.000,00 
Lucro liquido igual a zero. 
 
Vender 100.000: lucro 100.000 x 600 = 60.000.000 
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Custo = 6.000.000 
Lucro = 60.000.000 – 6.000.000 = 54.000.000,00 
 
b) Usando Bayes 
 
 
Graficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A empresa deve montar quando p<= 0,722 e vender quando p>0,722. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E(montar) = 0.p+ (1- p).54
E(vender) = 15.p+ (1- p).15 = 15
E(montar) = E(vender)
54 - 54 p = 15
49 = 54 p
p = 0,722
54 
15 
p 
Premio esperado 
probabilidade 
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2) Jean Clark é a gerente da Midtown Saveway Grocery Store. Ela precisa 
reabastecer seu estoque de morangos. Seu fornecedor regular é capaz de 
fornecer quantas caixas ela quiser. Entretanto pelo fato desses morangos já 
estarem muito maduros, ela precisará vendê-los amanhã e depois jogar fora o 
que não for vendido. Jean estima que será capaz de vender 10, 11, 12 ou 13 
caixas amanhã. Ela pode comprar os morangos a US$3 por caixa e vende-los a 
US$ 8 por caixa. Jean precisa decidir quantas caixas deve comprar. 
Jean consultou registros anteriores da loja referentes a vendas diárias de 
morangos. Baseada nisso ela estima que as probabilidades prévias sejam 0,2, 0,4, 
0,3 e 0,1 para vendas de 10, 11, 12 e 13 caixas de morangos amanhã. 
a) Desenvolva uma formulação de análise de decisão para esse problema 
identificando as alternativas de decisão, os estados da natureza e a tabela de 
prêmios. 
b) Quantas caixas de morango Jean deve comprar, caso use o critério do premio 
mínimo máximo? 
c) Quantas caixas ela deve comprar de acordo com o critério da probabilidade 
máxima? 
d) Quantas caixas ela deve comprar de acordo com a regra de decisão de Bayes. 
 
Resolução: 
a) 
estados da natureza 
 
alternativa Vender 10 
caixas (80) 
Vender 11 
caixas (88) 
Vender 12 
caixas (96) 
Vender 13 
caixas (104) 
Comprar 10 
caixas (30) 
50 50 50 50 
Comprar 11 
caixas (33) 
47 55 55 55 
Comprar 12 
caixas (36) 
44 52 60 60 
Comprar 13 
caixas (39) 
41 49 57 65 
Probabilidades 
prévias 
0,2 0,4 0,3 0,1 
 
 
 
 
 
 
 
 
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b) O premio mínimo é 41. O premio máximo nesta coluna é 51. Portanto da 
acordo com este critério devemos comprar 10 caixas. 
 
 
c)No critério da probabilidade máxima escolhemos a coluna com maior 
probabilidade (0,4). Em seguida o maior premio nesta coluna (55). De acordo 
com este critério a decisão é comprar 11 caixas. 
 
d) Regra de Bayes 
 
 
 
 
De acordo com esta regra a decisão é comprar 12 caixas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E(10) = 50(0,2 + 0,4 + 0,3+ 0,1) = 50
E(11) = 47(0,2)+ 55(0,4)+ 55(0,3)+ 55(0,1) = 53,4
E(12) = 44(0,2)+ 52(0,4) + 60(0,3) + 60(0,1) = 53,6
E(13) = 41(0,2)+ 49(0,4) + 57(0,3)+ 65(0,1) = 51,4
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3) Warren Buffy é um investidor extremamente rico que construiu sua fortuna por 
intermédio de sua legendaria visão para investimentos. Foi oferecido a ele três 
investimentos importantes e ele quer escolher um deles. O primeiro é um 
investimento conservador que se daria muito bem em uma economia em 
crescimento e sofreria apenas uma pequena perda em um panorama econômico 
pior. O segundo é um investimento especulativo que se daria extremamente bem 
em uma economia em crescimento, contudo teria um desempenho muito ruim 
em um panorama pior. Já o terceiro é um investimento contra a tendência de 
mercado que perderia algum dinheiro em uma economia em crescimento, porém 
se daria bem em um cenário ruim. 
Warren acredita que existam três cenários possíveis em relação ao período de 
existência desses possíveis investimentos: 1) uma economia em crescimento, 2) 
uma economia estável, 3) uma economia em queda. Ele é pessimista em relação 
a que caminho a economia seguirá e, portanto atribui probabilidades prévias de 
0,1, 0,5 e 0,4, respectivamente a esses três cenários. Ele também estima que seus 
lucros neste respectivos cenários seriam aqueles dados na tabela a seguir: 
 
 
 Economia em 
Crescimento 
Economia 
Estável 
Economia em 
Queda 
Investimento 
conservador 
US$ 30 milhões US$ 5 milhões -US$ 10 milhões 
Investimento 
especulativo 
US$ 40 milhões US$ 10 milhões -US$ 30 milhões 
Investimento 
contra a tendência 
-US$ 10 milhões 0 US$ 15 milhões 
Probabilidade 
Prévia 
0,1 0,5 0,4 
 
 
Qual investimento Warren deveria fazer segundo cada um dos critérios a seguir? 
a) Critério do prêmio mínimo máximo. 
b) Critério da probabilidademáxima. 
c) Regra de decisão de Bayes. 
d) Faça uma análise de sensibilidade representando graficamente o lucro 
esperado para cada uma das três alternativas de investimento versus a 
probabilidade previa para uma economia estável (com probabilidade prévia 
para uma economia em crescimento fixada em 0,1). Use esse gráfico para 
identificar os pontos de cruzamento onde a decisão muda de um 
investimento para outro. 
 
 
 
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Resolução: 
 
a) O prêmio do mínimo máximo é: 
O mínimo é - $30.000.000,00. 
O máximo nesta coluna é $15.000.000,00. 
Para obedecer o critério a escolha deve ser de investimento contra a tendência. 
 
b) Pelo critério da probabilidade máxima, escolhemos a coluna com maior 
probabilidade (0,4). O maior valor nesta coluna é $10.000.000,00, logo a 
alternativa é de investimento especulativo. 
c) De acordo com a regra de decisão de Bayes: 
 
(conservador) 0,1(30) 0,5(5) 0, 4(10) 1,5
(especulativo) 0,1(40) 0,5(10) 0, 4(30) 3
(contra tendencia) 0,1(10) 0, 4(15) 5
E
E
E
   
    
   
(conservador) 0,1(30) (5) (1 )(10) 3 5 10 10 7 15
(especulativo) 0,1(40) (10) (1 )(30) 4 10 30 30 26 40
(contra tendencia) 0,1(10) (1 )15 14 15
E p p p p p
E p p p p p
E p p
          
          
     
 
 
A alternativa é escolher investir contra a tendência. 
 
d) Economia em crescimento : 0,1 
Economia estável : p 
Economia em queda : 1 – p 
 
 
 
GRAFICO 
 
Intersecções: 
 
E(contra tendencia) = E(conservador)
14 -15 p = -7 +15 p
21 = 30 p
p = 0,7
 
 
 
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(conservador) (especulativo)
7 15 26 40
19 25
0,76
E E
p p
p
p

    


 
 
Assim teremos que: 
 
Se p < 0,7 então escolhemos o investimento contra a tendência 
Se 0,7 < p< 0,76 escolhemos o investimento conservador 
Se p ³ 0,76 investimento especulativo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4) Um negociante de arte pretende comprar uma pintura que vale $50.000,00. O 
negociante pode comprar a pintura hoje por $40.000,00 ou pode esperar um dia 
e compra-la amanhã (se não for vendida) por $30.000,00. O negociante pode 
ainda esperar mais um dia e comprar a pintura (se ainda estiver disponível) por 
$26.000,00. No final do terceiro dia a pintura não estará mais disponível. Em 
cada dia existe uma probabilidade de 0,6 de a pintura ser vendida. Qual a melhor 
estratégia para o negociante? 
 
Arvore de decisão: 
 
 
 
 
 
 
Observe que a melhor estratégia é comprar a pintura logo no primeiro dia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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5) Um fazendeiro pode plantar milho ou soja. As probabilidades de os preços da 
próxima safra desses grãos subirem, permanecerem os mesmos e baixarem são 
0.25, 0.30 e 0.45 respectivamente. Se os preços subirem, a safra de milho gerará 
$30000 líquidos, e a de soja, $10000. Se os preços permanecerem os mesmos, o 
fazendeiro conseguirá equilibrar receita e despesa. Mas se os preços baixarem, 
as safras de milho e soja darão prejuízos de $35000 e $5000 respectivamente. 
a) Represente o problema como uma arvore de decisão. 
b) Qual dos grãos o fazendeiro deve plantar. 
 
 
6) Um médico deve aconselhar seu paciente sobre uma serie de procedimentos e os 
riscos envolvidos. O paciente está muito doente e sem tratamento ele morre em 
três meses. O único tratamento é uma cirurgia arriscada com probabilidade de 
sucesso de 30%. Neste caso a expectativa de vida do paciente é de um ano. Se a 
cirurgia for bem sucedida ele pode decidir por um tratamento experimental que 
irá prolongar sua vida por mais cinco anos, mas no entanto a chance dele morrer 
durante este tratamento é de 85%. A função utilidade para o paciente é 
( ) 2U x x . Construa a arvore de decisão e encontre a melhor solução para o 
paciente. 
 
7) Uma moeda perfeita é lançada três vezes sucessivas. Você recebe $1 para cada 
cara (H) que sair, mais $0.25 para cada duas caras sucessivas (lembre-se que 
HHH inclui dois conjuntos de HH). Contudo, você devolve $1,10 para cada coroa 
que sair. Você tem a opção de jogar ou não jogar. 
a) Represente o problema como uma arvore de decisão. 
b) Você participaria desse jogo? 
 
8) A AFC está prestes a realizar o lançamento nacional de sua linha de fast-food 
Wings. O departamento de pesquisa está convencido de que a Wings será um 
grande sucesso e quer lança-la imediatamente em todos os pontos de venda da 
AFC, sem propaganda. O departamento de marketing vê a situação de modo 
diferente vê a situação de modo diferente e quer desencadear uma campanha 
publicitaria agressiva que custará $100000,00 e se tiver êxito produzirá 
$950000,00 de receita. Se a campanha não tiver sucesso(há uma chance de 30% 
de não ter), a receita estimada será de apenas $200000,00. Se não for utilizada 
nenhuma propaganda, a receita estimada é de $400000,00, com 0.8 de 
probabilidade se os clientes forem receptivos, e $200000,00 com probabilidade 
0.2 se não o forem. 
a) Represente o problema como uma árvore de decisão. 
b) Qual dos cursos de ação a AFC deve seguir no lançamento do novo produto? 
 
 
 
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9) Uma companhia enfrenta um problema relacionado com um produto (Px) 
desenvolvido por um dos seus laboratórios de pesquisa. Têm que decidir se 
prosseguem com o teste de mercado deste produto ou se simplesmente 
descontinuam o seu desenvolvimento. Foi estimado que o teste de mercado 
custará 100 mil euros. A experiência indica que apenas 30% dos produtos 
passam no teste de mercado. 
Se Px passar no teste de mercado, a companhia terá que enfrentar uma nova 
decisão relacionada com as dimensões da plataforma de produção do produto. 
Uma pequena plataforma custa 150 mil euros e permite a produção de 2000 
unidades/ano, enquanto uma plataforma maior custa 250 mil euros e permite a 
produção de 4000 unidades/ano. 
O departamento de mercado estimou que existe 40% de probabilidade da 
concorrência responder com um produto similar e que o preço por unidade 
vendida será o seguinte (em euros): 
 
 Plataforma 
grande 
Plataforma 
pequena 
Concorrência responde 20 35 
Concorência não 
responde 
50 65 
 
Assumindo que a vida de mercado para o produto Px está estimada em 7 anos e 
que os custos de funcionamento das plataformas é de 50 mil euros/ano, deve a 
companhia seguir em frente com o teste de mercado de Px? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Decisão: teste de mercado? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Passo 1 
 
Para cada caminho entre o nó inicial e cada um dos nós terminais vamos calcular 
o lucro associado (da esquerda para a direita). Valores em milhares de euros. 
 
 Nó 2 Nó 4 Nó 7 Nó 8 Nó 10 Nó 11 Nó 12 
Benefícios 0 0 910 490 1400 560 0 
Custos 0 100 600 600 700 700 100 
Lucros 0 -100 310 -110 700 -140 -100 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
5 
3 
6 
9 
2 
4 
 
7 
8 
10 
 
11 
 
12 
 
A1 – Descontinuar Px 
A2 – Teste de mercado 
(100 mil euros) 
Teste falha (0,7) 
Teste bem 
sucedido (0,3) 
A3 – Pequena plat. 
A4 – Grande plat. 
S/ concorrência 
(0,6) 
S/ concorrência 
(0,6) 
C/ concorrência 
(0,4) 
C/ concorrência 
(0,4) 
A5 – S/ produção (0) 
Decisão: dimensão da 
plataforma de produção? 
TEORIA DA DECISÃO | Fernando Mori 
 
18 
 
 
 
 
 
 
Passo 2 
 
Vamos agora considerar as probabilidades introduzidas no problema, 
trabalhando da direita para a esquerda da árvore de decisão. 
 
Nó 6 
 
Ramo para 7 – probabilidade 0,6 e lucro total 310 
Ramo para 8 – probabilidade 0,4 e lucro total -110 
 
Valor monetário esperado: 
 
0,6* (310) + 0,4* (-110) = 142 mil euros 
 
 
 
 
 
 
Nó 9 
 
Ramo para 10 – probabilidade 0,6 e lucro total 700 
Ramo para 11 – probabilidade 0,4 elucro total -140 
 
Valor monetário esperado: 
 
0,6* (700) + 0,4* (-140) = 364 mil euros 
 
Substituindo os nós de mudança pelos correspondentes VME: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
A3 – Pequena plat. 
A4 – Grande plat. 
A5 – S/ produção (0) 
VME = 142 
VME = 364 
VME = -100 
TEORIA DA DECISÃO | Fernando Mori 
 
19 
 
 
Assim, no nó 5 temos 3 alternativas possíveis: 
 
1 – Construir uma plataforma pequena VME = 142 
2 – Construir uma plataforma grande VME = 364 
3 – Não construir nenhuma plataforma VME = -100 
 
A alternativa 2 é a melhor. Vamos repetir este processo para o nó de decisão 1 
considerando apenas esta alterbativa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nó 3 
 
Ramo para 4 – probabilidade 0,7 e lucro total -100 
Ramo para 5 – probabilidade 0,3 e lucro total 364 
 
Valor monetário esperado: 
 
0,7* (-100) + 0,3* (364) = 39,2 mil euros 
 
Assim, no nó de decisão 1 temos duas alternativas possíveis: 
 
1- Descontinuar o produto VME = 0 
2- 2- Proceder ao teste de mercado VME = 39,2 
 
A alternativa 2 é melhor. 
 
Conclusão: 
 
Devemos proceder ao teste de mercado. Se este for bem sucedido podemos 
antecipar que devemos construir uma plataforma de produção grande. (Na vida 
real, se o teste for bem sucedido a análise de decisão relativamente ao nó 5 pode 
ser revista). 
 
1 
3 
A1 – Descontinuar Px 
A2 – Teste de mercado 
(100 mil euros) 
Teste falha (0,7) 
Teste bem 
sucedido (0,3) 
VME = 0 
VME = -100 
VME = 364 
TEORIA DA DECISÃO | Fernando Mori 
 
20 
 
 
10) João da Silva toma decisões de acordo com a regra de decisão de Bayes. Para seu 
problema atual, João construiu a seguinte tabela de prêmios (em unidades de 
dólares): 
 
 
 Estados da Natureza 
Alternativa S1 S2 S3 
A1 50 100 -100 
A2 0 10 -10 
A3 20 40 -40 
Probabilidade 
Prévia 
0.5 0.3 0.2 
 
a) Qual alternativa João deve escolher? 
b) Encontre VEIP 
c) Qual é o máximo que João deve pagar para obter mais informações sobre 
qual estado da natureza ocorrerá? 
 
a) 
E(A1) = 50.(0.5) +100.(0.3) -100.(0.2) = 35
E(A2 ) = 0.(0.5) +10.(0.3)-10.(0.2) = 1
E(A3) = 20.(0.5)+ 40.(0.3)- 40.(0.2) = 14
 
 
A alternativa é A1. 
 
b) Escolhemos a ação com prêmio máximo 
 
 S1 S2 S3 
 50 100 -10 
Prob. Prévia 0.5 0.3 0.2 
 
 
 
EP(inf. perfeita) = 50.(0.5)+100.(0.3)-10.(0.2) = 53 
 
EP(sem informação)=35 
 
VEIP=EP(com inf. Perfeita)-EP(sem informação)=53 – 35 = 18 
 
 
c) João deve considerar a possibilidade de gastar até $18 para obter mais 
informações. 
TEORIA DA DECISÃO | Fernando Mori 
 
21 
 
 
11) Uma empresa que vende piscinas pré-fabricadas terá de decidir se vai ou não 
fazer publicidade na televisão durante a época de verão. Se ela não decidir fazer 
publicidade, suas vendas anuais irão se manter na ordem de 400 mil. Se ela 
decidir fazer a publicidade, irá gastar 100 mil. Se o verão tiver temperaturas 
elevadas, o que acontecerá com probabilidade de 75%, então a empresa irá 
conseguir aumentar suas vendas para 800 mil. Caso contrário irá aumentar suas 
vendas apenas para 440 mil. No entanto neste último caso ela poderá optar por 
uma política agressiva de descontos. Se os seus concorrentes não decidirem 
fazer também descontos significativos, o que acontecerá com probabilidade de 
70%, então as vendas irão aumentar em 30%(em relação ao valor de 440). Se os 
concorrentes optarem por uma política de descontos, ela perderá 15% do seu 
valor de vendas(em relação aos 440). 
Represente o problema através de uma arvore de decisão e escolha a política 
ótima. 
 
 
 
 
 
 
E = 0,7(472)+ 0,3(274) = 412,6
E = 0,25(412,6)+ 0,75(700) = 628,15 
 
A política ótima é fazer publicidade e se o verão não tiver temperaturas 
elevada adotar a política de descontos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
TEORIA DA DECISÃO | Fernando Mori 
 
22 
 
 
 
 
 
12) Uma empresa tem capital de US$150000 para investir em um novo produto 
chamado produto A. A empresa tem 3 alternativas: 
Alternativa 1 : testar o mercado localmente e verificar a aceitação do produto A. 
Usar esses resultados para determinar se vai ou não vender o produto A em 
escala nacional. 
Alternativa 2: Comercializar o produto A em escala nacional sem realizar 
nenhum estudo de mercado. 
Alternativa 3: Não comercializar o produto A em escala nacional e não realizar 
nenhum estudo de mercado. 
 
Na ausência de estudo de mercado a empresa acredita que o produto A tem 55% 
de chance de ser um sucesso nacional e 45% de ser um fracasso. Se o produto A 
for um sucesso a empresa fatura $300000, e se for um fracasso ela tem prejuízo 
de $100000. 
Se a empresa realizar um estudo de mercado (a um custo de $30000) existe uma 
chance de 60% de que o estado dê resultados favoráveis (sucesso local) e 40% 
de dar resultados desfavoráveis (fracasso local). Se um sucesso local for 
observado então existe 85% de chance de um sucesso nacional. Se um fracasso 
local for observado, existem 10% de chance de que o produto seja um sucesso 
nacional. Decidir qual estratégia a empresa deve seguir 
 
 
Observe que a decisão que nos fornece o melhor valor esperado é não testar o 
mercado e realizar a venda do produto em escala nacional. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TEORIA DA DECISÃO | Fernando Mori 
 
23 
 
 
 
 
13) Uma empresa tem de tomar uma decisão no que diz respeito a um produto que 
está sendo desenvolvido em um de seus laboratórios de desenvolvimento. Tem 
de decidir se abandona ou se o submete a uma fase de testes de mercado. Os 
testes de mercado custarão à empresa R$100.000,00 
Pelas experiências anteriores sabe-se que apenas 30% dos produtos conseguem 
passar esta fase de testes de mercado. 
Se este produto conseguir ter sucesso nos testes de mercado, a empresa terá de 
tomar outra decisão: qual o tamanho da fábrica que deverá construir para a 
produção deste novo produto. Poderá optar por escolher uma fábrica pequena 
que custará R$150.000,00 e permitirá produzir até 2000 unidades por ano; 
poderá optar por construir uma fábrica maior com um custo de R$250.000,00 e 
que permitirá fabricar até 4000 unidades por ano, ou ainda desistir de produzir 
o produto. 
O departamento de marketing da empresa estima que existe uma probabilidade 
de 40% dos seus principais concorrentes responderem com a introdução no 
mercado de um produto similar. Assumindo que toda a produção é vendida, os 
preços serão: 
 
 Fabrica maior Fabrica menor 
Concorrência lança produto similar R$20,00 R$35,00 
Concorrência não lança produto 
similar 
R$50,00 R$65,00 
 
 
 
Assumindo que este produto será vendido durante 7 anos, e que os custos de 
manutenção das fabricas são de R$50.000,00 por ano, independentemente do 
tamanho da fábrica, a empresa deve ou não prosseguir com os testes de mercado 
para este novo produto? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TEORIA DA DECISÃO | Fernando Mori 
 
24 
 
 
 
 
 
 
14) Uma empresa tem de tomar uma decisão em relação a dois contratos estatais a 
que pode concorrer. Tem 3 alternativas: concorre apenas ao contrato1, apenas 
ao contrato2 ou concorre a ambos os contratos. 
O custo de concorrer ao contrato 1 é de R$50.000,00, o custo de concorrer ao 
contrato 2 é de R$14.000,00 e o custo de concorrer a ambos é R$55.000,00. 
A empresa terá de apresentar uma proposta para cada contrato que decidir 
concorrer. Do valor da proposta depende a probabilidade de conseguir ou não o 
contrato de acordo com a tabela seguinte. Quando a empresa concorre 
simultaneamente a ambos os contratos, ou ganha ou perde ambos. 
Qual a estratégia da empresa? 
 
 Proposta Probabilidade 
Concorre apenas ao contrato 1 R$130.000,00 20% 
 R$115.000,00 85% 
 
 
 Proposta Probabilidade 
Concorre apenas ao contrato 2 R$70.000,00 15% 
 R$65.000,00 80% 
 R$60.000,00 95% 
 
 
 Proposta Probabilidade 
Concorre a ambos os contratos R$190.000,00 5% 
 R$140.000,00 65%TEORIA DA DECISÃO | Fernando Mori 
 
25 
 
 
 
 
 
 
15) Uma família está planejando fazer um seguro contra roubo para sua casa. A 
família deseja segurar bens no valor total de R$20.000,00. 
As estatísticas acerca de roubos a residências dizem que no bairro em que eles 
moram existe 3% de chance de a casa ser assaltada durante o próximo ano. No 
caso de haver um assalto eles perderiam 10%, 20% ou 40% dos bens com 
probabilidades de 50%, 35% e 15% respectivamente. 
Um seguro feito por um ano na empresa A custa R$150,00, e garante a cobertura 
do valor total dos objetos em caso de roubo. 
Um seguro feito por um ano na empresa B custa R$100,00 mas obriga a família a 
pagar R$50,00 em caso de assalto. 
Um seguro feito pela empresa C custa R$75,00, mas cobre apenas 40% do valor 
do que foi roubado. 
Supor que possa ocorrer apenas um assalto por ano. Qual a estratégia que a 
família deve adotar? 
 
 
 
 
16) Uma cidade planeja investir R$30000,00 em urbanização em um local que está 
muito sujeito a furacões. Durante certo intervalo de tempo estima-se que existe 
uma chance de 12% de que ocorra um furacão forte o suficiente de forma a 
causar prejuízos ao desenvolvimento que está sendo construído. Se isto 
acontecer, estima-se que a chance de ser moderado é 0,9 e de ser forte é 0,1. 
Temos três opções possíveis: 1) não executar nenhuma obra de proteção e no 
caso de um furacão todo o investimento ser perdido. 2) Criar certos dispositivos 
de segurança de forma que não ocorra nenhum prejuízo se o furacão tiver 
intensidade moderada, a um custo de R$1800,00. 3) Realizar obras de proteção 
total de forma que não ocorra nenhum prejuízo não importa a intensidade do 
furacão. Isto tem custo de R$18000,00. Qual a estratégia a ser utilizada? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TEORIA DA DECISÃO | Fernando Mori 
 
26 
 
 
 
 
 
 
17) Uma empresa está tentando decidir qual das duas maquinas de cópias deve 
comprar. Ambas maquinas satisfazem todas as necessidades da empresa pelos 
próximos 10 anos. A máquina 1 custa $2.000,00 e tem um contrato de 
manutenção com taxa anual de $150,00, que cobre todos os reparos. A máquina 
2 custa $3.000,00 e seu contrato de manutenção anual é uma variável aleatória. 
Atualmente a empresa acredita que existe uma chance de 40% que a 
manutenção anual da máquina 2 seja 0, uma chance de 40% de que seja $100,00 
e uma chance de 20% de que seja $200,00. 
Antes da decisão de compra ser efetuada a empresa pode avaliar a qualidade das 
maquinas por um técnico especializado. Se o técnico acredita que a máquina 2 é 
satisfatória temos uma chance de 60% de que a manutenção anual seja 0, e 40% 
de que o custo da manutenção anual seja $100,00. Se o técnico acredita que a 
máquina 2 não é satisfatória existe 20% de chance de que a manutenção anual 
custe 0, uma chance de 40% de que custe $100,00 e 40% de chance de que custe 
$200,00. Se existe 50% do técnico dar um relatório satisfatório e ele cobra 
$40,00 pelo relatório o que deve a empresa fazer? 
 
 
18) Uma indústria química está desenvolvendo um novo tipo de fertilizante. Se a 
empresa lançar o produto no mercado e ele for um sucesso então a empresa terá 
um lucro de $50.000,00, se for um fracasso a empresa perde $35.000,00. No 
passado produtos similares obtiveram sucesso em 60% das vezes. A um custo de 
$5.000,00 a efetividade do novo fertilizante pode ser testada. Se o resultado do 
teste for favorável, temos 80% de chance que o fertilizante será um sucesso. Se o 
teste não for favorável existe 30% de chance de que o fertilizante seja um 
sucesso. Temos 60% de chance de o teste ser favorável e 40% de que não seja. 
Determine a estratégia ótima da empresa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TEORIA DA DECISÃO | Fernando Mori 
 
27 
 
 
 
 
 
 
TEORIA DA UTILIDADE 
 
 
Consideramos o conceito de utilidade de Von-Newmann-Morgestein e como 
usá-lo como auxiliar na tomada de decisão com incerteza. 
Considere uma situação em que uma pessoa recebe para i = 1,2,3,...., uma 
recompensa 
ir com probabilidade ip . Isto é chamada uma loteria 
1 1 2 2 3 3( , ; , ; , ;......)p r p r p r .Uma loteria é representada como uma arvore em 
que cada ramo temos a probabilidade de um certo resultado ocorrer. Logo a 
loteria 
1 3
( ,$500; ,0)
4 4
 será denotada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para escolhermos entre duas loterias diferentes, devemos levar em consideração 
também o valor esperado. 
 
Vamos analisar a escolha entre as loterias 
1L e 2L . A loteria L1 nos fornece com 
certeza o prêmio de $10.000,00. 
A loteria L2 consiste em atirar uma moeda. Se sair cara recebemos $30.000,00, 
se sair coroa recebemos $0. 
 
 
 
 
 
L2 
 
 
 
L1 tem valor esperado de $10.000,00 e L2 nos fornece um valor esperado de 
1 1
( ).($30.000,00) ( ).0 $15.000,00
2 2
  
¼;$500 
¾;0 
½;$30.000,00 
½;0 
TEORIA DA DECISÃO | Fernando Mori 
 
28 
 
 
L3 
 
L1 
Embora L2 forneça um valor esperado maior que L1, a maioria das pessoas irá 
preferir L1 a L2 porque L1 oferece uma certeza de uma grande recompensa, 
enquanto L2 tem uma grande chance de recompensa nula. Ou seja a maioria das 
pessoas prefere L1 ao invés de L2 porque envolve um risco menor(incerteza) do 
que L2. 
 
Nosso objetivo é determinar um método que uma pessoa pode usar para 
escolher entre loterias. 
Supor que devemos escolher entre L1 e L2. Escrevemos L1pL2 se a pessoa 
prefere L1 e L2pL1 se a pessoa prefere L2. Se a pessoa for indiferente 
escrevemos L1iL2, e neste caso dizemos que as loterias são equivalentes. 
Vamos supor que um tomador de decisão deva classificar as seguintes loterias: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
L2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
L4 
 
 
 
 
½;$30.000,00 
½;0 
0 
0.02;$10.000,00 
0,98;$500,00 
1;$10.000,0
0 
TEORIA DA DECISÃO | Fernando Mori 
 
29 
 
 
L1 
 
L1 
A estratégia de Von-Newman-Morgestein é feita de tal forma que o tmador de 
decisão deve classifica-las de tal forma que ele seja indiferente a um certo par de 
loterias. 
Assim começamos identificando o resultado mais favorável ($30.000,00) e o 
menos favorável (-$10.000,00). Para os outros resultados 
1 2 3( $10.000,00; $500,00; 0)r r r   o tomador de decisão deve determinar a 
probabilidade 
ip de tal forma que ele seja indiferente a duas loterias: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
L2 
 
 
 
 
Se supormos que $10.000,00ir  e o tomador de decisão é indiferente entre: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
L2 
 
 
 
ip ;$30.000,00 
1 ip ;-$10.000,00 
1;
ir 
0,90;$30.000,00 
0,10;-$10.000,00 
1;$10.000,00 
TEORIA DA DECISÃO | Fernando Mori 
 
30 
 
 
 
L1 
L1 
 
 
Supondo agora que 
2 $500,00r  ele é indiferente entre: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
L2 
 
 
 
Se supormos então que 
2 0r  o tomador de decisão será indiferente entre as 
loterias: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
L2 
 
 
 
Observe que é o comportamento do tomador de decisão que seleciona as 
probabilidades para um certo prêmio. Para avaliarmos a utilidade de um 
0,62;$30.000,00 
0,38;-$10.000,00 
0,60;$30.000,00 
0,40;-$10.000,00 
1;0 
1;$500,00 
TEORIA DA DECISÃO | Fernando Mori 
 
31 
 
 
L1 
tomador de decisão precisamos dispor de informações sobre seu 
comportamento com relação aos prêmios e probabilidades que o tornam 
indiferentes as diferentes composições de loterias. 
 
 
 
Com essa classificação de loterias podemos determinar a função utilidade para 
um tomador de decisão. 
Definimos então a utilidade da recompensa 
ir escrita como ( )iu r como o numero 
iq que faz com que o tomador de decisão seja indiferente entre as loterias: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
L2 
 
 
 
Esta definição impõe a condição de que a utilidade do resultado menosfavorável 
seja 0 e a utilidade do resultado mais favorável seja 1 ou: 
 
 
(resultado mais favorável) 1
(resultado menos favorável) 0
u
u


 
 
Assim se considerarmos o nosso exemplo anterior podemos levantar alguns 
valores para a utilidade do tomador de decisão: 
 
 
($30.000,00) 1
( $10.000,00) 0
u
u

  
Considerando as loterias equivalentes teremos: 
 
iq , resultado mais favorável. 
1 iq , resultado menos favorável. 
1;
ir 
TEORIA DA DECISÃO | Fernando Mori 
 
32 
 
L1 
 
($10.000,00) 0,90
($500,00) 0,62
($0) 0,60
u
u
u



 
A função utilidade do tomador de cisão para todos os prêmios 
ir será ( )iu r . 
 
Para uma dada loteria L, definimos a utilidade esperada da loteria L, escrita como 
(U para L)E : 
 
 
1
(U para L) ( )
n
i i
i
E p u r

 
Assim de acordo com o exemplo temos: 
 
 
1
2
3
4
(U para L ) 0,90
(U para L ) 0,50.(1) 0,50.(0,60) 0,80
(U para L ) 1.(0,60) 0,60
(U para L ) 0,02.(0) (0,98).(0,62) 0,6076
E
E
E
E

  
 
  
 
 
 
Assim dadas duas loterias L1 e L2, podemos escolher entre elas através do 
critério da utilidade esperada: 
 
 
1 2 1 2
2 1 2 1
 se e somente se (U para L ) (U para L )
 se e somente se (U para L ) (U para L )
L pL E E
L pL E E

 
O tomador de decisão é indiferente as loterias se 
1 2(U para L ) (U para L )E E . 
 
 
 
Como podemos estimar a função utilidade de um tomador de decisão? 
Supomos inicialmente que o resultado menos favorável (-$10.000,00) tem 
utilidade 0 e que o resultado mais favorável ($30.000,00) tem utilidade 1. 
Em seguida definimos um número X2 tal que u(X2)=1/2. 
Para determinar X2 pedimos ao tomador de decisão que escolha um número X2 
que o faça indiferente entre as loterias: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1;X2 
TEORIA DA DECISÃO | Fernando Mori 
 
33 
 
 
 
L1 
 
 
 
L2 
 
 
 
 
 
Lembrando que: 
 
($30.000,00) 1
( $10.000,00) 0
u
u

  
Desde que o tomador de decisão é indiferente entre as duas loterias elas devem 
ter a mesma utilidade esperada: 
 
1 1 1
( 2) (1) (0)
2 2 2
u X    
Este processo nos dá u(X2)=1/2. 
Supondo que o tomador de decisão escolha que o valor de X2 que o torna 
indiferente as duas loterias seja -$3.400,00, então teremos que X2 = -$3.400,00. 
Usando X2 e o resultado menos favorável (-$10.000,00) como resultado possível 
podemos construir uma loteria que pode ser usada para determinar o ponto X3 
que tem utilidade ¼ (u(X3) = ¼). O ponto X3 deve ser tal que o tomador de 
decisão é indiferente entre: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
L2 
 
 
 
 
 
( $3.400,00) 1/ 2
( $10.000,00) 0
u
u
 
 
 
 
½, $30.000,00 (mais favorável) 
½, -$10.000,00 (menos favorável) 
½, -$3.400,00 (mais favorável) 
½, -$10.000,00 (menos favorável) 
1;X3 
TEORIA DA DECISÃO | Fernando Mori 
 
34 
 
 
L1 
Então teremos que:  
1 1 1 1
(X3) . . 0
2 2 2 4
u
     
       
     
 
 
Supondo que o tomador de decisão escolha X3 = -$8.000,00, teremos então mais 
um ponto na função utilidade. Observe que repetindo o processo 
indefinidamente poderemos encontrar uma função (ou curva) de utilidade para 
o tomador de decisão. Esta função só pode ser determinada a partir do 
comportamento do tomador de decisão. 
 
 
 
RELAÇÃO ENTRE A FUNÇÃO UTILIDADE E O RISCO 
 
 
O equivalente certo de uma loteria L, escrito como CE(L) é o número que torna o 
tomador de decisão indiferente entre a loteria L e receber um certo prêmio 
CE(L). 
Assim por exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
L2 
 
 
 
 
Neste caso se o tomador de decisão for indiferente entre as duas loterias, então 
( ) $3.400,00CE L   
 
O prêmio risco de uma loteria é definido como sendo a diferença entre o valor 
esperado da loteria e o equivalente certo, ( ) ( ) ( )RP L EV L CE L  sendo ( )EV L 
o valor esperado do resultado da loteria. Assim no nosso exemplo teremos: 
 
 
 
1 1
( ) ($30.000,00) ( $10.000,00) $10.000,00
2 2
EV L
   
      
   
 
½, $30.000,00 (mais favorável) 
½, -$10.000,00 (menos favorável) 
1;-$3.400,00 
TEORIA DA DECISÃO | Fernando Mori 
 
35 
 
Usando ( ) $3.400,00CE L   teremos que ( ) 10.000 ( 3.400) $13.400,00RP L     
Assim o tomador de decisão tem o seu prêmio risco como sendo $13.400,00. Este 
valor nos dá uma ideia de qual o risco que o tomador de decisão está disposto a 
correr. 
Seja uma loteria em que mais de um resultado pode ocorrer. Com relação a 
atitude em relação ao risco, um tomador de decisão pode ser: 
a) Avesso ao risco se ( ) 0RP L  
b) Neutro ao risco se ( ) 0RP L  
c) Tomador de risco se ( ) 0RP L  
A atitude de um tomador de decisão com relação ao risco depende da 
concavidade de sua função utilidade ( )u x . 
 
Se tivermos uma função utilidade u(x) especifica do tomador de decisão e se 
ela for diferençável, então u(x) será estritamente côncava se e só se ''(x) 0u  
para todo x e u(x) será estritamente convexa se e só se ''( ) 0u x  para todo x. 
Assim um tomador de decisão com uma função utilidade u(x) será: 
a) Avesso ao risco se e só se u(x) é estritamente côncava ( ''( ) 0u x  ) 
b) Neutro ao risco se e só se u(x) for uma função linear ( ''( ) 0u x  ) 
c) Tomador de risco se e só se ( ''( ) 0u x  ) 
Existe uma classe de funções de utilidade prontas chamadas de utilidade 
exponencial e são muito usadas na análise de investimentos. Uma função 
utilidade exponencial tem apenas um parâmetro numérico ajustável: 
 ( ) 1
x
Ru x e

  
 
Onde x é um valor monetário, u(x) é a utilidade deste valor com R > 0 um 
parâmetro ajustável que caracteriza a tolerância ao risco. Uma pessoa com 
grande valor de R está mais disposto a aceitar riscos do que uma pessoa com 
um pequeno valor de R. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TEORIA DA DECISÃO | Fernando Mori 
 
36 
 
 
L1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) João tem uma função utilidade para a posição de seus ativos x dadas por 
( )u x x . Atualmente o ativo de João consiste de $10.000,00 em dinheiro e 
uma casa avaliada em $90.000,00. Durante um ano qualquer existe uma 
probabilidade de 0,001 de que a casa de João seja destruída. Quanto ele está 
disposto a pagar por uma apólice de seguro que substituiria sua casa se ela for 
destruída? 
 
 
 
2) Supor que a minha função utilidade para a posição de um certo ativo x seja 
( ) lnu x x . 
 
a) Como é o meu comportamento frente ao risco? 
b) Tenho agora $20.000,00 e estou considerando as seguintes loterias: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
L2 
 
 
 
Determine qual loteria eu prefiro e qual o prêmio do risco de L2. 
0,9; 0 (mais favorável) 
0,1; -$10.000,00 (menos favorável) 
1;-$1.000,00 
TEORIA DA DECISÃO | Fernando Mori 
 
37 
 
 
L1 
L1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Um tomador de decisão tem uma função utilidade para ganhos monetários dada 
por ( ) 10.000u x x  . 
a) Mostre que essa pessoa é indiferente entre a situação atual e a loteria: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
L2 
 
 
b) Se existe uma probabilidade de 10% de que uma pintura avaliada em 
$10.000,00 seja roubada durante o próximo ano qual o máximo valor anual da 
apólice de seguro que o tomador de decisão está disposto a pagar pela perda 
da pintura? 
 
4) Maria está tentando escolher qual dos dois cursos escolher. Se ela escolher 
português, ela acha que tem 10% de chance de receber A, 40% de chance de 
receber B, e 50% de chance de receber um C. Se ela escolher matemática ela tem 
70% de chance de tirar B, 25% de chance para um C e 5% de tirar D. Maria é 
indiferente entre as loterias: 
 
 
 
 
 
1/3; $80.000,00(mais favorável) 
2/3, -$10.000,00 (menos favorável) 
1;0 
1;C 
TEORIA DA DECISÃO | Fernando Mori 
 
38L1 
 
 
 
L2 
 
 
 
 
 
É indiferente também entre: 
 
 
 
 
 
 
 
 
L2 
 
 
Se Maria deseja escolher o curso que maximiza sua utilidade esperada da nota 
final, qual curso deverá escolher? 
 
 
 
5) Temos que investir $1.000,00 por um período de 6 meses. Dois 
investimentos potenciais estão disponíveis: ações e ouro. Se $1.000,00 for 
investido em ações estamos certos de terminar o período de 6 meses com 
$1296,00. Se investirmos em ouro existe uma chance de ¾ de terminarmos 
os 6 meses com $400,00 e uma probabilidade de ¼ de terminarmos o 
período de 6 meses com $10.000,00. Se terminarmos com x dólares, a nossa 
função utilidade é ( )u x x . Qual investimento devemos escolher? 
 
 
 
 
6) A renda de Carlos é $40.000,00. Ele acredita dever $8.000,00 em impostos. 
Por $500,00 ele pode contratar um contador para rever sua restituição, e 
existe 20% de chance de que ele consiga uma economia de $4.000,00 em 
impostos. A função utilidade de Carlos é dada por ( )u x x onde x é a 
renda disponível. Ele deve contratar o contador? 
 
0,25; A 
0,75; D 
0,70; A 
0,30; D 
1;B 
TEORIA DA DECISÃO | Fernando Mori 
 
39 
 
 
 
7) Temos $1.000,00 para investir em uma das aplicações: ouro, ações e 
certificados do tesouro. Se $1.000,00 for colocado em um dos 
investimentos e o rendimento depende do estado da economia. Supor que 
cada estado da economia é igualmente provável. Supor que a função 
utilidade do investimento x para o prazo de um ano é ( ) lnu x x . 
Determine qual investimento escolher. ( 
Supor $1.000,00 investidos hoje). 
 Estado 1 Estado 2 Estado 3 
Certificados do 
tesouro 
$1.100,00 $1.100,00 $1.100,00 
Ações $1.000,00 $1.100,00 $1.200,00 
Ouro $1.600,00 $300,00 $1.400,00 
 
 
 
 
8) Como presente de formatura na universidade, seus pais oferecem a você duas 
alternativas. A primeira é um presente em dinheiro de $19.000,00. A segunda 
alternativa é fazer um investimento em seu nome. Esse investimento em breve 
terá dois resultados possíveis indicados a seguir: 
 
Resultado Probabilidade 
 
Receber $10.000,00 0,3 
Receber $30.000,00 0,7 
 
a) Sua utilidade para receber M mil dólares é dada pela função de utilidade 
( ) 6u M M  . Qual escolha deve ser feita para maximizar a utilidade 
esperada? 
b) Suponha que agora você está incerto com relação a qual é a real função de 
utilidade para receber dinheiro, de modo que você tem um processo para 
construir esta função. Você descobriu que u (19) = 16,7 e u (30) = 20 são as 
utilidades de receber $19.000,00 e $30.000,00 respectivamente. Você 
também concluiu que é indiferente em relação as duas alternativas oferecidas. 
Use essa informação para encontrar u (10). 
 
 
 
TEORIA DA DECISÃO | Fernando Mori 
 
40 
 
 
 
 
 
9) Você deseja construir sua função utilidade pessoal u(M) para receber M mil 
dólares. Após fazer u(0)=0 em seguida configura u(1) = 1 como sua utilidade para 
receber $1.000,00. Em seguida você quer encontrar u(10) e depois u(5). 
a) Você oferece a si mesmo duas alternativas hipotéticas: 
A1: Obter $10.000,00 com probabilidade p. 
 Obter 0 com probabilidade (1 – p). 
A2: Obter efetivamente $1.000,00. 
 
A seguir você se pergunta qual o valor de p o torna indiferente em relação a 
essas duas alternativas? Sua resposta é p = 0,125. Encontre u(10). 
 
b) A seguir repita o item a exceto por alterar a segunda alternativa para receber 
efetivamente $5.000,00. O valor de p que o torna indiferente em relação a 
essas duas alternativas é p = 0,5625. Encontre u(5). 
 
 
 
 
10) Você vive em uma região onde há possibilidade de ocorrência de um grande 
terremoto de modo que está estudando a hipótese de adquirir um seguro contra 
terremotos para sua casa a um custo anual de $180,00. A probabilidade de um 
terremoto danificar sua casa durante um ano é 0,001. Se isso acontecer você 
estima que o custo dos danos (totalmente cobertos pelo seguro de terremoto) 
será de $160.000,00. Seus ativos totais (inclusive sua casa) valem $250.000,00. 
a) Aplique a regra de decisão de Bayes para determinar qual alternativa (fazer 
seguro ou não) maximiza seus ativos esperados após um ano. 
b) Agora você construiu uma função de utilidade que mede quanto o valor de seus 
ativos totais valem em x dólares (x>0). Essa função de utilidade é ( )u x x . 
Você deve ou não fazer seguro? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TEORIA DA DECISÃO | Fernando Mori 
 
41 
 
 
 
 
 
ARVORES DE DECISÃO COM EXPERIMENTAÇÃO. 
 
 
 
 
1) Você recebe a seguinte tabela de prêmios (em unidades de dólares): 
 
 Estados da Natureza 
Alternativa S1 S2 
A1 400 -100 
A2 0 100 
Probabilidade Prévia 0.4 0.6 
 
Você tem a opção de pagar US$ 100 para ter a pesquisa realizada para 
prever melhor qual estado de natureza ocorrerá. Quando o estado de 
natureza real for S1, a pesquisa vai prever de forma precisa S1 60% das 
vezes (mas vai prever de forma imprecisa S2 40% das vezes). Quando o 
estado de natureza real for S2, a pesquisa vai prever de forma precisa S2 
80% das vezes (mas vai prever de forma imprecisa S1 20% das vezes). 
a) Dado que a pesquisa não seja realizada, use a regra de decisão de 
Bayes para determinar qual alternativa de decisão deve ser a 
escolhida. 
b) Encontre VEIP. Essa resposta indica que valeria a pena realizar a 
pesquisa? 
c) Construa a arvore de decisão e determine a política ótima. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TEORIA DA DECISÃO | Fernando Mori 
 
42 
 
 
 
 
2) A empresa CarCredit é uma empresa que financia veículos novos. Normalmente 
ela aprova financiamentos de até $30.000,00 para um período de no máximo 4 
anos. No entanto tem havido um aumento na inadimplência, que afeta um em cada 
quatro clientes, e por isso a empresa quer rever a estratégia de concessão de 
crédito. A empresa obtém em média 10% de lucro do capital financiado, mas 
perde 20% do capital financiado com os inadimplentes. A empresa contratou os 
serviços de uma consultoria especializada em avaliações rápidas de clientes 
potenciais, e cobra uma porcentagem sobre o crédito a ser financiado. A empresa 
pública suas taxas de acertos: ela acerta 70% dos casos em que um consumidor 
potencial se torna inadimplente e acerta 80% dos casos em que um cliente 
potencial paga corretamente o financiamento. Decida a estratégia ótima para a 
empresa CarCredit. 
 
 
 
 
 
 
3) CadTram é uma empresa que fabrica correias dentadas para um cliente com preço 
de venda de $40,00 a unidade, e obtém 100% de lucro com relação ao custo de 
produção. No entanto o processo de produção atual gera 10% de correias que não 
estão dentro das tolerâncias especificadas pelo cliente. O contrato que a empresa 
tem com este cliente diz que se uma correia defeituosa for entregue a empresa 
deve reembolsar o cliente duas vezes o preço de venda. 
A empresa tem uma máquina usada para testar as correias produzidas, e analisar 
se elas estão dentro das tolerâncias aprovadas. De acordo com o histórico das 
últimas 1000 correias testadas, 45 tinha defeito. Além disso das 660 recusadas, 
33 eram boas. O custo do teste é $1,00 por correia. 
Decida a estratégia ótima para a empresa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TEORIA DA DECISÃO | Fernando Mori 
 
43 
 
 
4) A empresa ADESA está pensando em realizar alguns reparos em uma de suas 
maquinas envolvidas no processo de produção. Estes reparos podem ser parciais 
ou totais. Atualmente a porcentagem de produtos defeituosos que a máquina 
produz parece ser constante com p = 0,10 ou p = 0,25. Os produtos defeituosos 
são produzidos aleatoriamente e não existe maneira de a empresa decidir se a 
máquina precisa de reparo parcial ou total. Se reparos parciais forem efetuados 
quando p = 0,25 a probabilidade de obter produtos com defeito será de 0,05. Se 
reparos parciais forem feitos quando p = 0,10 ouse reparos totais forem feitos 
quando p = 0,10 ou p = 0,25 a proporção de produtos defeituosos vai a zero. A 
probabilidade de que a máquina tenha proporção de produtos defeituosos p = 
0,10 é 0,70. 
A empresa realizou um contrato de 1000 unidades. Isto significa um lucro de 
$50,00 por unidade, exceto nos casos em que a multa por artigo defeituoso 
entregue é de $200,00. Reparo total na máquina está orçado em $10.000,00 
enquanto reparos parciais tem um custo de $6.000,00. A máquina não pode ser 
reparada após o início do processo de produção da encomenda do cliente. 
Antes de começar o processo de produção para atender o contrato a empresa 
pode testar amostra do produto a um custo de $10,00 por unidade. 
Decidir a estratégia ótima para a empresa. 
 
 
5) O Diretor de Logística de uma empresa têxtil está a cargo de decidir entre a 
compra de uma empilhadeira nova a um custo de $25.000,00 ou uma com dez 
anos de uso a um custo de $12.500,00, para carregar partes têxteis pesando até 
2100 Kg a uma altura de até 4m. Os custos de manutenção de uma empilhadeira 
nova para os próximos 10 anos são estimados em $1.000,00, enquanto a usada 
terá o dobro desse custo. 
Evidentemente se a empilhadeira usada operar adequadamente, teremos uma 
economia de $11.500,00, mas se ela quebrar teremos a perda da quantia investida 
além dos custos da compra e da manutenção de um novo modelo. Baseado nos 
dados estatísticos fornecidos pelo vendedor, o Diretor estabeleceu que a 
proporção de quebra de um equipamento usado é de 20% e a confiabilidade de 
um modelo novo é 100%. 
Antes de comprar um equipamento usado, dois tipos de teste elétrico e mecânico 
devem ser executados: 
Teste A: Com custo de $1.000,00 cujo diagnostico oferece uma porcentagem de 
erros de 5% se ela for apresentar falhas, e 20% se operar adequadamente. 
Teste B: Consiste de duas fases sucessivas. Na primeira com custo de $800,00 um 
diagnóstico preliminar pode ser feito com probabilidade de erro de 15%. A 
segunda fase decide comprar ou não a empilhadeira ou completar o teste, com 
custo adicional de $700,00 para se ter certeza absoluta do estado do equipamento. 
 Decida qual é a estratégia ótima para o Diretor. 
 
 
 
TEORIA DA DECISÃO | Fernando Mori 
 
44 
 
 
 
6) A empresa Electrosea é uma empresa especializada em sistemas de medida 
marítimos. O governo publicou uma concorrência para adquirir 100 unidades 
thermosalinas com opções avançadas, o que significa que a empresa que ganhar 
a concorrência deverá fornecer um novo design do produto. O preço máximo 
pago pr cada unidade é $1400,00. 
A empresa Electrosea estimou o custo final do produto em torno de $1000,00. 
No entanto a possibilidade do principal competidor Measuresea também 
participar da concorrência é considerada (eles estimam que existe 50% de 
chance de isto ocorrer). Após analisar a performance anterior de Measuresea 
eles deduzem que eles não irão oferecer mais do que $1399,00 e estimou que a 
probabilidade de eles oferecerem abaixo de $1300,00 é 60%. Os outros 
competidores da Electrosea não possuem tecnologia para entrar na 
concorrência. 
A empresa Electrosea pode contratar os serviços da empresa ConConsult, uma 
firma de consultoria especializada em concorrências públicas. A empresa pode 
analisar a empresa Measuresea e pode dar a opinião se a empresa Measuresea 
irá participar ou não da concorrência. A empresa ConConsult garante um 
sucesso de 90% em sua previsão de quando um competidor participa, e 80% 
quando ele não participa. A ConConsult cobra $3000,00 pela análise. 
Construa a arvore de decisão do processo e a resolva decidindo a estratégia 
ótima. 
Qual quantia no máximo a empresa Electrosea está disposta a pagar a empresa 
ConConsult pela análise? 
 
 
 
 
7) Uma empresa está considerando a possibilidade de substituir sua frota de 
veículos a gasolina por carros elétricos. O fabricante dos carros elétricos garante 
que a troca irá gerar uma economia considerável. Se o fabricante estiver certo, a 
empresa irá economizar um milhão> se a nova tecnologia falhar a troca irá 
custar $450000,00. Uma terceira possibilidade é que nenhuma das duas 
situações anteriores ocorra e que a empresa continue com sua frota sem 
mudança. De acordo com um relatório recente feito por consultores, a 
probabilidade destes eventos é respectivamente 0.25, 0.45, 0.30. 
A empresa pode realizar um teste piloto, o qual se executado vai mostrar a 
economia potencial envolvida na troca dos veículos. Este teste é feito alugando 3 
veículos elétricos durante 3 meses e usando-os em condições normais. Este teste 
piloto custa a empresa $50000,00. O consultor da empresa observa que o 
resultado do teste será significativo, mas não será conclusivo. Para reforçar sua 
opinião ele colocou na tabela abaixo a probabilidade baseada na experiência de 
outras empresas: 
 
 
TEORIA DA DECISÃO | Fernando Mori 
 
45 
 
 
 
 
 Um teste 
piloto indica 
 
 Economia Sem mudança Perda 
Com 
mudança 
Economia 0.6 0.3 0.1 
 Sem mudança 0.4 0.4 0.2 
 Perda 0.1 0.5 0.4 
 
a) Construa a arvore de decisão e encontre a estratégia ótima. 
b) Qual deve ser a maior quantia a ser paga para usar o projeto piloto? 
 
 
 
 
 
 
8) Tayota uma empresa multinacional do setor automobilístico está decidindo se 
constrói ou não uma linha de montagem no Brasil ou no Mississipi (USA). O 
custo para construir a fábrica no Brasil é $10 milhões e de $20 Milhões para 
construir no Mississipi. No entanto se a empresa construir a fábrica no Brasil e a 
demanda local cair nos próximos 5 anos, o projeto será interrompido e a 
empresa irá perder $10 milhões ( e terá ainda que construir a fábrica no 
Mississipi). A empresa Tayota acredita que a chance de queda de demanda de 
veículos no Brasil nos próximos 5 anos será de 20%. Por um milhão eles podem 
contratar uma empresa de pesquisa de mercado para analisar a demanda de 
veículos no Brasil, que irá indicar se a demanda deve aumentar ou diminuir. O 
histórico da empresa de pesquisa de mercado indica que ele acerta uma queda 
de demanda em 95% das vezes e acerta uma não queda em 90% das vezes. 
a) Deve a empresa Tayota contratar a empresa de consultoria? 
b) Construa a arvore de decisão e indique a estratégia ótima. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TEORIA DA DECISÃO | Fernando Mori 
 
46 
 
 
 
 
 
9) Suponha que você inventou e patenteou um novo sistema de irrigação para 
plantas domesticas. Você pode optar por comercializar o produto você mesmo ou 
através de uma empresa, que já é bem conhecida no mercado. A empresa oferece 
a você $20.000,00 para assinar um contrato. Se o produto for bem-sucedido ele 
venderá 200.000 unidades no mercado. Se não for ele venderá apenas 10.000 
unidades. A empresa paga a você $1,00 de royalties por unidade. Um estudo de 
mercado feito pela empresa indicou que existe 70% de chance que o produto seja 
um sucesso. Se, no entanto, você decidir comercializar o produto sozinho, haverá 
um custo inicial de $90.000,00 para a produção e marketing, mas cada unidade 
gera uma receita de $2,00. 
a) Dependendo da informação fornecida você aceitaria o contrato com a 
empresa ou comercializaria o produto você mesmo? 
b) Suponha agora que você contratou uma empresa de consultoria para 
conduzir a pesquisa de mercado e avaliar o potencial sucesso de produto. 
Da experiência passada, a empresa de consultoria indica quando o 
produto vai ser bem-sucedido, o estudo falha em prever o resultado 
correto em 20% dos casos. Quando o produto não é bem-sucedido o 
estudo prevê isso corretamente em 85% das vezes. Como a informação 
fornecida pela empresa de consultoria afetaria sua decisão? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TEORIA DA DECISÃO | Fernando Mori 
 
47 
 
 
 
 
10) Uma empresa têxtil está decidindo sobre novos produtos, e deve estabelecer um 
contrato pagando os correspondentes royalties. O gerente desta empresa 
construiua tabela 1 abaixo, mostrando as utilidades baseados em sua percepção 
subjetiva. 
No entanto, o gerente está relutante em tomar uma decisão. Ele requisita a 
assistência de uma empresa de pesquisa de mercado que utiliza 500 utilidades. 
Analisando o resultado anterior da empresa de consultoria ele obteve a tabela 2 
dada abaixo. Decida a melhor estratégia para o gerente. 
 
 
Tabela 1 
 Estados da natureza 
Muitas vendas Vendas Médias Poucas Vendas 
A(0,2) B(0,5) C(0,3) 
A1 Desenvolve 3000 2000 -6000 
A2 Não desenvolve 0 0 0 
 
Tabela 2 
 
 Ocorrência no passado 
 
Previsão da 
empresa 
 A B C 
Ap 0,8 0,1 0,1 
Bp 0,1 0,9 0,2 
Cp 0,1 0,0 0,7