2 11 exercicio keith symon

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1 Prof. Diogo Eduardo - Física 
Keith R. Symon 
 
MOVIMENTO DE UM BARCO 
 
2.11 – Um barco cuja a velocidade inicial é 𝑣0 é desacelerado por uma força de atrito; 
𝐹 = −𝑏𝑒𝛼𝑣 
a) Determine o seu movimento, 
b) Determine o tempo e a distancia necessária para parar o barco 
 
O barco está em desaceleração, ou seja, a equação da Velocidade necessariamente 
tem que ser negativa. A velocidade Inicial é 𝑣0. Pela segunda lei de Newton, temos 
que, 
𝐹 = 𝑚 .
𝑑𝑣
𝑑𝑡
 
vamos igualar os termos da força de atrito fornecido pelo exercício e a força da 
segunda lei de Newton, 
𝑚 .
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= −𝑏𝑒𝛼𝑣 
vamos trabalhar esta equação, de maneira que consigamos integrar a velocidade e o 
tempo e assim obter a equação da velocidade em relação ao tempo, 
 
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= −
𝑏
𝑚
𝑒𝛼𝑣 𝑑𝑣 = −
𝑏
𝑚
𝑒𝛼𝑣. 𝑑𝑡 
𝑑𝑣
𝑒𝛼𝑣
= −
𝑏
𝑚
𝑑𝑡 
∫
𝑑𝑣
𝑒𝛼𝑣
𝑣
𝑣0
= −
𝑏
𝑚
∫ 𝑑𝑡
𝑡
0
= −
𝑏
𝑚
. 𝑡 
 
temos que a integral acima, para a integração e obter a equação da Velocidade, 
temos um logaritmo neperiano 𝑒𝑥, vamos reescrever a integral e integrar, 
∫ 𝑒−𝛼𝑣
𝑣
𝑣0
𝑑𝑣 = −
1
𝛼
𝑒−𝛼𝑣 ]𝑣0
𝑣 = −
𝑏
𝑚
. 𝑡 
1
𝛼
(𝑒−𝛼𝑣 − 𝑒−𝛼𝑣0) = −
𝑏
𝑚
. 𝑡 𝑒−𝛼𝑣 = −
𝛼.𝑏
𝑚
. 𝑡 + 𝑒−𝛼𝑣0 
 
 
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aplicamos ln nos dois lados da equação, pois 𝑙𝑛(𝑒𝑥) = 𝑥, então: 
 
ln (𝑒−𝛼𝑣) = ln (−
𝛼.𝑏
𝑚
. 𝑡 + 𝑒−𝛼𝑣0) −𝛼𝑣 = 𝑙𝑛(−
𝛼.𝑏
𝑚
. 𝑡 + 𝑒−𝛼𝑣0) 
𝑣(𝑡) = −
1
𝛼
. 𝑙𝑛(−
𝛼. 𝑏
𝑚
. 𝑡 + 𝑒−𝛼𝑣0) 
Finalmente, chegamos na equação do movimento em que descreve a 
desaceleração do barco, uma equação negativa com função ln. 
Nesta segunda parte do exercício, o exercício pede o tempo e a distância que o 
barco levará para parar. Para chegar nestas equações de tempo e distancia, 
precisaremos encontrar a equação da trajetória do movimento, ou seja, 𝑥(𝑡). 
Sabemos que a velocidade é a variação do espaço pelo tempo, então: 
𝑣(𝑡) =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= −
1
𝛼
. 𝑙𝑛(−
𝛼. 𝑏
𝑚
. 𝑡 + 𝑒−𝛼𝑣0) 
 
𝑑𝑥 = [−
1
𝛼
. 𝑙𝑛 (−
𝛼. 𝑏
𝑚
. 𝑡 + 𝑒−𝛼𝑣0)] 𝑑𝑡 
integrando as partes, 
∫ 𝑑𝑥
𝑥
𝑥0
= −
1
𝛼
∫ 𝑙𝑛 (−
𝛼. 𝑏
𝑚
. 𝑡 + 𝑒−𝛼𝑣0) 𝑑𝑡
𝑡
0
 
temos a seguinte propriedade, 
ln 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑢. ln 𝑢 − 𝑢 
𝑢 =
𝛼.𝑏
𝑚
. 𝑡 + 𝑒−𝛼𝑣0 𝑑𝑢 =
𝛼.𝑏
𝑚
𝑑𝑡 𝑑𝑡 =
𝑚
𝛼.𝑏
𝑑𝑢 
substituindo a propriedade na integral em relação ao tempo, 
𝑥(𝑡) − 𝑥0 = −
𝑚
𝛼2. 𝑏
. [(
𝛼. 𝑏
𝑚
. 𝑡 + 𝑒−𝛼𝑣0) . ln (
𝛼. 𝑏
𝑚
. 𝑡 + 𝑒−𝛼𝑣0) − (
𝛼. 𝑏
𝑚
. 𝑡 + 𝑒−𝛼𝑣0)]0
𝑡 
𝑥(𝑡) = 𝑥0 −
𝑚
𝛼2. 𝑏
. {[(
𝛼. 𝑏
𝑚
. 𝑡 + 𝑒−𝛼𝑣0) . ln (
𝛼. 𝑏
𝑚
. 𝑡 + 𝑒−𝛼𝑣0) − (
𝛼. 𝑏
𝑚
. 𝑡 + 𝑒−𝛼𝑣0)] − (𝛼. 𝑣0. 𝑒
−𝛼𝑣0 − 𝑒−𝛼𝑣0)} 
Finalmente chegamos na equação que descreve a trajetória do barco, dessa forma, 
aplicando algumas condições conseguimos as equações de parada do barco. Se a 
velocidade final for zero, então: 
 
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1
𝛼
(𝑒−𝛼𝑣 − 𝑒−𝛼𝑣0) = −
𝑏
𝑚
. 𝑡𝑠 𝑡𝑠 =
𝑚
𝛼.𝑏
. (1 − 𝑒−𝛼𝑣0) 
Substituindo 𝑡𝑠 = 𝑡 
𝑥(𝑡𝑠) = 𝑥0 −
𝑚
𝛼2. 𝑏
. (𝛼. 𝑣0. 𝑒
−𝛼𝑣0 + 𝑒−𝛼𝑣0 + 1) 
 
 
 
 
Espero ter ajudado