Errata Lista I

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EAE0203 - Microeconomia I
Professores: Elizabeth Farina, De´cio Kadota, Ricardo A. Madeira
20/03/2012
Monitores: Andre´ Attilio, Bruno Komatsu, Otavio Sidone, Thiago
Alexandrino
Errata do Gabarito - Lista I
1 Questa˜o 2
a) R = {(0, 0), (1, 1), (2, 2), (0, 1), (1, 2), (0, 2)}
• R e´ reflexiva: Reflexividade e´ definida por: ∀x ∈ X, x � x, ou seja,
∀x ∈ X, (x, x) ∈ R. Como (0, 0), (1, 1), (2, 2) ∈ R, enta˜o R e´ reflexiva.
• R e´ transitiva: Transitividade e´ definida como: ∀x, y, z ∈ X, se x � y
e y � z =⇒ x � z. Note que x, y, z na˜o precisam ser elementos
distintos de X. Para provar que R e´ transitiva, enta˜o vamos verificar
todas as possibilidades:
Como (0, 0), (0, 1) ∈ R, para R ser transitiva temos que ter (0, 1) ∈ R,
o que e´ verdade.
Como (0, 0), (0, 2) ∈ R, para R ser transitiva temos que ter (0, 2) ∈ R,
o que e´ verdade.
(1, 1), (1, 2) ∈ R e (1, 2) ∈ R
(0, 1), (1, 1) ∈ R e (0, 2) ∈ R
(0, 1), (1, 2) ∈ R e (0, 2) ∈ R
(1, 2), (2, 2) ∈ R e (1, 2) ∈ R
(0, 2), (2, 2) ∈ R e (0, 2) ∈ R
Podemos concluir que R e´ transitiva.
• R e´ completa: Completude: ∀x, y ∈ X, temos x � y ou y � x, ou
ambos. Novamente nesse caso, x, y na˜o precisam ser diferentes,
de modo que completude implica reflexividade. Ja verificamos
1
que R e´ reflexiva e, portanto, so´ falta verificar se ha´ relac¸oes entre
elementos diferentes do conjunto de escolhas X. Entre 0 e 1: (0, 1) ∈ R
Entre 0 e 2: (0, 2) ∈ R Entre 1 e 2: (1, 2) ∈ R Enta˜o R e´ completa.
b) S = {(0, 1), (0, 2), (1, 1), (1, 2), (2, 1)}
• S na˜o e´ reflexiva: como 2 ∈ X, mas (2, 2) /∈ S, enta˜o T na˜o e´ reflexiva.
• S na˜o e´ transitiva: como (2, 1) ∈ S e (1, 2) ∈ S, mas (2, 2) /∈ S, enta˜o
T na˜o e´ transitiva.
• S na˜o e´ completa: como (2, 2) /∈ S enta˜o S na˜o e´ completa.
c) T = {(1, 1), (2, 1), (1, 2), (0, 1)}
• T na˜o e´ reflexiva: 0, 2 ∈ X, mas (0, 0) /∈ Te(2, 2) /∈ T enta˜o T na˜o e´
reflexiva
• T na˜o e´ transitiva: temos os pares (0, 1) ∈ T e (1, 2) ∈ T , mas (0, 2) /∈
T . Enta˜o T na˜o e´ transitiva.1
• T na˜o e´ completa: como (0, 0) /∈ T , (2, 2) /∈ T , (0, 2) /∈ T e (2, 0) /∈ T ,
T na˜o e completa.
1Note que outras relac¸o˜es bina´rias que na˜o esta˜o em T poderiam ser usadas como
contra-exemplo para mostrar que T na˜o e´ transitiva
2