METODOLOGIA-DO-ENSINO-DE-MATEMÁTICAFÍSICA-5

Prévia do material em texto

METODOLOGIA DO ENSINO DA MATEMÁTICA E FÍSICA 
 
 
 
 
Faculdade de Minas 
2 
Sumário 
 
1 Metodologia do ensino de Física ............................................................... 4 
1.1 Introdução ........................................................................................... 4 
1.2 Uma proposta metodológica................................................................ 6 
1.3 Diretivas básicas ................................................................................. 7 
1.4 Análise ocupacional e quadros referenciais ........................................ 9 
1.5 Sequência processual ....................................................................... 12 
1.6 Orientações para a elaboração das folhas operacionais ................... 15 
1.7 Conclusão ......................................................................................... 17 
2 Metodologia do ensino Matemática ......................................................... 18 
2.1 Introdução ............................................................................................. 18 
2.2 Um ensino de matemática baseado na “crença” ou na “certeza”? .... 20 
Referencias ................................................................................................... 30 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Faculdade de Minas 
3 
 
 
 
FACULESTE 
 
A história do Instituto Faculeste, inicia com a realização do sonho de um 
grupo de empresários, em atender a crescente demanda de alunos para cursos de 
Graduação e Pós-Graduação. Com isso foi criado a Faculeste, como entidade 
oferecendo serviços educacionais em nível superior. 
A Faculeste tem por objetivo formar diplomados nas diferentes áreas de 
conhecimento, aptos para a inserção em setores profissionais e para a participação 
no desenvolvimento da sociedade brasileira, e colaborar na sua formação contínua. 
Além de promover a divulgação de conhecimentos culturais, científicos e técnicos 
que constituem patrimônio da humanidade e comunicar o saber através do ensino, 
de publicação ou outras normas de comunicação. 
A nossa missão é oferecer qualidade em conhecimento e cultura de forma 
confiável e eficiente para que o aluno tenha oportunidade de construir uma base 
profissional e ética. Dessa forma, conquistando o espaço de uma das instituições 
modelo no país na oferta de cursos, primando sempre pela inovação tecnológica, 
excelência no atendimento e valor do serviço oferecido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Faculdade de Minas 
4 
 
 
1 Metodologia do ensino de Física 
 
1.1 Introdução 
 
Há mais de três décadas, um ditada argentino, Henrique Loedel, apresentava duas 
proposições sobre a aprendizagem escolar de Física: 
 
1) se o aluno conseguir refazer as experiências de sala de aula em casa, a 
assimilação cognitiva dos fenômenos físicos estudados terá sido efetiva; 
2) o aprendizado de uma ciência é similar ao de uma nova língua. 
 
 A primeira dessas duas é educacionalmente importante, pois a reprodução, em 
casa, das experiências de uma aula de Física: 
 
a) ajuda a formar o cientista desde a mais tenra idade, desmistificando a ideia 
de que se deva contar com um laboratório super equipado para desenvolver 
um ensino eficiente de Física; 
b) desperta o estudante para a observação criteriosa e possibilita-lhe 
extrapolações que poderão, se bem dirigidas, produzir frutos a médio e a 
longo prazo; 
c) cria no aluno o hábito da experimentação no desenvolvimento das suas 
atividades de aprendizagem; 
d) possibilita ao aluno a integração de conhecimentos afins e correlatos. 
 
Da segunda afirmação permite deduzir-se que, se o aprendizado de uma ciência é 
como o de uma nova língua, os conceitos e termos específicos da Física e da 
Matemática devem pouco a pouco entrar na vida diária do aluno e, por isso, não 
podem ser vulgarizados com o objetivo de uma mera memorização escolar. 
 
 
 
 
 
Faculdade de Minas 
5 
É interessante notar que as decorrências das proposições enfocadas, de mais de 
trinta anos atrás, são hoje referidas como novidade didática por exemplo, o uso de 
materiais de sucata nas aulas, o ensino de Física por meio de experiências etc. 
Nessa linha de inovação do ensino escolar de Física, pode-se ter como um 
pressuposto operacional a utilização de material de fácil obtenção para as 
experiências de aprendizagem. São encontrados atualmente trabalhos notáveis 
nesse sentido: Santos Diez Arribas com sua mala ; professores do Departamento de 
Física da USP e seus canudinhos de refresco, fios de nylon etc. Estes e outros têm 
o mérito da iniciativa e da pesquisa, além de fundamentados na História e Filosofia 
da Ciência, na Metodologia e Prática de Ensino, mas fazem pressupor, por parte 
dos professores que deles se poderão servir, qualidades e condições nem sempre 
comuns. 
 
Com a implantação do Laboratório de Ensino e Aprendizagem de Matemática e 
Ciências Físicas e Biológicas, no Setor de Educação da UFPR, foi possível 
identificar entre os professores contatados uma tradição de um ensino 
metodologicamente fechado e, mesmo com materiais suficientes, preparo e 
treinamento de desempenhos diferenciados, permanece a tendência de um ensino 
puramente expositivo. Deve-se, no entanto, reconhecer a importância dos materiais, 
com sua força incentivadora e a riqueza de possibilidades didáticas que oferecem. 
Assim, o exemplo do pêndulo duplo (dois corpos) é valioso no estudo da lei de 
Coulomb, da decomposição de força, em trigonometria etc. Mas tudo isso pode ser 
perdido por ações mal conduzidas pelo do professor. 
 
Do exposto nos dois últimos parágrafos segue-se a necessidade de diretrizes 
metodológicas que mudem a atitude e a ação do aluno diante dos materiais de 
aprendizagem, de modo que ele possa decidir-se inteligentemente e deixe de seguir 
simples receitas. Esses materiais devem, basicamente, assegurar ao aprendiz 
momentos de reflexão para tomada de decisões. Deste modo, o aluno saberá 
quando pode ou deve generalizar uma conclusão, ou não. Em outras palavras, o 
importante é que os materiais utilizados dêem ao aluno segurança na condução 
experimental das tarefas de aprendizagem. 
 
 
 
 
 
Faculdade de Minas 
6 
1.2 Uma proposta metodológica 
 
A objeção de que a criatividade do professor e do aluno ficaria limitada por uma 
metodologia de organização da situação de ensino decorre, seja permitido dizê-lo, 
do desconhecimento das vantagens de uma condução ordenada das atividades de 
aprendizagem; com efeito, a previsão detalhada das experiências a serem 
desenvolvidas permite ao professor atender melhor às características individuais de 
cada estudante, ajudando-o a explorar suas próprias potencialidades. Não tem 
consistência, igualmente, a afirmação de que o trabalho do professor aumentará se 
ele favorecer a diferenciação dos níveis de desempenho dos alunos de uma mesma 
turma, pois: 
 
a. como é difícil e artificial a formação de turmas homogêneas de alunos, 
seria apenas mais fácil ou educacionalmente recomendável nivelá-los 
por baixo ?; e 
b. aceitando a realidade das turmas e adotando uma estratégia de 
trabalho operacionalmente programado, o professor possibilitará aos 
alunos mais dotados um progresso mais rápido e aprofundamento de 
conhecimentos, sem prejudicar aqueles de ritmo mais lento na 
aprendizagem. 
 
A questão de uma metodologia ser válida ou não, portanto, não se põe em termos 
de preferências ou posições descompromissadas, mas a partir da avaliação dos 
resultados de aprendizagem por parte dos alunos de diferentes níveis iniciais e 
condições individuais de progresso. Daí que, em sua implementação concreta, a 
validade de uma metodologia de ensino deriva-se da ação do professor, sob as 
dimensões de planejamento prévio, execução efetiva do plano adotado e avaliação 
dos processos (incluindo materiais e recursos)e dos resultados de aprendizagem 
alcançados pelos grupos de alunos. As ciências naturais, a Física principalmente, 
têm suas estruturas construídas sobre bases sólidas recobertas por uma malha 
teórica que liga todos os elementos ao complexo total. E uma ciência empírica que, 
 
 
 
 
Faculdade de Minas 
7 
naturalmente se apoia nos dados da observação e constrói sua estrutura teórica por 
meio do método indutivo. 
 
1.3 Diretivas básicas 
 
Pode-se presumir que, em suas origens, o ato de ensinar envolvia alguém que sabia 
uma arte ou um ofício e procurava transmitir esse conhecimento a outro, sendo 
válido supor-se que: 
 
1) o aprendiz teria um motivo para aprender o que lhe era ensinado; 
2) o aprendiz já havia observado o artesão executando a tarefa ou o serviço em 
ritmo normal, com habilidade modelar; e 
3) o material necessário para a execução da tarefa de aprendizagem seria o 
mesmo utilizado no trabalho rotineiro do artesão. 
 
A partir dessa visão, originária dos atos de ensinar e aprender, pode-se levantar 
algumas normas orientadoras que poderão ser tomadas como pressupostos de uma 
metodologia inovadora para o ensino e aprendizagem escolares de Física. 
 
1. Clareza de orientação: É fundamental que o aluno, antes de iniciar uma atividade 
ou tarefa, tenha uma compreensão sobre: 
 
a) o que deverá fazer; 
b) como poderá fazê-lo; 
c) quando fazê-lo; 
d) com que fazê-lo (desde os conhecimentos teóricos correlatos até os 
materiais ou recursos envolvidos). 
 
2. Adequação de materiais e recursos, isto é: 
 
a) que sejam simples e apropriados aos fins a que se destinam; 
 
 
 
 
Faculdade de Minas 
8 
b) que sejam variados, para que não ocorra vinculação na percepção do 
estudante entre conceitos e algum material típico; 
c) que façam parte, na medida do possível, da realidade cotidiana do 
aluno; por exemplo, um interruptor elétrico deve ser aquele já 
conhecido pelo estudante em sua casa, no automóvel etc., e assim 
com os demais componentes eletro-eletrônicos que estejam em 
utilização numa dada experiência de aprendizagem; 
d) que possibilitem operações que desenvolvam habilidades de aplicação 
habitual, comum deixando-se de lado qualquer artificialismo técnico 
até que o aprendiz tenha dominado as técnicas simples e básicas de 
uma dada área de atividade; por exemplo, numa experiência com 
fiação elétrica, o aluno deverá inicialmente saber descascar um 
condutor elétrico, emendá-lo e isolá-lo novamente, antes de passar a 
manipular conectores de pronto uso. 
 
3. Seleção e organização dos conteúdos de aprendizagem: O professor deverá 
selecionar previamente os conhecimentos imediatos e mediatos a serem 
desenvolvidos pelo aluno, organizando-os numa cadeia seqüencial de pré-
requisitos, de modo que lhe seja possível acompanhar os passos ou etapas da 
aprendizagem prevista e identificar os conhecimentos que possam ser exigidos 
paralela ou complementarmente pela utilização de algum material no decorrer de 
uma experiência. 
 
4. Contextualização integrativa: O estudo dos fenômenos físicos envolvidos numa 
experiência de aprendizagem deve abranger uma suficiente referência ao contexto 
histórico da exploração científica e técnica desses fenômenos, bem como 
desenvolver os conceitos pertinentes e propiciar as possíveis aplicações práticas 
facilitando ao aluno a experiência de uma compreensão integrada das informações 
históricas, dos conceitos específicos e das atividades de aplicação; quando do uso 
de modelos, nas experiências, sua utilização como estratégia de aprendizagem 
deve ficar clara ao aluno, para evitar-se que eles fechem a possibilidade de se 
buscar outras alternativas na solução dos problemas. 
 
 
 
 
 
Faculdade de Minas 
9 
1.4 Análise ocupacional e quadros referenciais 
 
Um dos pontos-chave desta metodologia está em que ela é iniciada com uma 
pesquisa de mercado. Não tem sentido, com efeito, formar alguém para uma 
ocupação que não exista numa dada sociedade. Assim, com base nos dados 
levantados, são propostas tarefas ou atividades típicas de uma ocupação 
profissional, ou seja, a estrutura do curso decorre da realidade observada e avaliada 
em termos de demandas específicas do consumo de bens e serviços. 
 
O rol das atividades típicas deve ser organizado em ordem crescente de dificuldade, 
obedecendo a uma cadeia de pré- requisitos. Deve-se, também, analisar 
cuidadosamente as atividades, verificando se cabe em algum caso uni-las ou 
desmembrá-las. Como um referencial desejável, cada série metódica ou unidade de 
trabalho deveria conter de dez a doze atividades. Cada uma delas, por sua vez, 
subdivide-se em operações. Uma operação é um conjunto de procedimentos 
elementares e que, reunidos, formam uma ação. Por exemplo, num estudo de 
eletrostática, pode-se, entre outras, prever as seguintes atividades: 
 
1) montar o pêndulo eletrostático; 
2) construir um eletroscópio; 
3) eletrizar um corpo por atrito. 
 
A atividade nº 1, por exemplo, compõe-se de operações como: 
 
a) construir uma base estável; 
b) construir o suporte; 
c) montar a haste no suporte. 
 
Na previsão das atividades deve-se considerar, na linha das diretivas já 
apresentadas, duas orientações básicas: 
1) propiciar ao aluno condições de trabalho manual; 
 
 
 
 
Faculdade de Minas 
10 
2) possibilitar-lhe iniciar o processo de aprendizagem com 
uma atividade simples, que exija como um referencial o máximo 
de cinco operações novas; esse critério poderá ser seguido no 
restante da série de atividades. 
 
 
Para que o professor tenha condições de prever e desenvolver com maior eficácia 
os exercícios de aprendizagem dos alunos, é conveniente que ele elabore dois 
quadros referenciais: 
 
 
 
 
Faculdade de Minas 
11 
 
1) um analítico: que possibilita a análise dos conteúdos de 
conhecimentos técnicos, imediatos e mediatos; 
2) outro de programa: que relaciona as atividades e as 
operações, formando a cadeia dos pré-requisitos. 
 
Na prática, esses quadros, o analítico e o de programa podem evoluir e passar por 
modificações durante as suas aplicações. 
 
Organização operacional______ 
 
Uma unidade de trabalho compõe-se de adversas atividades de operações. Tem-se 
de levar em conta os conteúdos correlatos (imediatos e mediatos) e também a 
avaliação. Para tanto, organiza-se o trabalho em: 
 
1) folhas de atividades: pelas quais o aluno deverá 
conscientizar-se do que fazer, com que fazê-lo e porque fazê-lo; 
2) folhas de operações: destinadas a informar ao aluno 
como e quando fazer algo; 
3) folhas de informações: Estas darão ao estudante os 
conteúdos e as técnicas necessárias para o conhecimento dos 
materiais que vai empregar, assim como a(s) teoria(s) 
envolvida(s) no trabalho; 
4) questionários: Têm o objetivo de avaliar o conhecimento 
técnico e teórico assimilado pelo aluno. As folhas e os 
questionários são planejados e elaborados pelo professor. 
 
Ao aluno cabe fazer o roteiro de atividades, compreendendo: 
 
1) sucessão de operações; 
2) diagramas e/ou gráficos que expliquem o desenvolvimento de 
atividades; 
3) seleção e organização de recursos e/ou materiais; 
 
 
 
 
Faculdade de Minas 
12 
4) respostas aos questionários. 
 
Terminada a confecção do roteiro, professor e alunos o examinam e verificam se há 
condições de execução da tarefa seguindo esses passos. Os problemas 
normalmente detectados são de ordenação lógica das operações e esquecimento 
de materiais ou instrumentos. 
 
1.5 Sequência processual 
 
Para realizar a atividade são cumpridas as seguintes etapas: 
 
a) entrega do material escrito: Folhas de atividades, de operações, de 
informações; formulários para o questionário e plano de atividades; 
b) leitura silenciosa do material pelo aluno (pode ser realizada com os 
alunos em grupos); 
c) comentário sobre a atividade como umtodo - quando o professor 
deverá demonstrar todas as operações novas; 
d) releitura feita pelo aluno do material e a montagem de seu plano; 
e) análise dos planos (individuais ou grupais); 
f) execução da tarefa; 
g) avaliação (hétero e auto-avaliação). 
 
Ao longo do desenvolvimento de uma unidade de trabalho, o professor conduz uma 
análise e uma avaliação imediatas desta. 
 
A seguir são explicitadas as fases processuais da metodologia proposta. 
 
Primeira fase: leitura do material 
 
O professor organiza seus alunos da maneira mais conveniente, em grupos ou 
individualmente. Segundo as características do material, o aluno deverá de imediato 
saber o que, como, quando e com que realizar a(s) atividade(s) prevista(s). 
 
 
 
 
Faculdade de Minas 
13 
 
Um aspecto extremamente importante nesse processo é a localização da atividade 
pelo aluno, a qual ele executará no contexto da disciplina (no caso, a Física), para 
que a relacione com sua vida diária (verificando as implicações tecnológicas do 
conhecimento, como originou-se e a que levará tal conhecimento). 
 
Segunda fase: demonstração 
 
Em vista do que tiver sido feito na fase anterior, o professor deve dialogar com os 
alunos, procurando sondar o grau de seus conhecimentos e ampliá-los 
criteriosamente. A demonstração, nesse sentido, é fato didático-pedagógico 
importante e não deve ser dispensada, compreendendo as seguintes etapas: 
 
1) desenvolvimento da operação em situação normal, exatamente como seria feita 
pelo maior entendido no assunto. Tal atitude é necessária para dar ao aluno uma 
noção precisa do tempo de execução da operação. Por exemplo, se esta for a 
eletrização de um corpo por contato, o professor atrita o bastão, aproxima-o do 
corpo de prova e produz o efeito visado; 
2) repetição da operação em ritmo lento, pausado, com análise e explicação de 
cada passo; o professor repete ainda algum passo, conforme julgar necessário, e 
comenta os resultados; 
3) análise, feita pelo professor,do desempenho dos alunos e correção dos seus 
eventuais erros; 
4) se houver necessidade, o professor refaz a operação toda. 
 
A esta altura, pode-se prever uma nova objeção à metodologia em foco, no sentido 
de que o estudante estará recebendo tudo de mão beijada. 
 
No entanto, considere-se que: 
 
a) cada operação faz parte de uma atividade e, por meio de uma operação, o aluno 
aprende o suficiente para realizar a experiência prevista; se esta for, por exemplo, 
 
 
 
 
Faculdade de Minas 
14 
demonstrar a lei de Coulomb, o estudante aprende apenas a carregar eletricamente 
um corpo; 
b) tal metodologia libera o professor para utilizar um plano de experiência, que 
poderá ser de um dos seguintes tipos: 
1) comprovação simples; 
2) redescoberta; 
3)comprovação induzida; 
4) um outro método heurístico à escolha do professor; 
c) o aluno tem participação ativa em qualquer fase do processo, vivenciando 
momentos de tomada de decisões, de indução de resultados,etc. 
 
Assim, pois, não se evidencia na metodologia proposta nenhuma característica 
tolhedora do raciocínio do aluno ou que limite seu envolvimento ativo nas 
experiências de aprendizagem. 
 
Terceira fase: execução da tarefa 
 
O aluno tem seu plano, conhecimento do que vai fazer e de como fazê-lo. O 
professor deve tão somente, nesta fase, observar e orientar o desenvolvimento do 
trabalho. 
 
Quarta fase: avaliação 
 
O professor deverá possibilitar aos alunos um exercício de auto-avaliação, além de 
considerar ele próprio as atitudes de cada aluno e formar um julgamento sobre o 
conhecimento demonstrado. Com base nos resultados de aprendizagem alcançados 
pelos aprendizes, o professor avalia seu plano de trabalho e os materiais utilizados. 
 
Os alunos que completarem a atividade planejada mais cedo que os outros poderão 
receber as folhas de conhecimentos mediatos ou serem orientados a uma 
bibliografia de apoio ou, ainda, auxiliar os colegas com mais dificuldades de 
aprendizagem. 
 
 
 
 
 
Faculdade de Minas 
15 
1.6 Orientações para a elaboração das folhas operacionais 
 
Folha de atividades 
 
O objetivo desta folha é indicar ao aluno a seqüência do trabalho a executar. Ela 
deve conter: 
 
a) título: em linguagem simples, permitindo ao aluno compreender de 
imediato o que fazer; 
b) ilustração: que represente uma vista global ou de conjunto das tarefas. 
Deve, na medida do possível, configurar a fase sincrética das 
atividades; 
c) ordem de execução: no imperativo, retrata a parte analítica das 
atividades. Deve dar a seqüência lógica da execução e mencionar a 
cada etapa, se necessário, as folhas de operações e de informações, 
para o aluno consultá-las na realização das tarefas; 
d) material e equipamento: São indicados todos os materiais 
(ferramentas, utensílios, aparelhos etc.) que serão utilizados na 
realização das tarefas; 
e) rotulação da folha: Título, a ocupação, tempo de execução, referência 
da folha, número de ordem, sigla, nome ou logotipo da instituição. 
 
Folha de operações 
 
Seu objetivo é dar o processo correto de execução da operação, decompondo-a em 
passos e sub-passos, se for o caso. Compõem-se de: 
 
a) título: Nome completo da operação, usando-se um verbo de ação 
como termo básico; 
b) introdução: que esclarece o título de modo sucinto, apresentando os 
objetivos da operação e, fundamentalmente, as aplicações práticas; 
 
 
 
 
Faculdade de Minas 
16 
deve conter uma ilustração dinâmica que expresse uma idéia 
sincrética da operação; 
c) processo de execução: que detalha analiticamente os passos de 
execução da operação, contendo ilustrações para facilitar ao aluno a 
compreensão do texto escrito. Recomenda-se destacar em cada 
passo qualquer observação (destaque ou ponto-chave) que, se não 
considerada, poderá prejudicar todo o andamento da operação; 
igualmente, valorize-se uma atitude de precaução, para que sejam 
evitados quaisquer acidentes possíveis; 
d) notas: Esta parte pode conter observações de caráter geral; 
e) questionário: Visa comprovar se o aluno executou corretamente a 
ordem de execução da operação. A critério do elaborador, pode ser 
suprimido da folha de operações. 
 
Folha de informações 
 
Esta folha deve ser planejada cuidadosamente, em vista dos conhecimentos a 
serem relacionados; para tanto, será útil discutir uma versão prévia desta com 
outros colegas ou pessoas capacitadas. 
 
1. Redação: - itens bem coordenados; - apresentação dos 
conteúdos em uma seqüência de níveis de dificuldade; - 
assuntos compreensíveis ao aluno e com explicações claras; - 
linguagem simples, clara e concisa; - exemplos suficientes 
para o esclarecimento do tema; - estilo e arranjo textual de 
modo a despertar o leitor (aluno) para uma leitura total da 
folha. 
2. Ilustrações: - somente aquelas que representam uma ajuda à 
compreensão do texto; - para indicar os elementos na 
ilustração, se estes forem poucos, os nomes devem ser 
colocados na própria figura; se forem muitos, sejam utilizados 
números ou letras sobre eles; devem aparecer com uma 
 
 
 
 
Faculdade de Minas 
17 
chave de nomenclatura abaixo da ilustração, ao final da folha 
ou, se necessário, em folha à parte. 
3. Estrutura: Deve atender a três aspectos de ordem didático-
pedagógica: - síncrese: percepção mais ou menos confusa do 
todo - análise: etapa de decomposição do todo em partes 
(processo de assimilação); - síntese: etapa de recomposição 
do todo (processo de acomodação). 
 
1.7 Conclusão 
 
Fazer uma proposta metodológica para o ensino de Física implica na necessidade 
de se atender às tendências da educação científica no Brasil. Nessa apostila fez-se 
uma retomada da metodologia adotada no ensino profissionalizante. As duas 
situações de ensino, o profissionalizante e o ordinário regular ou supletivo são 
completamente diferentes. A aplicabilidadeda proposta desenvolvida prende-se a 
dois aspectos: 
 
a) à necessidade de uma organização da situação de ensino; e 
b) à interdisciplinaridade e a não-linearidade dos programas curriculares. 
 
Organizar o ensino não acarreta necessariamente dar receitas, mas, sim, prever por 
planejamento as atividades dos alunos, do professor, os recursos e, o mais 
importante, fazer com que o estudante elabore seu plano de experiências e relatório 
-vivenciando a observação, formulação e seleção de hipóteses, o experimento, a 
indução, a dedução e conclusão. 
 
A proposta de não-linearidade dos programas curriculares está vinculada à 
dificuldade da integração das matérias de ensino, em sua constituição formal na 
escola tradicional. Particularmente, os professores de Matemática e de Física 
ministram os mesmos conteúdos ao mesmo tempo, mas com métodos e enfoques 
diferentes - e não são todos os alunos que conseguem aperceber-se dos fatos. 
Qualquer tentativa de se resolver essas questões demanda uma reformulação de 
 
 
 
 
Faculdade de Minas 
18 
programas curriculares; entretanto, nem na Matemática nem na Física alguém está 
disposto a ceder algo da prática estabelecida. Via de regra, as dificuldades de 
aprendizado de Física decorrem da falta de conhecimentos matemáticos correlatos. 
Daí, cada unidade de trabalho na Física deveria incorporar a previsão dos 
conhecimentos matemáticos necessários, em nível imediato ou mediato, figurando 
como pré-requisitos na programação interna da unidade. Por outro lado, a 
interdisciplinaridade e a transdisciplinaridade são também quase que consequências 
desta metodologia em consideração. 
 
Em suma, a intenção subjacente foi a de apontar uma metodologia de ensino da 
Física que exige muita organização e coerência interna, demandando do professor 
que ele desenvolva um conjunto de hábitos e atitudes conducentes ao 
planejamento, à execução, à avaliação e ao registro de todas as atividades 
operacionais. Nesta linha de proposta metodológica, professores e alunos poderão 
encontrar caminhos de interesse e criatividade que venham a contribuir 
significativamente para a inovação da educação científica escolar, senão para o 
avanço da própria Ciência. 
 
2 Metodologia do ensino Matemática 
 
 
 
 
2.1 Introdução 
 
Novas metodologias estimulam as crianças. Para que o ensino-aprendizagem da 
Matemática se torne dinâmico e interessante ao aluno, despertando um interesse 
pelo estudo, proporcionando uma interação com o professor e seus colegas na 
busca do melhor entendimento e compreensão dos princípios matemáticos, o 
professor deve adotar novas metodologias. 
 
: 
Conhecer os aspectos teóricos que envolvem os estudos sobre as 
metodologias do ensino da Matemática 
Discutir a natureza de um problema em Matemática. 
 
 
 
 
Faculdade de Minas 
19 
O estudante precisa de estímulo, situações que envolvam aplicações matemáticas 
no cotidiano devem ser introduzidas no planejamento do professor, pois irão mostrar 
ao aluno que os conteúdos estudados em sala possuem importância para as várias 
classes da sociedade. 
 
Por exemplo, ao ensinar Matemática Financeira aos alunos do 7º ano, não se 
restrinja aos cálculos sobre regra de sociedade, porcentagem, juros simples e juros 
compostos. Forneça ao aluno uma visão sobre a importância do sistema financeiro, 
como o dinheiro circula entre as pessoas, comente o principal objetivo das bolsas de 
valores, sua importância nacional e mundial, fale sobre as instituições bancárias, 
explique o significado de siglas como: FMI (Fundo Monetário Internacional), CDB 
(Certificado de Depósito Bancário), Leasing (modalidade de crédito), Letras de 
Câmbio (ordem de pagamento à vista ou a prazo), DOC (documento utilizado para 
transações financeiras até R$ 4.999,99), TED (Documento utilizado para transações 
financeiras on-line para valores iguais ou superiores à R$ 5.000,00) entre outras 
ligadas ao sistema financeiro, comente sobre o que é a Inflação, aprofunde um 
pouco mais nos assuntos, com certeza o estudante desenvolverá uma atitude 
madura perante a tais situações. 
 
O jovem se destaca pela sua curiosidade, pela vontade em aprender, de ser 
importante, busque sempre incentivá-lo com palavras de caráter educativo, como: 
“muito bem”, “está ótimo”, “espero muito de você”, não o repreenda na frente da 
turma, ninguém gosta de ser exposto a situações constrangedoras. 
Utilizando novas metodologias e novas formas de buscar o ensino-aprendizagem, 
os resultados serão alcançados, tendo como principal alvo a formação de cidadãos 
competentes e capazes de integrar e contribuir para um novo modelo de sociedade. 
Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;) 
 
Metodologias que podem ser usadas na busca de um melhor modelo de 
ensino-aprendizagem da Matemática: 
 
 Aulas expositivas e demonstrativas, buscando sempre relacionar a 
Matemática ao cotidiano. 
 
 
 
 
Faculdade de Minas 
20 
 Prepare aulas no data-show, utilize os recursos da informática. 
 Utilize materiais que auxiliem no ensino da Matemática: réguas, jogo 
de esquadros, transferidor, compasso, metro, trena, termômetro, 
relógio, ampulheta, teodolito, espelho, bússola, calculadora. 
 Trabalhe com vídeos matemáticos: filmes, desenhos (como Donald no 
país da matemágica, Walt Disney Productions), documentários, 
entrevistas. 
 Utilize o computador: programas de construção de gráficos, 
construção de figuras Geométricas. 
 A Internet é um canal muito importante, pois através de pesquisas 
acompanhadas pelo professor o aluno pode saber mais sobre a 
história da Matemática e dos números, curiosidades, jogos, desafios e 
etc. 
 Trabalhar com jogos que despertem o raciocínio lógico, tais como 
sudoku e quebra-cabeças. 
 Realizar olimpíadas internas de matemática. 
 Introduzir os temas transversais: ética, orientação sexual, saúde, meio 
ambiente, pluralidade cultural, excesso de consumo. 
 
2.2 Um ensino de matemática baseado na “crença” ou na “certeza”? 
________OBJETIVO__________ 
Descrever alguns elementos que podem ser explorados em uma 
abordagem metodológica de ensino. 
Os aspectos filosóficos do conhecimento matemático devem ser explorados na 
disciplina de Filosofia da Matemática. Para tanto, cabem aqui alguns pontos de vista 
do filósofo da Matemática Paul Ernest quando observa que: 
 
A visão absolutista da Matemática consiste em uma base de 
verdades imutáveis. De acordo com esta perspectiva, o 
conhecimento matemático é constituído a partir de verdades 
absolutas, e isto representa o seu único objetivo, a partir de 
declarações lógicas verdadeiras em virtude do significado 
 
 
 
 
Faculdade de Minas 
21 
dos seus termos. [...] O método dedutivo fornece a garantia 
de certeza das afirmações sobre o conhecimento 
matemático (ERNEST, 1991, p. 8). 
 
A respeito do que afirma Paul Ernest, quando consideramos um contexto de 
ensino/aprendizagem, devemos fazer as seguintes indagações: uma vez 
estabelecidos os resultados pelo professor, podemos de fato acreditar em tudo que 
foi explicado? Todas aquelas formulações constituem uma verdade para os alunos e 
para o professor? 
 
A realidade de ensino é cruel, uma vez que o professor, em geral, dispõe de pouco 
tempo para lecionar todo o seu conteúdo, assim é bem mais fácil estabelecer tudo 
como verdadeiro, descrever o modo de operar com aqueles conceitos e obter 
respostas das questões. Dessa forma, seu trabalho pode ser simplificado de modo 
mágico. 
 
O título do tópico dessa aula instiga uma discussão acerca da ação do professor. 
Sua condução mediadora pode ser assentada na crença ou na certeza matemática. 
Tal afirmação merece maiores explicações. De fato, todo o campo de crenças e o 
modo de agir e professar o saber matemático depende, em última instância, da 
visão que o docente possui acerca do saber matemático. 
 
Se o docente possui a convicção a respeitoda verdade matemática daquele 
conhecimento, de que não existe contradição no que ele afirmou, automaticamente 
ele deve transmitir esse sentimento ao estudante, o qual não possui o mesmo 
amadurecimento teórico e, principalmente, o mesmo treinamento que o professor já 
teve. 
 
Observamos então dois pontos de reflexão para o estudante: 
 
 O primeiro diz respeito à ação de aceitar tudo aquilo que é comunicado pelo 
professor , pensando-se na prova final. 
 
 
 
 
Faculdade de Minas 
22 
 O segundo é observar de modo cauteloso o que está sendo trabalhado em 
sala e não aceitar tudo que é declarado como uma verdade matemática 
inquestionável. 
 
O segundo ponto de análise é hegemônico em nosso ensino, pois basta observar a 
sua forma de manifestação mais radicalizada no ambiente acadêmico. Esta 
categoria de ensino que caracterizamos como um ensino baseado na certeza é, na 
maioria dos casos, fortalecido por um instrumento imprescindível na atividade 
matemática. Tal instrumento é chamado de „prova‟ ou „demonstração‟, que já 
mencionamos nas aulas anteriores. Vamos observar agora a perspectiva de outro 
pesquisador francês. No início do seu artigo, Duval (1991, p.233) realça que: 
 
As dificuldades apontam que a maior parte dos estudantes 
experimentam que compreender uma demonstração 
constitui um dos obstáculos mais resistentes ao qual se 
rende o ensino de Matemática. Ou quando observam que a 
atividade demonstrativa nos problemas de Geometria 
constitui uma tarefa decisiva. 
 
Neste artigo, Raymond Duval investiga algumas dificuldades na aprendizagem da 
noção de demonstração em Geometria Plana, para crianças em uma faixa etária de 
13-14 anos, segundo o sistema de ensino francês. Uma questão discutida por ele 
diz respeito às diferenças entre a atividade argumentativa e uma atividade 
demonstrativa. As consequências são imediatas para o professor de Matemática 
que, não diferenciando uma argumentação de uma demonstração, não logrará êxito 
na criação de um terreno fértil para aprendizagens diferenciadas. 
 
Vejamos algumas questões iniciais colocadas pelo didata francês. Logo no início, 
Duval adverte que, no funcionamento do raciocínio, é importante distinguir dois tipos 
de passagem: um corresponde a um passo de raciocínio, e outra consiste na 
transição de um passo de raciocínio para outro. O primeiro tipo constitui uma 
inferência, o segundo um „encadeamento‟ (1991, p. 235). 
 
O primeiro tipo de passagem ao qual Duval faz referência é conhecido como 
„inferência‟. Por exemplo, quando temos um triângulo retângulo ∆ABC , de catetos 
 
 
 
 
Faculdade de Minas 
23 
 , e hipotenusa , então, por meio de uma „inferência‟, 
concluímos que c2 = a2 + b2 De modo semelhante, se sabemos que, em um 
triângulo qualquer ∆ABC , temos a seguinte relação entre os catetos e a hipotenusa, 
c2 = a2 + b2, então, necessariamente, o mesmo deve ser retângulo com relação a 
algum dos seus vértices. 
 
 
 
Note-se que acabamos de descrever o teorema de Pitágoras e sua pouco divulgada 
e/ou conhecida recíproca. Duval explica que este tipo de „inferência‟ ou passagem 
se faz por meio de uma regra explícita, relevante a uma teoria, assim o passo de 
raciocínio possui uma organização ternária (1991, p. 235). Tal observação 
introduzida por Duval proporciona uma primeira distinção entre o raciocínio dedutivo 
e o raciocínio argumentativo. Além da dependência das representações dos 
interlocutores, é justamente o recurso e emprego de “regras” nem sempre explícitas 
que revelam a própria estrutura da língua, um caráter marcante do raciocínio 
argumentativo. 
 
Por outro lado, notamos que, no caso particular do teorema de Pitágoras, apenas o 
estatuto operatório é levado em consideração, ou seja, a possibilidade concreta de 
verificar a tese, referendando-se nas premissas mencionadas há pouco. Em relação 
a este fato, Duval esclarece: 
 
 
 
 
 
Faculdade de Minas 
24 
Dizendo de outro modo, em um passo de dedução, as 
proposições não são relacionadas em função de suas 
relações semânticas entre seus conteúdos respectivos 
(oposição, sinonímia, particularização, etc.), mas 
unicamente em virtude de seu estatuto previamente fixado 
(hipóteses de partida ou conclusões já obtidas e regras de 
inferência) (1991, p. 236, tradução nossa) 
 
As palavras de Raymond Duval são esclarecedoras e nos conduzem a conceber a 
seguinte caracterização: o ensino baseado na certeza se fundamenta no valor lógico 
das proposições e obedece às regras de inferência, independentemente do 
conteúdo semântico. 
 
Na perspectiva de Duval, encontramos a caracterização do que ele chama de 
“atitudes proposicionais”. Tal noção é caracterizada como as expressões chamadas 
„atitudes proposicionais‟ que podem igualmente preencher um papel: “sabemos 
que... (proposição de entrada), estou certo de que...(conclusão), graças ao 
teorema...”. 
 
Mais adiante, Duval (1991) acrescenta: 
 
Nos prendemos a uma proposição, em geral, ao seu valor 
lógico: ela é verdadeira ou falsa. Mas independentemente 
de seu valor, ou em relação a tal, uma proposição pode 
possuir outros valores: ela pode parecer evidente e 
incontestável, incerta, conjeturável, absurda, indecidível, 
possível, etc. [...] O valor epistêmico é grau de certeza ou de 
convicção atribuída a uma proposição. Toda proposição, 
assim, possui um valor epistêmico pelo simples fato que seu 
conteúdo é considerado como relevante ou de uma opinião, 
ou de uma crença, de uma suposição, ou de uma evidência 
comum, ou de um fato estabelecido, ou de uma convenção, 
etc. (p. 254-255, tradução nossa) 
 
O longo excerto de Duval merece vários comentários e esclarecimentos. 
Salientamos o primeiro aspecto mencionado que se refere ao „valor lógico‟ de uma 
proposição, transforma-se em uma exigência constante no ensino/aprendizagem de 
Matemática. Tão intensa é tal exigência que, praticamente, todo o ensino gira em 
torno disto. 
 
 
 
 
Faculdade de Minas 
25 
 
Vale recordar que, quando um professor contempla e busca verificar determinada 
inferência, ela, para o experiente, já possui um valor lógico verdadeiro, uma vez que 
ele conhece, detém aquele conhecimento que diz respeito à determinada 
propriedade formal enunciada. Porém para o aluno, toda a sua idiossincrasia 
repousa no campo da „crença‟, na compreensão de um conteúdo; uma vez que, na 
maioria das ocasiões, o aluno não sabe com exatidão aonde o professor tenciona 
chegar. 
 
Para exemplificar o que foi dito, podemos observar as questões proposta em uma 
prova em que o seu enunciado já denuncia a existência apenas de uma proposição 
verdadeira quando destaca „assinale a opção correta‟ e, consequentemente, todos 
os outros itens devem ser falsos. Aqui, o objetivo é avaliar o valor lógico das 
proposições, com referência ao enunciado. Depreende-se também que o enunciado 
do problema tem solução e é única. 
 
A respeito da força e condicionamento exercido pelo modelo de „prova‟ em 
Matemática, Brousseau & Gibel (2005) alertam: 
 
Em Matemática, o ensino do raciocínio era usado para 
conceber um modelo de apresentação de provas, o qual 
deve ser fielmente reproduzido pelo estudante. Porém, os 
professores atualmente, assim como psicologistas, tomam o 
raciocínio como uma atividade mental e não uma simples 
recitação de uma prova memorizada. Desde que é 
necessária a ideia de confrontar o estudante com 
„problemas‟, onde seria natural para eles engajá-los num 
raciocínio. Porém, sempre existe o risco de reduzir a 
solução de problemas a uma aplicação de receitas e 
algoritmos, o que elimina a possibilidade de um raciocínio 
verdadeiro (p. 14, tradução nossa.) 
 
Observamos que Brousseau & Gibel chamam a atenção para o tipo de ensino que 
privilegia o raciocínio algorítmico. Esta forma de raciocínio, apesar de cômodo para 
o professor, não proporciona a evolução de uma compreensão individual do 
estudante,e sim, como já mencionamos, a simples reprodução dos modelos de 
 
 
 
 
Faculdade de Minas 
26 
provas e demonstrações estabelecidos pelo professor, reforçando, assim, um 
ensino baseado na certeza matemática. 
 
Neste sentido, Brousseau & Gibel mencionam um exemplo relativo ao modelo „Se 
A... então B‟, como no caso do teorema de Talles. Tal teorema é estabelecido e 
escrito no quadro. O professor aceita o raciocínio estabelecido pelo estudante do 
tipo „Se A... então B‟, sem nenhuma justificativa maior. Por exemplo, estudante 
nenhum desconfia da validade da afirmação (a + b )2 = a2 + 2ab + b2 . 
 
 
 
Nos problemas anteriores, apesar de envolverem o mesmo objetivo, suas formas de 
instigar e conduzir a atividade dos estudantes são distintas. No primeiro problema, 
de antemão, o aluno já sabe que existe uma única resposta, todavia os valores 
devem ser extraídos a partir de uma análise do gráfico. Já no segundo problema, 
não fornecemos a certeza de que é possível encontrar uma resposta. No último 
caso, já é fornecido os itens e valores possíveis para b = ? . Neste último caso, os 
alunos já possuem os valores iniciais que pode tentar encontrar. 
 
 
 
 
 
Faculdade de Minas 
27 
Observamos que o segundo problema é baseado em um ensino que tomo como 
parâmetro a certeza matemática. Ele condiciona a ação do sujeito. Sua influência é 
suavizada, pelo menos em parte, por intermédio do uso do gráfico no plano ℝ2 , de 
uma função polinomial. Vejamos outros exemplos: 
 
 
 
Observamos no problema 4 a imposição de uma condição A x B = B x A e a 
antecipação de que existem soluções para o problema. Já no problema 5, apesar de 
existirem várias soluções, não se afirma de modo contundente a condição de que 
existe de fato alguma solução. Já no último problema, proporcionamos, antes de 
qualquer atividade ou emprego de fórmulas, a inspeção da figura. Por fim, 
apresentamos mais um problema. 
 
 
 
 
Faculdade de Minas 
28 
 
 
Decididamente, esta situação-problema não é típica de ocorrer nos livros didáticos, 
entretanto o conhecimento do professor deve ultrapassar aquele conhecimento 
exibido nestes, a ponto de criticá-lo, identificar falhas, inconsistências e, 
principalmente, limitações. Além disso, após toda esta discussão, aconselhamos ao 
futuro professor desenvolver um ensino baseado na crença e não na certeza. Mas, 
na prática, como isso pode funcionar? 
 
O docente pode evitar utilizar em seu discurso, sobretudo em sala de aula, 
expressões do tipo neste exercício, basta fazer isto....; é só empregar esta fórmula 
que está concluído....; aplicando este resultado, de imediato, obtemos que....; desde 
que tal propriedade é sempre verdadeira....teremos que..... 
 
Estas são expressões que reforçam/ratificam o caráter universal e inquestionável do 
conhecimento matemático. Todavia, para efetivar uma ação didático-metodológica 
baseada na crença, o professor nunca pode, de modo precipitado, fornecer todas as 
condições „suficientes‟ aos alunos, apenas explorar argumentações „necessárias‟. 
Atitudes proposicionais do tipo: por este caminho aqui, possivelmente obteremos 
que...; aparentemente a resposta pode ser esta....; talvez empregando este 
argumento consigamos algum resultado....; tenho a impressão de que este modo 
 
 
 
 
Faculdade de Minas 
29 
pode auxiliar na tarefa...; possivelmente isto pode ser usado para uma conclusão...; 
acredito que sim...; 
 
Tais colocações podem suavizar o caráter absolutista do conhecimento matemático 
evidenciando que um conhecimento, mesmo aquele que possui paradigmas tão 
rígidos e formais como os da Matemática, produzido por um ser mundano, passível 
de limitações e contradições, não pode ser imune a elas. 
 
Neste sentido, após realizar um estudo com professores de Matemática que atuam 
no ensino publico em São Paulo, Silva (2009, p. 155) destaca: 
 
A nosso ver, esse objetivo primeiro traçado pelos 
professores, parece reproduzir a ideia de que a Matemática 
é uma ciência imutável e firmada na lógica aristotélica, na 
qual toda pergunta poderia ser respondida por apenas de 
duas formas: sim ou não. Como vimos, essa meta parece 
transparecer uma característica formalista marcante, que 
pode ser interpretada pelos alunos como verdades que 
caem do céu e na qual as justificativas ou provas devem ser 
aceitas ou são muito difíceis de serem compreendidas pela 
maioria. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Faculdade de Minas 
30 
Referencias 
 
ALCÂNTARA, A.; MEDEIROS, W. Elaboração de séries metódicas ocupacionais. 
Rio de Janeiro: SENAI, 1974. 
 
ALCÂNTARA, A. Aplicação de séries metódicas ocupacionais. Rio de Janeiro: 
SENAI, 1973. 
 
ALVES, F. R. V. & BORGES NETO, H. A intuição na Sequencia Fedathi: uma 
aplicação no ensino médio. In: Conexões, Ciência e Tecnologia, Nº 2, 2010, pp. 
 
ALVES. Francisco. R. Aplicação da Sequência Fedathi na promoção das noções de 
formação, tratamento e coordenação através do ensino intuitivo do Cálculo a Várias 
Variáveis (tese). Fortaleza: Universidade Federal do Ceará, 2010(a). ______. Uma 
aplicação da Sequência Fedathi no ensino de Progressões Geométricas e a 
formação do professor no IFCE. In: Conexões, Ciência e Tecnologia. Vol. 4, p. 1-16, 
2010 (b). 
 
Análisis ocupacional. Dirección de Programación y Servicios Técnicos, INCE, 
Venezuela, 1973. 
 
ARRIBAS, S. D. Instrumentação científica, conteúdos de Física. Passo Fundo: 
Gráfica e Editora da UPF, 1983 
 
ARSAC, G. L´origine de démonstration: Essai d´épistémologie didactiques. In: 
Recherche em Didactiques de Mathematiques, Paris: La Pensée Sauvage, Nº 8, 
1987, pp. 268-311. 
 
ÁVILA. G. Várias faces da Matemática: tópicos para a licenciatura e leitura em geral. 
São Paulo: Editora Blucher, 2007. 
 
 
 
 
 
Faculdade de Minas 
31 
BALACHEFF, N. Une étude des processus de preuve en Mathématiques chez des 
élèves de College (thése), Grenoble: Université Joseph Fourier, 1988. 
______..Bridging Knowing and Proving in Mathematics: A didactical perspective. In: 
Hanna, G. Et all. Explanation and Proof in Mathematics: philosophical and 
Educational Perspectives. New York: Springer, 2009, pp. 115-136. 
 
BARBOSA, J. L. M. Geometria Euclidiana Plana. Rio de Janeiro: IMPA, 2004. 
 
BATTAGLIOLI, C. S. M. Sistemas lineares da segunda série do ensino médio: um 
olhar sobre os livros didáticos (dissertação de mestrado profissionalizante). São 
Paulo: Pontifícia Universidade Católica, 2008. 
 
BONDANIMAN, A. Álgebra no ensino fundamental: produzindo significados para as 
operações básicas com expressões algébricas (dissertação de mestrado). Porto 
Alegre: Universidade Federal do Rio Grande do Sul. 2007. 
 
BORASI, R. Reconceiving Mathematical Instruction: a focus on errors. New Jersey: 
Ablex Publishing Company, 1996. 
 
BROUSSEAU, G. & GIBEL, P. Didactical handling of student´s reasoning process in 
problem solving situations. In: Educational Studies in Mathematics, vol. 59, 2005, pp. 
13-58. ______. Fondements et méthodes de la Didactiques de Mathematiques. In: 
BRUN, J. Didactiques de Mathematiques, Paris: Délachaux Niéstle, 1996, p. 44-111. 
 
BROUSSEAU, G..Theory of Didactical Situations in Mathematics:didactiques des 
mathemátiques, 1970-1990. New York: Klumer Academic Publishers, 2002. 
 
CARUSO. Paulo. D. Professor de Matemática: transmissão de conhecimento ou 
construção de significados? (tese). Porto Alegre: Universidade Federal do Rio 
Grande do Sul, 2002. 
 
CROWLEY, L., THOMAS, M. & TALL, D. Algebra, Symbols, and Translation of 
Meaning. In: Proceedings of PME18, Lisboa, II, 1994, pp. 240-247. 
 
 
 
 
Faculdade de Minas 
32 
 
CURY, H. N. As concepções de Matemática dos professores e suas formas de 
coniderar os erros dos alunos. (tese de doutorado), Porto Alegre: Universidade 
Federal do Rio Grande do Sul, 1994. 
 
D´AMORE, B. Elementos de Didática da Matemática,São Paulo: Livraria da Física, 
2007. 
 
DEVLIN, Keith. The Language of Mathematics: making the invisible visible, New 
York: Freeeman and Company, 1998. 
 
DIAS, M. S. S. Um estudo da demonstração no contexto da Licenciatura em 
Matemática: uma articulação entre os tipos de prova e os níveis de raciocínio 
geométrico. (tese) São Paulo: Pontifícia Universidade Católica, 2009. 
 
DOMINGOS. Antonio. M. Compreensão de conceitos matemáticos avançados: a 
matemática no início do superior. Lisboa: Faculdade de Ciências e Tecnologia de 
Lisboa, 2003. 
 
DOMINGUES, H. H. A demonstração em Geometria. São Paulo: ATUAL EDITORA, 
1995. 
 
FEITAS, J. L. M. Situações Didáticas. 
 
FRANCHI, A. et all. Educação Matemática: uma introdução, São Paulo: EDUC. 
2002, pp. 65-89. 
 
FISCHBEIN, E. & MARIOTTI, M. A. Defining in Classroom Activities. In: Educational 
Studies in Mathematics. v. 34, pp. 219-248, 1997. GONDINO, J. D. Didáctica de las 
Matemáticas para maestros. Granada: Editora Universitária, Espanha, 2004. 
 
 
 
 
 
Faculdade de Minas 
33 
GOUVÊA, F. A. T. Aprendendo e ensinando Geometria com a demonstração: uma 
contribuição para a prática pedagógica do professor de Matemática do ensino 
Fundamental. (dissertação). São Paulo: Pontifícia Universidade Católica, 1998. 
 
HANNA, G. & BARBEAU, E. Proofs as Beares of Mathematical Knowledge. In: 
Hanna, G. Et all. Explanation and Proof in Mathematics: philosophical and 
Educational Perspectives. New York: Springer, 2009, pp. 85-100. 
<http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/jponte/docs-pt/03-JP-HO(Rev.Educacao).doc> 
 
IGLIORI, S. B. C. A noção de obstáculo epistemológico e a Educação Matemática. 
In: FRANCHI, A. et all. Educação Matemática: uma introdução, São Paulo: EDUC. 
2002, pp. 89-115. 
 
JOHSUA, S. & DUPIN, J. J. Introduction à la didactiques des sciences et des 
Mathématiques. Paris: Presses Universitaires, 1989. 
 
KLINE. F. O fracasso da Matemática Moderna. São Paulo: IBRASA, 1976. 
 
LARA. Isabel. C. Exames nacionais e as “verdades” sobre a produção do professor 
de Matemática (tese). Porto Alegre: Universidade Federal do Rio Grande do Sul, 
2007. Le livre Du probleme: fascicule 1. Strasbourg: Institut de Recherche et 
l´enseignement de Mathématiques. 1973. 
 
LIBÂNEO, J. C. Democratização da Escola Pública: a pedagogia crítico social dos 
conteúdos. São Paulo: Editora Loyola, 13º edição, 1995. 
 
LIMA, E. L. Exame de textos: análise de livros de Matemática do Ensino Médio. Rio 
de Janeiro: IMPA, 2001(a). 
 
LOEDEL, E. Enseñanza de la Física. Buenos Aires: Kapelusz,1957. 
 
______ .Matemática e Ensino. Volume 1, Rio de Janeiro: IMPA. 2001(b). 
 
 
 
 
 
Faculdade de Minas 
34 
 ______. Meu professor de Matemática e outras histórias. Rio de Janeiro: IMPA, 
2004. 
 
MACHADO, N. J. Matemática e Educação: alegorias, tecnologias e temas afins. São 
Paulo: Cortez, 4ª edição, 2002. 
 
______. Matemática e língua materna: análise de uma impregnação mútua. São 
Paulo: CORTEZ, 1993. 
 
MARGOLINAS, C. De l´importance du Vrai et du Faux: dans la classe de 
Mathématiques. Paris: La Pensée Sauvege, 1993. 
 
MILAUSKAS, G. A. Problemas de Geometria criativos podem levar à resolução 
criativa de problemas criativos. In: LINDQUIST, M. M. & SHULTE, A. P. Aprendendo 
e ensinando Geometria. 1994, pp. 86-106. 
 
MIORIM. M. A. Introdução à História da Educação Matemática. São Paulo: Editora 
Atual, 1998. 
 
ORTON, A. Learning Mathematics: issues, theory and classroom practice. 3rd 
edition, London: Continuum Publishers, 2004. 
 
POLYA, George. A new aspect of Mathematical Method. New Jersey: Princeton 
University Press, 1973. 
 
PONTE, J. P., & OLIVEIRA, H. Remar contra a maré: A construção do 
conhecimento e da identidade profissional na formação inicial. In: Revista da 
Educação, 11(2), 2002, pp. 145-163 
 
______. Remar contra a maré: A construção do conhecimento e da identidade 
profissional na formação inicial. In: Revista da Educação, 11(2), 2002, pp. 145-163. 
Disponível em http://www. educ.fc.ul.pt/docentes/jponte/docs-pt/03-JP-
HO(Rev.Educacao).doc 
 
 
 
 
Faculdade de Minas 
35 
 
ROBERT, A. LATTUATI, M. & PENNICKX, J. L´enseignement des Mathématiques 
au Lycée. Paris: Ellipses, 1999. 
 
ROMA. José. E. (2010). As representações sociais dos alunos da Licenciatura em 
Matemática sobre a profissão Docente (tese). São Paulo: Pontifícia Universidade 
Católica de São Paulo. 
 
SADOVSKY, P. & SESSA, C. The adidactic interaction with the procedures os peers 
in thev transition from Arithmetic to Algebra: a milieu for the emergence of new 
question. In: LABORDE, C., PERRIN-GLORIAN, M. J. & SIERPINSKA, A. Beyond 
the Apparent banality of the Mathematics Classroom, New York: Springer, 2005, pp. 
87-112. 
 
SCHUBRING. Gert. (2003). O primeiro movimento internacional de reforma 
curricular em Matemática e o papel da Alemanha. In: VALENTE. Vagner. R. 
Euclides Roxo. A modernização do ensino da Matemática. pp. 11-46. 
 
SERRALHEIRO, T. D. Formação de professors: conhecimentos, discursos, e 
mudança na prática das demonstrações. (dissertação), São Paulo: Pontifícia 
Universidade Católica, 2007. 
 
SILVA, B. A. Contrato Didático. In: FRANCHI, A. et all. Educação Matemática: uma 
introdução, São Paulo: EDUC. 2002, pp. 43-65. 
 
SOUSA, V. H. G. O uso de vários registros na resolução de inequações: uma 
abordagem funcional gráfica. (tese), São Paulo: Pontifícia Universidade Católica, 
2008. 
 
STERNBERG, R. J. & BEEN-ZEEV, T. The nature of Mathematical Thinking. New 
Jersey: Lawrence Erlbaum Associates, 1996. 
 
 
 
 
 
Faculdade de Minas 
36 
TALL, D. Success and failure in arithmetic and algebra. In: Mathematics Teaching 
1991, Edinburgh University, September, 1991, pp. 1-15. 
 
TIROSH, D. & EVEN, R. To define or not define: the case of . In: Educational 
Studies in Mathematics, vol. 33, 1997, pp. 321-330. 
 
WAGNER, E. Professor Morgado. In: Revista do Professor de Matemática. nº 62, 
2007, pp. 58- 59. 
 
WIELEWSKI, G. D. Aspectos do pensamento matemático na resolução de 
problemas: uma apresentação contextualizada da obra de Krutetskii. (tese). São 
Paulo: Pontifícia Universidade Católica, 2005.