2ª Lista de Exercícios sobre Sistemas de Numeração (Resolvida)

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Alcides Tiago Medeiros Dantas 
Lista de Exercícios 2 – Sistemas de Numeração 
 
 
 
Q1) O matemático Abū 'Abd Allāh Mufiammad ibn Mūsā al-Khwārizmīe estava intrigado 
para encontrar uma forma de realizar contas com números binários. Ele, então, 
observou que, numa soma de objetos, independentemente do sistema de numeração 
utilizado, a conta precisaria dar certo. Ele fez um conta para somar seus discípulos. 
Pela manhã ele tinha 42 e no período da tarde, 44. O total era de 86 discípulos. Ele 
mostrou a representação da conta 42+44=86 em binário e descobriu como realizar 
somas em binário. Preencha a tabela abaixo para indicar como fazer uma conta em 
binário. 
 
Vem 1 Bit A Bit B Soma Vai 1 
0 0 0 0 0 
0 0 1 1 0 
0 1 0 1 0 
0 1 1 0 1 
1 0 0 1 0 
1 0 1 0 1 
1 1 0 0 1 
1 1 1 1 1 
 
Q2) Imagine uma situação em que você é um professor de uma disciplina que envolva 
operações aritméticas em binários. Crie ao menos dois exercícios que envolvam cada 
uma das operações em binário abaixo e mostre suas soluções. 
a) Soma 
Exemplo 1: 
 10101 
+ 01001 
 
 Resultado Final 
 
 
 
Exemplo 2: 
 011101 
+ 011001 
 
 Resultado Final 
 
b) Subtração 
Exemplo 1: 
 11110 
 - 00110 
 
 
 Resultado Final 
 
 
 
 1 0 1 01 1 
 
 0 1 0 0 1 
Vai 1 
0 1 1 1 1 
 01 11 1 1 01 1 
 
 0 1 1 0 0 1 
Vai 1 
0 1 1 0 
Vai 1 Vai 1 
1 1 
 1 1 1 1 0 
 
 0 0 1 1 0 
0 0 0 1 1 
 
 
Exemplo 2: 
 100110 
 - 011101 
 
 
 
 Resultado Final 
 
c) Multiplicação 
Exemplo 1: 
 0110 
X 0110 
 
 
 
 
 
 Resultado Final 
 
 
Exemplo 2: 
 11001 
X 01110 
 
 
 
 
 Resultado Final 
 
 
Q3) Considere uma forma diferente de indicar um sistema de numeração ao qual pertence 
um número. Para indicar um decimal, usa-se o número começando com qualquer 
algarismo válido diferente de 0, ou seja, {1,...,9}. Para um sistema de numeração octal 
prefixa-se um 0 antes da quantidade indicada. Para um sistema hexadecimal prefixa-se 
um 0x antes dos algarismos hexadecimais válidos {0,...,9,a,b,c,d,e,f}. Um sinal de 
menos pode anteceder qualquer desses padrões para indicar números negativos. 
Nesse formato, indique as quantidades, por extenso (ex.s: um, dois, mil e quinhentos), 
a seguir apresentadas. Exemplo 0x10 = dezesseis 
a) 0x1a (vinte e seis) 
b) 065 (cinquenta e três) 
c) 65 (sessenta e cinco) 
d) 0x011 (dezessete) 
e) -034 (menos vinte e oito)
11 01 0 1 11 0 
 
0 1 1 1 0 1 
1 
Vai 1 
0 0 1 0 0 
Vai 1 Vai 1 
} } } 
0 1 1 0 
0 1 1 0 
 
0 0 0 0 
01 1 1 0 
01 1 1 0 
0 0 0 0 
0 0 1 0
1
0
1
1 0 } } } } 
1 1 0 0 1 
0 1 1 1 0 
 0 0 0 0 0 
1 1 0 0 1 
11 1 0 0 1 
11 1 0 0 1 
01 0 0 0 0 
0 1 1 1 1 0 1 0 1 
 
Q4) Uma fila de um caixa de banco, contendo 10 espaços para clientes, foi usada como 
metáfora para uma sequencias de bits. Cada espaço para clientes representaria um bit 
de um conjunto de 10 bits. Se o cliente for do sexo masculino, o cliente é representado 
como um 0 e se for do sexo feminino o cliente é representado por um 1. Assim, 
0000001001, indica as pessoas, tendo, na ordem, seis homens à frente, uma mulher, 
dois homens e no último lugar da fila, mais uma mulher. Quando a fila anda (uma 
pessoa vai para o caixa), há um deslocamento de todos, uma casa para esquerda, 
abrindo lugar para entrada de mais um homem ou mais uma mulher na fila. Agora, 
considere um número escrito em binário contendo 10 bits, que é deslocado para 
esquerda e entra, no fim, apenas um valor 0. Nos casos a seguir, mostre em decimal o 
valor escrito em binário; desloque o binário uma casa para esquerda e mostre em 
decimal o valor correspondente ao binário gerado. 
Ex.: 00000000012 = 1; deslocado será 00000000102 = 2 
a) 00000000112 = 3; deslocado será 00000001102 = 6 
b) 00000001002 = 4; deslocado será 00000010002 = 8 
c) 00000010002 = 8; deslocado será 00000100002 = 16 
d) 00000001112 = 7; deslocado será 00000011102 = 14 
 
 
Q5) Escreva em binário os números negativos a seguir, usando 10 bits, no padrão sinal- 
magnitude. 
 
a) -5 -------> 
 
 
 
b) -8 -------> 
 
 
 
c) -10 -----> 
 
 
 
d) -25 ----> 
 
 
e) -534 ---> Não é possível escrever o número -534 utilizando apenas 10 bits 
(Overflow), visto que o número por si só ocupa os 10 bits, e ainda precisaria inserir o bit 
referente ao sinal. Com 10 bits, só é possível representar números de -512 até 511. 
 
Q6) Dados os números abaixo, escritos em binário, com 10 bits, no padrão sinal- 
magnitude, indique seu valor em decimal. 
a) 10001001012 
------> 1 + 4 + 32 = 37 (sem considerar o bit de sinal por enquanto) 
------> -37 (considerando o bit de sinal) 
 
b) 01101000012 
------> 1 + 32 + 128 + 256 = +417 (já com o bit de sinal) 
 
c) 10000001012 
------> 1 + 4 = 5 (sem considerar o bit de sinal por enquanto) 
------> -5 (considerando o bit de sinal) 
 
d) 11110000002 
------> 64 + 128 + 256 = 448 (sem o bit de sinal por enquanto) 
 
------> -448 (considerando o bit de sinal) 
 
e) 01011101102 
 ------> 2 + 4 + 16 + 32 + 64 + 256 = +374 (já com o bit de sinal) 
 
Q7) Escreva em binário os números negativos a seguir, usando 10 bits, no padrão 
complemento de 2. 
a) -5 
0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 
 
 
1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 
 
 
1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 
 1 
 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 
 
 
 
 
 
b) -8 
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 
 
 
1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 
 
 
1 1 1 1 1 1 01 11 11 1 
 1 
 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 
 
 
 
 
 
c) -10 
0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 
 
 
1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 
 
 
1 1 1 1 1 1 0 1 01 1 
 1 
 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 
 
 
 
 
 
d) -25 
 
 
 
(complemento de 1 aplicado) 
(complemento de 2 aplicado) 
O valor -5 em binário usando 10 bits pelo padrão complemento de 2 é: 
1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 
(partindo do 5 para chegar ao -5 no final) 
(partindo do 8 para chegar ao -8 no final) 
(complemento de 1 aplicado) 
(complemento de 2 aplicado) 
O valor -8 em binário usando 10 bits pelo padrão complemento de 2 é: 
1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 
(partindo do 10 para chegar ao -10 no final) 
(complemento de 1 aplicado) 
(complemento de 2 aplicado) 
O valor -10 em binário usando 10 bits pelo padrão complemento de 2 é: 
1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 
 
0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 
 
 
1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 
 
 
1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 
 1 
 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 
 
 
 
 
 
e) -534 ---> Não é possível escrever o número -534 utilizando apenas 10 bits 
(Overflow), visto que o número por si só ocupa os 10 bits, e ainda precisaria inserir o 
bit referente ao sinal. Com 10 bits, só é possível representar números de -512 até 
511. 
 
Q8) Dados os números abaixo, escritos em binário, com 10 bits, no padrão complemento 
de 2, indique seu valor em decimal. 
a) 10001001012 
1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 
 
 
0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 
 
 
0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 
 1 
 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 
 
 
 
 
 
b) 01101000012 
0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 
 
 
1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 
 
 
1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 
 1 
 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 
 
 
 
 
 
c) 11100001012 
1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 
 
 
0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 
O valor após o complemento de 2 acima é +475 (1 + 2 + 8 + 16 + 64 + 128 
+ 256). Como o valor original é negativo, ele em decimal é -475. 
(complemento de 1 aplicado) 
(complemento de 2 aplicado) 
O valor após o complemento de 2 acima é -95 (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 64). 
Como o valor original é positivo, ele em decimal é +95. 
(complemento de 1 aplicado) 
(complemento de 1 aplicado) 
(complemento de 2 aplicado) 
(partindo do 25 para chegar ao -25 no final) 
(complemento de 1 aplicado) 
(complemento de 2 aplicado) 
O valor -25 em binário usando 10 bits pelo padrão complemento de 2 é: 
1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 
 
 
 
0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 
 1 
 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 
 
 
 
 
d) 11110000002 
1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 
 
 
0 0 00 1 1 1 1 1 1 
 
 
 0 0 0 01 11 11 11 11 11 1 
 1 
 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 
 
 
 
 
 
e) 11111111112 
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
 
 
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 
 
 
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 
 1 
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 
 
 
 
 
 
Q9) Escreva, no padrão complemento de 2, o valor -2, usando a quantidade de bits 
indicados nas alíneas abaixo. 
(complemento de 2 aplicado) 
O valor após o complemento de 2 acima é +123 (1 + 2 + 8 + 16 + 32 + 64). 
Como o valor original é negativo, ele em decimal é -123. 
(complemento de 1 aplicado) 
(complemento de 2 aplicado) 
O valor após o complemento de 2 acima é +64 (+ 64). Como o valor 
original é negativo, ele em decimal é -64. 
(complemento de 1 aplicado) 
(complemento de 2 aplicado) 
O valor após o complemento de 2 acima é +1 (+ 1). Como o valor original é 
negativo, ele em decimal é -1. 
 
a) 5bits 
0 0 0 1 0 
 
 
1 1 1 0 1 
 
1 1 1 01 1 
 1 
 1 1 1 1 0 
 
 
 
 
b) 6bits 
0 0 0 0 1 0 
 
 
1 1 1 1 0 1 
 
1 1 1 1 01 1 
 1 
 1 1 1 1 1 0 
 
 
 
 
 
c) 7bits 
0 0 0 0 0 1 0 
 
 
1 1 1 1 1 0 1 
 
1 1 1 1 1 01 1 
 1 
 1 1 1 1 1 1 0 
 
 
 
 
 
d) 8bits 
0 0 0 0 0 0 1 0 
 
 
1 1 1 1 1 1 0 1 
 
1 1 1 1 1 1 01 1 
 1 
 1 1 1 1 1 1 1 0 
 
 
 
 
 
(partindo do 2 para chegar ao -2 no final) 
(complemento de 1 aplicado) 
(complemento de 2 aplicado) 
O valor -2 em binário usando 5 bits pelo padrão complemento de 2 é: 
1 1 1 1 0 
(partindo do 2 para chegar ao -2 no final) 
(complemento de 1 aplicado) 
(complemento de 2 aplicado) 
O valor -2 em binário usando 6 bits pelo padrão complemento de 2 é: 
1 1 1 1 1 0 
(partindo do 2 para chegar ao -2 no final) 
(complemento de 1 aplicado) 
(complemento de 2 aplicado) 
O valor -2 em binário usando 7 bits pelo padrão complemento de 2 é: 
1 1 1 1 1 1 0 
(partindo do 2 para chegar ao -2 no final) 
(complemento de 1 aplicado) 
(complemento de 2 aplicado) 
O valor -2 em binário usando 8 bits pelo padrão complemento de 2 é: 
1 1 1 1 1 1 1 0 
 
 
e) 9bits 
0 0 0 0 0 0 0 1 0 
 
 
1 1 1 1 1 1 1 0 1 
 
1 1 1 1 1 1 1 01 1 
 1 
 1 1 1 1 1 1 1 1 0 
 
 
 
 
 
Q10) Um número real pode ser representado em binário. Por exemplo, 110,12 equivale 6,5 
em decimal. 1010,112 equivale 10,75 em decimal. Explique como podemos calcular o 
valor em decimal de um número real dado em binário. 
R: Para isso, basta pegar cada dígito em binário, multiplicar pela base 2 
elevada à posição daquele dígito, e ao fim somar todos esses resultados, chegando 
no valor em decimal. Segue abaixo um passo a passo de um exemplo: 
 
 
110,1 (em binário) 
 
 
 
 
 
 
 
 1.2² + 1.2¹ + 0.20 + 1.2-1 
 
 
 4 + 2 + 0 + 0,5 
 
 6,5 
 
 
Q11) Considere um padrão de numeração de números reais, usando 8 bits, com a vírgula 
(ponto) fixo entre o quarto e o quinto bit (iiii,ffff, onde iiii representa a parte inteira e 
ffff a parte fracionária do número real). Descubra os valores a seguir indicados, escritos 
nesse padrão. Desconsidere números negativos. Ex.: 101011002 =10,75 
a) 11111100 
1111 | 1100 
 
 
 
 
 
 
 
b) 01010100 
0101 | 0100 
 
 
Posição 2 
Posição 1 
Posição 0 
Posição -1 
 
1º passo (identificar a posição de 
cada dígito a partir da vírgula) 
 
2º passo (multiplicar cada dígito pela base elevada à 
posição desse dígito, e ao fim somar esses resultados. 
Parte inteira Parte fracionária 
15 1.2-1 + 1.2-2 
15,75 
Parte inteira Parte fracionária 
5 1.2-2 
(partindo do 2 para chegar ao -2 no final) 
(complemento de 1 aplicado) 
(complemento de 2 aplicado) 
O valor -2 em binário usando 9 bits pelo padrão complemento de 2 é: 
1 1 1 1 1 1 1 1 0 
 
 
 
 
 
 
c) 00111111 
0011 | 1111 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 01000001 
0100 | 0001 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) 00001001 
0000 | 1001 
 
 
 
 
 
 
 
Q12) Dados os valores binários em 8 bits escritos na tabela a seguir, indique que valores 
decimais eles estão representando, de acordo com o padrão indicado. 
 
 
Número 
 
Natural 
Inteiro em 
Complemento 
de 2 
 
Inteiro em Sinal 
Magnitude 
Real, ponto fixo, entre o 4º 
e o 5º bit 
(como na Q11) 
11111111 255 -1 -127 
Sem considerar números 
negativos igual a questão 
anterior, o resultado é: 
15,9375 
 
Considerando o primeiro bit 
sendo de sinal, 3 de parte 
inteira e 4 de parte fracionária, 
o resultado é: 
-7,9375 
10011001 153 -103 -25 
Sem considerar números 
negativos igual a questão 
anterior, o resultado é: 
9,5625 
 
Considerando o primeiro bit 
5,25 
Parte inteira Parte fracionária 
3 1.2-1 + 1.2-2 + 1.2-3 + 1.2-4 
3,9375 
Parte inteira Parte fracionária 
4 1.2-4 
4,0625 
Parte fracionária Parte inteira 
1.2-1 + 1.2-4 0 
0,5625 
 
sendo de sinal, 3 de parte 
inteira e 4 de parte fracionária, 
o resultado é: 
-1,5625 
00110010 50 78 50 
Considerando o primeiro bit 
sendo parte do sinal ou sendo 
parte do número, o resultado é 
o mesmo: 
3,125 
11001100 204 -52 -76 
Sem considerar números 
negativos igual a questão 
anterior, o resultado é: 
12,75 
 
Considerando o primeiro bit 
sendo de sinal, 3 de parte 
inteira e 4 de parte fracionária, 
o resultado é: 
-4,75 
10000000 128 -128 -0 
Sem considerar números 
negativos igual a questão 
anterior, o resultado é: 
8,0000 (ou simplesmente 8) 
 
Considerando o primeiro bit 
sendo de sinal, 3 de parte 
inteira e 4 de parte fracionária, 
o resultado é: 
-000,0000 (ou simplesmente 
-0) 
 
Q13) Um número real em ponto flutuante, escrito em binário, no padrão s1,_ _ _ _ x2_ _ _ , 
tem o expoente expresso com 3 bits no padrão complemento de 2. Ele tem também 4 
bits para mantissa e 1 bit, s, antes do padrão “1,” para indicar o sinal (0 para positivo e 
1 para negativo). 
Exemplo: -8,5 decimal seria escrito como 
-1000,12 = 
-100,012 x 21 = 
-10,0012 x 22 = 
-1,00012 x 23. Agora esse valor está no padrão s1,_ _ _ _ x2_ _ _ 
A mantissa seria então 00012. O expoente seria +3, que representado em 
complemento de 2, com 3 bits, vale 0112. O sinal é negativo, portanto, s=12. O valor em 
binário, nesse padrão, para representar -8,5 seria, então: 10001011. 
Siga o exemplo para representar os valores reais em binário, segundo esse padrão. 
a) -2,25 
R: 
-2,25 decimal sendo escrito em binário: 
--> 10,01 
--> 1,001.2¹ (Falta um bit zero a direita na mantissa e adequar o expoente para 3 
bits) 
--> 10010001 
 
 
 
 
 
Sinal 
Mantissa 
Expoente 
 
b) 4,75 
R: 
4,75 decimal sendo escrito em binário: 
--> 100,11 
--> 10,011.2¹ 
--> 1,0011.2² (Falta adequar o expoente para 3 bits) 
--> 00011010 
 
 
 
 
 
c) -1,625 
R: 
-1,625 decimal sendo escrito em binário: 
--> 1,101 
--> 1,101.20 (Falta um bit zero a direita na mantissa e adequar o expoente para 3 bits) 
--> 11010000 
 
 
 
 
 
d) 0,0625 
R: 
0,0625 decimal sendo escrito em binário: 
--> 0,0001 
--> 00,001.2-1 
--> 000,01.2-2 
--> 0000,1.2-3 
--> 1.2-4 (a mantissa é toda igual a zero e falta adequar o expoente para 3 bits) 
--> 00000100
Sinal 
Mantissa 
Expoente 
Sinal 
Mantissa 
Expoente 
Sinal 
Mantissa 
Expoente 
 
Q14) Explique o funcionamento do padrão IEEE 754 
 R: O IEEE 754 foi feito para padronizar a implementação de cada máquina a um certo 
modelo que facilitasse a comunicação entre os computadores. Esse padrão define os formatos 
adequados para representar números em ponto flutuante, sendo eles: 
 
1. No uso de 32 bits no padrão IEEE 754 (precisão simples), temos: 
❖ 1 bit para sinal; 
❖ 8 bits para o expoente (potência); 
❖ 23 bits para a mantissa. 
❖ s1, mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm X 2pppppppp 
❖ eeeeeeee = pppppppp + 127 (evitando o uso do complemento de 2). 
❖ eeeeeeee agora não é mais um número sinalizado. 
❖ Ao final, temos: 
❖ seeeeeeeemmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm
m 
 
2. No uso de 64 bits no padrão IEEE 754 (precisão dupla), temos: 
❖ 1 bit para sinal; 
❖ 11 bitspara o expoente (potência); 
❖ 52 bits para a mantissa. 
❖ s1, 
mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm
mmmmmmmmmmmmmmmmm X 2ppppppppppp 
❖ Ao final, temos: 
❖ seeeeeeeeeeemmmmmmmmmmmmmmmmmmmm
mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm
mmmmm