MÉDIA, MEDIANA, MODA, VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO

Prévia do material em texto

MÉDIA
Média aritmética simples:
"A média aritmética simples será a soma dos valores divididos pela quantidade de valores."
onde X1, X2, X3, ... , Xn são os valores e n é a quantidade de valores.
Por exemplo:
CAIU NO ENEM
ENEM 2011 - Questão 154 – Prova Azul.
A participação dos estudantes na Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas (OBMEP) aumenta a cada ano. O
quadro indica o percentual de medalhistas de ouro, por região, nas edições da OBMEP de 2005 a 2009:
Em relação às edições de 2005 a 2009 da OBMEP, qual o percentual médio de medalhistas de ouro da região Nordeste?
A) 14,6% B) 18,2% C) 18,4% D) 19,0% E) 21,0%
 RESOLUÇÃO:
Para descobrir o percentual médio de medalihista de ouro de 2005 a 2009 da OBMEP referente a região Nordeste é necessário
somar os percentuais dessa regiao em cada ano e dividir pelos 5 anos.
Verifique na tabela esses percentuais:
Nordeste → 18%, 19%, 21%, 15% e 19%
Portanto, o gabarito será letra C.
 Média aritmética ponderada:
"A Média aritmética ponderada é obtida pelo produto dos valores pelos seus respectivos pesos, divididos pela soma dos pesos".
onde X1, X2, X3, ... , Xn são os valores, n é a quantidade de valores e P1, P2, P3, ... , Pn são os pesos.
Por exemplo:
O gráfico apresenta a quantidade de gols marcados pelos artilheiros das Copas do Mundo desde a Copa de 1930 até a de 2006.
Qual seria média de gols marcados em todas essas copas do mundo?
RESOLUÇÃO:
vamos separar pela quantidade de gols
→4 Gols foram marcados em apenas uma copa do mundo: 4x1
→5 Gols foram marcados em duas copas do mundo: 5x2
→6 Gols foram marcados em seis copas do mundo: 6x6
→7 Gols foram marcados em duas copas do mundo: 7x2
→8 Gols foram marcados em duas copas do mundo: 8x2
→9 Gols foram marcados em duas copas do mundo: 9x2
→10 Gols foram marcados em apenas uma copa do mundo: 10x1
→11 Gols foram marcados em apenas uma copa do mundo: 11x1
→13 Gols foram marcados em apenas uma copa do mundo: 13x1
 O somatório dos pesos seria o total de copas do mundo de 1930 até 2010.
MEDIANA
Você sabe o que é uma Mediana?
A Mediana de um conjunto de valores, dispostos segundo uma ordem ( crescente ou decrescente), é o valor Central
desta distribuição. 
→ Para achar a Mediana é necessário colocar os dados da variéavel em ordem crescente formando o que chamamos
de Rol.
 Para exemplificar vou criar dois tipos de situações:
1º Caso: Quantidade de termos é ímpar.
Observe a tabela da distribuição das temperatura medidas de um
certo mês.
Para calcular a Mediana precisamos colocar os dados da variéavel em
ordem crescente (Rol).
Rol: 13,5; 13,5; 13,5; 13,5; 14; 15,5; 16; 18; 18; 18,5; 19,5; 20; 20; 20;
21,5
Observer que teremos um total de 15 termos, portanto o termo
central será o oitavo termo. Para verificar é só separar os valores em
dois grupos de 7 termos.
A Mediana será 18º C.
2º Caso: Quantidade de termos é par.
Observe a Tabela abaixo onde se encontra a distribuição das frequências
da Temperatura medida em um certo local.
Para calcular a Mediana precisamos colocar os dados da variéavel em
ordem crescente (Rol).
Rol: 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2;
3; 3; 3; 3; 3; 3.
Repare que não irá existir um único termo central pois a quantidade de termos é um número par.
Então a Mediana será a Média aritmética entre os dois termos centrais.
MODA
Suponho que vocês não terão problemas em acertar as questões
sobre MODA que encontrarão no dia da prova.
Vocês já devem ter escutado em algum momento que determinada
atividade ou estilo "é a nova moda do momento". Eu, por exemplo,
estava lendo a seguinte reportagem:
Fonte:http://oglobo.globo.com
Obeserve na reportagem que o uso da fita é repetido por vários
atletas e é a nova moda no tratamento de lesões. A
palavra MODA seguinifica costume e a idéia de MODA em
estatística é exatamente essa. MODA é o valor que ocorre com
maior frequência.
Por exemplo, Veja essa Tabela que retirei da prova do ENEM de
2010 referente ao tamanho dos pés das funcionárias de uma
empresa:
http://oglobo.globo.com/
Vocês rapidamente conseguem perceber que a maioria das funcionárias usam calçados número 38, ou seja, a MODA é 38.
→ Quando dois valores ocorrem com a mesma freqüência e esta frequência é a maior entre os dados desse conjunto, esse
conjunto se diz BIMODAL. Se mais de dois valores ocorrem com a mesma frequência máxima, cada um deles é uma moda e o
conjunto é MULTIMODAL. Quando nenhum valor é repetido o conjunto não tem moda.
Percebeu como não é nem um pouco difícil???
Aposto que você acertará com tranquilidade a questão sobre MODA que aparecerá na prova do ENEM. Antes disso, vamos as
últimas questões sobre o tema.
 
CAIU NO ENEM
ENEM 2011 - Questão 142 – Prova Azul.
Uma equipe de especialistas do centro meteorológico de uma cidade mediu
a temperatura do ambiente, sempre no mesmo horário, durante 15 dias
intercalados, a partir do primeiro dia de um mês. Esse tipo de procedimento
é freqüente, uma vez que os dados coletados servem de referência para
estudos e verificação de tendências climáticas ao longo dos meses e anos.
As medições ocorridas nesse período estão indicadas no quadro:
Em relação à temperatura, os valores da média, mediana e moda são,
respectivamente, iguais a:
a) 17º C, 17º C e 13,5º C
b) 17º C, 18º C e 13,5º C
c) 17º C, 13,5º C e 18º C
d) 17º C, 18º C e 21,5º C
e) 17º C, 13,5º C e 21,5º C
RESOLUÇÃO:
Primeiramente, vamos organizar o Rol:
13,5; 13,5; 13,5; 13,5; 14; 15,5; 16; 18; 18; 18,5; 19,5; 20; 20; 20; 21,5
Observe que teremos 15 termos e MEDIANA será 18 que é o termo central desta distribuição.
Agora vamos calcular a MÉDIA:
e a MODA é o termo que aparece com a maior frequência: 13,5 apareceu quatro vezes e esta é a maior frequência.
Portanto o Gabarito será letra B.
CAIU NO ENEM
ENEM 2010 - Questão 175 – Prova Rosa.
O quadro seguinte mostra o desempenho de um time de futebol no último campeonato. A coluna da esquerda mostra o número
de gols marcados e a coluna da direita informa em quantos jogos o time marcou aquele número de gols.
http://soumaisenem.com.br/matematica/conhecimentos-de-estatistica-e-probabilidade/o-que-e-mediana
http://soumaisenem.com.br/matematica/conhecimentos-de-estatistica-e-probabilidade/o-que-e-media
Se X, Y e Z são, respectivamente, a média, a mediana e a moda desta distribuição, então
A) X = Y < Z.
B) Z < X = Y.
C) Y < Z < X.
D) Z < X < Y.
E) Z < Y < X.
GAB: E
VARIÂNCIA
As medidas de centralidade nem sempre são suficientes para caracterizar um determinado grupo, nestes casos é
necessário calcular o grau de dispersão e as medidas de dispersão mais cobradas no ENEM é o DESVIO PADRÃO e a
Variância.
Desvio Padrão, bem como a Variância, é uma medida de dispersão. Uma daquelas que medem o quanto cada
elemento de uma distribuição se desviou de um valor central. No caso, este valor central é amédia.
Por exemplo, se ao longo de 4 provas as notas de um aluno foram 5, 5, 5 e 5 e a de um outro foram 10, 0, 10 e 0, as
médias dos dois foram iguais. Ambos tiveram média 5. No entanto, um se desviou da média e o outro não. A ideia
das medidas de dispersão é exatamente analisar esses desvios.
Antes de entender o conceito de Variância, vamos entender a ideia do “temível somatório”. Entendidos esses dois,
prometo que na próxima aula o conceito de Desvio Padrão será uma simples operação.
Primeiro o somatório, que tem por objetivo simplificar, no sentido de abreviar, operações de soma que sejam
grandes demais.
Ex.: Se você quer indicar de forma mais curta a seguinte soma
você pode indicá-la simplesmente por:
A letra sigma, indicativa de somatório, é preenchida à sua direita pela expressão que se repetirá, em sua parte
inferior pelo primeiro valor que a letra vai assumir e em sua parte superior está o último valor assumido,
percorrendo todos os número naturais compreendidos entre ambos. Vale lembrar que o conjuntos dos números
naturais é o conjunto {0, 1, 2, 3, 4, ... }. Isto significa que teremos “todos os valores de 2elevado a somados, com
 variando de 1 até 17”.
Veja outros exemplos de uso do somatório:
 
Nesta perspectiva, a média dos elementos de uma distribuição pode ser escrita como:
 
A Variância, geralmente indicada por é dada ela “soma dos quadrados das diferenças entre cada elemento de
uma distribuição e a média da mesma, dividido pela quantidade de elementos”. Ufa! Complicado de se alcançar, né?!
Nada disso! Observe a situação abaixo:
As notas do aluno João ao longo de 6 simulados feitos por ele foram:
 4,0 - 7,0 - 6,0 - 6,0 - 8,0 - 5,0
Sua média foi:
Ou seja, mais formalmente temos que a variância dos elementos de uma distribuição é dada por:
CAIU NO ENEM
ENEM 2012 - Questão 172 – Prova Amarela.
Um produtor de café irrigado em Minas Gerais recebeu um relatório de consultoria estatística, constatando, entre
outras informações, o desvio padrão das produções de uma safra dos talhões de sua propriedade. Os talhões têm a
mesma área de 30000m2 e o valor obtido para o desvio padrão foi de 90kg/talhão. O produtor deve apresentar as
informações sobre a produção e a variância dessas produções em sacas de 60kg por hectare (10000m2).
A variância das produções dos talhões expressa em (sacas/hectare)2 é
A) 20,25. B) 4,50. C) 0,71. D) 0,50. E) 0,25.
GAB: E
DESVIO PADRÃO
O Desvio Padrão, bem como a Variância, é uma medida de dispersão. Uma daquelas que medem o quanto cada
elemento de uma distribuição se desviou de um valor central. No caso, este valor central é a média. No exemplo da
aula anterios fizemos o calculo da Variância em cima das notas de João:
As notas do aluno João ao longo de 6 simulados feitos por ele foram: 4,0 - 7,0 - 6,0 - 6,0 - 8,0 - 5,0
Sua média foi:
Agora que temos a Variância, como prometido, o conceito de Desvio Padrão: “é a raiz quadrada da variância”. Daí ser
indicado por enquanto a variância é .
Qual seria então o Desvio Padrão das notas do aluno João?
 
que é aproximadamente igual a 1,3.
 CAIU NO ENEM
ENEM 2010 - Questão 170 – Prova Rosa.
Marco e Paulo foram classificados em um concurso. Para classificação no concurso o candidato deveria obter média
aritmética na pontuação igual ou superior a 14. Em caso de empate na média, o desempate seria em favor da
pontuação mais regular. No quadro a seguir são apresentados os pontos obtidos nas provas de
Matemática, Português e Conhecimentos Gerais, a média, a mediana e o desvio padrão dos dois candidatos.
Dados dos candidatos no concurso
http://soumaisenem.com.br/matematica/conhecimentos-de-estatistica-e-probabilidade/o-que-e-variancia
O candidato com pontuação mais regular, portanto mais bem classificado no concurso, é
A) Marco, pois a média e a mediana são iguais.
B) Marco, pois obteve menor desvio padrão.
C) Paulo, pois obteve a maior pontuação da tabela, 19 em Português.
D) Paulo, pois obteve maior mediana.
E) Paulo, pois obteve maior desvio padrão.
RESOLUÇÃO:
Nessa questão é trabalhado o conceito de Desvio Padrão. Vale lembrar que o Desvio Padrão mede o quanto cada
elemento de uma distribuição se desviou de um valor central, neste caso a média. Quanto mais irrugular maior será
o Desvio Padrão. Segundo o enunciado ganha quem for o mais regular, ou seja, aquele que tiver o menor Desvio
Padrão.
Gabarito Letra B.
 CAIU NO ENEM
ENEM 2010 Reaplicado - Questão 158 – Prova Azul.
Em uma corrida de regularidade, a equipe campeã é
aquela em que o tempo dos participantes mais se
aproxima do tempo fornecido pelos organizadores
em cada etapa. Um campeonato foi organizado em 5
etapas, e o tempo médio de prova indicado pelos
organizadores foi de 45 minutos por prova. No quadro,
estão representados os dados estatísticos das cinco
equipes mais bem classificadas Dados estatísticos das
equipes mais bem classificadas (em minutos)
Utilizando os dados estatísticos do quadro, a campeã foi a equipe
a) I. b) II. c) III. d) IV. e) V.
RESOLUÇÃO:
Essa questão usa o mesmo raciocínio da anterior.
Segundo o enunciado, a equipe campeã é aquela em que o tempo dos participantes mais se aproxima do tempo
fornecido pelos organizadores que foi de 45 minutos.
Ganhará a prova aquela equipe que tiver o tempo mais regular, que menos se desviou da média, ou seja, a que tiver
o menor Desvio Padrão.
A equipe III foi a campeã.
Portanto, Gabarito será a letra C.