Estatística - VestCursos

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CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA 
AULA 17 – Prof. Raul Brito 
 
 
ESTATÍSTICA I 
 
Variável e Tabelas de Sequências 
 
A estatística é um conjunto de técnicas e métodos de pesquisa que envolve o planejamento do experimento a ser 
realizado, a coleta qualificada dos dados, a inferência, o processamento e a análise das informações. 
Grande parte das informações divulgadas pelos meios de comunicação provém de pesquisas e estudos estatísticos. 
Veja os exemplos. 
Exemplo 1: 
 
Exemplo 2: 
 
Exemplo 3: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 4: 
 
 
3 
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Os censos demográficos 
A estatística também é utilizada para levantar informações sobre uma população inteira, como ocorre nos censos 
demográficos. 
 
Os censos produzem informações indispensáveis para a definição de políticas públicas estaduais e municipais e para a 
tomada de decisões de investimentos, tanto no âmbito público como no privado. Entre os principais usos dos resultados 
censitários, pode ser citados: 
 Acompanhar o crescimento, a distribuição geográfica e a evolução de características da população; 
 Identificar áreas que requerem investimentos prioritários em saúde, habitação, energia, educação, transporte, 
assistência ao idoso etc.; 
 Identificar áreas carentes em projetos sociais; 
 Fornecer informações precisas à União para o repasse de verbas para estados e municípios; 
 Analisar o perfil da mão de obra nos municípios e transmitir essas informações às organizações sindicais e 
profissionais, favorecendo decisões acertadas de investimentos do setor privado. 
 
Exemplo 5: 
O público em grandes eventos 
O brasileiro está acostumado a comparecer e participar de grandes eventos e festas públicas que ocorrem em todo o 
país nas mais diversas comemorações. Como exemplo de festas que reúnem um grande público, podem ser citados: 
 Réveillon na Praia de Iracema, em Fortaleza. 
 Carnaval de rua de Salvador, na Bahia; e de Olinda, em Pernambuco. 
 Festa do Círio de Nazaré, em Belém do Pará. 
 Festival de Parintins, no Amazonas. 
 Festas de São João em Caruaru, em Pernambuco; e em Campina Grande, na Paraíba. 
 
Como saber quantas pessoas estão presentes nesses eventos? 
Assim, é necessário fazer estimativas. E como elas são feitas? 
Em geral, as dimensões da região ocupada pelo evento são previamente conhecidas e sua área (A) pode ser calculada. 
Em seguida, delimita-se uma parte dessa região cuja área (a) também pode ser calculada e, nessa parte menor, é feita a 
estimativa do número de pessoas. Essa contagem aproximada pode ser feita, por exemplo, com auxílio de fotografias 
tiradas de um helicóptero que sobrevoe o evento. Costuma-se também usar a consagrada aproximação de 4 pessoas 
por metro quadrado, ou algo em torno disso, embora, em algumas situações, possa haver mais do que isso. 
Por fim, comparando-se a área a com a área total do evento A, obtêm-se uma razão 
a
A
 e, por meio dela, é possível 
estimar o número total de pessoas presentes no evento. 
 
4 
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Todos os números divulgados sobre eventos públicos devem ser aceitos com uma margem de erro, uma vez que, além 
das incertezas naturais do processo de estimativa, há outros fatores que devem ser considerados: 
 O horário em que são feitas as estimativas, já que, em geral, o fluxo de pessoas não é constante durante todo o 
evento, havendo horário de pico. 
 A suposição de que as pessoas estejam uniformemente distribuídas em toda a região do evento, o que nem sempre 
ocorre. 
 As divergências entre os processos e as estimativas usadas pela Polícia Militar e pela organização do evento. 
De qualquer forma, da próxima vez que você participar de um evento público, pense nessas questões e, se possível, 
tente estimar a ordem de grandeza do número de pessoas presentes. 
 
População 
 
Ao fazer uma coleta de dados sobre determinado assunto, chama-se de universo estatístico ou população estatística 
o conjunto formado por todos os elementos que possam oferecer dados pertinentes ao assunto em questão. Cada 
elemento da população estudada é denominada unidade estatística. 
Veja: 
População estatística Unidade estatística 
100 alunos que estudam em uma escola Cada aluno que estuda nessa escola 
Clubes campeões brasileiros de futebol Cada clube campeão brasileiro de futebol. 
 
Amostra 
 
Quando o universo estatístico é muito vasto ou quando não é possível coletar dados de todos os seus elementos, retira-
se desse universo um subconjunto, chamado de amostra, e os dados são coletados nessa amostra. 
Exemplo: 
Para conhecer a estrutura média da mulher brasileira, adotam-se os critérios a seguir na escolha da amostra: 
 Escolhem-se aleatoriamente apenas mulheres adultas; 
 Escolhem-se aleatoriamente mulheres em todas as regiões do Brasil; 
 A quantidade de mulheres deve ser proporcional à quantidade de mulheres das várias regiões; 
 Em cada região, escolhem-se mulheres de todas as classes sociais; 
 A quantidade de mulheres em cada região deve ser proporcional à quantidade de mulheres das várias classes 
sociais. 
 
Variável 
 
A observação da população é dirigida ao estudo de uma dada propriedade ou característica dos elementos dessa 
população. Essa característica pode ser: 
 Qualitativa – Se os valores tomados são numéricos, como raça, área de estudo, meio de transporte etc. 
 Quantitativa – Se os valores tomados são numéricos, como a altura, o peso, o preço de um produto etc. 
 
Uma característica quantitativa também se chama variável estatística ou simplesmente variável. Cada valor que essa 
variável pode assumir é chamado de dado estatístico. 
 
As variáveis estatísticas podem ser: 
 Contínuas – Quando podem assumir qualquer valor do intervalo da variação. Por exemplo, na determinação das 
alturas dos adolescentes de uma escola, a variável “altura” é contínua. 
 Discretas – Quando só podem assumir valores inteiros. Por exemplo, na determinação do número de sócios de um 
certo clube, a variável “número de sócios” é discreta. 
 
Distribuição de Frequência 
 
Dados Brutos 
Considera-se as notas de 40 alunos de uma classe de 2ª série do Ensino Médio: 
 
1 8 4 9 6,5 6 9 10 2 3 
8,5 4 9 6 5 5,5 6,5 9 8 7 
4,5 6 6,5 7,5 5 6 5,5 8 9 8 
6 7 8 9 10 3 2,5 1,5 4 7 
 
 
Colocando esses dados em ordem crescente, obtém-se uma nova tabela, denominada rol: 
 
1 1,5 2 2,5 1 3 4 4 4 4,5 
 
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5 5 5,5 5,5 6 6 6 6 6 6,5 
6,5 6,5 7 7 7 7,5 8 8 8 8 
8 8,5 9 9 9 9 9 9 10 10 
 
Agora, é possível estabelecer a amplitude do rol, que é a diferença entre o maior e o menor valor. No caso, tem-se 
10 – 1 = 9 como amplitude do rol. 
O número de vezes que um determinado valor se repete é denominado frequência absoluta desse valor. É possível, 
então, formular uma nova tabela na qual associa-se cada valor à sua frequência. 
 
Notas Frequência 
1 1 
1,5 1 
2 1 
2,5 1 
3 2 
4 3 
4,5 1 
5 2 
5,5 2 
6 5 
6,5 3 
7 3 
7,5 1 
8 5 
8,5 1 
9 6 
10 2 
 
A tabela continua ainda muito extensa. Pode-se, então, agrupar as notas em intervalos de 0 a 2 (0 |― 2, fechado em 0 e 
aberto em 2, que não é do intervalo), de 2 a 4 (2 |― 4), de 4 a 6 (4 |― 6), de 6 a 8 (6 |― 8) e de 8 a 10 (8 |―| 10 fechado 
em 8 e em 10, pois ambos fazem parte do intervalo). Observe: 
 
Notas Frequência 
0 |― 2 2 
2 |― 4 4 
4 |― 6 8 
6 |― 8 12 
8 |―| 10 14 
 
Chamamos essa tabela de distribuição de frequência com intervalos de classe. 
 
Na distribuição feita há cinco intervalos de classe (0 |― 2, 2 |― 4, ..., 8 |―| 10). Cada intervalo de classe tem amplitude 
2 (2 – 0 = 4 – 2 = ... = 10 – 8). 
Os extremos de cada classe são chamados de limites, que podem ser inferiores ou superiores. Assim, 0, 2, 4, 6 e 8 são 
limites inferiores, e 2, 4, 6, 8 e 10 são limites superiores. 
O ponto médio de cada intervalo de classe é obtido pela média aritmética dos limitesinferiores e superiores da classe. 
São pontos médios os valores 1, 3, 5, 7 e 9. 
Há também a frequência relativa ou percentual (Fr), na qual à frequência total. Já a frequência acumulada (Fa) de 
cada classe é dada pela soma das frequências de todas as classes, desde a primeira até a classe considerada. 
Veja uma tabela com tais frequências: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notas Frequência absoluta 
Frequência relativa 
(Fr) % 
Frequência 
acumulada (Fa) 
Frequência relativa 
acumulada (Fra) 
 
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0 |― 2 2 
2
0,05 5%
40
 2 5% 
2 |― 4 4 
4
0,10 10%
40
 4 + 2 = 6 10% + 5% = 15% 
4 |― 6 8 
8
0,20 20%
40
 8 + 6 = 14 20% + 15% = 35% 
6 |― 8 12 
12
0,30 30%
40
 12 + 14 = 26 30% + 35% = 65% 
8 |―| 10 14 
14
0,35 35%
40
 14 + 26 = 40 35% + 65% = 100% 
Total 40 100% 40 100% 
 
Gráficos 
 
Uma distribuição de frequências pode ser representada de várias maneiras. Veja, a seguir, os possíveis tipos de 
gráficos. 
 
Histograma 
Em um histograma são utilizados retângulos contínuos, um para cada intervalo. A base de cada um deles representa a 
amplitude do intervalo considerado, e a altura de cada um deles corresponde à frequência. 
Veja, a seguir, o histograma construído a partir das informações dadas no exemplo anterior, no qual se considera as 
notas de 40 alunos da 2ª serie do Ensino Médio. 
 
 
Polígono de Frequência 
Em um histograma, se os pontos médios da parte superior de cada retângulo forem ligados e a figura for fechada como 
se existissem mais dois intervalos com frequência zero, um antes do primeiro retângulo e outro após o último, o 
resultado será uma figura chamada polígono de frequência. 
A seguir, há o polígono de frequência construído ainda com as informações dadas no exemplo anterior. 
 
Gráficos de Setores 
 
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No gráfico de setores, também chamado de disco ou pizza, um círculo é dividido em setores circulares, cada um deles 
correspondendo a um dos intervalos. 
No exemplo que está sendo estudado, há 10 intervalos e, dessa forma, 10 setores. Como o total de alunos é 40 e o 
ângulo central total do círculo tem 360º, cada aluno, representa 9º do círculo. 
Veja, na tabela a seguir, os cálculos feitos para determinar cada um dos setores circulares. 
 
Intervalo Frequência Cálculo Setor circular 
0 nota < 1 1 1 . 9º 9º 
1 nota < 2 2 2 . 9º 18º 
2 nota < 3 2 2 . 9º 18º 
3 nota < 4 3 3 . 9º 27º 
4 nota < 5 5 5 . 9º 45º 
5 nota < 6 6 6 . 9º 54º 
6 nota < 7 8 8 . 9º 72º 
7 nota < 8 6 6 . 9º 54º 
8 nota < 9 4 4 . 9º 36º 
9 nota 10 3 3 . 9º 27º 
Total 40 360º 
 
A seguir, há o gráfico de setores construído a partir das informações apresentadas. 
 
Gráfico de Barras 
O gráfico a seguir, formado por barras horizontais, relaciona os países que possuem maior número de usuários de 
internet. 
 
 
 
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No gráfico seguinte, formado por barras verticais, estão relacionados diversos itens de consumo presentes nos quase 
51 milhões de domicílios existentes em todo o país, de acordo com os dados do IBGE. 
 
 
Ogiva 
Trata-se de um gráfico de linha, semelhante ao polígono de frequência, no qual são consideradas as frequências 
acumuladas. Veja o exemplo para a distribuição dada a seguir. 
 
Nas ogivas, por indicarem a frequência acumulada, é registrada a frequência nula para o limite inferior da primeira 
classe. Em seguida, registram-se os limites superiores de todas as classes, em ordem crescente, da primeira à última. 
 
Pictogramas 
Nesse tipo de gráfico, são usadas figuras para ilustrar ou quantificar as informações. 
 
 
 
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Mediana 
 
De uma lista de valores, chama-se mediana o valor que tem a seguinte propriedade: metade das observações é maior 
ou igual, e a outra metade é menor ou igual a este valor. Em termos intuitivos, a mediana é o valor central entre os 
observados. 
Veja os exemplos a seguir: 
 
Exemplo 1: 
As alturas dos cinco jogadores de basquete de uma escola são: 1,97; 1,76; 1,83; 1,94; 1,81. 
Escrevendo o rol desses dados, tem-se: 
mediana
1,76; 1,81; 1,83; 1,94; 1,97 . Desse modo a mediana Md = 1,83. 
 
Exemplo 2: 
As alturas dos seis atletas de vôlei de uma escola são: 1,87; 1,79; 1,83; 1,90; 1,81; 1,90. 
Escrevendo o rol desses dados, tem-se: 
valores centrais
1,79; 1,81; 1,83; 1,87; 1,90; 1,90. Assim, a mediana é: 
e
1,83 1,87 3,7
M 1,85
2 2
 
Considere x1 x2 ... xn os n valores ordenados de uma variável x. 
A mediana desse conjunto de valores – indicados por Md – é definida como se observa a seguir. 
 
n e
2
e n n
1
2 2
x , se n é ímpar
M , se n é parx x
2
 
 
Moda 
De um conjunto de dados, denomina-se moda o valor que aparece mais vezes no conjunto. 
Exemplo: As idades, em anos, dos jogadores de um time de futebol são 16, 17, 18, 17, 20, 18, 19, 16, 19, 19 e 20. Como 
a idade que mais aparece é 19 anos, Considera-se que a moda é 19 e a amostra é unimodal. 
 
Quando existem duas modas, diz-se que a amostra é bimodal. Quando existem três modas, a amostra é trimodal. 
 
Leitura Complementar 
 
Jogadores e dados 
 
Certos eventos, como uma partida de vôlei ou de futebol, são imprevisíveis. Mesmo assim, técnicos usam a 
estatística para tomar decisões inteligentes e melhorar as chances do time. 
Videntes fazem previsões ousadas, mas difíceis de ligar a um evento específico, do tipo “um Sol brilhará na aura 
da política brasileira”. Aí quando um político faz alguma coisa bacana, o vidente grita: “Eu avisei!” O estatístico é uma 
espécie de vidente também, mas ele faz previsões modestas e técnicas. Em um jogo de vôlei, por exemplo, se no time 
do Brasil estiverem os jogadores Murilo Endres e Leandro Vissotto, o estatístico consegue prever: o Murilo deve agir 
menos dentro de quadra, e deve fazer menos pontos, mas, na média, ele ajudará mais o time do Brasil – porque errará 
menos e dará menos oportunidades ao adversário. O Leandro deve agir mais, e fazer mais pontos, mas ele errará mais 
– em média. 
O Brasil se tornou uma potência de vôlei: 317 medalhas de ouro, 199 medalhas de prata, 178 medalhas de 
bronze. Mas o Brasil só se tornou potência porque usa, desde 1986, as ferramentas da estatística, como conta Sandra 
Caldeira, ex-jogadora de vôlei profissional – formada em Estatística. 
Até 1986, todo mundo no Brasil avaliava jogadores de vôlei com base em achismos. Mas José Carlos Brunoro, 
na época, assistente-técnico da equipe masculina adulta, queria reunir dados sobre os jogadores brasileiros e 
estrangeiros, especialmente os jogadores de Cuba, Itália, Rússia e Estados Unidos. Para ganhar os times tão 
organizados, dizia José Carlos, era preciso reorganizar o modo como o Brasil administrava seus times. Para mudar a 
gestão, era preciso coletar números. E aí Sandra Caldeira aceitou o convite: ela usaria sua experiência como jogadora e 
seus conhecimentos de estatísticas para montar um sistema de avaliação de jogadores brasileiros e estrangeiros. 
“Naquela época”, diz Sandra, “fazíamos todo o trabalho na calculadora e preenchíamos as planilhas a lápis.” 
Hoje, a equipe técnica dos times profissionais usa computadores para estudar duas características de cada 
jogador: eficácia e eficiência. Cada jogador em quadra toma iniciativas: saca, bloqueia, levanta, ataca. Quanto mais 
eficaz o jogador, mais ele converte suas iniciativas em pontos para seu time. Quando mais eficiente o jogador, menos 
ele erra, ou seja, menos pontos ele entrega ao time adversário. Um jogador A pode ser mais eficaz que o jogador B, 
porque converte mais iniciativas em pontos; mas pode ser menos eficiente que o jogador B, porque erra mais. 
 
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Murilo Endres, por exemplo, foi eleito o melhor jogador do Campeonato Mundial de Vôlei Masculinode 2010, 
realizado na Itália. Durante o campeonato, ele tomou a iniciativa 186 vezes, das quais em 89 vezes ele marcou pontos; 
em compensação, errou 22 vezes, ou seja, o adversário marcou 22 pontos por causa de seus erros. Sua eficácia ficou 
em 47,85%, e sua eficiência, em 36%. 
Seu colega Leandro Vissotto, um dos melhores jogadores da nova safra, tomou iniciativa 201 vezes, e marcou 
pontos 101 vezes; mas em compensação, errou 36 vezes. Sua eficácia, de 50,24%, foi maior que a de Murilo Endres, 
mas sua eficiência foi menor: 32,34%. Por isso, Murilo embolsou alguns milhares de dólares a mais que Leandro. 
Membros da equipe técnica fazem contas assim para cada um dos “fundamentos do jogo”, como eles dizem: 
saques, bloqueios, passes, fintas, largadas. Eles contam o numero total de ações (por exemplo, saques), o numero total 
de acertos (pontos para o time brasileiro), o numero total de erros (pontos para o time adversário) e fazem as contas, 
usando fórmulas de eficácia e eficiência. Os jogadores se revelam mais ou menos eficazes em cada um dos 
fundamentos. 
Eficácia e eficiência no vôlei profissional 
P P E
E1 ,E2
I I
 
Em que: 
E1 = eficácia 
E2 = eficiência 
P = pontos para o próprio time 
E = erros que resultem em pontos para o time adversário 
I = iniciativas dentro de campo 
 
Exemplos do Mundial de Vôlei Masculino 2010: 
Murilo Endres (30 anos) 
89 89 22
E1 47,85%,E2 36%
186 186
 
Leandro Vissotto (28 anos) 
101 101 36
E1 50,24%,E2 32,34%
201 201
 
Em linguagem corrente: Leandro Vissotto age mais dentro de campo e, em razão de suas ações, o time faz mais 
pontos. Mas o Leandro erra mais, e dá ao time adversário a chance de fazer pontos – por isso ele é menos eficiente que 
o Murilo, um jogador que age menos e converte menos ações em pontos, mas, em compensação, erra menos. 
 
Cuidado com as comparações indevidas 
Richard Jaeger, um autor americano, diz que existem três personagens importantes na Estatística: quem coleta 
os números, quem faz as contas e quem lê. 
Coletar números sobre fenômenos complexos é difícil. Se duas pessoas vão ao estádio só para contar o número 
de chutes a gol, as duas vão sair com números diferentes. “O quê?! Você contou aquele chute desanimado como chute 
a gol? O jogador chutou sem rumo, e a bola foi mais ou menos na direção do gol por coincidência.” A outra pessoa 
responderá: “Chute a gol é chute a gol, seja desanimado ou não, seja intencional ou não.” Pronto: dois jeitos de 
interpretar a realidade resultam em dois números distintos. 
Depois, coletados os números, chega a vez do matemático fazer as contas. Se o matemático for jovem, recém-
saído da faculdade, ele dará preferência para umas ferramentas da estatística. Se for velho e experiente, dará 
preferência para outras ferramentas, ou talvez até use ferramentas de outros campos da matemática, como topologia 
algébrica ou sistemas dinâmicos. 
E aí vem o leitor. Se existem 99% de chances de que o Brasil ganhe da Holanda, um leitor sem noções de 
estatística vai achar que o jogo já está ganho. Vuvuzela nos laranjinhas! O leitor com noções, contudo, sabe que 1% de 
chance é suficiente para que o Brasil perca o jogo. 
 
Os erros mais comuns 
 Dizer que um time não ganha do outro há 15 anos, quando, nos últimos 15 anos, os dois times só jogaram duas 
vezes. 
 Comparar um time de 1970, com Pelé e Tostão, com um time de 2011, com Alexandre Pato e Nilmar. Os dois times 
são incomparáveis, ou melhor, só são comparáveis de brincadeira. 
 Achar que, se um jogador faz 5 gols a cada 100 chutes a gol, e se ele está para chutar para gol, sua chance de fazer 
gol é mínima. Na ponta do lápis, sua chance é de 5% - ou seja, sua chance de fazer gol é de 2.503.193 vezes maior 
que sua chance de acertar na Mega Sena, caso tenha jogado. 
 Dizer que um jogador está em uma boa fase ou em uma fase ruim quando, fazendo as contas, ele está na média. Se 
a eficiência do jogador Murilo Endres é de 36%, significa que, a cada 100 iniciativas, ele pode errar 24 seguidas. Será 
execrado pelos torcedores. Mas aí ele pontua 60 vezes seguidas. Será adorado pelos torcedores. O tempo todo, a 
taxa de eficiência permaneceu cravada em 36%. 
“Jogadores e dados”. Revista Cálculo, São Paulo, Editora Segmento. Ano 1. N. 4. P. 38-43. 
 
 
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ESTATÍSTICA III 
 
Medidas de Dispersão 
 
As medidas de dispersão têm por objetivo avaliar quão espalhadas estão as observações de uma variável em torno de 
seus valores centrais. A medida de dispersão mais utilizada é o desvio padrão, que está relacionado com a média 
aritmética; mas também é utilizado outro indicativo, denominado variância. 
Desvios 
 
A tabela a seguir mostra o boletim de um aluno com suas notas de Matemática durante o ano letivo. 
Bimestre Notas 
1º Bimestre 5 
2º Bimestre 8 
3º Bimestre 6 
4º Bimestre 9 
 
Calculando a média aritmética das notas desse aluno, obtém-se: 
5 8 6 9 28
x 7
4 4
 
Serão calculadas, agora, as diferenças entre cada uma das notas e a média. Essas diferenças são chamadas de 
desvios.¨ 
1
2
3
4
x x 5 7 2
x x 8 7 1
x x 6 7 1
x x 9 7 2
 
 
Desvio Relativo 
Chama-se desvio relativo de um elemento xi, de uma amostra de números x1, x2, x3, ..., xn o número Dr(xi), tal que: 
r i iD x x x , em que x é a média aritmética dos números x1, x2, x3, ..., xn. 
 
Exemplo: 
As idades das jogadoras do time de basquete do colégio são: 15, 16, 14, 17 e 18. Dessa amostra, tem-se que: 
 a média aritmética (em anos) é 
15 16 14 17 18
x 16;
5
 
 o desvio relativo (em anos) do elemento 15 da amostra é Dr(15) = 15 – 16 = –1; 
 o desvio relativo (em anos) do elemento 15 da amostra é Dr(18) = 18 – 16 = 2; 
 o desvio relativo (em anos) do elemento 15 da amostra é Dr(16) = 16 – 16 = 0. 
 
Tome Nota 
Se o desvio relativo de um elemento xi é: 
I. positivo, então xi está acima da média; 
II. negativo, então xi está abaixo da média; 
III. zero, então xi é igual à própria média. 
 
Desvio Absoluto 
Chama-se desvio absoluto de um elemento xi de uma amostra de números x1, x2, x3, ..., xn o número Da (xi), tal que: 
a i iD x x x . 
Exemplo: 
As idades das jogadoras do time de basquete do colégio são: 15, 16, 14, 17 e 18. Nessa amostra, observa-se que 
x = 16 anos. 
Assim, tem-se que: 
 o desvio absoluto (em anos) do elemento 15 da amostra é Da(15) = |15 – 16| = |–1| = 1; 
 o desvio absoluto (em anos) do elemento 18 da amostra é Da(18) = |18 – 16| = |2| = 2; 
 o desvio absoluto (em anos) do elemento 16 da amostra é Da(16) = |16 – 16| = |0| = 0. 
 
 
 
 
 
 
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Desvio Médio Absoluto 
Chama-se desvio médio absoluto (Dma) de uma amostra de número x1, x2, x3, ..., xn a média aritmética entre os desvios 
absolutos de todos os seus elementos. Isto é: 
n
i
i 1
ma
x x
D
n
 
 
Exemplo: 
As idades das jogadoras do time de basquete do colégio são: 15, 16, 14, 17 e 18. Dessa amostra observa-se que 
x = 16 anos. 
De acordo com a fórmula do desvio médio absoluto, tem-se: 
ma ma
15 16 16 16 14 16 17 16 18 16 1 0 2 1 2
D D 1,2
5 5
 
 
Logo, o desvio médio absoluto é 1,2 ano. 
 
O desvio médio absoluto é uma medida associada à amostra como um todo. Quando, no exemplo anterior, foi dito que 
Dma = 1,2 ano, estava-se afirmando que, em média, os elementos da amostra se afastam 1,2 ano da média aritmética, 
para cima ou para baixo. 
 
Desvio Padrão 
Uma das medidas mais usadas para aferir a dispersão dos elementos de uma amostra de números em relação à média 
aritmética é o desvio padrão, simbolizado pela letra (sigma) e definido da seguinte maneira: 
 
n
2
i
i 1
x x
n
, em que x é a média aritmética entre os números x1, x2, x3, ..., xn. 
 
Exemplo: 
As idades das jogadoras do time de basquete do colégio são: 15, 16, 14, 17 e 18. Dessa amostra, tem-se: 
2 2 2 2 2(15 16) (16 16) (14 16) (17 16) (18 16)
x 16 anos e
5
 
2 2 2 2 2( 1) 0 ( 2) (1) (2)
2 1,41ano
5
 
 
Odesvio padrão, assim como o desvio médio absoluto, é uma medida associada à amostra como um todo, e não a cada 
elemento individualmente. O desvio padrão, assim como o desvio médio absoluto, mede o quanto os elementos estão 
próximos ou afastados da média. 
 
Variância 
 
Chama-se variância de uma amostra de números x1, x2, x3, ..., xn o quadrado do desvio padrão, isto é: 
 
n
2
i
i 12
x x
n
 
 
Uma fábrica de aviões possui filiais F1, F2, F3 e a produção destas, de janeiro a junho de um determinado ano, 
encontra-se na tabela a seguir. 
 
 Janeiro Fevereiro Março Abril Maio Junho 
F1 6 7 5 5 6 7 
F2 2 9 1 4 12 8 
F3 6 6 6 6 6 6 
 
 
13 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 17 – Prof. Raul Brito ESTATÍSTICA I 
Por meio desse quadro, é possível perceber que, na F1, a quantidade de aeronaves produzidas não é constante a uma 
variância entre os meses subsequentes. O mesmo ocorre na F2, porém a diferença entre unidades produzidas de um 
mês para outro é maior, e finalmente na F3 a produção se mantém constante nos meses em amostra. 
Como saber qual tem uma maior e menor variância? 
A variância é a média aritmética dos quadrados dos desvios em relação à média. 
Para realizar tal cálculo, primeiro efetua-se a média aritmética da produção de cada filial. 
 
6 7 5 5 6 7 36
F1: x 6
6 6
2 9 1 4 12 8 36
F2: x 6
6 6
6 6 6 6 6 6 36
F3: x 6
6 6
 
 
Em seguida, eleva-se ao quadrado cada desvio e calcula-se a média aritmética dos desvios. 
2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2 2
2
(6 6) (7 6) (5 6) (5 6) (6 6) (7 6)
F1: 0,66
6
(2 6) (9 6) (1 6) (4 6) (12 6) (8 6)
F2: 15,66
6
(6 6) (6 6) (6 6) (6 6) (6 6) (6 6)
F3: 0
6
 
Assim, por meio dos cálculos, é possível concluir que aquela filial que mantém sua produção constante tem uma menor 
variância, no caso a F3; já a filial que mantém a produção mais irregular tem uma maior variância. 
 
Exemplo: 
Nas amostras 184, 179, 190, 181 e 178 das massas, em gramas, de cinco barras de chocolate, tem-se que: 
2
2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2
2
2 2 2
184 179 190 181 178
128,4 x 182,4g e
5
(184 182,4) (179 182,4) (190 182,4) (181 182,4) (178 182,4)
5
(1,6) ( 3,4) (7,6) ( 1,4) ( 4,4)
5
2,56 11,56 57,76 1,96 19,36
18,64 18,64g
5
 
 
A desvantagem em se usar a variância como medida de dispersão é que, se os elementos da amostra se apresentam 
em uma unidade u (grama, por exemplo), a variância se apresenta na unidade u
2
, o que pode causar dificuldade de 
interpretação. No exemplo anterior, como interpretar g
2
? Para contornar essa dificuldade, é mais conveniente, nesse 
caso, usar o desvio padrão, cuja unidade de medida é a mesma dos elementos da amostra. 
 
 
 
PARA SABER MAIS 
Média harmônica 
Dado um conjunto de valores não nulos, x1, x2, x3, ..., xn, definimos como média harmônica (H) desses valores a 
relação: 
 
1
1 2 3 n
1 1 1 1
...
x x x x
H
n

 
   
 
  
 
  
 
 
Isto é, a média harmônica é o inverso da média aritmética dos inversos de x1, x2, x3, ..., xn. 
 
Por exemplo: 
Vamos calcular a média harmônica entre 3 e 4. 
 
14 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 17 – Prof. Raul Brito ESTATÍSTICA I 
A média aritmética entre seus inversos é: 
1 1 4 3
7 1 73 4 12
2 2 12 2 24


    
 
Assim, a média harmônica é 
1
7 24
3,43.
24 7

 
   
 
Em particular, a média harmônica entre dois números reais não nulos a e b pode ser escrita como 
2ab
H
a b


, pois 
1 1
1 1
1 1 b a
b a 1 a b 2aba b abH .
2 2 ab 2 2ab a b
 
 
   

        
                
   
   
 
 
A média harmônica entre 3 e 4 pode agora ser calculada assim: 
 
   2. 3 . 4 24
H 3,43
3 4 7
  

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 17 – Prof. Raul Brito ESTATÍSTICA I 
EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM 
 
Questão 01 
Um professor de Educação Física escolheu 30 atletas para 
disputar os Jogos Abertos do Interior. Anotou as suas 
idades e, com os dados da distribuição de frequência, 
construiu o histograma a seguir. 
 
Faça um gráfico de setores de acordo com os dados 
apresentados no gráfico de barras anterior. 
 
Questão 02 
O gráfico a seguir mostra em quais estados brasileiros os 
alunos de uma escola de São Paulo viajaram para 
passarem férias. 
 
a) Que estado recebeu o maior número de alunos? 
b) Se 120 alunos foram para o Rio de Janeiro, quantos 
alunos passaram férias em Minas Gerais? 
 
Questão 03 
Uma fábrica de brinquedos de madeira trabalha de forma 
artesanal. Para uma determinada peça, colheram-se 20 
amostras, que foram medidas em centímetros, encontrando-
se os seguintes comprimentos: 
 
32,3 32,3 32,4 32,9 32,5 
32,4 32,6 32,8 32,6 32,4 
32,2 32,7 32,8 32,5 32,6 
32,5 32,4 32,7 32,5 32,5 
 
Faça uma tabela de distribuição de frequência, utilizando 
um intervalo para cada valor distinto encontrado, e a 
representação gráfica, por meio de um histograma, do 
polígono de frequência e de um gráfico de setores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
16 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 17 – Prof. Raul Brito ESTATÍSTICA I 
Questão 04 
Em um dia de pesca nos rios do Pantanal, uma equipe de 
pescadores anotou a quantidade de peixes capturados de 
cada espécie e o preço pelo qual eram vendidos a um 
supermercado em Campo Grande. 
 
Tipo de peixe Peixe pescado (kg) Preço por quilo 
Peixe A 18 R$ 3,00 
Peixe B 10 R$ 5,00 
Peixe C 6 R$ 9,00 
 
Determine o preço médio do quilograma do peixe vendido 
ao supermercado pelos pescadores. 
 
Questão 05 
A distribuição dos salários de uma empresa é dada na 
tabela a seguir. 
Salário (R$) Número de funcionários 
500,00 10 
1.000,00 5 
1.500,00 1 
2.000,00 10 
5.000,00 4 
10.500,00 1 
Total 31 
 
Qual é a média, a moda e a mediana dos salários 
dessa empresa? 
 
Questão 06 
(FUVEST) A distribuição das idades dos alunos de uma 
classe é dada pelo seguinte gráfico. 
 
Qual das alternativas representa melhor a média de idade 
dos alunos? 
a) 16 anos e 10 meses. 
b) 17 anos e 1 mês. 
c) 17 anos e 5 meses. 
d) 18 anos e 6 meses. 
e) 19 anos e 2 meses. 
 
Questão 07 
(FUVEST-SP) Cada uma das cinco listas dadas é a relação 
de notas obtidas por seis alunos de uma turma em uma 
certa prova. Assinale a única lista na qual a média das notas 
é maior que a mediana. 
a) 5, 5, 7, 8, 9, 10 
b) 4, 5, 6, 7, 8, 8 
c) 4, 5, 6, 7, 8, 9 
d) 5, 5, 5, 7, 7, 9 
e) 5, 5, 10, 10, 10, 10 
 
17 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 17 – Prof. Raul Brito ESTATÍSTICA I 
Questão 08 
(PUC-SP) O histograma a seguir apresenta a distribuição de 
frequência das faixas salariais em uma pequena empresa. 
 
Com os dados disponíveis, pode-se concluir que a média 
desses salários é, aproximadamente: 
a) R$ 420,00 
b) R$ 536,00 
c) R$ 562,00 
d) R$ 640,00 
e) R$ 708,00 
 
Questão 09 
A quantidade de erros de digitação por página de uma 
pesquisa escolar com quarenta páginas é dada na tabela 
seguinte. 
 
Erros por página 0 1 2 
Número de páginas 28 8 4 
 
Determine: 
a) as medidas de centralidade (média, mediana e moda) 
corresponde à quantidade de erros. 
b) as medidas de dispersão (variância e desvio padrão) 
correspondentes. 
 
Questão 10 
As velocidades máximas das cinco voltas dadas em um 
teste de Fórmula 1, em km/h, foram: 190, 198, 196, 204 e 
202. Nessas condições, determine: 
a) a média das velocidades. 
b) a variância. 
c) o desvio padrão. 
 
 Questão 11 
MOSTRE que, para qualquer dois números reais positivos, 
a média aritmética é sempre maior ou igual à média 
geométrica. 
 
Questão 12 
(FUVEST-SP/Adaptado) Uma prova continha cinco 
questões, cada uma valendo 2 pontos. Em sua correção, 
foram atribuídas a cada questão apenas as notas 0 ou 2, 
caso a resposta estivesse, respectivamente, errada ou 
certa. A soma dos pontos obtidos em cada questão 
forneceu a nota da prova de cada aluno. Ao final da 
correção, produziu-se a seguinte tabela, contendo a 
porcentagem de acertos em cada questão: 
 
Questão 01 02 03 04 05 
% de acerto 30% 10% 60% 80% 40% 
 
Qualfoi a média das notas da prova? 
 
18 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 17 – Prof. Raul Brito ESTATÍSTICA I 
Questão 13 
(UECE/Adaptado) A média dos elementos de um conjunto 
de números inteiros e positivos é 14,625. Se n é o número 
de elementos desse conjunto, qual será o menor valor de n? 
 
Questão 14 
O gráfico a seguir mostra o número de televisores por 
domicilio, apurado em uma pesquisa feita em 50 residências 
de um bairro. 
 
 
 
Determine a média, a moda e a mediana do número de 
televisores por residência desse bairro. 
 
Questão 15 
(FGV) A média aritmética dos elementos do conjunto {17, 8, 
30, 21, 7, x} supera em uma unidade a mediana dos 
elementos desse conjunto. 
Se x é um número real tal que 8 < x < 21 e x  17, então a 
média aritmética dos elementos desse conjunto é igual a: 
a) 16 
b) 17 
c) 18 
d) 19 
e) 20 
 
 
Questão 16 
(ULBRA-RS-2012) Preocupada com a sua locadora, Maria 
aplicou uma pesquisa com um grupo de 200 clientes 
escolhidos de forma aleatória, sobre a quantidade de filmes 
que estes locaram no primeiro semestre de 2011. Os dados 
coletados estão apresentados na tabela a seguir: 
 
Número de filmes alugados 
Números de filmes Frequência 
0 25 
1 30 
2 55 
3 90 
Total 200 
 
A média, a moda e a mediana desses dados são, 
respectivamente, as seguintes: 
a) 2,05; 3; 2. 
b) 1,5; 2; 3. 
c) 1,5; 3; 3. 
d) 1,5; 3; 2. 
e) 2,05; 2; 3. 
 
 
19 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 17 – Prof. Raul Brito ESTATÍSTICA I 
Questão 17 
Foi perguntado a 90 professores de uma escola qual o 
número de filhos de cada um. As respostas foram 
registradas em uma tabela de frequência. 
 
Números 
de Filhos 
Frequência 
absoluta (número 
de professores) 
Frequência 
relativa (%) 
0 25 
1 32 
2 20 
3 12 
4 1 
Total 90 
 
a) COMPLETE a tabela com as frequências relativas. 
b) DETERMINE a média, a moda e a mediana do número 
de filhos dos professores dessa escola. 
 
 
Questão 18 
O tempo gasto por seis alunos para fazer um trabalho foi, 
em minutos, 6, 5, 5, 3, 3, 2. Nessas condições, calcule a 
média aritmética, o desvio médio, a variância e o desvio 
padrão dessa distribuição. 
 
 
Questão 19 
(Feevale-RJ-2012) O gráfico que segue apresenta a taxa de 
desmatamento anual na Amazônia legal. Analise-o e, a 
seguir, marque a alternativa INCORRETA. 
 
 
 
a) O maior desmatamento em km
2
/ano ocorreu no ano de 
1995. 
b) O desmatamento vem caindo desde 2004, apesar de ter 
sofrido uma elevação no ano de 2008. 
c) O desmatamento vem decrescendo desde o ano de 
1997. 
d) O desmatamento quase dobrou em 1994 para 1995. 
e) Juntos, os anos de 1988, 2003 e 2004 somam mais de 
70.000 km
2
 de desmatamento. 
 
 
20 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 17 – Prof. Raul Brito ESTATÍSTICA I 
Questão 20 
(Enem-2011) Uma equipe de especialistas do centro 
meteorológico de uma cidade mediu a temperatura do 
ambiente, sempre no mesmo horário, durante 15 dias 
intercalados, a partir do primeiro dia de um mês. Esse tipo 
de procedimento e frequente, uma vez que os dados 
coletados servem de referência para estudos e verificação 
de tendências climáticas ao longo dos meses e anos. As 
medições ocorridas nesse período estão indicadas no 
quadro: 
 
Dia do mês Temperatura (em °C) 
1 15,5 
3 14 
5 13,5 
7 18 
9 19,5 
11 20 
13 13,5 
15 13,5 
17 18 
19 20 
21 18,5 
23 13,5 
25 21,5 
27 20 
29 16 
 
Em relação à temperatura, os valores de média, da mediana 
e da moda são, respectivamente, iguais a: 
a) 17 °C, 17 °C e 13,5 °C. 
b) 17 °C, 18 °C e 13,5 °C. 
c) 17 °C, 135 °C e 18 °C. 
d) 17 °C, 18 °C e 21,5 °C. 
e) 17 °C, 13,5 °C e 21,5 °C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 17 – Prof. Raul Brito ESTATÍSTICA I 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
Questão 01 
O gráfico abaixo representa a quantidade aproximada de 
animais adotados ao longo de cinco anos em uma 
determinada cidade. 
 
 
 
Qual foi a média anual de animais adotados, ao longo dos 
cinco anos nessa cidade? 
a) 350. 
b) 380. 
c) 390. 
d) 410. 
e) 440. 
 
Questão 02 
Leia o trecho do artigo publicado no Diário de Pernambuco 
em 21/11/2012. 
 
A Copa do Mundo é do Nordeste - A Fifa anunciou a 
distribuição geográfica do Mundial em 2014, e o Nordeste é 
a região do país que mais receberá jogos. Impulsionados 
pelo crescimento econômico e pelo potencial turístico, 
Recife, Natal, Fortaleza e Salvador vão sediar 
1
3
 da 
competição – incluindo dois ou três jogos da seleção 
brasileira – que, no entanto, não atuará em Pernambuco 
[...]. 
 
De acordo com os dados da reportagem, a distribuição dos 
64 jogos da Copa do Mundo pode ser representada pelo 
gráfico abaixo: 
 
 
 
 
 
22 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 17 – Prof. Raul Brito ESTATÍSTICA I 
Com base nas informações, analise as seguintes 
afirmativas: 
I. O número de jogos da região Nordeste supera o das 
regiões Norte, Sul e Centro-Oeste juntas. 
II. O número de jogos da região Centro-Oeste corresponde, 
aproximadamente, a 6,3% do total de jogos da Copa do 
Mundo. 
III. A região Nordeste vai sediar, aproximadamente, 91% de 
jogos a mais que a região Centro-Oeste. 
 
Está CORRETO o que se afirma, apenas, em 
a) II. 
b) III. 
c) I e II. 
d) I e III. 
e) II e III. 
 
Questão 03 
A média mínima para um aluno ser aprovado em certa 
disciplina de uma escola é 6. 
A distribuição de frequências das médias dos alunos de 
uma classe, nessa disciplina, é dada abaixo: 
 
 
 
A porcentagem de alunos aprovados foi: 
a) 62% 
b) 63% 
c) 64% 
d) 65% 
e) 66% 
 
Questão 04 
O gráfico abaixo mostra o registro das temperaturas 
máximas e mínimas em uma cidade, nos primeiros 21 dias 
do mês de setembro de 2013. 
 
 
23 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 17 – Prof. Raul Brito ESTATÍSTICA I 
Assinale a alternativa correta com base nos dados 
apresentados no gráfico. 
a) No dia 13, foi registrada a menor temperatura mínima do 
período. 
b) Entre os dias 3 e 7, as temperaturas máximas foram 
aumentando dia a dia. 
c) Entre os dias 13 e 19, as temperaturas mínimas 
diminuíram dia a dia. 
d) No dia 19, foi registrada a menor temperatura máxima do 
período. 
e) No dia 19, foi registrada a menor temperatura do 
período. 
 
Questão 05 
A professora Maria Paula registrou as notas de sete alunos, 
obtendo os seguintes valores: 2, 7, 5, 3, 4, 7 e 8. A mediana 
e a moda das notas desses alunos são, respectivamente: 
a) 3 e 7 
b) 3 e 8 
c) 5 e 7 
d) 5 e 8 
 
Questão 06 
O gráfico abaixo apresenta as quantidades de vinho tipos 1, 
2 e 3 vendidas em dois distribuidores A e B, no mês de 
outubro: 
 
 
 
Os preços de venda de cada unidade dos tipos 1, 2 e 3 são 
respectivamente R$ 50,00, R$ 40,00 e R$ 30,00. Em 
relação à receita total, a receita do vinho tipo 2 no 
distribuidor A representa uma porcentagem de 
aproximadamente: 
a) 24% 
b) 22% 
c) 20% 
d) 18% 
e) 16% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 17 – Prof. Raul Brito ESTATÍSTICA I 
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: 
Um levantamento, realizado pelo IBGE em diversas escolas 
das capitais brasileiras, apurou onde a prática de bullying é 
mais comum, conforme indicado no gráfico abaixo: 
 
Questão 07 
Em relação aos dados obtidos nessa pesquisa é correto 
afirmar que a média percentual de estudantes que sofrem 
bullying, nas capitais brasileiras, é igual a: 
a) 38,65% d) 32,92% 
b) 35,89% e) 30,66% 
c) 33,94% 
 
Questão 08 
A composição de uma certa população, por faixa etária, é 
verificada na tabela abaixo: 
 
CRIANÇAS 
(O a 14 anos) 
JOVENS 
(15 a 24 anos) 
ADULTOS 
(25 a 60 anos) 
IDOSOS 
(+ de 60 anos) 
32% 24% 38% 6% 
 
Num gráfico de setores, o ângulo central correspondente à 
população de jovens medirá, aproximadamente: 
a) 86° d) 67° 
b) 54° e) 94° 
c) 78° 
 
Questão 09 
A lâmpada incandescente atravessouo século XX, mas, 
hoje, devido à preocupação com o aquecimento global, 
tende a se apagar. Nos anos 90, houve a expansão dos 
modelos compactos das lâmpadas fluorescentes; e, em 
2008, foi patenteada a lâmpada LED. 
O quadro abaixo apresenta os gastos estimados, ao longo 
de cinco anos, com o uso desses três tipos de lâmpadas, 
para uma casa com vinte lâmpadas. 
 
 Incandescente Fluorescente LED 
Investimento inicial 
com lâmpadas 
R$ 36,00 R$ 700,00* R$ 1500,00 
Potência média de 
consumo das 
lâmpadas 
60W 18W 8W 
Consumo de 
energia 
6.480 kWh 1944 kWh 1080 kWh 
Lâmpadas 
queimadas 
110 14 zero 
Gasto com energia R$ 2628,00 R$ 778,00 R$ 348 
Gasto com 
lâmpadas 
R$ 195,00 R$ 140,00 zero 
Total R$ 2859,00 R$ 1618,00 R$ 1848,00 
 
25 
CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 17 – Prof. Raul Brito ESTATÍSTICA I 
Com base nessas informações, considere as seguintes 
afirmações 
 
I. Quarenta lâmpadas incandescentes custam mais que 
uma lâmpada LED. 
II. O consumo de energia de uma lâmpada LED equivale 
a do consumo de energia de uma lâmpada 
incandescente. 
III. Em média, o tempo que uma lâmpada fluorescente leva 
para queimar é sete vezes maior que o tempo que uma 
incandescente leva para queimar. 
 
Quais estão corretas? 
a) Apenas I. 
b) Apenas II. 
c) Apenas III. 
d) Apenas I e II. 
e) Apenas II e III. 
 
Questão 10 
A média aritmética entre os divisores primos e positivos do 
número 2310 é 
a) 5,6. 
b) 6,0. 
c) 6,3. 
d) 6,7. 
 
Questão 11 
(Pucmg 2009) O gráfico a seguir mostra o processo de 
absorção e eliminação do álcool imediatamente após o 
indivíduo ingerir 4 latas de cerveja. 
 
Considere as seguintes afirmativas, feitas a partir das 
informações contidas nesse gráfico: 
I- O álcool é absorvido pelo organismo muito mais 
lentamente do que é eliminado. 
II- Cerca de 60 minutos após a ingestão de 4 latas de 
cerveja, o indivíduo tem mais de 0,8 gramas de álcool 
por litro de sangue em seu organismo. 
III- Se uma pessoa toma 4 latas de cerveja em um curto 
intervalo de tempo, o álcool contido nessa bebida só é 
completamente eliminado por seu organismo após se 
passarem cerca de 7 horas da ingestão. 
 
O número de afirmativas FALSAS é: 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
 
 
1
6
 
26 
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Questão 12 
(Uel 2009) 
 
 
 
Com base nos dados apresentados na figura, assinale a 
alternativa CORRETA. 
a) O milho é mais produtivo na geração de etanol do que a 
cana de açúcar. 
b) O potencial de expansão das áreas cultivadas é maior 
nos EUA do que no Brasil. 
c) No Brasil, aproximadamente 25% das terras são não 
aráveis. 
d) Os EUA produzem mais etanol a partir do milho do que o 
Brasil, a partir da cana. 
e) Nos EUA, aproximadamente 
1
4
 das terras são não 
aráveis. 
 
 
 
27 
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Questão 13 
(G1 - cftmg 2008) O gráfico da figura apresenta dados 
referentes às faltas diárias dos alunos na classe de uma 
escola, em determinado tempo. 
 
Analisando-se esses dados, é correto concluir que 
ocorreram 
a) 2 faltas por dia. 
b) 19 faltas em 15 dias. 
c) 52 faltas em 27 dias. 
d) 2 faltas a cada quatro dias. 
 
Questão 14 
(Ufpel 2008) Em um concurso, as notas finais dos 
candidatos foram as seguintes: 
 
Com base na tabela anterior, é CORRETO afirmar que a 
variância das notas finais dos candidatos foi de: 
a) 0,75. 
b) 0,65. 
c) 0,65 
d) 0,85 
e) 0,85. 
 
Questão 15 
(Fgv 2008) Sejam os números 7, 8, 3, 5, 9 e 5 seis números 
de uma lista de nove números inteiros. O maior valor 
possível para a mediana dos nove números da lista é 
a) 5. 
b) 6. 
c) 7. 
d) 8. 
e) 9. 
 
 
 
28 
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Questão 16 
(Pucmg 2007) Considere os dados do quadro a seguir, 
relativos às empresas brasileiras no ano de 2003. 
 
Com base nos dados desse quadro, foram feitas as 
seguintes afirmativas: 
- 92,7% das empresas brasileiras são microempresas, mas 
elas respondem por 34% dos empregos e por 9% da massa 
salarial. 
- As grandes empresas são apenas 0,2% do universo de 
empresas brasileiras, mas geram 31% dos empregos e 
pagam p% da massa salarial. 
- As pequenas e médias empresas, juntas, correspondem a 
7,1% das empresas brasileiras, geram q% dos empregos e 
pagam 32% da massa salarial. 
 
Sendo assim, o valor de p + q é igual a: 
a) 94 
b) 98 
c) 105 
d) 114 
 
Questão 17 
(Fgv 2007) Quatro amigos calcularam a média e a mediana 
de suas alturas, tendo encontrado como resultado 1,72 m e 
1,70 m, respectivamente. A média entre as alturas do mais 
alto e do mais baixo, em metros, é igual a 
a) 1,70. 
b) 1,71. 
c) 1,72. 
d) 1,73. 
e) 1,74. 
 
 
 
29 
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Questão 18 
(Ufjf 2007) Um professor de matemática elaborou, através 
do computador, um histograma das notas obtidas pela 
turma em uma prova cujo valor era 5 pontos. Entretanto, o 
histograma ficou incompleto, pois este professor esqueceu-
se de fornecer o número de alunos que obtiveram notas 
iguais a 2, 4 ou 5. Veja a ilustração a seguir. 
 
A moda dessas notas é: 
a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5. 
 
Questão 19 
(Ufpr 2006) O serviço de atendimento ao consumidor de 
uma concessionária de veículos recebe as reclamações dos 
clientes via telefone. Tendo em vista a melhoria nesse 
serviço, foram anotados os números de chamadas durante 
um período de sete dias consecutivos. Os resultados 
obtidos foram os seguintes: 
 
Sobre as informações contidas nesse quadro, considere as 
seguintes afirmativas: 
I. O número médio de chamadas dos últimos sete dias foi 6. 
II. A variância dos dados é 4. 
III. O desvio padrão dos dados é 2 . 
Assinale a alternativa correta. 
a) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras. 
b) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. 
c) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras. 
d) Somente a afirmativa I é verdadeira. 
e) As afirmativas I, II e III são verdadeiras. 
 
 
 
30 
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Questão 20 
(Ufpb 2006) A tabela a seguir apresenta o percentual de 
candidatos por faixa de pontuação, na prova discursiva de 
Matemática do PSS-2005/UFPB. 
 
Com base nesses dados, é correto afirmar: 
a) Mais de 10% obtiveram, no mínimo, 13 pontos. 
b) No máximo, 40% obtiveram até 4 pontos. 
c) Mais de 70% obtiveram, no máximo, 8 pontos. 
d) Mais de 3% obtiveram de 17 a, no máximo, 20 pontos. 
e) Mais de 4% obtiveram de 17 a 24 pontos. 
 
 
31 
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GABARITO 
 
Resposta da questão 1: 
[D] 
 
300 400 400 450 500
410.
5
   
 
 
Resposta da questão 2: 
[B] 
 
[I] Falsa. De acordo com o gráfico, tem-se que 21 4 9 11 24.    
 
[II] Falsa. O número de jogos da região Centro-Oeste corresponde, aproximadamente, a 
 
11
100% 17,19%
64
  
 
do total de jogos da Copa do Mundo. 
 
[III] Verdadeira. A região Nordeste vai sediar, aproximadamente, 
 
21 11
100% 91%
11

  
 
de jogos a mais que a região Centro-Oeste. 
 
Resposta da questão 3: 
[E] 
 
O número de alunos que obtiveram média maior do que ou igual a 6 é igual a 15 9 6 3 33.    Portanto, como a 
classe possui 3 4 4 6 33 50     alunos, segue-se que o resultado pedido é igual a 
33
100% 66%.
50
  
 
Resposta da questão 4: 
 [E] 
 
 
 
No dia 19, foi registrada a menor temperatura do período. 
 
 
Resposta da questão 5: 
 [C] 
 
Ordenando os valores da série, obtemos 2, 3, 4, 5, 7, 7 e 8. Logo, como a série tem sete valores, segue que dM 5. Por 
outro lado, como o valor mais frequente é 7, temosque oM 7. 
 
32 
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Resposta da questão 6: 
 [A] 
 
Valor da receita total:      150 50 50 200 100 40 300 100 30 34000         
Valor da receita do vinho tipo 2 no distribuidor A: 200 40 8000  
 
Em porcentagem: 
8000
23,5%
34000
 
 
Logo, a melhor aproximação é 24%. 
 
Resposta da questão 7: 
 [D] 
 
Supondo que a média percentual pedida refere-se apenas aos estudantes das capitais onde o abuso é mais frequente, 
vem 
 
35,6 35,3 35,2 33,3 32,6 32,2 31,6 31,4 31,2 30,8 30,8 360
11 11
32,73.
         


 
 
Portanto, a alternativa que apresenta o valor mais próximo da média é a [D]. 
 
Observação: Considerando apenas 10 capitais no cálculo da média, teríamos 
 
35,6 35,3 35,2 33,3 32,6 32,2 31,6 31,4 31,2 30,8 329,2
10 10
32,92.
        


 
 
Aparentemente, essa foi a interpretação do examinador. Porém, o gráfico apresenta exatamente 11 capitais. 
 
Resposta da questão 8: 
 [A] 
 
Da tabela fornecida, sabemos que 24% da população é constituída de jovens. Logo, o ângulo central correspondente à 
população de jovens mede, aproximadamente, 24% 360 0,24 360 86,4 86         . 
 
Resposta da questão 9: 
 [B] 
 
I. Falsa: 
 
II. Verdadeira: 
 
III. Falsa: se denota o tempo que uma lâmpada fluorescente leva para queimar e denota o tempo que uma 
lâmpada incandescente leva para queimar, então 
 
Resposta da questão 10: 
 [A] 
 
2310 = 2.3.5.7.11 
Média = 
2 3 5 7 11
5,6
5
 
 
 
Resposta da questão 11: 
 [B] 
R$ 1.500,00
2 R$ 36,00 R$ 72,00 R$ 75,00.
20
   
1
6.480 kWh 1.080 kWh.
6
 
ft it
f
f i
i
t 110
t 8 t .
t 14
   
 
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Resposta da questão 12: 
 [D] 
 
Resposta da questão 13: 
 [C] 
 
Resposta da questão 14: 
 [E] 
 
Resposta da questão 15: 
 [D] 
 
Resposta da questão 16: 
 [A] 
 
Resposta da questão 17: 
 [E] 
 
Resposta da questão 18: 
 [D] 
 
Resposta da questão 19: 
 [B] 
 
Resposta da questão 20: 
 [C]