Lista 2 2011.1

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2a Lista de Exercícios - Cálculo I
1: Estude o sinal das funções abaixo definidas.
(a) f(x) = x2 − 2x (b) g(x) = (x2 − 4x)(1 + 3x)
(c) h(x) = x3 − 3x2 − 4x+ 12 (d) r(x) = x3 − 3x2 + 2x
(e) m(x) = x2 − 12x− 3 (f) n(x) = x
2 + 1
x2 − 4
(g) t(x) = 2x
x2 − 5x+ 6 (h) s(x) = 1 +
2
3x− 4
(i) p(x) = x+ 1x (j) q(x) = 2x− 4√x+ 1
(k) a(x) =
√
x− 1
x+ 1 (l) b(x) =
3
√
x2 − 9
x+ 1
(m) c(x) = (x− 2)
3
(x− 3)2 (n) d(x) =
x2
x2 + 1
2: Seja f : R −→ R a função definida por
f(x) =


x2 − 2x se x < −1,
L se x = −1,
1 + 2x2 se x > −1.
Encontre, caso exista, o valor de L de modo que a função f seja contínua.
3: Seja g : R −→ R a função definida por
g(x) =
{
x2 − pi2
x− pi se x 6= pi,
M se x = pi.
Encontre, caso exista, o valor de M de modo que a função g seja contínua.
4: Seja h : R −→ R a função definida por
h(x) =
{
1
(x− 3)2 se x 6= 3,
N se x = 3.
Encontre, caso exista, o valor de N de modo que a função h seja contínua.
5: Seja h : R −→ R a função definida por
h(u) =
{
u2 − 3u se u ≥ 1,
2u− 4 se u > 1.
- Encontre o conjunto A ⊂ R definido por
A = { x | x ∈ Dh e h é contínua em x }.
- A função h é contínua?
- Encontre o conjunto B ⊂ R definido por
B = { x | x ∈ Dh e h é diferenciável em x }.
- A função h é diferenciável?
- Encontre h′(x) para todo x ∈ B.
6: Seja g : R −→ R a função definida por
g(u) =
{
−2u se u ≥ 1,
1 + u2 se u > 1.
- Encontre o conjunto A ⊂ R definido por
A = { x | x ∈ Dg e g é contínua em x }.
- A função g é contínua?
- Encontre o conjunto B ⊂ R definido por
B = { x | x ∈ Dg e g é diferenciável em x }.
- A função g é diferenciável?
- Encontre g′(x) para todo x ∈ B.
7: Derive as funções abaixo definidas.
(a) f(x) = 3x4 − 4x3 + 2x2 − 3x+ 1
(b) g(x) = 5x3 − 12x2 + 9x− pix+ 1
(c) h(x) = 10x10 − x5 + 2 (d) p(x) = x99 − 3x9 + 5
(e) q(s) = (x2 − 6x+ 1)(3− 6x+ 4x4)
(f) r(f) = (4x5 − 10x+ 1)(8x3 − 2x2 + 7x− 5)
(g) s(x) = (4− x2)(6x5 − 7x4 + 4x3 − pix+√2)
(h) t(x) = (x2 − 1)(3− x3)
8: Derive as funções abaixo definidas.
(a) f(x) = 1
x2 − 5x+ 3 (b) g(x) = −
4
x2 − 6x+ 1
(c) h(s) = pi
x2 − pix+ 3 (d) p(u) =
u2 − 3u
2u− 6
(e) q(x) = x+ x2 − x3
x2 − 2x (f) r(x) =
x2 − 6x+ 1
x3 − 7x+ 2
(g) s(x) = 9s2 + 3s
s2 − 2s+ 1 (h) t(u) =
8 + 4u− 3u3
u7 − u3 + 2u
9: Derive as funções abaixo definidas.
(a) f(x) = 1
x4
+ 1
x3
+ 1
x2
+ 1x + 1 + x+ x
2
(b) g(u) = 2
u3
− 4
u2
− 3u + 5u3
(c) h(x) =
3
u2
− 5u3
2u− 2
u3
(d) p(s) =
s− 2
s4
s3 − 3s+ 1
(e) q(x) = (x2 − 2x+ 3
x4
)( 2
x9
− 1
x3
+ 5x3 − 1)
(f) r(x) = x2 − 6x
1 +
x2 − 2x
x+ 4x2
(g) s(x) =
x3 − 2
x9
x3 − x2
2x2 + 1
− 1
(h) t(x) = (x4 − x3 − 2
x2 − 2x + 3x)(1 + 2x
2 − 5
x3
+ 5
x4
)
10: Utilize as fórmulas de derivação para encontrar os limites abaixo.
(a) limx→1 x
3 − 2x2 + 3x− 2
x− 1
(b) limx→1 x
1000 + x100 + x10 − 3
x− 1
(c) limx→−1
1
x8
+
2
x6
+
3
x4
− 6
x+ 1
(d) limx→2
x2 + 4
x+ 2
− 2
x− 2
11: Sejam p ∈ R e f uma diferenciável em p. Mostre que a função g : Df −→ R, definida por
g(x) =
{
f(x)− f(p)
x− p se x 6= p,
f ′(p) se x = p,
é contínua em p.
12: Sejam p ∈ R ,f uma função diferenciável em p e g uma função diferenciável em f(p).
(a) Mostre que a função h : Dg −→ R, definida por
h(x) =
{
g(x)− g(f(p))
x− f(p) se x 6= f(p),
g′(f(p)) se x = f(p),
é contínua em f(p) e conclua que h◦f é contínua em p.
(b) Mostre que
g(x)− g(f(p)) = h(x)(x− f(p)) para todo x ∈ Dg.
(c) Conclua que
g(f(x))− g(f(p)) = h(f(x))(f(x)− f(p)) para todo x ∈ Dg◦f .
(d) Conclua que g◦f é diferenciável em p e que (g◦f)′(p) = g′(f(p)).f ′(p).
13: Derive as funções abaixo definidas.
(a) f(x) = (x3 − 6x2 + 3x− 2x)5
(b) f(x) = (x5 + 3
x2
− 7x)5
(c) f(x) =
(
x3 − 7x2 + 3x− 4
3x2 − 5x+ 1
)7
(d) f(x) = x2 − 5x
1 + x4
+
(
x2 − 3x
x3 + 2x2
)4
(e) f(x) = (x
3 − 5x+ 4)5
(2x− x2)7
(f) f(x) =
(
1 + x
2 − 1
x+ x4
)8
·
(
x4 + pi
1 + x3
)4
(g) f(x) = 4√x3 − 2x2 + 5x− 1
(h) f(x) = 6
√
− 2
x3
+ 7
x2
− 4x2
(i) f(x) =
√
2
x4
− 2
x5
+ 5
x2
(j) f(x) =
√
x3 − 2x+ 1
x2 − 1
(k) f(x) = 4
√
2x2 − 1 +√x3 − 2x− 3
(l) f(x) = (−2x3 + 4x2 + 3x− 2) 5√1 + x2 − 5x3 + x4
(m) f(x) = x3 − 4x
x− x9
3
√
2x
x− x4
(n) f(x) =
√
x2 − 3x
3x− 2 +
(
x− 1
1 + x2
)4
(o) f(x) = (2x
3 + 3x2 − 4x+ 2)3
4
√
x3 − 2x+ 1
(p) f(x) =
√
x2 − 3x+ 1
x
3
√
x2 − 5x+ 3
(q) f(x) = ( 4√x2 − 5x+ 4 + (x2 − 5x+ 1)3)5
14: Utilize as fórmulas de derivação para encontrar os limites abaixo.
(a) limx→1 (x
3 − 2x)4 − 1
x− 1
(b) limx→2 (2x− 3)
10 − 1
x− 2
(c) limx→1
√
x9 + 8− 3
x− 1
(d) limx→2
3
√
x2 + 2x− 2
x− 2
15: Encontre a equação da reta tangente aos gráficos das funções abaixo definidas nos pontos
indicados.
(a) f(x) = x+ 1
x2
, (1, f(1))
(b) f(x) = x3 − 2x2 + 3x− 1, (1, f(1))
(c) f(x) = √x2 + 3x+ 1, (0, f(0))
(d) f(x) = x2 + x
x2 − 1 , (0, f(0))
(e) f(x) = x
1 + x2
, (2, f(2))
(f) f(x) = 1
1 + x2
, (−1, f(−1))
16: Sejam � > 0 e f uma função definida em (−�, �)− { 0 } tal que
2x+ 1 ≤ f(x) ≤ x2 + 2x+ 1
para todo x ∈ (−�, �)− { 0 }. Mostre que existe limx→0 f(x) e encontre o seu valor.
17: Encontre os limites abaixo.
(a) limx→0 x2 sen(x
2 + 2x+ 1
x )
(b) limx→pi(x2 − pix) sen( 2x− pi )
(c) lim
x→pi
2
cos2(x). sen( 2x+ 12x− pi )
(d) limx→0 cos(x) + x2 cos( 1
x2
)