Exercícios 2

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MAT1162 - Ca´lculo a Va´rias Varia´veis I
Lista de Exerc´ıcios para P1
Per´ıodo 2011.2
Exerc´ıcios do 1o Livro-Texto
1. Cap´ıtulo 3 — Gra´ficos e Conjuntos de Nı´vel
Exerc´ıcios: todos
2. Cap´ıtulo 5 — Derivadas Parciais de Primeira Ordem
Exerc´ıcios: 1, 2, 3, 11, 12 e 13
3. Cap´ıtulo 6 — Curvas Parametrizadas
Exerc´ıcios: 1 a 17
4. Cap´ıtulo 7 — Aproximac¸o˜es Lineares (Fo´rmula de Taylor de Ordem 1)
Exerc´ıcios: 1 a 6
5. Cap´ıtulo 7 — Regra da Cadeia
Exerc´ıcios: 9 a 17 e 23 a 28
6. Cap´ıtulo 8 — Gradientes e Derivadas Direcionais
Exerc´ıcios: todos
Exerc´ıcios de Fixac¸a˜o
O (*) indica um exerc´ıcio um pouco mais dif´ıcil. Pore´m, nenhum e´ inacess´ıvel.
Exerc´ıcio 1
Esboce as curvas planas abaixo. Diga se sa˜o gra´ficos de func¸o˜es y = y(x), x = x(y), ou nem
um nem outro. Quando for poss´ıvel, tente explicitar a func¸a˜o cujo gra´fico e´ a curva dada.
1. x+ y = 1.
2. x = −1.
3. y − x2 = 2.
4. y2 = ln(x).
5. x2 + (y − 1)2 = 4.
6. y = 1 +
√
4− x2.
7. y = 1−√4− x2.
8. y5 + y = x.
1
Exerc´ıcio 2
Esboce o gra´fico das seguintes coˆnicas:
1. (x+ 1)2 + 3(y + 2)2 = 1
2. y − 1 = (x− 3)2
3. x
2
4 − (y + 2)2 = 1
4. x2 + x+ y2 + 2y = 0
5. 3x2 + 12x+ y2 = 8
6. x2 − 2x− y2 + y = 2
Exerc´ıcio 3
Determine a equac¸a˜o das coˆnicas abaixo:
1. hipe´rbole centrada na origem com eixo principal horizontal e de comprimento 4, e com
ass´ıntotas fazendo um aˆngulo de 450 com o eixo x.
2. elipse centrada no ponto (1,−1), eixo maior 6 e eixo menor 2, na direc¸a˜o dos eixos y e x,
respectivamente.
3. para´bola centrada no ponto (−1, 1) e tendo como diretriz a reta x = 0.
Exerc´ıcio 4
Intersectando-se o cone x2 + y2 = z2 por um plano obtemos uma coˆnica. Identifique a coˆnica
em cada caso:
1. z − 3y = 6
2. 2z = y − 1
3. z = y + 1
4. z = 2
Exerc´ıcio 5
Trace as sec¸o˜es coˆnicas degeneradas abaixo:
1. x2 − 2xy + y2 = 0
2. (*)
√
3x2 − 2xy −√3y2 = 0.
3. x2 + 14y
2 − 2x− y + 2 = 0.
Exerc´ıcio 6
Prove que as retas y = ± bax sa˜o ass´ıntotas da hipe´rbole
x2
a2
− y
2
b2
= 1.
(Sugesta˜o: Reescreva a equac¸a˜o da hipe´rbole na forma x
2
y2 =
a2
b2 +
a2
y2 .)
2
Exerc´ıcio 7
Considere a elipse
x2
a2
+
y2
b2
= 1,
e sejam Ca e Cb c´ırculos centrados na origem de raios a e b, respectivamente. Sejam pa e pb a
intersec¸a˜o de uma semi-reta que parte da origem com Ca e Cb, respectivamente. Mostre que a reta
horizontal que passa por pa intersecta a reta vertical que passa por pb em um ponto da elipse.
Exerc´ıcio 8
Esboce as superf´ıcies em R3 definidas pelas equac¸o˜es abaixo:
1. x2 + y2 + (z − 2)2 = 5.
2. x2 + y2 = 1.
3. x+ 2y + 3z = 1.
4. x+ y = 1.
5. z = 1.
Exerc´ıcio 9
Ache a equac¸a˜o das retas tangentes a`s curvas abaixo nos pontos indicados:
1. exp (x− y2) = 1, P = (4, 2).
2. xy3 + 6x2y = −7, P = (1,−1).
3. x3y2 = 8, P = (2, 1).
4. cos (x+ y) = 12 , P = (
pi
3 , 0).
Exerc´ıcio 10
Calcule o aˆngulo entre o par de coˆnicas no ponto dado:
1. y = 2x2 e x2 + 2y2 = 9, P = (1, 2).
2. xy = −2 e y2 = −4x, P = (−1, 2).
3. x2 + y2 = 8 e 3x2 − y2 = 8, P = (2, 2).
Exerc´ıcio 11
Mostre que a famı´lia de para´bolas y = Ax2 e´ ortogonal a famı´lia de elipses x2 + 2y2 = B.
Exerc´ıcio 12
Ache as equac¸o˜es das retas tangentes a elipse x
2
16 +
y2
9 = 1 paralelas a reta x+ y = 0.
Exerc´ıcio 13
Ache as equac¸o˜es das retas normais a hipe´rbole xy = 1 e paralelas ao vetor (1, 2).
3
Exerc´ıcio 14
Ache um vetor normal e a equac¸a˜o dos planos tangentes a`s superf´ıcies abaixo nos pontos
indicados:
1. xyz = 8, p = (1, 1, 8).
2. x2y2 + y − z + 1 = 0, p = (0, 0, 1).
3. cos (xy) = ez − 2, p = (1, pi, 0).
4. exp (xyz) = e, p = (1, 1, 1).
Exerc´ıcio 15
Seja f : R3 → R definida por:
f(x, y, z) = ln
√
x2 + y2
z
1. Fac¸a um esboc¸o da superf´ıcie de n´ıvel que conte´m o ponto (1, 1, 2) da func¸a˜o acima.
2. Determine a equac¸a˜o do plano tangente a` superf´ıcie acima no ponto (1, 1, 2).
Exerc´ıcio 16
Considere a superf´ıcie qua´drica S de equac¸a˜o
x2 + xy − y2 + 4z = 2.
1. Determine o ponto p de S no qual o plano tangente e´ perpendicular a reta L de equac¸a˜o
r(t) = (1− t,−3t, 2t+ 1), t ∈ R.
2. Escreva a equac¸a˜o da reta normal a S paralela a L e passando por p.
Exerc´ıcio 17
Considere o elipso´ide x2 + 2y2 + 3z2 = 21. Encontre as equac¸o˜es dos planos tangentes a esta
superf´ıcie que sa˜o paralelos ao plano x+ 4y + 6z = 30.
Exerc´ıcio 18
A esfera x2 + y2 + z2 = 3 e o cilindro circular x2 + 2x+ y2 = 4 se interceptam em uma curva
C que conte´m o ponto (1, 1, 1). Encontre equac¸o˜es parame´tricas da reta tangente a C em (1, 1, 1).
Exerc´ıcio 19
Encontre uma equac¸a˜o parame´trica da reta tangente a curva intersec¸a˜o do parabolo´ide el´ıptico
z = 2x2 + 3y2 com o cilindro hiperbo´lico 2x2 − y2 = 1, x ≥ 0, no ponto (1,−1, 5).
4
Exerc´ıcio 20
(*) Excentricidade de uma coˆnica: Dada uma coˆnica qualquer, o nu´mero e = ca e´ chamado
excentricidade da coˆnica. No caso de uma circunfereˆncia, e = 0, no caso de uma elipse, 0 < e < 1,
e no caso de uma hipe´rbole e > 1. No caso de uma para´bola definimos a excentricidade como sendo
1.
1. Seja l uma reta perpendicular ao eixo maior de uma elipse E, a uma distaˆncia ae do seu
centro, e seja F o foco de E mais pro´ximo de l. Mostre que a raza˜o entre as distaˆncias de
um ponto de E ao foco F e a reta l e´ constante e igual a e. A reta l e´ chamada diretriz da
elipse.
2. Seja l uma reta perpendicular ao eixo de uma hipe´rbole H, a uma distaˆncia ae do seu centro,
e seja F o foco de H mais pro´ximo de l. Mostre que a raza˜o entre as distaˆncias de um
ponto de H ao foco F e a reta l e´ constante e igual a e. A reta l e´ chamada diretriz da
hipe´rbole.
Exerc´ıcio 21
(*) Considere uma coˆnica de excentricidade e e distaˆncia p entre o foco e a diretriz. Suponha
que a origem do sistema de coordenadas coincida com o foco da coˆnica e que a diretriz esteja
perpendicular ao eixo x. Mostre que a equac¸a˜o polar dessa coˆnica e´
r =
ep
1− e cos θ
Exerc´ıcio 22
(*) Considere as coˆnicas C1 e C2 cujas equac¸o˜es sa˜o x
2 + y2 − 1 = 0 e x2 + y2 − 10x+ 9 = 0.
1. Esboce as coˆnicas C1 e C2.
2. Determine os coeficientes angulares das retas tangentes comuns a C1 e C2.
3. Determine as equac¸o˜es de todas as retas tangentes comuns a C1 e C2.
Exerc´ıcio 23
(*) Reflexa˜o de uma reta focal em uma coˆnica:
1. Mostre que a reta normal a elipse em um ponto e´ bissetriz do aˆngulo formado pelos seg-
mentos que unem esse ponto aos focos.
2. Mostre que a reta tangente a hipe´rbole em um ponto e´ bissetriz do aˆngulo formado pelos
segmentos que unem esse ponto aos focos.
3. Mostre que a reta normal a para´bola em um ponto e´ bissetriz do aˆngulo formado pela
perpendicular a diretriz passando pelo ponto e pelo segmento que une esse ponto ao foco.
5
Exerc´ıcios Complementares
Exerc´ıcio 24
Considere a coˆnica descrita pela equac¸a˜o
x2 − 4x+ 2y2 = 0.
1. Fac¸a um esboc¸o da coˆnica, indicando seus paraˆmetros (no caso de ser uma elipse ou uma
hipe´rbole, os semi-eixos; no caso de ser uma para´bola, a distaˆncia entre o foco e a diretriz).
2. Encontre a equac¸a˜o da reta tangente a` coˆnica no ponto (0, 0).
3. Encontre dois pontos da coˆnica, para os quais a reta tangente a` mesma fac¸a um aˆngulo de
pi
4 com o eixo x.
Exerc´ıcio 25
Considere as coˆnica C1, descrita pela equac¸a˜o
x2 − y2 = 3,
e a coˆnica C2, descrita pela equac¸a˜o
(x− 3)2
9
+
8y2
9
= 1.
1. Fac¸a um esboc¸o das coˆnicas, indicando seus paraˆmetros (no caso de ser uma elipse ou uma
hipe´rbole, os semi-eixos; no caso de ser uma para´bola, a distaˆncia entre o foco e a diretriz).
2. Encontre as equac¸o˜es das retas tangentes a`s coˆnicas C1 e C2 no ponto (2, 1).
3. Qual o aˆngulo formado pelas retas tangentes a`s coˆnicas C1 e C2 no ponto (2, 1)?
Exerc´ıcio 26
Considere a coˆnica C descrita pela equac¸a˜o
x2 − 4x− y = 0.
1. Fac¸a um esboc¸o da coˆnica, indicando seus paraˆmetros (no caso de ser uma elipse ou uma
hipe´rbole, os semi-eixos; no caso de ser uma para´bola, a distaˆncia entre o foco e a diretriz).
2. Encontre a equac¸a˜o da retatangente a` coˆnica no ponto (0, 0).
3. Encontre 1 ponto da coˆnica para os quais a reta tangente a C seja paralela a` reta y = 3x.
6
Exerc´ıcio 27
Considere a func¸a˜o f(x, y) = y2 − 3x.
1. Esboce em um mesmo mapa as curvas de n´ıvel 1, 2 e 3 de f .
2. Denote por C a curva de n´ıvel 1 de f . Encontre um ponto em C tal que a reta tangente a`
C neste ponto fac¸a um aˆngulo pi4 com o eixo x.
3. Descreva uma equac¸a˜o parame´trica para a reta tangente a` C no ponto encontrado no item
anterior.
Exerc´ıcio 28
Considere a func¸a˜o f(x, y) = x2 + 3y2 − 2x.
1. Esboce em um mesmo mapa as curvas de n´ıvel 2, 3 e 4 da func¸a˜o f .
2. Encontre uma parametrizac¸a˜o para a curva C obtida pela intersec¸a˜o do gra´fico da func¸a˜o
f com o plano x = 2y.
3. Encontre uma equac¸a˜o parame´trica para a reta tangente a C no ponto (2, 1, 3).
Exerc´ıcio 29
Dada a func¸a˜o f(x, y, z) = exp(z) sin(x+ 2y), calcule:
1. O gradiente de f no ponto ~p = (pi2 ,
pi
4 , 0).
2. A derivada direcional de f , no ponto ~p = (pi2 ,
pi
4 , 0) , na direc¸a˜o do vetor ~v = (
√
3
3 ,
√
3
3 ,
√
3
3 ).
3. A equac¸a˜o do plano tangente a` superf´ıcie de n´ıvel de f que passa pelo ponto ~p = (pi2 ,
pi
4 , 0).
Exerc´ıcio 30
Considere a func¸a˜o
g(x, y) = ln(y − 2x2).
1. Descreva e fac¸a um esboc¸o do domı´nio da func¸a˜o g.
2. Encontre a aproximac¸a˜o linear L(x, y) de g no ponto (−1, 4).
3. Encontre a equac¸a˜o da reta tangente a` curva de n´ıvel de g que passa pelo ponto (−1, 4).
Exerc´ıcio 31
Considere a func¸a˜o f(x, y) = x3 + (y − 2)3 − y2.
1. Escreva a equac¸a˜o do plano tangente ao gra´fico de f no ponto (1, 2).
2. Calcule o valor da aproximac¸a˜o linear (Taylor de 1a ordem) de f em torno do ponto (1, 2),
no ponto (1.01, 1.99).
3. Encontre a equac¸a˜o da reta tangente a` curva de n´ıvel −3 no ponto (1, 2).
7
Exerc´ıcio 32
Considere a func¸a˜o
f(x, y, z) = xy + 2yz2 + 4z3.
1. Encontre a aproximac¸a˜o linear de f , L(x, y, z), em torno do ponto (−1,−2, 1).
2. Usando o item anterior, encontre um valor aproximado para f(−0.99,−2.02, 1.001).
3. Encontre a equac¸a˜o do plano tangente a` superf´ıcie de n´ıvel 2 de f no ponto (−1,−2, 1).
Exerc´ıcio 33
Considere a func¸a˜o
f(x, y) =
[
x2 + (y + 1)2
]2
.
1. Para qual dos vetores da figura a derivada direcional da func¸a˜o f(x, y) no ponto (2, 1) e´
maior?
2. Calcule a derivada direcional de f na direc¸a˜o do vetor ( 1√
2
, 1√
2
).
3. Qual a equac¸a˜o do plano tangente ao gra´fico de f no ponto (2, 1)?
P1 de Ca´lculo a Va´rias Varia´veis I
MAT 1162 — 2009.1
Data: 16 de abril de 2009
1. Considere a coˆnica dada pela equac¸a˜o
x2 + xy + y2 = 3.
(a) (1.0) Fac¸a uma rotac¸a˜o de eixos de forma a eliminar o termo em xy. Qual a equac¸a˜o da coˆnica no novo sistema?
Resp: Fazemos a mudanc¸a de coordenadas �
x =
√
2
2 (u− v)
y =
√
2
2 (u+ v)
No novo sistema a equac¸a˜o da coˆnica passa a ser
u2
2
+
v2
6
= 1
(b) (1.0) Quais os paraˆmetros da coˆnica? Os paraˆmetros de uma coˆnica sa˜o os semi-eixos maior a e menor b no caso
de elipse ou hipe´rbole e distaˆncia entre foco e diretriz p no caso de para´bola.
Resp: Elipse com a =
√
6 e b =
√
2.
(c) (0.5) Fac¸a um esboc¸o da coˆnica.
2. Considere a func¸a˜o f(x, y) = y2 − 3x.
(a) (1.0) Esboce em um mesmo mapa as curvas de ni´vel 1, 2 e 3 de f .
(b) (1.0) Denote por C a curva de ni´vel 1 de f . Encontre um ponto em C tal que a reta tangente a` C neste ponto fac¸a
um aˆngulo π4 com o eixo x.
Resp: O gradiente de f e´ normal a´ curva de ni´vel. Portanto (−3, 2y) = λ(−1, 1). Segue que λ = 3, y = 3/2,
x = 5/12.
(c) (1.0) Descreva uma equac¸a˜o parame´trica para a reta tangente a` C no ponto encontrado no item (b).
Resp: O vetor diretor da reta e´ (1, 1). Portanto�
x(t) = 5/12 + t
y(t) = 3/2 + t
3. Considere a func¸a˜o
f(x, y) =
�
x2 − (y + 1)2� �x2 + (y + 1)2� .
(a) (1.0) Para qual dos vetores da figura abaixo a derivada direcional da func¸a˜o f(x, y) no ponto (2, 1) e´ maior?
2 x
y
1
v6
v1
v2
v3
v4
v5
Resp: ∇(f)(2, 1) = 32(1,−1). Portanto a maior derivada direcional sera´ na direc¸a˜o do vetor v6.
Exerc´ıcio 34
Considere a func¸a˜o
g(x, y) =
√
y2 − 4x2.
1. Descreva e fac¸a um esboc¸o do domı´nio da func¸a˜o g.
2. Encontre a equac¸a˜o da reta tangente a` curva de n´ıvel de g que passa pelo ponto (1, 3).
3. Encontre a equac¸a˜o do plano tangente ao gra´fico de g no ponto (1, 3,
√
5).
Exerc´ıcio 35
Considere a superf´ıcie S descrita pela equac¸a˜o
xy + xz2 + 2yz2 + 4z3 = 0.
1. Encontre a equac¸a˜o do plano tangente a` S no ponto (−1,−3, 1).
2. Encontre um ponto P de S de forma que o plano tangente a` S em P seja horizontal.
8
Exerc´ıcio 36
Considere a superf´ıcie S descrita por
S = {(x, y, z) ∈ R3| z = x2 + y3}.
1. Encontre uma parametrizac¸a˜o para a intersec¸a˜o de S com o plano vertical x = 2 de modo
que sua velocidade na direc¸a˜o y seja 1. Qual o vetor velocidade desta curva parametrizada
no ponto (2,−1, 3)?
2. Encontre uma parametrizac¸a˜o para a intersec¸a˜o de S com o plano vertical y = −1 de modo
que sua velocidade na direc¸a˜o x seja 1. Qual o vetor velocidade desta curva parametrizada
no ponto (2,−1, 3)?
3. Determine um vetor normal a` S no ponto (2,−1, 3).
Exerc´ıcio 37
Considere a curva parametrizada
α(t) = (t3 − t+ 1, t2 − 2t+ 1), t ∈ R.
1. Em que pontos da curva a velocidade e´ horizontal? E vertical?
2. Dada uma func¸a˜o f : R2 → R satisfazendo ∂f∂x (1, 1) = −1 e ∂f∂y (1, 1) = 3, calcule ddtf [α(t)]
em t = 0.
Exerc´ıcio 38
Considere a curva parametrizada
α(t) = (cos(t), sin(3t)) , t ∈ [−pi, pi] .
1. Em que pontos da curva a velocidade e´ horizontal? E vertical?
2. Existem 2 retas tangentes a` curva passando pelo ponto
(
1
2 , 0
)
. Encontre equac¸o˜es parame´-
tricas para estas retas.
3. Esboce o trac¸o da curva α.
Exerc´ıcio 39
Considere a curva parametrizada
α(t) = (cos(t), sin(3t)) , t ∈ [−pi, pi] .
1. Em que pontos da curva a velocidade e´ horizontal? E vertical?
2. Existem 2 retas tangentes a` curva passando pelo ponto
(
1
2 , 0
)
. Encontre equac¸o˜es parame´-
tricas para estas retas.
3. Esboce o trac¸o da curva α.
9
Exerc´ıcio 40
Considere a curva parametrizada
γ(t) = (4t2 − 2, t
3
3
− t
4
) t ∈ [−1, 1],
cujo esboc¸o encontra-se na figura abaixo.
1. Em que instantes de tempo a curva cruza o eixo y?
2. Em que posic¸o˜es o vetor velocidade e´ horizontal?
3. Qual o aˆngulo entre os vetores tangentes no ponto de cruzamento (1, 0)?
10