Exame de Econometria II - USP 2008

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Universidade de São Paulo - Departamento de Economia
EAE 0325 - Econometria II
Prof. Dr. Ricardo Avelino
2o Semestre de 2008
1a prova
Esse é um exame sem consulta.
Você tem 1h40 para completá-lo.
O uso de calculadora não é permitido.
Há 4 questões. Você deve resolver todas.
Você deve sempre explicar todas as suas respostas,
a menos que seja dito para responder uma questão sem provar.
Crédito parcial será conferido.
Você DEVE manter a prova grampeada.
Nome ....................................................
1
1. Questões curtas (20 pontos: 4 pontos para cada resposta)
(a) VERDADEIRO ou FALSO: Nós precisamos das hipóteses de ho-
moscedasticidade e ausência de autocorelação para provar que os
estimadores de mínimos quadrados ordinários são não viesados.
(b) Considere o seguinte modelo de regressão simples:
Yi = α+ βXi + ui
Um econometrista suspeita que uma das hipóteses usuais é vio-
lada. Em particular, ele não está certo se E [Xiui] = 0. Ele de-
cide testar essa hipótese utilizando os resíduos uˆ0is da regressão de
mínimos quadrados ordinários, através da estatística 1
n
Xn
i=1
Xiuˆi.
Essa é uma boa idéia?
(c) O poder do teste é definido como: (1) a probabilidade de não re-
jeitar H0 quando H0 é verdadeiro (2) a probabilidade de rejeitar
H0 quando H0 é verdadeiro (3) a
probabilidade de não rejeitar H0 quando H0 é falso (4) a
probabilidade de rejeitar H0 quando H0 é falso.
(d) Qual é o significado de consistência para um estimador? O que
significa um estimador ser eficiente?
(e) VERDADEIRO ou FALSO: Suponha que nós estejamos interes-
sados em modelar a relação entre a taxa de criminalidade como
uma função da taxa de desemprego. É preferível obter dados du-
rante um período em que a taxa de desemprego está relativamente
constante ao invés de num período em que ela apresenta oscilações
bruscas.
2
(Questão 1)
3
(Questão 1)
4
2. (30 pontos: 5 pontos para cada resposta) Considere o seguinte
modelo de regressão:
yi = β1xi + ui, i = 1, 2, ..., n
no qual E (ui) = 0, var (ui) = σ2x4i e E (uiuj) = 0 para i 6= j. Suponha
também que os x0is sejam não estocásticos para todo i = 1, 2, ..., n.
(a) Derive o estimador de mínimos quadrados ordinários βˆ
ols
1 do
parâmetro verdadeiro β1.
(b) Mostre que a variância de βˆ
ols
1 é dada por:
V ar
³
βˆ
ols
1
´
=
σ2µ
nP
i=1
x2i
¶2 nX
i=1
x6i
(c) Considere agora a regressão: y∗i = β1x
∗
i + u
∗
i , i = 1, 2, ..., n, com
y∗i =
yi
x2i
, x∗i =
1
xi
e u∗i =
ui
x2i
Mostre que E (u∗i ) = 0 e var (u
∗
i ) = σ
2.
(d) Derive o estimador de mínimos quadrados ordinários β˜
ols
1 para o
modelo da questão (c).
(e) Mostre que a variância de β˜
ols
1 nesse modelo é dada por
V ar
³
βˆ
ols
1
´
=
σ2µ
nP
i=1
1
x2i
¶
(f) Qual desses estimadores você escolheria? Por quê?
5
(Questão 2)
6
(Questão 2)
7
3. (20 pontos) Suponha que tenhamos o seguinte modelo em forma ma-
tricial:
Y = Xβ + ε
com E(ε | X) = 0, Cov(ε | X) = E(εε0 | X) = σ2I e Y43∗1 (nós temos
43 observações), para:
β =


β1
β2
β3


(X 0X)−1 =


1 0 1
0 4 −1
1 −1 2


X 0Y =


−3
2
2


e0e = 160
e = Y −XβˆOLS
(a) (2 pontos) Forneça (sem prova) um estimador não viesado de
σ2 e compute sua estimativa.
(b) (2 pontos) Forneça (sem prova) um estimador consistente da
matriz de variância-covariância Cov(βˆ|X) e compute sua estima-
tiva.
(c) (16 pontos: 4 pontos para cada resposta) Teste as seguintes
hipóteses ao nível de significância de 5%:
i. H0 : β2 = 0, H1 : β2 > 0
ii. H0 : β3 + β2 = −11, H1 : β3 + β2 6= −11
iii. H0 : β3 = β2 e β1 = 0, H1 : H0 é falsa
8
iv. H0 : β
2
2 = 4, H1 : β
2
2 6= 4
9
(Questão 3)
10
(Questão 3)
11
4. (30 pontos: 6 pontos para cada resposta) Suponha que você
tenha uma amostra de N observações independentes e identicamente
distribuídas y1, ..., yN provenientes de uma distribuição de Poisson. A
densidade da distribuição de Poisson é dada por
P (Yi = yi) =
e−λλyi
yi!
, i = 1, ..., N
e sua função geradora de momentos pode ser expressa como
MYi (t) = E
£
etYi
¤
= eλ(e
t−1)
(a) Compute a esperança de Yi.
(b) Escreva a função de log verossimilhança e derive o estimador de
máxima verossimilhança λˆ
MLE
de λ.
(c) Derive a distribuição assintótica do estimador λˆ
MLE
da parte (b).
(d) Como você estimaria de forma consistente λ2?Derive a distribuição
assintótica do estimador proposto.
(e) Agora suponha que λi = xiβ, isto é,
P (Yi = yi) =
e−λiλyii
yi!
, λi = xiβ, i = 1, ..., N
Um econometrista decide rodar a seguinte regressão por mínimos
quadrados ordinários:
yi = δxi + ui, i = 1, 2, ..., N
O estimador de mínimos quadrados ordinários δˆ
ols
é não viesado
para β, isto é, E
³
δˆ
ols
´
= β? Explique.
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(Questão 4)
13
(Questão 4)
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