Aula 09

Prévia do material em texto

22/03/2021
1
Material Elástico-Linear Perfeitamente Plástico
Resistência dos Materiais III - Prof. Fernanda Lins G. Pereira (UERJ - Eng. Civil) 1
Torção inelástica
• Caso 1 – Comportamento Linearmente Elástico
• Caso 2 – Comportamento Parcialmente Plástico
• Caso 3 – Comportamento Totalmente Plástico
Resistência dos Materiais III - Prof. Fernanda Lins G. Pereira (UERJ - Eng. Civil) 2
Torção inelástica
• Caso 1 – Comportamento Linearmente Elástico
• Caso 2 – Comportamento Parcialmente Plástico
• Caso 3 – Comportamento Totalmente Plástico
Resistência dos Materiais III - Prof. Fernanda Lins G. Pereira (UERJ - Eng. Civil) 3
max< Y
Torção inelástica
• Caso 1 – Comportamento Linearmente Elástico
• Caso 2 – Comportamento Parcialmente Plástico
• Caso 3 – Comportamento Totalmente Plástico
Resistência dos Materiais III - Prof. Fernanda Lins G. Pereira (UERJ - Eng. Civil) 4
max = Y
22/03/2021
2
Torção inelástica
• Caso 1 – Comportamento Linearmente Elástico
• Caso 2 – Comportamento Parcialmente Plástico
• Caso 3 – Comportamento Totalmente Plástico
Resistência dos Materiais III - Prof. Fernanda Lins G. Pereira (UERJ - Eng. Civil) 5
Torção inelástica
• Caso 1 – Comportamento Linearmente Elástico
• Caso 2 – Comportamento Parcialmente Plástico
• Caso 3 – Comportamento Totalmente Plástico
Resistência dos Materiais III - Prof. Fernanda Lins G. Pereira (UERJ - Eng. Civil) 6
Torção inelástica
• As equações de tensão e deformação desenvolvidas até agora são válidas 
apenas se o torque aplicado provoca comportamento linear-elástico do 
material.
Resistência dos Materiais III - Prof. Fernanda Lins G. Pereira (UERJ - Eng. Civil) 7
Inércia dePolar Momento
,,
2
2










A
A
A
A
A
dAJ
dA
dx
d
GT
dA
dx
d
GT
dAGT
GdAT
dx
d




 Lei de Hooke

A
dAT 
Torção inelástica
Resistência dos Materiais III - Prof. Fernanda Lins G. Pereira (UERJ - Eng. Civil) 8

A
dAT 


 dT 22


 dT 2
22/03/2021
3
max = Y
Caso 1 – Comportamento Linearmente Elástico
Resistência dos Materiais III - Prof. Fernanda Lins G. Pereira (UERJ - Eng. Civil) 9
3
4
0
3
0
2
max
2
2
4
2
2
2
cr sendoOnde
2
cT
c
c
T
d
c
T
d
c
T
c
dT
YY
Y
Y
c
Y
Y
c
Y
Y
Y
Y
















Caso 2 – Comportamento Parcialmente Plástico
Resistência dos Materiais III - Prof. Fernanda Lins G. Pereira (UERJ - Eng. Civil) 10
 33
334
2
0
3
2
0
2
2
0
22
4
6
33
2
4
2
22
22
Onde
222
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
c
r
Y
r
Y
Y
c
r
Y
r
Y
Y
Y
Y
c
r
Y
r
rcT
rcr
r
T
dd
r
T
dd
r
T
r
dddT
Y
Y
Y
Y
Y
Y






















Caso 3 – Comportamento Totalmente Plástico
Resistência dos Materiais III - Prof. Fernanda Lins G. Pereira (UERJ - Eng. Civil) 11
3
2
2
2
2
3
0
2
0
2
2
c
T
dT
dT
dT
Y
P
c
YP
c
YP
P












Torção inelástica
• Caso 1 – Comportamento Linearmente Elástico
• Caso 2 – Comportamento Parcialmente Plástico
• Caso 3 – Comportamento Totalmente Plástico
Resistência dos Materiais III - Prof. Fernanda Lins G. Pereira (UERJ - Eng. Civil) 12
3
2
cT YY 


 334
6 Y
Y rcT 

3
4
3
2 3
YP
Y
P
TT
c
T



22/03/2021
4
Exemplo 1
Para o eixo (a) determinar o valor do torque de escoamento Ty (b) 
determinar o ângulo de giro, , para os seguintes valores de torque, T: Ty
e 1,3Ty (c) Determinar o valor do torque de plastificação total, Tp, para 
este eixo
Resistência dos Materiais III - Prof. Fernanda Lins G. Pereira (UERJ - Eng. Civil) 13
𝐺 = = 78125𝑀𝑃𝑎
𝑇 =
⋅
= 10,354 × 10 𝑁.𝑚𝑚
𝜙 =
⋅
⋅
=
, × ⋅ ⋅
⋅ ⋅
= 0,0512𝑟𝑎𝑑
𝑇 =
⋅
4𝑐 − 𝑟 → 𝑟
,
= −
, ⋅
⋅
= 17,4𝑚𝑚
𝜙 =
⋅
→ 𝜙 , =
⋅
= 0,1103𝑟𝑎𝑑
𝑇 = 𝑇 = 13,806𝑘𝑁.𝑚
Resistência dos Materiais III - Prof. Fernanda Lins G. Pereira (UERJ - Eng. Civil) 14
Exemplo 2
• Um eixo tubular é constituído de um material elástico perfeitamente 
plástico com módulo de elasticidade transversal G=40 GPa e tensão de 
cisalhamento y=28 MPa. As dimensões do eixo são d0=25 mm, di=15 
mm e L=750 mm. (a) determinar o valor do torque de escoamento Ty e o 
torque de plastificação total, Tp para este eixo (b) Qual percentual da área 
da seção transversal do eixo 
está plastificado para T= 1.1Ty ?
(c) determinar o ângulo de giro
do eixo quando o torque é 
suficiente para causar o 
escoamento na superfície interna
do eixo tubular.
Resistência dos Materiais III - Prof. Fernanda Lins G. Pereira (UERJ - Eng. Civil) 15
𝜏 𝑥, 𝜌 =
⋅
→ 𝑇 = =
⋅
⋅
= 74769,91𝑁.𝑚𝑚
𝑇 = ∫ 𝜏𝜌𝑑𝐴 → 𝑇 = ∫ 𝜏 ⋅ 𝜌 ⋅ 2𝜋𝜌𝑑𝜌 = =
89797,19𝑁.𝑚𝑚
𝑇 = 1,1𝑇 =
𝜏
𝑟
𝜌 ⋅ 𝜌 ⋅ 2𝜋𝜌𝑑𝜌 + 𝜏 ⋅ 𝜌 ⋅ 2𝜋𝜌𝑑𝜌
= 2𝜋𝜏
𝑑
24
−
𝑑
64𝑟
−
𝑟
12
Métodos para procurar 𝑟 : Tentativa e erro, Busca binária etc...
𝑟 = 11,03𝑚𝑚
× 100 = × 100 = 34,6%
𝛾 = 𝜌 → 𝜙 = 𝐿 = ⋅ = 0,070𝑟𝑎𝑑
Resistência dos Materiais III - Prof. Fernanda Lins G. Pereira (UERJ - Eng. Civil) 16
22/03/2021
5
Torção – Tensão residual
• Um tubo feito de liga de latão tem comprimento de 5 pés e área da seção
transversal mostrada na figura. O material tem um diagrama 𝜏 − 𝛾
elastoplástico também mostrado na figura. Determinar o torque plástico
𝑇 . Quais são a distribuição cisalhamento-tensão residual e a torção
permanente do tubo que restarão se 𝑇 for removido imediatamente após
o tubo tornar-se totalmente plástico?
Resistência dos Materiais III - Prof. Fernanda Lins G. Pereira (UERJ - Eng. Civil) 17
𝐺 = =
,
= 6 × 10 𝑘𝑠𝑖
𝑇 = 2𝜋 ∫ 𝜏 𝜌 𝑑𝜌 = 𝑟𝑒 − 𝑟𝑖 = 175,93𝑘𝑖𝑝. 𝑝𝑜𝑙
𝜏 á = =
×
= 14,93𝑘𝑠𝑖
𝜏 í =
×
= 7,47𝑘𝑠𝑖
Resistência dos Materiais III - Prof. Fernanda Lins G. Pereira (UERJ - Eng. Civil) 18
𝛾 = 𝜌 → 𝜙 = 𝐿 = 0,120𝑟𝑎𝑑 ↺
• Descarrega elasticamente:
𝜙 = = 0,0747𝑟𝑎𝑑 ↻
𝜙 = 0,120 − 0,0747 = 0,0453𝑟𝑎𝑑 ↺
Resistência dos Materiais III - Prof. Fernanda Lins G. Pereira (UERJ - Eng. Civil) 19