gab1-11.1

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Gabarito da P1, 2011.1
Questa˜o 1
Temos que u(x, y) = f(x/y) = f(g(x, y)) = (f ◦ g)(x, y), onde g(x, y) =
x/y (y 6= 0). Portanto temos uma composic¸a˜o de func¸o˜es diferencia´veis.
Aplicando a Regra da Cadeia, temos:
∇u(x, y) = Df(g(x, y)).∇g(x, y) = f ′(x/y)∇g(x, y) = f ′(x/y)(1/y,−x/y2),
ou seja 
∂u
∂x
(x, y) = f ′(x/y).
1
y
∂u
∂y
(x, y) = −f ′(x/y). x
y2
.
Portanto,
x
∂u
∂x
+ y
∂u
∂y
= xf ′(x/y).
1
y
− yf ′(x/y). x
y2
= f ′(x/y).(
x
y
− x
y
) = 0.
Questa˜o 2
Em [0, pi/2] o movimento e´ descrito por r(t), com vetor velocidade dado por
r′(t) = (−2 sen(2t), 2 cos(2t),√5) e a distaˆncia percorrida e´ dada por
L1 =
∫ pi/2
0
‖r′(t)‖ dt =
∫ pi/2
0
√
4sen2(2t) + 4cos2(2t) + 5 dt
=
∫ pi/2
0
√
9 dt = 3pi/2.
No intervalo [pi/2, pi], o movimento e´ retil´ıneo uniforme com velocidade
v = r′(pi/2) = (0,−2,√5), de forma que a posic¸a˜o da part´ıcula no instante pi
e´ dada por p = r(pi/2) + (pi/2)v. Assim, a distaˆncia percorrida nesse trecho
e´ dada por
L2 = ‖p− r(pi/2)‖ = ‖(pi/2)v‖ = (pi/2)‖((0,−2,
√
5)‖ = 3pi/2.
Finalmente, a distaˆncia total percorrida em [0, pi/2] e´ L1 + L2 = 3pi.
Questa˜o 3
item (a): Queremos que a reta de equac¸a˜o v = u seja levada, sob T , na
para´bola de equac¸a˜o y = x2. A transformac¸a˜o (x, y) = T (u, v) = (u, v2)
tem essa propriedade. De fato, se u = v, enta˜o (x, y) = T (u, u) = (u, u2),
portanto y = u2 = x2. O lado do triaˆngulo dado por v = 0, 0 ≤ u ≤ 1
corresponde ao segmento y = 0, 0 ≤ x ≤ 1, e o lado u = 1, 0 ≤ v ≤ 1
corresponde ao segmento x = 1, 0 ≤ v2 = y ≤ 1.
A transformac¸a˜o e´ injetora: T (u, v) = T (U, V ) implica u = U e v2 = V 2,
e como 0 ≤ v, V ≤ 1, segue que v = V .
item (b): A matriz Jacobiana de T e´[
1 0
0 2v
]
que tem determinante 2v > 0, a menos dos pontos da forma (u, 0), isto e´,
um lado do triaˆngulo, que e´ um conjunto de a´rea zero. Assim, a Fo´rmula de
Mudanc¸a de Varia´veis se aplica e temos:∫ 1
0
∫ u
0
u v2(2v)dv du = 2
∫ 1
0
∫ u
0
uv3dv du =
2
4
∫ 1
0
uv4
]u
0
du
=
1
2
∫ 1
0
u5du =
1
2
[1
6
u6
]1
0
=
1
12
.
item(c): Temos∫ 1
0
∫ x2
0
xy dy dx =
1
2
∫ 1
0
xy2
]x2
0
dx =
1
2
∫ 1
0
x5dx =
1
12
.
Questa˜o 4
item(a): FALSO. Por exemplo, o campo F(x, y) = (2xy + cos x, x2) e´
conservativo, com potencial f(x, y) = x2y + senx, e temos
∂P
∂x
(x, y) = 2y − senx 6= ∂Q
∂y
(x, y) = 0.
item(a): VERDADEIRO. Temos uma integral de linha do campo
vetorial F(x, y, z) = (x, y, xz − y) em R3, sobre a curva r(t) = (t2, 2t, 4t3).
Enta˜o:∫
C
F·dr =
∫ 1
0
(t2, 2t, 4t5−2t)·(2t, 2, 12t2)dt =
∫ 1
0
(2t3+4t+48t7−24t3)dt =∫ 1
0
(−22t3 + 4t+ 48t7)dt = [− 22
4
t4 + 2t2 + 6t8
]1
0
= −11
2
+ 8 =
5
2
.