Exercícios de Engenharia Mecânica

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS 
ESCOLA DE ENGENHARIA 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA 
SISTEMAS FLUIDO-MECÂNICOS 
 
 
 
1-1. Assunto: Sistemas de Unidades e fatores de conversão, Manometria e Princípios, 
Leis Gerais e particulares 
 
 
a. Qual a pressão em um ponto situado a 2m de profundidade no interior de um tanque 
d’água, sabendo que: Psuperfície = 1 Atm e ρágua = 0,998.10
3 kg/m3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para solução desse exercício aplicam-se noções de manometria, e sistemas de unidades. 
 
A pressão total que atua no sistema é: 
 
Ptotal = PAtm + Págua 
 
Mas, sabendo que Págua = ρ . g . h , e que PAtm = 101,3 KN/m
2 
 
Substituindo os valores temos: 
 
Ptotal = 101,3 KN/m
2 + ( 998 kg/m3 . 9,81 m/s2 . 2 m ) 
 
Ptotal = 101300 N/m
2 + ( 998 kg/m3 . 9,81 m/s2 . 2 m ) 
 
 
Fazendo as devidas simplificações temos: 
 
Ptotal = 120,881 KPa 
 
 
 
 
 
 
 
2m 
1-2. Uma força de 89 KN deve ser produzida na prensa hidráulica da figura. Obtenha o 
valor do peso W necessário para que isto ocorra. A área do pistão maior vale 9,3 m2 e a 
do pistão menor vale 0,093 m2. O fluido tem densidade igual a 0,80. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para solução desse exercício aplicam-se noções de equilíbrio de forças, conceitos de 
densidade, massa específica, peso específico e manometria. 
 
 
Da equação da manometria fazemos o equilíbrio de forças. 
 
PAtm + γh = P2 
 
Sabendo que a pressão é igual à força normal sobre a área, temos: 
 
W/A1 + ρ . g . h = F/A2 
 
W/A1 = F/A2 - ρ . g . h 
 
 
W/A1 = ( 89 . 1000/ 9,3) – (0,8 . 1000 . 9,81 . 0,7) 
 
W = [( 89 . 1000/ 9,3) – (0,8 . 1000 . 9,81 . 0,7)] . 0,093 
 
W = 379,1 N 
 
 
 
 
 
 
 
A1 
F 
W 
h 
A2 
1-3. Uma bomba recalca água em uma instalação com ambos os reservatórios à pressão 
atmosférica. Sabe-se que a altura manométrica é de 50 m e um manômetro instalado em 
sua saída indica uma pressão de 4,5 kgf/cm². A altura barométrica é de 10 m e a perda 
de carga na aspiração é de 2 m. 
Determine a altura em que a bomba está instalada. 
 
Solução: 
 
H= (p’ + p’’)/γ 
 
Onde, 
 
H= altura manométrica 
γ = peso específico da água = 1000 kgf/m³ 
p’= pressão manométrica 
p’’ = pressão vacuométrica 
 
Então, 
 
50 m = (45000 + p’’) kgf.m-² / 1000 kgf.m-3 
 
p’’ = 5000 kgf/m² 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
(p’’/ γ ) + (p0 / γ) = Hb 
 
Onde, Hb = altura barométrica 
 
(p0/ γ) = 10 – 5000/1000 
 
(p0/ γ) = 5 m 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
ha = Hb – (p0/γ + V0
2/2g + Ja) 
 
Desprezando-se todas as variações de velocidade nas tubulações: 
 
ha = 10 – ( 5 + 0 + 2 ) 
 
 
 
Comentário: 
A altura de aspiração ou sucção da bomba (ha) representa a diferença de cota 
entre o nível do centro da bomba e o da superfície livre do reservatório de captação. 
 
 
 
 
 
 
 
ha = 3 m 
1-4. Assunto: Princípios, leis gerais e particulares. Aplicação da 1ª lei da termodinâmica 
para sistema fechado. 
Em um cilindro, 1,05 kg de ar é comprimido a uma pressão de 107 kPa, a uma 
temperatura de 25 ºC. Mantendo-se a pressão constante, o ar é aquecido a uma 
temperatura de 708 ºC. Determinar a quantidade de calor adicionado durante o processo 
de aquecimento do ar. 
 
 
 
 
 
Dados: 
Cilindro com ar 
 mar = 1,05 kg; 
 T1 = 25 ºC; 
 T2 = 708 ºC; 
 Pabs = 107 kPa = constante. 
 Q 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
Fluído de trabalho sendo m = 1,05 kg de ar; 
 
Equação Básica: 
1º lei da termodinâmica para o sistema: 
Q12 – W12 = E2 – E1 
 
Considerações: 
1) E = U, visto que o sistema opera em regime estacionário; 
2) Gás ideal com calores específicos constantes; 
 
Com as considerações feitas acima podemos reescrever a equação: 
E2 – E1 = U2 – U1 = m(u2 – u1) = mcv (T2 – T1) 
 
O Trabalho realizado é o da fronteira em movimento: 
 2 
W12 = ∫ pd = p ( 2 - 1) 
1 
 
Como gás ideal, segue a lei: 
 p = mRT, 
 
 Portanto: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 w 
 
 
 
W12 = mR(T2 - T1). 
 
Então a equação da 1º primeira lei se torna: 
Q12 = E2 – E1 + W2 = mcv(T2 - T1) + mR(T2 – T1) 
Q12 = m(T2 – T1) (cv + R) 
Q12 = mcp (T2 – T1), pois {R = cp – cv} 
 
 
 
 
Para o ar, temos que cp = 1004 J/(kg.K), (obtido através da tabela de propriedades 
termodinâmicas de gases comuns na condição padrão ou “standard”) 
 
Para T2 – T1 = 708 – 25 = 683 ºC 
 
Então resolvendo a equação, temos: 
 
Q12 = 1,05 kg X 1004 J/(kg.K) X 683 K 
 
Q12 = 720 kJ 
 
Comentários: o objetivo deste problema é revisar o emprego da primeira lei da 
termodinâmica para um sistema, e desenvolvimento da equação de estado para um gás 
ideal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1-5. Qual deve ser a potência de uma bomba hidráulica para a instalação abaixo, 
considerando que a vazão de água transportada é de 10 m3 /h? 
 
Dados: 
Diâmetro da tubulação de sucção (PVC Liso) : 1,5” 
Diâmetro da tubulação de recalque(Metal): 2” 
Rugosidade relativa do metal: e/D = 0,03 
1m3 de água = 1000 kg 
 
Cálculo de perdas localizadas para o PVC e para o metal: 
 
Lsucção = Lvalv. pé + Lcurva + Ltrecho reto 
Lsucção = 18,3 + 9 + 1,2 = 28,5 m 
 
Lrecalque = Lrg + Lvr + Ltrecho reto + 3 Lcurvas + Lsaída 
Lrecalque= 0,4 + 6,4 + 33 + (3 x 0,9) + 1,5 = 44 m 
 
 
Solução: 
 
 Cálculo do fluxo de massa: 
 
10 m3 /h / 3600 s = 0,00277 m3/s x 1000 = 2,77 kg/s 
 
Tendo a área de cada secção e a vazão (0,00277 m3/s), a velocidade de escoamento da 
água no ponto 2 (saída) é determinada por: 
 
V2= Vazão / Área 2 = 1,371 m/s 
 
Já a velocidade da sucção é determinada pela equação: 
 
V1= Vazão / Área 1 = 2,43 m/s 
 
Com as velocidades podemos determinar os números de Reynolds para a sucção e para 
o recalque: 
Re = V . D / n onde n = 1,006 x 10-6 
Resucção = 9,2 x 10
4 
Rerecalque = 6,9 x 10
4 
 
Com Reynolds e sabendo que na sucção o tubo é liso e no recalque o tubo tem 
rugosidade estimada da forma e/D = 0,03, encontramos os valores dos fatores de atrito f 
da sucção e do recalque. 
Utilizando o diagrama de Moody: 
Para Re = 9,2 x 104 e tubo liso (e/D = 0), o fator de atrito na sucção f1 = 0,0185 
Para Re = 6,9 x 104 e e/D = 0,03, o fator de atrito no recalque f2 = 0,058 
 
Com os valores de fator de atrito determinados podemos calcular a perda de energia na 
sucção e no recalque: 
D
VLf
e
.2
.. 2
=∆ 
Logo temos que e∆ 1 = 40,85 m2/s2 e que e∆ 2 = 47,21 m2/s2 
O valor da perda total de energia é de 88,06 m2/s2 
 
Após as devidas simplificações na equação de Bernoulli, podemos calcular a potência 
da bomba: 
 
Wegz
V
mbW t 5,70806,881781,92
371,1
.77,2
2
2
2
2
2 =





+×+=





∆++= && 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2-1. Qual a perda de carga em 100 m de tubo liso de PVC de 32 mm de diâmetro 
por onde escoa água a uma velocidade de 2 m/s? 
 
 Solução: 
 
 Inicialmente devemos calcular o Número de Reynolds: 
 
Com o número de Reynolds e o Diagrama de Moody, obtemos para o tubo liso que o 
fator de atrito f = 0,02. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Então, temos que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2-2. ASSUNTO: Balanço de Massa e Energia 
 
Água escoa através de uma canalização horizontal de PVC (e/D =0,0002) de diâmetro 
nominal 400 mm e com vazão igual a 950 litros por minuto. Determine: 
A) A velocidade media de escoamento; 
 
B) O numero de Reynolds e o regime de escoamento; 
 
C) A perda de carga por unidade de comprimento determinada pela formula de Darcy-
Weisback; 
 
D) A perda de carga unitária determinada pela formula de flamant. 
 
Respostas: 
 
A) Temos que a vazão é igual ao produto da velocidade de escoamento pelaárea da 
seção. 
 
 
 
 
B) Considerando a viscosidade absoluta da água igual a temos que: 
 
 
 
C) Sabe-se que a fórmula de Darcy-Weisback é igual a , sendo preciso apenas 
achar o fator de atrito “f”, que é determinado pelo diagrama de Moody, uma vez que é 
conhecida a rugosidade relativa ”e/D”. 
 
 
 
 
D) Calculando a perda de carga pela formula de Flamant, 
 
 
 
Esses valores significam que numa situação de bombeamento com estas características, haveria 
uma perda de carga aproximada de de pressão a cada metro linear de tubo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2-3. Escoamento de água a 0,01 m3/s através de um tubo de 75 mm de diâmetro, com 
L = 100 m, ligado a um reservatório de nível constante. Entrada de borda viva. 
Determine a profundidade do reservatório, d, para manter o escoamento. 
 
 
 
Solução: 
 
Equações básicas: 
 
p V
gz
p V
gz h h hlt l lm
1 1
2
1
2 2
2
22 2ρ ρ
+ +





 − + +





 = = + 
(1) 
 
 
onde 
 
h f
L
D
V
l =
2
2
 e h f
L
D
V
lm
e=
2
2
 
 
Para o problema dado, p1 = p2 = patm, V1 0≅ , V V2 = . Se z2 = 0, então z1 = d. 
Simplificando a equação (1) temos 
 
gd
V
f
L
D
V
K
V
− = +
2 2 2
2 2 2
 
 
Logo 
 
d
g
f
L
D
V
K
V V V
g
f
L
D
K= + +





 = + +




1
2 2 2 2
1
2 2 2 2
 
 
Como V
Q
A
Q
D
= =
4
2π
, então 
 
d
Q
D g
f
L
D
K= + +




8
1
2
2 4π
 
 
Considerando a água a 20°C, ρ = 999 Kg/m3 e µ = 1,0 x 10-3 kg/(m.s). Assim, 
 
Re
Re
,
, ,
,
= =
= × × ×
⋅
×
× = ×−
ρ
µ
ρ
πµ
π
VD Q
D
Kg
m
m
s
m s
m
4
4
999
0 01
1 0 10
1
0 075
1 70 103
3
3
5
 
 
Para escoamento turbulento em um tubo liso, f = 0 0162, . K = 0,5. Então, 
 
( )
( )
( )
d
Q
D g
f
L
D
K
d
m
s m
s
m
m
m
d m m
= + +




= × × × + +




= ≈
8
1
8
0 01
1
0 075 9 81
0 0162
100
0 075
0 5 1
6 02 6
2
2 4
2
2
6
2 4 4
2
π
π
,
, ,
,
,
,
,
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2-4. Qual a potência da bomba? 
 
 
 Primeiramente, temos que determinar as perdas de carga nos trechos retos e nos 
acessórios da (válvulas, curvas etc.): 
 
Sucção Recalque 
VP = 15 m Curvas 90° = 2 x 2 = 4 m 
Curva 90º = 2 m VR = 20 m 
Trechos retos = 12 m Trechos retos = 30 m 
 
Total (Ls) = 29 m 
 
Saída = 3 m 
Total (Lr) = 57 m 
 
 Cálculo da velocidade de escoamento da água: 
 
 Considerando o fluxo de massa igual a 2 kg/s, podemos determinar a vazão 
simplesmente dividindo esse valor por 1000, pois a vazão é dada em [m3/s]. Fazendo 
o cálculo, obtém-se Vazão Vz = 0,002 m3/s. Agora, sabendo que o diâmetro da 
tubulação é de 50 mm, podemos calcular a área da seção transversal do tubo: 
 
 Tendo a área e a vazão, a velocidade de escoamento da água é determinada por: 
 
 
 
 
Agora nos resta calcular a perda de carga total na tubulação: 
 
 
 
Com Re, obtemos o fator de atrito f no Diagrama de Moody. 
 
Encontramos f = 0,021. Logo: 
 
 
 
 
2
2
22
66,18
05,0.2
02,1.86.021,0
.2
..
s
m
D
VLf
e totaltotal ===∆ 
 
 
 Finalmente, após as devidas simplificações na equação de Bernoulli, podemos 
calcular a potência da bomba da seguinte forma: 
 
 
Wezg
V
mbW t 2,352)1,176(266,181681,92
02,1
.00,2.
2
2
2
2
2 =×=





+×+=





∆++= && 
 
Observe que a altura z2 é igual a 15m + 1m = 16m, já que o ponto 1 é considerado na 
superfície livre da água. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2-5. Calcular a perda de carga na tubulação de recalque, correspondente a 
uma vazão de 0,01 m³/s, com diâmetro da tubulação de aspiração igual a 
150mm e de recalque igual a 100mm e componentes conforme a figura abaixo. 
Fluido: Água a 15º C. Desprezar variação da energia cinética em relação às 
perdas de carga. 
 
 
 
 
 
1 – Cálculo da área da seção do tubo de recalque: 
 
 Ø = 100mm � A = π * D² / 4 � A = 0,007854m² 
 
2 – Cálculo da velocidade média: 
 
 V = Q / A � V = 0,01 / 0,007854 � V = 1,27 m/s 
 
3 – Cálculo do número de Reynolds: 
 
 Para água a 20ºC, a viscosidade v = 1,127x10-6 
 
 Re = V * D / v � Re ~ 113.000 arredondando... 1,1 x 105 
 
 
4 – Cálculo da rugosidade relativa, usando Rugosidade equivalente de 
€=0,15mm ou €=0,00015m (valor tabela). 
 
 € / D = 0,00015/0,1 � 0,0015 
 
5 – Com os valores de Re e D/€, no diagrama de Moody encontramos 
f=0,024 
 
6 – A perda de carga no tubo do recalque (Jr) será: 
 
Comprimento da tubulação= 155m 
2 Curvas 45º = 3,0m 
1 curva 90º raio longo = 2,1m 
1 Registro globo = 34,0m 
1 Válvula de retenção leve = 6,4m 
 L = 200,5m 
 
 
 � Jr = 0,024 * (200,5/0,1) * (1,27)² / 
(2*9,81) 
 
 
� Jr = 3,98m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3-1. Assunto: Escoamento em redes-anel 
 
Calcule as vazões em cada trecho da rede de distribuição esquematizada na figura 
abaixo. Utilize o método Hardy-Cross empregando a expressão de Hazen-Williams (n = 1,85). 
São conhecidos: C = 120 e D = 0,20m. 
Formulário: 
1,85
2,63
Q
H = L
0,2785.C.D
 
 
 
 
H
 = -
H
n.
Q
∑
∆
∑
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
Primeiro é arbitrado as vazões e o sentido da corrente em cada trecho conforme a 
figura: 
 
 
 
 
Em seguida é construída a planilha com a solução Hardy-Cross: 
 1º correção 
Anel Trecho L Q H H/Q ∆ Q H H/Q ∆ 
A 
1 20 3 0,0016 0,0005 
2,89 
5,89 0,0057 0,0010 
0,60 
2 10 -12 -0,0107 0,0009 -10,29 -0,0080 0,0008 
3 10 -2 -0,0004 0,0002 0,89 0,0001 0,0001 
 Σ -0,0094 0,0016 Σ -0,0022 0,0018 
B 
2 10 12 0,0107 0,0009 
1,17 
10,29 0,0080 0,0008 
0,49 
4 10 15 0,0161 0,0011 16,17 0,0185 0,0011 
5 30 -15 -0,0483 0,0032 -13,83 -0,0416 0,0030 
6 10 10 0,0076 0,0008 11,17 0,0093 0,0008 
 Σ -0,0140 0,0059 Σ -0,0057 0,0058 
2º correção 3º correção 
Q H H/Q ∆ Q H H/Q ∆ 
6,49 0,0068 0,0011 
0,20 
6,69 0,0072 0,0011 
0,05 
-10,18 -0,0079 0,0008 -10,09 -0,0077 0,0008 
1,49 0,0002 0,0002 1,69 0,0003 0,0002 
Σ -0,0008 0,0020 Σ -0,0002 0,0020 
10,18 0,0079 0,0008 
0,11 
10,09 0,0077 0,0008 
0,03 
16,67 0,0196 0,0012 16,78 0,0198 0,0012 
-13,33 -0,0389 0,0029 -13,22 -0,0383 0,0029 
11,67 0,0101 0,0009 11,78 0,0103 0,0009 
Σ -0,0013 0,0057 Σ -0,0004 0,0057 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura resposta: 
 
A vazão e perda de carga obtida podem ser verificadas através do software de análise rede-
anel disponível na página http://www.cee.ucf.edu/software : 
Trecho Q arbitrado Q planilha Q software H planilha H software 
1 3 6,69 6,7663 0,0072 0,0074 
2 -12 -10,09 -10,0613 0,0077 0,0077 
3 -2 1,69 1,7663 0,0003 0,0003 
4 15 16,78 16,8277 0,0198 0,0200 
5 -15 -13,22 -13,1724 0,0383 0,0381 
6 10 11,78 11,8277 0,0103 0,0127 
 
A inversão do sinal na vazão do trecho 3 indica que o sentido do fluxo é contrário ao que foi 
arbitrado inicialmente. 
 
 
 
 
 
 
 
3-2. Assunto: Balanços de massa e energia em instalações hidráulicas 
 
Na instalação da figura, a carga total na seção (2) é 12 m. Nessa seção, existe um 
piezômetro que indica 5 m. determinar: 
a) a vazão; 
b) a pressão em (1); 
c) a perda de carga ao longo de toda a tubulação; 
d) a potência que o fluido recebe da bomba. 
 
 
Resolução: 
%80
5
6
1
000.136
10
2
1
3
3
4
2
=
=
=
=
=
=
B
Hg
OH
cmD
cmD
mh
m
N
m
N
η
γ
γ
 
Item (a): 
s
l
s
m
Q
s
m
V
V
g
VP
ZH
6,190196,0
4
05,0
10
10
20
5212
2
32
2
2
2
2
22
22
=≅
×
×=
=⇒++=∴++=
π
γ
 
Item (b): 
KPaPaPP 76000.76000.5000.101000.1361 11 −=−=∴=×−×+ 
 
 
 
 
 
 
 
Item (c): 
2,2162,150
2,15
20
10
52
20
94,6
000.10
000.76
2
22
94,6
4
5
10
4
6
3
22
2
22
2
2
11
121
1
22
12211
=∴+−=+⇒+=+
=∴++=++−
++=+++⇒=+
≅∴
×
×=
×
×∴×=×
PTPTPTBO
BB
BB
HHHHHH
mHH
g
VP
ZH
g
VP
ZHHH
s
m
VVAVAV
γγ
ππ
 
Item (d): 
KWWHQN B 98,22,979.22,15106,19000.10
3 ≅≅×××=××= −γ
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3-3. A seguir, é apresentada uma instalação de bombeamento:Neste desenho, a bomba deve transportar o fluido do reservatório A até o 
reservatório B. Com base nas informações dadas, marque a alternativa correta: 
 
A) A energia consumida pela bomba independe do fluido utilizado. 
B) As perdas de carga são constantes para qualquer vazão volumétrica. 
C) No projeto deste sistema, devem ter sido levados em consideração, aspectos 
referentes à cavitação da bomba, uma vez que a cavitação pode gerar danos 
às instalações. 
D) A curva do sistema é constante e igual a 52m. 
E) As válvulas e joelhos não devem contabilizar no dimensionamento hidráulico 
deste sistema. 
 
Resolução: 
Seguem abaixo as equações de Bernouli e da perda de carga para facilitar a 
interpretação da questão: 
 
Equação de Bernouli: 
2
2
22
1
2
11
22
z
g
v
g
P
hltHz
g
v
g
P
+
⋅
+
⋅
=−++
⋅
+
⋅ ρρ
 
(1) 
 
Equação da Perda de Carga: 
22
22 v
Kf
v
D
L
fhlt ⋅⋅+⋅⋅= 
(2) 
 
Comentário das alternativas: 
 
Alternativa A – Incorreta: a energia consumida pela bomba é função do Head (H), que 
por sua vez é função da densidade do fluído conforme a equação (1). O Head também é 
função da viscosidade porque para encontrar a perda de carga (hlt) é necessário 
encontrar o número de Reynolds que é função desta propriedade física. 
 
Alternativa B – Incorreta: como a vazão volumétrica é produto da velocidade com a 
densidade do fluido, então, de acordo com a equação (2), a perda de carga depende da 
vazão volumétrica. 
 Alternativa C – Correta: se a diferença da perda de carga por sucção disponível com a 
energia da pressão de vapor for menor que a perda de carga por sucção requerida pela 
bomba, pode ocorrer a formação de uma cavidade de vapor que leva à vibração da 
máquina. 
 
Alternativa D – Incorreta: a curva do sistema (H) é função da velocidade (v). Se 
ocorrer variação na velocidade de escoamento irá ocorrer uma variação da curva do 
sistema. 
 
Alternativa E – Incorreta: as válvulas e joelhos contabilizam no dimensionamento 
hidráulico pela equação da perda de carga através do coeficiente de perda localizada 
(K). 
 
 
Alternativa C é correta 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3-4. Assunto: Manometria 
 
Os reservatórios fechados R e S (figura abaixo) contêm respectivamente, 
água e um líquido de peso específico γ S. Sabe-se que a pressão em R ( PR ) é 
igual a 1,1 kgf/cm² e que a pressão em S ( PS ) é igual a 0,8 kgf/cm². Calcular γ S. 
 
 
 
SOLUÇÃO: 
 
Este exercício tem sua solução através da utilização da Equação Fundamental 
da Hidrostática. Partindo do ponto R ao ponto S, 
 
PR + λ H2Ox5 - γ Hgx0,2 - γ S x8,3 = PS 
11000 kgf/m² + 5000 kgf/m² + 2720 kgf/m² - γ S x 8,3 = 8000 kgf/m² 
 
γ S = 636 kgf/m³ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3-5. De acordo com o diagrama abaixo calcule a pressão no ponto 2 e o delta h 
solicitado desconsiderando as alturas das bases dos medidores de pressão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 
Parte 01) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Parte 02) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
hgPP ∆××+= 112 ρ
m
s
m
m
kg
cm
kgf
P 45,0
²
81,9
³
101000
²
49,0 52 ×××−=
−
²
446,02 cm
kgf
P = mcaP 5,42 =ou
5
600.13
1000
×=∆h
mh 37,0=∆
4-1. Assunto: Cálculo de escoamento em tubulações paralelas 
 
Assumindo um coeficiente de atrito constante para todas as tubulações e igual a 
f=0,0020, desprezando as perdas localizadas e as cargas cinéticas, determine a vazão 
que chega ao reservatório R2 as vazões nos trechos de 4” e 6”e a pressão disponível no 
ponto B. 
 
Convém transformar as linhas em diâmetros únicos, usando a eq. 4.2 tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
Adutora de 2500m de comprimento e 8” diâmetro 
 
 
 
 
 
 
A cota piezométrica no ponto B pode ser calculada através da perda de carga no trecho 
BC 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
mL
L
1600
600
4
750
68
5,0
5,2
5,0
5,2
5,0
5,2
≅∴+=
mL
L
1600
600
1,0
750
15,02,0
5,0
5,2
5,0
5,2
5,0
5,2
≅∴+=
2
55
2
20,0
2500
020,00827,0200827,0 Q
D
fLQ
H ⋅=⇒=∆
smQ /0393,0 3=
00,5730393,0
20,0
900
020,00827,0.00,573. 2
5
+⋅=→=∆− PBCHPBC BC
mPBC 20,580. =
2
6515,0
750
020,00827,020,58000,593 QH AB ⋅⋅=−=∆
smQ /028,0 36 =
2
4510,0
600
020,00827,020,58000,593 QH AB ⋅⋅=−=∆
smQ /0114,0 34 =
4-2. Assunto: Leis gerais para volume de controle 
 
Considere uma bomba d’água operando nas condições da figura abaixo. 
Calcule a força de cisalhamento Fx e a força normal Fy que atuam em sua base 
(ρágua = 999 kg/m
3, g = 9,81 m/s2). 
 
 
 
Resolução: 
Analisando a instalação como um volume de controle e através das 
equações de balanço da quantidade de movimento temos: 
Na horizontal 
x 1 v 1F = mV - P A& substituindo m = Q.ρ& e 1
1
Q
 V = 
A
 
22
1
x v 1 v2
1 1
π.DQ 4.Q .ρ
F = Q.ρ. - P A = - P .
A π.D 4
 
3Q = 40 l/s = 0,04 m / s 
2 2
3
x 2
4.0,04 .999 π.0,15
F = - 220.10 . = - 3797,27 N
π.0,15 4
 xF = - 3,80 kN 
Analogamente, na vertical 
y 2 M 2F = mV +P A + mg& substituindo m = Q.ρ& e 2
2
Q
 V = 
A
 
22
2
y M 2 M2
2 2
π.DQ 4.Q .ρ
F = Q.ρ. + P .A + mg = + P . + mg
A π.D 4
 
2 2
3
y 2
4.0,04 .999 π.0,10
F = + 110.10 . + 100 . 9,81 = 2048,45 N
π.0,10 4
 yF = 2,05 kN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4-3. Assunto: Escoamento em tubos paralelos 
 
Em uma empresa foi construído um conjunto de condutos paralelos para o 
escoamento de um fluído (H2O) em um determinado processo. Para esta construção, 
como mostra a figura abaixo, foram utilizados quatro materiais diferentes nas 
tubulações. 
 
 
Sabendo que a vazão do fluído é de 25 litros por segundo na entrada e o 
escoamento é incompressível regular, determine as vazões em cada tubo. 
 
Solução: 
 
Inicialmente com base nos dados fornecidos : 
 
Material Dados 
Aço Soldado Usado Di = 2,0 “ / c = 90 
P.V.C. Di = 1,5 “ / c = 140 
Aço Soldado Novo Di = 2,0 “ / (f) = 0,35 
Ferro Fundido Di = 2,0 “ / (f) = 0,05 
 
Como os condutos estão ligados em paralelo, o ponto de pressão inicial é igual 
para todas as tubulações, assim como o ponto final de escoamento, logicamente a 
pressão inicial será a mesma. (Desconsiderando as perdas de cargas localizadas na 
junção dos tubos) 
 
Sabendo que a perda de carga pode ser dada inicialmente por duas relações básicas 
ligadas ao escoamento do fluído (H2O) em vazão, a relação de Hazem Williams e 
Darcy- wesback: 
 
Hazem Williams : 
Q = 0,2788 x (C) x D 2,63 x (Hp / L ) 0,54 
 
 Darcy- wesback: 
Hp = f(L/D) x (V2/ 2g) / Hp = 8f(L/D) 5 x ( Q2 / (Pi)2 x g) ) 
 
Pelos dados do problema a perda de carga nos tubos de P.V.C. e de Aço Soldado 
Usado podem ser calculados pela equação de Hazem Williams e os tubos de Aço 
Soldado Novo e Ferro Fundido pela relação de Darcy- wesback. 
Sabendo que as pressões nos pontos finais de cada tubo são iguais, mesma 
pressão, implicitamente está subentendido que as perdas de carga serão iguais em todos 
os tubos. Cabe uma observação, todas as perdas de carga serão iguais, mas as vazões 
serão diferentes e as relações de velocidade em cada tubo também. 
Como variáveis desejadas teremos as vazões, teremos que otimizar as equações 
deixando Hp em evidência: 
 
Hazem Williams : 
 
Original : Q = 0,2788 x (C) x D 2,63 x (Hp / L ) 0,54 
 
Melhorada : Hp = K x Qn 
 
Sendo K = L x [ 1 / ( 0,2788 x (C) x D 2,63 ) ] 1,85 e n = 1,85 
 
Final : Hp = K x Q1,85 
 
Darcy- wesback : 
 
Original : Hp = 8f(L/D) 5 x ( Q2 / (Pi)2 x g) ) 
 
Melhorada : Hp = K x Qn 
 
Sendo K = ( 8f x L) / ( (Pi)2 x g x Di5 ) e n = 2 
 
Final : Hp = K x Q2 
 
Para usarmos as relações acharemos o valor de k para cada material: 
 
A) Tubo de aço Soldado usado : 
 
Di = 2,0 “ / c = 90 / g = 9,81 m/s2 
 
K1 = L x [ 1 / ( 0,2788 x (C) x D 2,63 ) ] 1,85 
 
K1= 5 x [ 1 / ( 0,2788 x (90) x (2 x 2,5 x 10 –2 ) 2,63 ) ] 1,85 = 27,59 . 10 3 ( M.c.f. x 
s ) / m 3 
 
 
 
 
 
 
B) Tubo de P.V.C. 
 
Di = 1,5 “ / c = 140 / g = 9,81 m/s2 
 
K2 = L x [ 1 / ( 0,2788 x (C) x D 2,63 ) ] 1,85 
 
K2= 5 x [ 1 / ( 0,2788 x (140) x (1,5 x 2,5x 10 –2 ) 2,63 ) ] 1,85 = 49,403 . 10 3 ( 
M.c.f. x s ) / m 3 
 
C) Tubo de Aço Soldado Novo e Ferro Fundido: 
 
Aço Soldado Novo Di = 2,0 “ / (f) = 0,35 
Ferro Fundido Di = 2,0 “ / (f) = 0,05 
 
Como vemos no desenho da tubulação, no enunciado, há dois canos paralelos com 
metade do comprimento de Aço Soldado Novo unidos em série com outra mesmo 
conjunto na mesma situação de canos de Ferro Fundido. Sabendo que a soma das duas 
perdas de carga produzirá a perda de carga igual as dos outras duas tubulações : 
 
Hp = Hp fofo + Hp Aço sold. Novo 
 
Pode-se perceber que a vazão que passa nos dois conjuntos de tubos é a mesma, 
logo : 
 
Hp = K 3 x Qn 
 
Sendo: K3 = K (tubo de fofo) + K (Aço novo soldado) 
 
Por Darcy- wesback : 
 
 
K (tubo de fofo) = ( 8f x L) / ( (Pi)2 x g x Di5 
Di = 2,0 “ / (f) = 0,05 
 
K (tubo de fofo) = ( 8 x 0,05 x( 2 x 2,5 ) ) / ( (Pi)2 x 9,81 x (2 x 2,5 x 10 –2 )5 
 
K (tubo de fofo) = 66,101 x 10 3 ( M.c.f. x s ) / m 3 
 
 
 
 
K (Aço novo soldado)= K = ( 8f x L) / ( (Pi)2 x g x Di5 
Di = 2,0 “ / (f) = 0,35 
 
K (Aço novo soldado)= K = ( 8x 0,35 x 5) / ( (Pi)2 x 9,81 x (2 x 2,5 x 10 –2 )5 
 
K (Aço novo soldado)= 46,271 x 10 3 ( M.c.f. x s ) / m 3 
 
 
 
K3 = K (tubo de fofo) + K (Aço novo soldado) 
 
K3 = K (66,101 x 10 3) + K (46,271 x 10 3) = 112,372 x 10 3 ( M.c.f. x s ) / m 3 
 
Logo : 
 
Hp1 = K1 x Q1 1,85 ; Hp2 = K2 x Q2 1,85 ; Hp3 = K3 x Q3 2 
 
Hp1 = Hp2 = Hp3 
 
Sabendo que Q = Q1 + Q2 +Q3 
 
E que Qn = ( Qn /Q ) Q / Qn = (Hp / Kn) n 
 
Deduzi-se que as vazões são proporcionais aos valores de K inverso sobre o 
inverso das somas de todos os Ks. 
 
Q( %) = (1 / Kn) n / [(1 / Kn1) n1 + (1 / Kn2) n2 + (1 / Kn3) n3 ] 
 
Resolvendo aplicando as conclusões acima : 
 
Para Q1 : 
 
Q1( %) = (1 / K1) 1,85 / [(1 / K1) 1,85 + (1 / K2) 1,85 + (1 / K3) 2 ] 
 
Q1( %) = (1 / 27,59 . 10 3) 1,85 / [ (1 / 27,59 . 10 3) 1,85 + (1 / 49,403 . 10 3) 1,85 + 
(1 / 112,372 x 10 3) 2 ] 
 
Q1( %) = 0,7388 
 
Para Q2 : 
 
 
Q2( %) = (1 / K2) 1,85 / [(1 / K1) 1,85 + (1 / K2) 1,85 + (1 / K3) 2 ] 
 
Q2( %) = (1 / 49,403 . 10 3) 1,85 / [ (1 / 27,59 . 10 3) 1,85 + (1 / 49,403 . 10 3) 1,85 + 
(1 / 112,372 x 10 3) 2 ] 
 
Q2( %) = 0,2516 
 
Para Q3 : 
 
 
Q3( %) = (1 / K3) 2 / [(1 / K1) 1,85 + (1 / K2) 1,85 + (1 / K3) 2 ] 
 
Q3( %) = (1 / 112,372 x 10 3) 2 / [ (1 / 27,59 . 10 3) 1,85 + (1 / 49,403 . 10 3) 1,85 + 
(1 / 112,372 x 10 3) 2 ] 
 
Q3( %) = 0,0096 
 
Sendo Q = 25 litros / segundo = 25 x 10 -3 m 3 
 
Q1 = Q x Q1(%) = ( 25 x 10 -3 ) x (0,7388) = 18,47 x 10 -3 m 3 
 
Q2 = Q x Q2(%) = ( 25 x 10 -3 ) x (0,2516) = 6,29 x 10 -3 m 3 
 
Q1 = Q x Q1(%) = ( 25 x 10 -3 ) x (0,0096) = 0,24 x 10 -3 m 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4-4. Cálculo de escoamento em Tubulações – Tubulações em série 
 
Um sistema de distribuição de água é feito por uma adutora com um 
trecho de 1500m de comprimento e 150mm de diâmetro, seguido por outro 
trecho de 900m de comprimento e 100mm de diâmetro, ambos com o mesmo 
fator de atrito f=0,028. 
A vazão total que entra no sistema é de 0,025m3/s e toda água é 
distribuída com uma taxa uniforme por unidade de comprimento q (vazão de 
distribuição unitária) nos dois trechos, de modo que a vazão na extremidade da 
jusante seja nula. 
Determine a perda de carga total na adutora desprezando as perdas 
localizadas ao longo da adutora. 
 
 
 
SOLUÇÃO: 
 
A vazão de distribuição ao longo da adutora vale: 
 
q = (Qi - Qf)/L = 0,025/2400 = 1,04⋅10
-2 L/sm 
 
No final do primeiro trecho a vazão vale: 
 
25 - 1,04⋅10-2 ⋅1500 = 9,4 L/s que é a vazão de montante do segundo trecho. 
 
As vazões fictícias nos dois trechos valem: 
 
Qf1 = (25+9,4)/2 = 17,2 L/s 
Qf2 = 9,4/√ 3 = 5,43 L/s . 
 
Como os dois trechos estão em série a perdas de carga total é a soma: 
 
23
5
23
5
)10*43,5(
1,0
900
028,00827,0)10*2,17(
15.
1500
028,00827,0 −− ⋅+⋅=∆H 
1448,65318,13 +=∆H 
7,19=∆H 
 
4-5. Escoamento de fluidos e equações fundamentais da energia, continuidade e 
quantidade de movimento 
 
 Desprezando-se as perdas, determine a força exercida contra o conduto pelo 
bocal representado na figura abaixo. Considere que o fluido é óleo (d=0,85) e p1=100 
psi. 
 
Dados: 
Diâmetro na seção 1 (D1) = 3 polegadas 
Diâmetro na seção 2 (D2) = 1 polegada 
 
 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Solução: 
 
 Para se determinar a vazão, utiliza-se a equação de Bernoulli entre a seção 1 e a 
seção extrema do bocal, onde a pressão é nula. 
 
=++
g
P
Z V
2
2
11
1 γ
 
g
P
Z V
2
2
22
2 ++ γ
 
 
 Como P2=0 e Z1=Z2: 
 
=+
gftlb
ftininlb V
2)/4,62(85,0
)/144)(/100(
2
1
3
222
 0
2
2
2 +
g
V 
 Como 11
2
2
1
2 9VVD
D
V =





= tem-se que: 
=−+ )811(
2)/4,62(85,0
)/144)(/100(
2
1
3
222
gftlb
ftininlb V 0 
 
sftV /78,141 = ; sftV /1332 = 
V.C. 
 
cfsQ 725,0
4
1
4
78,14
2
=




⋅=
π
 
 
Seja Px a força exercida pelo bocal contra o líquido contido no volume de 
controle. Então: 
 
)/78,14/133)(/725,0)(85,0)(/935,1()3(
4
)/100( 3322 sftsftsftftslugPininlb x −=−
π
 
 
 
 
 
 
 
Solução comentada: 
 
 
 O óleo aplica uma força de 565 lb para a direita contra o bocal e o bocal exerce 
uma força de tração de 565 lb (256,5 kgf) no conduto. 
 Neste exercício, foi aplicado ao volume de controle as equações da energia, 
continuidade e quantidade de movimento. Daí, tem-se que a segunda lei de Newton é 
transformada na equação da quantidade de movimento: 
 
∫ ∫+∂
∂
=∑
VC
SC
vvdAvdV
t
F ρρ 
 
 Esta relação vetorial, aplicada na direção do escoamento (direção x no exercício) 
fica na seguinte forma: 
 
 
∫ ∫+∂
∂
=
VC
SC
xxx vdAvdVvt
F ρρ 
 
 No volume de controle escolhido, adotaram-se as superfícies normais às 
velocidades nas seções (seções 1 e 2) atravessadas pelo escoamento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
lbPx 565= 
5-1. Assunto: Similaridade Hidrodinâmica – Curvas de iso-eficiência 
 
A figura abaixo representa a curva (HxQ) de uma bomba com diâmetro de 
210mm. Determinar a raspagem a ser feita no rotor, para ela recalcar 600 l/h a uma 
altura manométrica de 25 m. 
 
0
5
10
15
20
25
30
100 300 600 900 1200
 
 
 
Para determinação do ponto solicitado (Q=500l/s e Hman=26m) é necessário 
locar no gráfico um ponto homólogo e traçar a curva de iso-eficiência. Ponto de partida 
para a solução do problema. 
 
A equação da iso-eficiência é a seguinte: 
 
Q2 = Q’2 = Cte 
 H H’ 
 
Aplicando a equação para Q’ = 500l/s e H’ = 26m, temos; 
 
Cte = 5002 = 9615,38 
 26 
 
De posse desse valor, monta-se uma tabela e arbitra-se valores para H e obtemos os 
respectivos valores de Q. 
 
H (m) Q (l/s) 
29,0 528,05 
26,5 504,78 
24,0 480,38 
21,5 454,67 
19,0 427,43 
 
 
 
Com os valores plotados no gráfico devemos verificar onde a curva de iso-
eficiência intercepta a curva do rotor de diâmetro 210mm, logo esse ponto encontrado é 
homólogo de Q’ = 500l/s e H’ = 26m. 
 
H’ = 27,5 m 
Q’ = 585 l/s 
 
Para pontos homólogos aplicam-se as equações de Rateaux 
 
 
 
Q’ = d’2 , logo 585 = 2102 , donde d = 194,15 mm 
Q d 500 d2 
 
 
 
Com o valor do novo diâmetro a raspagem a ser feita deve ser: 
 
R = d’ – d = 210,0 – 194,15 = 7,925 mm 
 2 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5-2. Assunto: Força exercida por um líquido. 
 
A água contida no tanque (1) é descarregada sem atrito. O jato incide sobre uma 
placa de peso desprezível e de grandes dimensões que cobre a saída do bocal do tanque 
(2). Os bocais são iguais. Se h2 = 2m, determinar h1, tal que a força do jato seja 
suficiente para manter a placa em repouso. 
 
 
Dados: 
 
Densidade da água = ρ 
Peso específico da água = γ 
Áreada seção dos bocais = A 
Aceleração da gravidade = g 
 
 
Solução: 
 
Para que a placa permaneça em repouso, é necessário que a soma das forças na direção 
horizontal seja zero. 
 
ΣFhoriz. = 0 
Ry = F 
ρ.A.V² =γ.A 
 
(γ/g).A.V² = γ.h2.A ∴ V² = gh2 (Eq.1) 
 
Aplicando a equação de Bernoulli no trecho (0) – (1) temos: 
 
 0 
Z0 + ρ0/ γ + V0²/2g = Z1 + ρ1/ γ + V0²/2g 
 
Z0 – Z1 = h1 = V²/2g 
V² = 2gh1 (Eq.2) 
 
Das equações 1 e 2 temos: 
 
V² = gh2 = 2gh1 
h1 = h2/2 
h1 = 2m/2 
h1 = 1m 
 
 
Resposta: 
 
Para que a placa permaneça em repouso, é preciso que haja uma 
altura h1 no tanque (1) de 1m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5-3. Velocidade específica, máximo rendimento e bombas homólogas 
 
 O ensaio de uma bomba com uma seção de saída de 72” (1,83m) de 
diâmetro, operando a 225 rpm, forneceu os seguintes resultados: 
 
H (ft) Q (cfs) η (%) H (ft) Q (cfs) η (%) H (ft) Q (cfs) η (%) 
60 200 69 47,5 330 87,3 35 411 82 
57,5 228 75 45 345 88 32,5 425 79 
55 256 80 42,5 362 87,4 30 438 75 
52,5 280 83,7 40 382 86,3 27,5 449 71 
50 303 86 37,5 396 84,4 25 459 66,5 
 
 Qual o diâmetro da seção de saída e a rotação síncrona (60 Hz) de uma 
bomba homóloga para descarregar 200 cfs (5,66 m3/s) a 60 ft (18,3m) de carga 
manométrica no ponto de máximo rendimento? Determinar a curva 
característica desta bomba. 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Solução: 
 
O índice 1 refere-se à bomba de 72”. No ponto de máximo rendimento, 
H1= 45 ft, Q1=345 cfs e η=88%. Como tecons
ND
Q
tan
3
= e tecons
DN
H
tan
22
= , 
tem-se que: 
 
2
1
2
1
1
22 DN
H
DN
H
= 
3
11
1
3 DN
Q
ND
Q
= 
 
2222 72225
4560
×
=
DN
 
33 72225
345200
×
=
ND
 
 
 Resolvendo o sistema de equações: 
 
 
 
 
 A rotação síncrona (3600 dividido pelo número de pares de pólos do 
motor) mais próxima é 360. Para manter a carga manométrica especificada de 
60 ft é necessário alterar o diâmetro D. O novo valor é dado por: 
 
72
360
225
45
60
××=D 
 
 
 Então, a vazão no ponto de máximo rendimento é: 
 
cfs
DN
Q
ND
Q
208
72
52
225
360
345
3
3
11
1
3
=




××== 
D= 51,1” N = 366 rpm 
D= 52” 
Essa vazão de 208 cfs é um pouco maior do que a especificada (200 
cfs). Com N=360 e D=52, pode-se estabelecer as equações para o cálculo dos 
valores de H e Q correspondentes a qualquer outro rendimento: 
 
2
1
2
1
1
22 DN
H
DN
H
= ⇒ 1
2
1
2
11
1 335,172
52
225
360
HH
DN
ND
HH =




 ××=





×= 
 
3
11
1
3 DN
Q
ND
Q
= ⇒ 1
3
13
11
3
1 603,072
52
225
360
QQ
DN
ND
QQ =




××=×= 
 
 A curva característica da bomba homóloga é tabelada abaixo: 
 
H (ft) Q (cfs) η (%) H (ft) Q (cfs) η (%) H (ft) Q (cfs) η (%) 
80,1 121 69 63,5 200 87,3 46,7 248 82 
76,7 138 75 60 208 88 43,4 257 79 
73,4 155 80 56,7 219 87,4 40 264 75 
70 169 83,7 53,5 231 86,3 36,7 271 71 
66,7 183 86 50 239 84,4 33,4 277 66,5 
 
 E o gráfico abaixo ilustra as curvas das bombas original e homóloga: 
 
 
Curva Característica das Bombas
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0 100 200 300 400 500
Q (cfs)
H
 (
ft
)
Bomba
homóloga
Bomba
original
 
 
 
 
Solução comentada: 
 
 O rendimento da bomba de 52” pode ser um pouco inferior ao da bomba 
de 72”, pois os raios hidráulicos das seções e os números de Reynolds 
correspondentes são menores. 
 Entre as variáveis do estudo dos escoamentos em bombas semelhantes, 
deve existir uma relação funcional f (H, Q, N, D, g)=0. Há duas dimensões 
envolvidas, L e T; N e D que podem ser escolhidas para formar a base, 
resultando 
 
0,,
23
=





DN
g
N
H
ND
Q
f 
 
 Resolvendo em relação a H, 
 
 




=
DN
g
ND
Q
DfH
231
, 
 
 Então, 
 
 





=
32
22
ND
Q
f
g
DN
H ou 




=
3222 ND
Q
f
DN
gH
 
 
 O gráfico da função Q/ND3 em abscissas e H/(N2D2/g) em ordenadas é a 
curva característica adimensional de uma bomba. Esta curva, obtida a partir do 
ensaio de uma determinada bomba, aplica-se a todas as unidades homólogas 
e pode ser transformada na curva característica usual (H em função de Q) 
fixando-se os valores de N e D. Como a potência é proporcional a QHγ , o 
termo adimensional correspondente é: 
 
53223 / DN
potência
gDN
H
ND
Q
ργ
γ
=×× 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5-4. Assunto: escoamento em redes-anel. 
 
Água escoando em uma rede-anel conforme mostrada no desenho abaixo, 
tem uma vazão na entrada de Q=50L\s. Calcule Q1 e Q2, sabendo que k1|k2 = 
0,6. 
 
 
− Dados: 
Q = 50 L\s 
k1\k2 = 0,6 
K1 = K2 x 0,6 
 
− Solução e comentarios: 
Sabemos que em uma rede em anel Hp1 = Hp2 (1) e que, devido a 
conservação da massa Q1 + Q2 = Q (2), Temos, 
Hp1 = K2 x 0,6 x Q12 
Hp2 = K2 x Q22 
Como, Hp1 = Hp2, temos, 
0,6 Q12 = Q22 
Simplificando teremos, 
0,7745 Q1 = Q2 e 
Substituindo na equação (2). 
0,7745Q1 + Q1 = 50 
Q1 = 28,1769 L\s 
Q2 = 21,8230 L\s 
 
 
 
 
 
5-5. Teoria da semelhança aplicada a máquinas de fluxo 
 
A bomba Worthington D-1011 tem curvas características representadas na figura 
abaixo. Suponhamos, porém, que estivesse representada apenas a curva correspondente 
ao rotor de 6,50” (165mm) e que desejássemos saber que diâmetro deveria ter o rotor 
cortado, para que a bomba operasse com Qx = 150m
3/h e Hx = 33m correspondente ao 
ponto A. Consideremos uma descarga Q2 um pouco superior a Qx, digamos Q2 = 
180m3/h. 
 
 
 
Resposta: 
 
Calculemos a ordenada H2 correspondente, para acharmos o ponto B que deve ficar 
acima da curva dada. 
 
H2 = Hx (Q2/Qx)
2 = 33(180/150)2 = 47,5m 
 
Liguemos A e B e acharemos o ponto C sobre a curva correspondente ao diâmetro 
primitivo (6,50”). 
Podemos achar a descarga desse ponto C, que será Qc = 175 m
3/h 
Calculemos o diâmetro que deverá ter o rotor cortado. 
 
d’2
2/d2
2 = Qx/Qc 
 
d’2 = d2 (Qx/Qc)
0,5 = 165(150/175)0,5 = 151,8mm = 5,97” 
 
O Valor achado é praticamente igual ao encontrado no gráfico do fabricante, que 
corresponderia ao diâmetro de 5,9” 
 
 
 
6-1. Assunto: NPSH e Cavitação 
 
A bomba hidráulica utilizada na instalação de sucção conforme figura abaixo, possui 
NPSHR = 4,0 m. Verifique a partir dos dados fornecidos se há o risco de ocorrer cavitação. 
 
Dados: 
comprimento total de sucção (incluindo comprimentos equivalentes): L = 10 m 
fluido de trabalho: água (Pvapor = 0,433 mca, γ = 1000 kgf/m
3) 
Q = 4 l/s 
g = 9,81 m/s2 
Dsucção = 2” 
Ktotal = 4,0 
f = 0,02 
Patm = 9,58 mca 
 
 
 
Resolução: 
 
Fazendo o balanço de energia desde o nível do reservatório de sucção até a entrada da bomba 
temos: 
2
vap1 1
1 2 pe
2
vap2
rd
2
as
PP V
 + + Z = 
PP V
 + - 
γ
+ Z + H + 
γ 2g γ2g γ
 onde: 
2
vap
D
2 2
PP V
 + - NPSH = 
γ 2g γ
 
 
2 2
perdas
L V V
H = f + K
D 2g 2g
Σ 
2
Q
V
A
= 
P1 = Patm (reservatório de sucção aberto para atmosfera) 
V1 = 0 (reservatório de sucção muito grande) 
 
Com isto, a equação de balanço de energia torna-se: 
2 2
atm vap
D 1 2
P - P L V V
NPSH = - f + K + Z - Z 
γ D 2g 2g
 
Σ 
 
 
 
Substituindo os valores e fazendo a devida conversão de unidades (1,0 mca = 1000 kgf/m2, 1L 
= 0,001 m3 e 1” = 0,0254 m) obtemos: 
2 2
0,004.4
V = = 1,9735 m/s
 (0,0254.2)π
 
2 2
D
(9,58 - 0,433).1000 10 1,9735 1,9735
NPSH = - 0,02 . . + 4 - 2 
1000 2.0,0254 2.9,81 2.9,81
 
 
 
 
 
DNPSH = 5,57 m 
 
Com base na recomendação de que o NPSH disponível (NPSHD) deve ser no mínimo 
igual ou maior do que o NPSH requerido (NPSHR) acrescido de 1,5 vemos que: 
 
5,57 > 4,0 + 1,5 
 
Portanto a bomba, operando nas condições fornecidas, irá funcionar normalmente e 
não haverá cavitação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6-2. Potência elétrica requerida e pressão manométrica na seção 
 
(10.26-Fox) – Dados medidos durantes testes de umabomba centrífuga a 3000 rpm são: 
 
Parâmetro Entrada, Seção 1 Entrada, Seção 2 
Pressão manométrica, p (kPa) 90 
Elevação média do referencial, z (m) 2 10 
Velocidade média do escoamento, ( )smv / 2 5 
 
A vazão é de 15 m3/h e o torque aplicado ao eixo da bomba é 6,5 N.m. A 
eficiência da bomba é 75% e a eficiência do motor elétrico é 85%. Determine a potência 
elétrica requerida e a pressão manométrica na seção 2. 
 
Solução: 
 
&
&
&
&
,
,
&
,
,
& ,
W
W
W
T
W
rpm N m
W
rad N m
s
W kW
e
m
m
e
m
e
e
e
=
=
⋅
=
⋅ ⋅
=
⋅ ⋅ ⋅
⋅
=
η
ω
η
π
3000 6 5
0 85
3000 2 6 5
60 0 85
2 4
 
 
H
P
g
v
g
z
P
g
v
g
z
W
W
W W
QgH T
Qg
P
g
v
g
z
P
g
v
g
z T
p
p
h
m
h m p
p p
p
= + +





 − + +






=
= ⋅
= ⋅
+ +





 − + +














= ⋅
2 2
2
2
1 1
2
1
2 2
2
2
1 1
2
1
2 2
2 2
ρ ρ
η
η
ρ ω η
ρ
ρ ρ
ω η
&
&
& & 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considerando que o fluido bombeado é água, temos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[ ]
kPaP
sm
mkg
mmmmmmP
s
m
m
kg
m
ms
sm
mkgm
smN
m
ms
sm
kgmms
mssmNrad
P
gz
g
v
g
P
z
g
v
Qg
T
P p
37,368
9810220,017,91027,145,37
81,91000
2
81,92
4
81,91000
1090
10
81,92
25
10001581,960
360075,05,623000
22
2
32
23
2
22
2
233
2
22
3
32
2
1
2
11
2
2
2
2
=
⋅
⋅
⋅+++−−=
⋅⋅
⋅





+
⋅⋅
⋅
+
⋅⋅
⋅⋅⋅
+−
⋅⋅
⋅
−
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
=
⋅





+++−−=
π
ρ
ρρ
ηω
6-3. Índice NPSH 
 
Um sistema de bombeamento está sendo planejado nos moldes da estrutura 
abaixo: 
 
 
 
O diâmetro de saída da tubulação no 
reservatório superior é de 10 cm e no encanamento 
de sucção é de 20 cm. O líquido (água) deverá ser 
descarregado a velocidade de 3m/s na saída e que 
ambas as tubulações são feitas de dutos de PVC e a 
pressão de vapor é de 9,37 m.c.a. . Determine se será 
possível esta instalação sem cavitação na Bomba. 
 
Obs.: Desconsidere as perdas localizadas do 
sistema. 
 
 
Solução : 
 
Sabendo que a vazão de saída deve ser realizada na velocidade de 3 m/s e sabendo 
o diâmetro : 
 
D= 10 cm ; v s = 3m/s 
 
Sendo : Q = V x A = V x (pi) x(D 2) / 4 
 
Q1 = 3 x (pi) x ((10 x 10 -2) 2) / 4 = 7,854 x 10-2 m3/s 
 
Calculando a velocidade na sucção: 
 
Q2= V2 x A2 ; Q1 =Q2 
 
 V2 = Q / (pi) x(D 2) / 4 = 7,854 x 10-2 / ( (pi) x ((20 x 10 -2) 2) / 4 ) = 0,75 m/s 
 
Considerando a equação de perda de carga de Hazem Williams : 
 
Q = 0,2788 x (C) x D 2,63 x (Hp / L ) 0,54 
 
Sabendo que a constante c para duto de pvc é de 140 
 
Calcula-se a perda de carga na sucção do tubo até a bomba : 
 
 
Q = 0,2788 x (C) x D 2,63 x (Hp / L ) 0,54 
 
 7,854 x 10-2 = 0,2788 x (140) x (20 x 10 -2) 2,63 x (Hp / 1,5 ) 0,54 
 
Hp = 306,827 m.c.a. 
 
Fazendo o balanço de energia na entrada da bomba : 
 
(Prs / Y ) + (Vrs2/ 2g) + Zrs = (P1 / Y ) + (V12/ 2g) + Z1 + Hp 
 
Adicionando o termo de Pressão de vapor : ( P vap / Y - P vap / Y) 
 
 
 
(Prs / Y ) + (Vrs2/ 2g) + Zrs = (P1 / Y ) + (V12/ 2g) + Z1 + Hp + P vap / Y - P vap/Y 
 
Sabendo que NPSH = P1 / Y - P vap / Y + V12/ 2g 
 
(Prs / Y ) + (Vrs2/ 2g) + Zrs = NPSH + Z1 + Hp + P vap / Y 
 
Levando em consideração que a velocidade energia cinética na sucção é desprezível e 
que a altura geométrica do reservatório de origem é zero: 
 
 
(Prs / Y ) = NPSH + Z1 + Hp + P vap / Y 
 
 
NPSH = (Prs / Y ) – (+ Z1 + Hp + P vap / Y ) 
 
NPSH = (Patm / Y ) – (+ Z1 + Hp + P vap / Y ) 
 
NPSH = (101245 / 103 ) – (+1,5 + 306,827 + 9,37) 
 
 
NPSH = - 307,38 M.C.A. 
 
Comentário 
 
Esta instalação não é possível, uma vez que o índice NPSH se mostrou negativo 
indicando que a cavitação já ocorreu na bomba, não sendo possível este tipo de 
bombeamento por bomba centrífuga. 
 
 
 
 
 
 
6-4. Triângulos de velocidades e dimensões de rotores 
 
Uma bomba centrífuga para água tem um rotor com r2=12” (305mm), r1=4” 
(102mm), β1=20º, β2=10º. O rotor tem 2” (51mm) de largura para r = r1 e ¾” 
(19mm) para r = r2. Para a rotação de 1800 rpm e desprezando-se as perdas e 
a espessura das pás, determinar: 
 
(a) a vazão para α1 = 90º, admitindo-se entrada sem choques; 
(b) α2 e a carga manométrica teórica H; 
(c) a potência absorvida; 
(d) o aumento de pressão que ocorre no rotor. 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
Solução: 
 
 
(a) As velocidades periféricas são: 
 
3
1
2
60
1800
1 ⋅⋅= πu sftuu /5,1883 12 == 
 
 Os diagramas de velocidades estão mostrados abaixo: 
α1 β1
ν1
V1
β1
Εntrada
α2
V2
Vr2
ν2
β2
Vu2 νu2
u2
Saída
 
 Conhecidos u1 e os ângulos α1 e β1, determina-se o diagrama na seção 
de entrada: 
 
 sfttguV /85,22º2011 == 
 Então, 
 
 
12
2
3
2
85,22 ⋅⋅⋅= πQ 
 
 
 
cfsQ 97,7= 
 
ftH 430=
 
(b) A velocidade radial Vr2 na seção de saída é: 
 
sftVr /3,2075,02
1297,7
2 =×
×
=
π
 
 
 Através do desenho de u2 e de uma paralela distante Vr2, determina-se 
o triângulo de velocidades a partir da marcação do ângulo β2. Assim: 
 
 sftgu /115º10cot3,202 ==υ sftVu /5,731155,1882 =−= 
 
 '26º15
3
20
2 =




= arctgα sftecV /2,76'26º15cos3,202 == 
 
 
 
 
 Como 
2,32
5,735,188cos 22222 ×===
g
Vu
g
Vu
H
α
 
 
 
 
 
 
 
(c) 
550
4304,6297,7
550
××
==
QH
P
γ
 
 
 
(d) Aplicando a equação da energia entre as seções de entrada e de saída 
do rotor, levando-se em conta a carga fornecida H e desprezando-se a 
variação de cota entre as seções consideradas, resulta em: 
 
 
γγ
2
2
21
2
1
22
p
g
Vp
g
V
H +=++ ft
pp
348
4,64
2,76
4,64
85,22
430
22
12 =−+=
−
⇒
γ
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução comentada: 
 
 
 As bombas geralmente são projetadas de modo que o momento da 
quantidade de movimento do fluido na seção de entrada do rotor seja nulo: 
 
'26º152 =α 
hpP 388= 
2
12 /6,10151433,0348 cmkgfpsipp ==×=− 
g
Vu
H
2cos22 α= 
 
 Supondo que todas as linhas de corrente têm a mesma energia total: 
 
Hb
g
VuVu
z
p
g
V
z
p
g
V
Hb −
−
=





++−





++= 1112221
1
2
1
2
2
2
2 coscos
22
αα
γγ
 
 
 As relações entre a velocidade absoluta V, a velocidade relativa υ em 
relação ao rotor e a velocidade u do rotor podem ser obtidas a partir dos 
triângulos de velocidades com o auxílio das leis dos cossenos: 
 
2
1111
2
1
2
1 cos2 υα =−+ VuVu 
 
2
2222
2
2
2
2 cos2 υα =−+ VuVu 
 
 
 Eliminando as velocidades absolutas V1 e V2 entre estas relações: 
 
)(
22 12
12
2
1
2
2
2
1
2
2 zz
pp
gg
uu
H L −−
−
−
−
−
−
=
γ
υυ
 
 
 
 As perdas são dadas pela diferença entra as energias cinéticas 
específicas 




 −
g
uu
2
2
1
2
2 e pela variação da carga total no movimento relativo. 
Quando não há perdas, o aumento da carga piezométrica é dada por: 
 
gg
uu
zz
pp
22
2
1
2
2
2
1
2
2
12
12 υυ
γ
−
−
−
=−+
−
 
 
 Quando há escoamento, o aumento da carga piezométrica é igual ao 
ganho de energia cinética específica devido à rotação menos a diferença entre 
as energias cinéticas específicas no movimento relativo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6-5. EXERCÍCIO TEÓRICO SOBRE NPSH 
 
Qual o significado do termo “bomba trabalhando afogada”? 
 
Se diz que uma bomba trabalha afogada quando a pressão de líquido na sua 
sucção é sempre maior que a pressão atmosférica. Esta situação é a melhor para a 
operação do sistema de bombeamento, evitando uma série de problemas. 
As bombas que não trabalham afogadas precisam de dispositivos que impeçam a 
entrada de ar no tubo de sucção quando elas não estão trabalhando, para evitar que se 
tenha que escorvar (encher o tubo de sucção) na partida. Em geral, com ar na sucção, as 
bombas não conseguem criar uma depressão suficiente para aspirar a água até a sua 
entrada. 
Uma bomba é dita como “afogada”, quando o NPSH disponível pelo sistema na 
sucção é maior que o NPSH requerido pela bomba em,pelo menos, 1m em toda a 
extensão da sua curva de performance. 
Para o cálculo do “NPSH disponível” pelo sistema, aplica-se a fórmula: 
 
NPSHd = (Patm – Pvap) / Visc +- Hs – hs, sendo: 
 
- Patm – pressão atmosférica do local da instalação; 
- Pvap – pressão de vapor do líquido à temperatura de bombeamento; 
- Hs – altura de sucção = distância vertical entre a pior condição de nível d’água, no 
reservatório de sucção e na linha de centro da sucção da bomba; 
- hs – somatório de todas as perdas de carga que ocorrerem da saída do reservatório até 
a sucção do equipamento. 
 
Obs: A curva de NPSHd é uma parábola do 2º grau, visto que o aumento da perda de 
carga é diretamente proporcional ao quadrado da vazão. 
 
O “NPSH requerido” pelo equipamento está sempre indicado na curva de performance, 
na área abaixo da curva de performance, usando os mesmos valores de vazão. 
 
Se a bomba não tiver uma folga entre os dois tipos de NPSH, poderá ocorrer um 
fenômeno, altamente destrutivo, que é a “cavitação”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7-1. Alturas de carga dinâmica, potência hidráulica entregue ao fluido, eficiência da 
bomba, Potência do motor elétrico para a acionar a bomba e potência elétrica 
 
(10.25-Fox) – Dados medidos durante testes de uma bomba centrífuga a 2750 rpm são: 
 
Parâmetro Entrada, Seção 1 Entrada, Seção 2 
Pressão manométrica, p (kPa) 120 500 
Elevação média do referencial, z (m) 2,5 9 
Velocidade média do escoamento, ( )smv / 2,5 3,5 
 
A vazão é de 15 m3/h e o torque aplicado ao eixo da bomba é 8,5 N.m. Avalie as 
alturas totais de carga dinâmica na entrada e na saída da bomba, a potência hidráulica 
entregue ao fluido e a eficiência da bomba. Especifique o tamanho (potência) do motor 
elétrico necessário para acionar a bomba. Se a eficiência do motor elétrico for 85%, 
calcule a potência elétrica necessária. 
 
Solução: 
 
Considerando que o fluido bombeado é água 





=
3
1000
m
kg
ρ obtemos: 
 
mH
m
m
s
s
m
kg
m
m
s
m
kN
H
z
g
v
g
P
H i
ii
i
1,15
5,2
81,92
25,6
100081,9
120
2
1
2
2
2
23
2
2
21
2
=
+
⋅
⋅+⋅⋅=
++=
ρ
 
 
 
mH
m
m
s
s
m
kg
m
m
s
m
kN
H
6,60
9
81,92
25,12
100081,9
500
2
2
2
2
23
2
2
22
=
+
⋅
⋅+⋅⋅=
 
 
( )
kWW
mm
s
m
s
m
m
kg
W
QgHW
h
h
ph
86,1
1,156,60
81,9
3600
151000
2
3
3
=
−⋅⋅⋅=
=
&
&
& ρ
 
 
76,0
5,822750
6086,1
=
⋅⋅⋅
⋅
=
⋅
=
=
p
p
h
p
m
h
p
mNrad
skW
T
W
W
W
η
π
η
ω
η
η
&
&
&
 
 
kWW
s
mNrad
W
W
W
e
e
m
m
e
88,2
85,060
5,822750
=
⋅
⋅⋅⋅
=
=
&
&
&
&
π
η
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7-2. ASSUNTO: Cálculo de vazão e curva característica 
 
Coeficientes C para fofo (ferro fundido) 
 
C idade (anos) 
130 0 
110 10 
100 20 
90 > 30 
 
Verifique, em primeiro lugar, as condições de funcionamento do sistema em 
1965 e 1995. Caso a adutora RsRo precise de reforço, estude a viabilidade da instalação, 
nesta linha, de uma bomba centrífuga cuja curva característica é: 
 
Q (l/s) 0 10 20 30 40 50 
Hm (m) 70 65 60 55 50 45 
 
Redimensione a adução de forma a ser atendida a vazão prevista para 1998. Usar 
a solução do reservatório de compensação Rc, sugerida no desenho, cujo nível d’água 
está à cota 370 m, distante 2000 m do reservatório Ro, ligado a este por uma linha 
(também em fofo), com diâmetro de 300 mm. Examine a capacidade dos trechos 0-1 e 
1-2 em suportar novas vazões. Proponha o reforço em paralelo para este trecho 
necessário à manutenção da pressão mínima de 10 mca na distribuição. Dimensione 
os diâmetros dos novos trechos do sistema de distribuição para atender à demanda 
prevista. 
 
Referencial Teórico: 
Paschoal Silvestre. Hidráulica Geral. Cap. 4 , 5 e 7, pág. 50 e 91. 
 
Solução : O consumo previsto, por rua, para o pólo industrial, inaugurado em 1965, é: 
 
10 lotes * 1 l/s (por lote) = 10l/s (por rua). 
 
O consumo global estabelecido para o pólo, na configuração de 1965 é de: 
 
 10 l/s (por rua) * 4 ruas = 40 l/s. 
 
Em 1965 o sistema era novo possuindo um coeficiente C (para Hazen Willians) 
igual a 130 e uma perda de carga entre os reservatórios Rs e Ro não deveria ultrapassar: 
400 - 350 = 50 mca. Assim, pela fórmula de Hazen-Willians pode-se calcular a vazão 
máxima que a linha entre os reservatórios era capaz de conduzir em 1965: 
 
Q65 = 0,278531 
. C . D2,63 . (hp/L)0,54 
onde: 
C : constante da tubulação; 
 D : diâmetro da tubulação (m); 
 hp : perda de carga entre os reservatórios (m); 
 L : comprimento da linha (m); 
 
Q65 = 0,278531 
. 130 . (0,2)2,63 . (50/5000)0,54 = 0,0437 m3/s = 43,7 l/s 
 
A vazão é maior do que 40 l/s, portanto, compatível com a demanda em 1965. 
 
Em 1995, a tubulação completou 30 anos de uso e suas paredes internas ficaram 
enrugadas devido à ação química dos componentes da água. Com 30 anos de uso o 
coeficiente C passa a valer 90. Assim, a vazão máxima de transporte, por Hazen-
Willians, é: 
 
Q95 = 0,278531 
. 90 . (0,2)2,63 . (50/5000)0,54 = 0,03025 m3/s = 30,25 l/s. 
 
Conclui-se que, em 1995, havia escassez de água. O sistema envelheceu e deixou de 
atender a seus usuários. Isto sem levar em consideração que a tendência normal da 
demanda é crescer com o passar do tempo. Para restabelecer a capacidade de 
atendimento pode-se, entre outras providências, instalar uma bomba na linha Rs-Ro. 
 Caso seja adotada a bomba centrífuga, cuja curva característica é indicada 
abaixo, pode-se verificar se esta irá restaurar o atendimento: 
 
CURVA CARACTERÍSTICA DA BOMBA 
 
Q (m3/s) 0,0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 
Hm (m) 70 65 60 55 50 45 
 
 
Esta curva característica se aproxima de uma reta cuja equação é: 
 
Hman = a 
. Q + b 
 
Utilizando dois pontos descobre-se os coeficientes a e b: 
 
para Q = 0 → Hman = 70 ∴∴∴∴ 70 = a 
. 0 + b ∴∴∴∴ b = 70 
para Q = 0,020 → Hman = 60 ∴∴∴∴ 60 = a 
. 0,020 + 70 ∴∴∴∴ a = - 500 
 
A equação da curva característica da bomba é: 
 
HmanB = - 500 
. Q + 70 
 
 
 
Por sua vez, acurva característica da tubulação será determinada por: 
 
HmanT = - Hg + ∑∑∑∑ hp 
onde: 
 Hman : altura manométrica (m); 
 Hg : altura geométrica (m); 
 ∑ hp : somatória das perdas de carga ao longo da tubulação (as perdas 
 localizadas serão consideradas irrelevantes neste caso); 
 
Entre os reservatórios Rs e Ro teremos: 
 
 - Hg = 400 - 350 = 50 m 
 
 - hp = K . L . Q1,852/D4,87 onde : K = 0,00256 (C95 = 90) 
 
 hp = 0,00256 . 5000 . Q1,852/(0,2)4,87 = 32448,44 . Q1,85 
 
A curva característica da tubulação será, então: 
 
HmanT = - 50 + 32448,44 
. Q1,85 
 
O ponto de funcionamento do conjunto Bomba-Adutora será a intersecção das duas 
curvas características, encontrando-se, assim, a vazão de funcionamento do sistema: 
 
HmanT = HmanB 
 
 - 500 . Q + 70 = - 50 + 32448,44 . Q1,85 ∴∴∴∴ Q = 0,0435 m3/s 
 
Hman = 48,25 m 
 
 
O mesmo resultado pode ser encontrado graficamente: 
 
 Observe que a curva característica da tubulação corta o eixo das vazões no ponto 
Q = 30 l/s, que corresponde à vazão da adutora em 95, funcionando soba a ação da 
gravidade. 
7-3. Assunto: (Bombas - NPSH) 
 
Para uma instalação de bombeamento, atender a demanda de 200 m³/h de vazão 
durante 24 horas/dia, recalcando a uma altura de 24m. Determine o NPSHdisponível e 
verifique se está adequado, através dos dados fornecidos: 
 
 
Dados: 
 
- Vazão Q = 200 m³/h 
- P0 = 9,23 m 
- Pv = 0,25 m 
- ∆hs = 0,4 m 
- Curvas características da bomba Mark-Peerless, modelo RO 16 e curva do sistema: 
 
 
 
 
 
O que se pede: 
 
- NPSHdisponível 
 
 
Solução: 
 
O NPSHrequerido deve ser obtido diretamente da curva característica correspondente, 
obtendo-o da mesma forma que no rendimento, logo: 
 
NPSHrequerido = 0,8m 
 
 
 
Logo: 
 
NPSHdisponível= 9,23 - 2 - 0,25 - 0,4 = 
6,57m___________________________NPSHdisponíve 
 
 
Portanto: 
Como NPSHdisponível (6,57 m) é maior que o NPSHrequerido (0,8m), não haverá problemas 
decavitação nesta instalação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7-4. Rendimento e potência de acionamento de turbobombas 
 
 Determine a potência de acionamento de uma turbobomba que deverá 
trabalhar em uma instalação com 14m de desnível recalcando 90 L/s entre os 
reservatórios abertos para a atmosfera. Os rendimentos mecânicos e 
volumétricos desse equipamento são estimados em 80% e 90% 
respectivamente. O peso específico do fluido é 900 kgf/m3, as perdas de carga 
nas tubulações de aspiração e recalque são da ordem de 4 mc.fluido e as 
perdas de carga na bomba ao estimadas em 1 m.c.fluido. Considerar 
desprezíveis todas as variações de energia cinética no encanamento. 
 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Solução: 
 
 
 
 Desnível = he 
 Q= 90L/s = 90x10-3 m3/s 
 Rendimento mecânico= ρ =0,80 
 Rendimento volumétrico = ηv = 0,90 
 Peso específico do fluido = γ = 900 kgf/m3 
 
 
 
 Perdas de carga na aspiração e no recalque = Ja + Jr = 4m = J 
 
 Perdas de carga na bomba = Jε = 1m 
 
 
 
γ
iosreservatór
e
P
JhH
∆
++= 
 
 Mas, como os reservatórios estão submetidos apenas à pressão 
atmosférica: 
 
 0=
∆
γ
iosreservatórP 
 
 414 +=⇒ H 
 
 
 
'
e
v H
H
⋅=ηε 118' +=+=⇒ εJHH e 
 
 
 
 
 
19
18
90,0 ×=ε 
mH 14= 
mH e 19
' = 
85,0=ε 
 
 
 ερη ⋅= ⇒×= 85,080,0η 
 
 
 
 
68,075
181090900
75
3
×
×××
==
−
η
γQH
N 
 
 
 
 
 
 
Solução comentada: 
 
 
 A altura estática de elevação (he) é a diferença de cotas entre os níveis 
em que o líquido é abandonado ao sair pelo tubo de recalque e o nível livre no 
reservatório de captação. É também denominada de altura topográfica ou 
altura geométrica e é dada por 
 
he=ha + hr 
 
 
 O rendimento hidráulico )(ε é a relação entre a potência útil e a de 
elevação: 
 
e
u
H
H
=ε 
 
 
 E o rendimento total é a relação entre a potência útil e a motriz: 
 
m
u
H
H
=η 
 
 
 
 
Tendo em vista a fabricação dos motores em série, são os mesmos 
construídos em potências determinadas (potências comerciais). Num primeiro 
estágio, a potência instalada recomendável deve ser a potência do motor 
comercial imediatamente superior à potência calculada (potência necessária ao 
acionamento). 
Assim , admite-se uma certa folga ou margem de segurança que evitará 
que o motor venha, por qualquer razão, operar com sobrecarga: 
 
68,0=η 
cvN 58,28=∴
 
 
 
Fonte da tabela: http://www.schneider.ind.br/ 
 
 
 
Potências de motores comerciais normalmente disponíveis no mercado 
 CV 1 2 3 5 7,5 10 12 15 20 25 30 35 
 CV 40 45 50 60 80 100 125 150 200 250 300 350 
 Fontes das tabelas: http://www.schneider.ind.br/ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7-5. ASSUNTO: Curva característica 
 
Uma bomba operando a 1750 rpm possui uma curva elevação como e 
indicado na figura abaixo. A bomba deve recalcar água através de 1500 ft de 
tubo de 6 in f=0,025. A altura estática e de 40 ft e as perdas menores podem 
ser desprezadas. Calcular a vazão e a altura de elevação sob estas condições. 
 
0
20
40
60
80
100
120
140
160
0,11 0,4 0,7 1,1 1,4
 
 
Como se sabe a perda de carga aumenta em função do aumento de 
vazão, logo uma curva característica em função do fluxo pode ser traçada para 
o sistema 
 
 
 
 
0
20
40
60
80
100
120
140
160
0,11 0,4 0,7 1,1 1,4 1,6 1,97
 
 
 
O segundo gráfico nos mostra que quando a vazão e de 1,05ft3/s a altura 
desenvolvida pela bomba se igualará a altura total que esta sendo recalcada . 
8-1. Relações de Semelhança 
 
(12.35-LT modificado) – Uma bomba centrífuga, cujo diâmetro do rotor D1 = 320 mm, 
requer uma potência de eixo W1’ = 45,2 kW quando a vazão e carga são Q1 = 0,223 
m3/s e H1 = 19,7 m. O rotor original é trocado por outro que apresenta diâmetro D2 = 
289 mm. Determine a vazão esperada, a carga e a nova potência de eixo se a rotação da 
bomba for mantida constante. 
 
Q2 = ? 
H2 = ? 
W2’ = &W2 = ? 
 
Solução: 
 
Utilizando as relações de semelhança temos: 
 
Q
Q
D
D
Q Q
D
D
Q
m
s
m
m
Q m s
1
2
1
3
2
3 2 1
2
3
1
3
2
3 3
2
3
0 223
0 289
0 320
0 164
= ⇒ = ⋅
= ⋅




=
,
,
,
, /
 
 
H
H
D
D
H H
D
D
H m
m
m
H m
1
2
1
2
2
2 2 1
2
2
1
2
2
2
2
19 7
0 289
0 320
16 7
= ⇒ = ⋅
= ⋅




=
,
,
,
,
 
 
 
W1’ = &W1 
&
&
& &
& ,
,
,
& ,
W
W
D
D
W W
D
D
W kW
m
m
W kW
1
2
1
5
2
5 2 1
2
5
1
5
2
5
2
45 2
0 289
0 320
27 2
= ⇒ = ⋅
= ⋅




=
 
 
 
 
 
 
 
 
8-2. Assunto: Semelhança. 
 
Uma bomba centrífuga com um impelidor de 200mm de diâmetro, com a vazão 
de 100m3/h e AMT de 76m, consumindo uma potência de 46hp. Quais seriam as novas 
condições de trabalho se reduzíssemos o diâmetro do impelidor para 180mm? 
 
Vazão: 
Q2/Q1 = D2/D1 
Q2/100 = 180/200 
Q2=90m3/h 
 
AMT: 
AMT2/AMT1 = (D2/D1)2 
AMT2 = 80 x (180/200)2 = 64,8m 
 
Potência: 
Pot2/Pot1 = (D2/D1)3 
Pot2 = 46 x (0,9)3 = 33,5hp 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8-3. Teoria da Semelhança aplicada a máquinas de fluxo 
 
Uma bomba centrífuga recalcou 300 g.p.m. a uma altura de 16,5m quando a 
rotação do motor era de 1.500 rpm. O diâmetro do rotor era de 318 mm e desenvolvia 6 
HP de potência. 
Uma bomba geométricamente semelhante de 380 mm está girando a 1.750 rpm. 
Considerando eficiências iguais, pede-se: 
 
a) Qual a altura a ser desenvolvida? 
b) Qual a vazão recalcada? 
c) Qual a potência desenvolvida? 
 
Dados: 
Q1 = 300gpm 
H1 = 16,5 m 
ns1 = 1500 rpm 
N1 = 6 HP 
D1 = 318 mm 
D2 = 380 mm 
ns2 = 1750 rpm 
 
Solução: 
 
a) Qual a altura a ser desenvolvida? 
 
Como: 
 H2/ ns2
2
 = H1/ ns1
2 
 
Então: 
H2 = H1 (ns2/ns1)
2 
H2 = 16,5 (1750/1500)
2 
 
Logo: 
H2 = 22,46 m 
 
b) Qual a vazão recalcada? 
 
Como: 
 Q2/ ns2 = Q1/ ns1 
 
Então: 
Q2 = Q1 (ns2/ns1)
1 
Q2 = 300 (1750/1500) 
 
Logo: 
Q2 = 350 gpm 
 
 
 
c) Qual a potência desenvolvida? 
 
Como: 
 N2/ ns2
3
 = N1/ ns1
3 
 
Então: 
N2 = N1 (ns2/ns1)
3 
N2 = 6 (1750/1500)
3 
 
Logo: 
N2 = 9,53 HP
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8-4. Ponto de operação e curvas da bomba e do sistema 
 
Na figura abaixo, está representada a curva característica (Hman, Q) de uma 
bomba opera em uma instalação com 40m de desnível e perdas de carga totais da ordem 
de 10m. Considerando-se ambos os reservatórios abertos, traçar a curva do sistema. 
 
 
Curva característica da bomba
0
10
20
30
40
50
60
0 50 100
Q(m3/h)
H
(m
)
Bomba
 
 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Solução: 
 
 
A curva do sistema tem como equação: 
 
γ
P
kQHHman
∆
++= 20 
 
Como os reservatórios estão abertos: 
 
2
0 kQHHman += 
 
 A instalação tem mHman 501040 =+= . 
 Verificando-se a curva HxQ da bomba, a vazão recalcada é de 40m3/h. 
A característica k do sistema será: 
 
 
22
0
40
4050−
=
−
=
Q
HH
k man 
 
 
 
 
 
0063,0=k 
Logo, arbitrando-se valores para Q, calcula-se os correspondentes 
valores de Hman de acordo com a equação do sistema 
2
0 kQHHman += , 
obtendo-se a tabela, para k=0,0063 e H0=40m 
 
Q (m3/h) kQ2 Hman 
0 0,00 40,00 
10 0,63 40,63 
20 2,50 42,50 
30 5,67 45,67 
50 15,75 55,75 
60 22,68 62,68 
70 30,87 70,87 
 
 
 Plotando-se os pares de valores (Hman, Q) obtém-se a curva do sistema: 
 
 
Curvas características da bomba e do sistema
0
10
20
30
40
50
60
70
80
0 50 100
Q (m3/h)
H
(m
)
Bomba
Sistema
 
 
 
 
 
Solução comentada: 
 
 
 
 Para se interpretar o comportamento de uma turbobomba, exige-se 
a associação, no plano (H,Q) da curva característica da bomba com a 
curva característica do sistema dada pela equação 
γ
P
kQHHman
∆
++= 20 . 
 
 A interseção das duas curvas características define o PONTO DE 
OPERAÇÃO onde, para a vazão Q, tem-se a altura manométricadesenvolvida pela bomba igual à altura manométrica exigida pelo 
sistema. 
8-5. Assunto: Semelhança e associação de Bombas 
 
 Quando operando a ns1= 1170 rpm, uma bomba centrífuga, com diâmetro de 
impulsor D1 = 8 pol., tem altura de carga no bloqueio H1 = 25 pés de água. Na mesma 
velocidade de operação, a melhor eficiência ocorre para Q = 300 gpm. 
A) O que aconteceria caso instalássemos outra bomba série com mesmo diâmetro? 
B) E em paralelo? 
 
Dados: 
ns1 = 1170 rpm 
D1 = 8 pol 
H1 = 25 pés 
Q1 = 300gpm 
D2 = 8 pol 
 
Determinar: 
 
_ Q1e2 e H1e2 em associações em série 
_ Q1e2 e H1e2 em associações em série 
 
Solução: 
 
Para bomba 2, similar a bomba 1, calcularemos seu ponto de operação dada 
similaridade: 
Diâmetro: 
 
D2/D1 = ns1/ns2 
ns2 = ns1D1/D2 
ns2 = (1170 X 8)/8 = 1170 rpm 
 
Vazão: 
Q2 = Q1 (ns2/ns1) 
Q2 = 300 (1170/1170) = 300 gpm 
 
Altura: 
H2 = H1 (ns2/ns1)2 
H2 = 25 (1170/1170)2 = 25 pés 
 
Assim, calcularemos a associação em série: 
 
Q1e2 = Q1 = 300 gmp 
H1e2 = H1 + H2 = 25 + 25 = 50 pés 
 
Associação em paralelo: 
 
Q1e2 = Q1 + Q2 = 600 gmp 
H1e2 = H1= = 25 pés 
 
 
 
9-1. ASSUNTO: BOMBAS EM PARALELO --------------------------- RESOLUÇÃO NO EES 
 
 Definir toda a geometria e dados da tubulação para obter os valores e k dos trechos 
considerados, para o sistema ilustrado em anexo, que consiste de 2 bombas em paralelo e 3 
reservatórios. Os dados do problema encontram-se abaixo, junto à nomenclatura utilizada para 
as variáveis. 
************************************************************************************************************* 
NOMENCLATURA 
 
HB1=ALTURA GEOMÉTRICA DA BOMBA 1 
HB2=ALTURA GEOMÉTRICA DA BOMBA 2 
H01=ALTURA SHUT-OFF DA BOMBA 1=50 
H02=ALTURA SHUT-OFF DA BOMBA 2=30 
K1=COEFICIENTE DE RESISTÊNCIA DO TRECHO 1=1 
K2=COEFICIENTE DE RESISTÊNCIA DO TRECHO 2=1,4 
KS1=COEFICIENTE DE RESISTÊNCIA DO SISTEMA 1=1,5 
KS2=COEFICIENTE DE RESISTÊNCIA DO SISTEMA 2 =1 
KS3=COEFICIENTE DE RESISTÊNCIA DO SISTEMA 3=1 
HB1C=CURVA DA BOMBA 1 CORRIGIDA 
HB2C=CURVA DA BOMBA 2 CORRIGIDA 
Qeq=VAZÃO DA BOMBA EQUIVALENTE 
*************************************************************************************************************
SOLUÇÃO" 
 
"{CURVA DA BOMBA 1} 
HB1=H01 - K1*Q^2 
H01=50 
K1=1 
 
{CURVA DO SISTEMA 1} 
HS1=HG1+KS1*Q^2 
HG1=30 
KS1=1,5 
 
{CURVA DA BOMBA 2} 
HB2=H02-K2*Q^2 
H02=40 
K2=1,4 
 
{CURVA DO SISTEMA 2} 
HS2=HG2+KS2*Q^2 
HG2=5 
KS2=1 
 
{CURVA DA BOMBA 1 CORRIGIDA} 
HB1C=HB1-HS1 
 
{CURVA DA BOMBA 2 CORRIGIDA} 
HB2C=HB2-HS2 
 
{CURVA DO SISTEMA 3} 
HS3 = HG3 + KS3*Q^2 
HG3 = 15 
KS3 = 1,0" 
 
"{REGRESSÃO DA CURVA DA B1C} 
H=20 + 4,15341E-17*QB1C - 2,5*QB1C^2 
 
{REGRESSÃO DA CURVA DA B2C} 
H=35 + 1,18669E-16*QB2C - 2,4*QB2C^2 
{EQUAÇÃO DA BOMBA EQUIVALENTE EM PARALELO} 
Qbeq = QB1C + QB2C 
 
{REGRESSÃO DA CURVA DO S3} 
HPF=15 - 1,78003E-17*QPF + 1*QPF^2 
 
{REGRESSÃO DA CURVA DA BOMBA EQUIVALENTE} 
H=18,1737 + 2,91506*Qbeq - 0,852921*Qbeq^2" 
 
{PONTO DE FUNCIONEMTO PARA A BOMBA EQUIVALENTE e SISTEMA 3} 
HPF=15 - 1,78003E-17*QPF + 1*QPF^2 
HPF=18,1737 + 2,91506*QPF - 0,852921*QPF^2 
 
"{} 
HPF=20,35 
QPF=2,314 
HPF=20 + 4,15341E-17*QB1C - 2,5*QB1C^2 
HPF=35 + 1,18669E-16*QB2C - 2,4*QB2C^2" 
 
"SOLUÇÃO COMENTADA 
 
 Na tubulação comum do sistema das 2 bombas em paralelo há a descarga delas 
funcionando simultaneamente. 
 Para se obter a curva característica da função f(Q,H)=0, do conjunto de bombas, somou-
se, para cada valor de H, as abscissas de Q de cada bomba, considerando-se que giram com a 
mesma rotação. 
 Através dos gráficos obtidos, observa-se que a descarga obtida com 2 bombas é menor que 
o dobro da vazão fornecida por uma única bomba. 
 A variação da altura manométrica é tanto menor quanto menor são as perdas de carga na 
tubulação.Como a altura manométrica resultante de um sistema 
de bombas em paralelo é maior do que para uma bomba apenas, a tubulação de recalque deve 
atender a essa condição. " 
 
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
0
10
20
30
40
50
Q 
H
B
1
, 
 H
S
1
, 
 H
B
1
C
HB1C=20 + 4,15341E-17—Q - 2,5—Q
2
 
BOMBA 1, SISTEMA 1 E BOMBA CORRIGIDA 1 
 
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
5
10
15
20
25
30
35
40
Q 
H
B
2
, 
 H
S
2
, 
 H
B
2
C
HB2C=35 + 1,18669E-16—Q - 2,4—Q
2
 
 BOMBA 2, SISTEMA 2 E BOMBA CORRIGIDA 2 
 
1,5 2 2,5 3
12
16
Qbeq 
H
 
 
 BOMBA EQUIVALENTE 
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
0
4
8
12
16
20
QB1C 
H
 
 
 H x QB1C 
2,4 2,6 2,8 3 3,2 3,4 3,6 3,8 4
0
4
8
12
16
20
QB2C 
H
 
 
 H x QB2C 
 
2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7
0
4
8
12
16
20
Qbeq 
H
 
 
 H x Qeq 
10-1. ASSUNTO: BOMBAS EM SÉRIE --------------------------- RESOLUÇÃO NO EES 
 
 Definir toda a geometria e dados da tubulação para obter os valores e k dos trechos 
considerados, para o sistema ilustrado em anexo, que consiste de 2 bombas em série e 3 
reservatórios. Os dados do problema encontram-se abaixo, junto à nomenclatura utilizada para 
as variáveis. Como comparação, foram utilizados coeficientes de resistência, alturas de shut-off 
e alturas geométricas iguais às do exercício anterior para 2 bombas em paralelo. 
*************************************************************************************************************
NOMENCLATURA 
 
HB1=ALTURA GEOMÉTRICA DA BOMBA 1 
HB2=ALTURA GEOMÉTRICA DA BOMBA 2 
H01=ALTURA SHUT-OFF DA BOMBA 1=50 
H02=ALTURA SHUT-OFF DA BOMBA 2=30 
K1=COEFICIENTE DE RESISTÊNCIA DO TRECHO 1=1 
K2=COEFICIENTE DE RESISTÊNCIA DO TRECHO 2=1,4 
KS1=COEFICIENTE DE RESISTÊNCIA DO SISTEMA 1=1,5 
KS2=COEFICIENTE DE RESISTÊNCIA DO SISTEMA 2 =1 
KS3=COEFICIENTE DE RESISTÊNCIA DO SISTEMA 3=1 
HB1C=CURVA DA BOMBA 1 CORRIGIDA 
HB2C=CURVA DA BOMBA 2 CORRIGIDA 
Qeq=VAZÃO DA BOMBA EQUIVALENTE 
Heq=ALTURA DA BOMBA EQUIVALENTE 
*************************************************************************************************************
SOLUÇÃO" 
 
"{CURVA DA BOMBA 1} 
HB1=H01 - K1*Q^2 
H01=50 
K1=1 
 
{CURVA DO SISTEMA 1} 
HS1=HG1+KS1*Q^2 
HG1=30 
KS1=1,5 
 
{CURVA DA BOMBA 2} 
HB2=H02-K2*Q^2 
H02=40 
K2=1,4 
 
{CURVA DO SISTEMA 2} 
HS2=HG2+KS2*Q^2 
HG2=5 
KS2=1 
 
{CURVA DA BOMBA 1 CORRIGIDA} 
HB1C=HB1-HS1 
 
{CURVA DA BOMBA 2 CORRIGIDA} 
HB2C=HB2-HS2 
 
{CURVA DO SISTEMA 3} 
HS3 = HG3 + KS3*Q^2 
HG3 = 15 
KS3 = 1,0" 
 
"{REGRESSÃO DA CURVA DA B1C} 
HB1=20 + 4,15341E-17*QB1C - 2,5*QB1C^2 
 
{REGRESSÃO DA CURVA DA B2C} 
HB2C=35 + 1,18669E-16*QB2C - 2,4*QB2C^2 
 
{EQUAÇÃO DA BOMBA EQUIVALENTE EM SÉRIE} 
Hbeq = HB1C + HB2C 
 
{REGRESSÃO DA CURVA DO S3} 
HPF=15 - 1,78003E-17*QPF + 1*QPF^2 
 
{REGRESSÃO DA CURVA DA BOMBA EQUIVALENTE} 
H=55 + 1,18669E-16*Qbeq - 4,9*Qbeq^2" 
 
{PONTO DE FUNCIONAMENTO PARA A BOMBA EQUIVALENTE e SISTEMA 3} 
HPF=15 - 1,78003E-17*QPF + 1*QPF^2 
HPF=55 + 1,18669E-16*QPF - 4,9*QPF^2 
 
"{} 
HPF=21,78 
QPF=2,604 
HPF=20 + 4,15341E-17*QB1C - 2,5*QB1C^2 
HPF=35 + 1,18669E-16*QB2C - 2,4*QB2C^2" 
 
 
"{BOMBA EQUIVALENTE} 
H=55 + 1,18669E-16*Qbeq - 4,9*Qbeq^2" 
 
"SOLUÇÃO COMENTADA 
 
 Na tubulação comum do sistema das 2 bombas em série ambas são atravessadas pela 
mesma descarga e cada uma fornece uma parcela de altura total H. 
 Para se obter a curva característica H=f(Q) do conjunto de bombas, somou-se, para cada 
valor de Q, as ordenadas de H de cada bomba, considerando-se que giram com a mesma 
rotação. Esse sistema é empregado quando se deseja variar muito a altura manométrica. A 
descarga também é aumentada. 
 Como comparação, as mesmas duas bombas ligadas em paralelo tem-se que HPF=20,35 e 
QPF=2,314 enquanto que em série HPF=21,78 e QPF=2,604." 
 
 
 
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
0
10
20
30
40
50
Q 
H
B
1
, 
 H
S
1
, 
 H
B
1
C
HB1C=20 + 4,15341E-17—Q - 2,5—Q
2
 
 BOMBA 1, SISTEMA 1 E BOMBA CORRIGIDA 1 
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
5
10
15
20
25
30
35
40
Q 
H
B
2
, 
 H
S
2
, 
 H
B
2
C
HB2C=35 + 1,18669E-16—Q - 2,4—Q
2
 BOMBA 2, SISTEMA 2 E BOMBA CORRIGIDA 2 
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
15
16
1718
19
20
21
22
23
Q 
H
S
3
 
HS3=15 - 1,78003E-17—Q + 1—Q2
 Q x HS3 
 
 
 
 
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
15
20
25
30
35
40
45
50
55
Q 
H
b
e
q
 
Hbeq=55 + 1,18669E-16—Q - 4,9—Q
2
 
 Q x Hbeq 
 
 
 
 BOMBA EQUIVALENTE 
 
 
 
 
 
 
 
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
0
5
10
15
20
25
30
35
Q 
H
EXERCÍCIOS EXTRAS SELECIONADOS 
 
 
(12.45 FOX) A Fig. P12.45 mostra o esquema de uma turbina Pelton. O raio da 
linha da ação da força tangencial de reação em cada pá é igual a 0,305m. Cada pá obriga 
o escoamento a defletir de 135°. Admita que todos os escoamentos ocorrem num plano 
Horizontal. Cada um dos jatos incide sobre as pás com velocidade de 30,5 m/s e os jatos 
apresentam diâmetro iguais a 25,4 mm. O módulo da velocidade do jato permanece 
constante ao longo da superfície. 
a) Qual é o torque necessário para manter a roda estacionária? 
b) Qual é a rotação da roda se o atrito for desprezível e qual é a potência de eixo nestas 
condições? 
 
T = n • ṁ • rm (U - V1)(1 - cos β) onde n = 4 
 
a) Com a roda estacionária U = 0 logo, 
 
T = -4 • ṁ • rm • V1(1 — cos ß ) onde 
ṁ = ρAν = (999kg /m 3 ) •(π / 4 (0,0254m)2) • (30.5m/s ) = 15,44kg/s 
T = -4 • 15.44 • 0.305 • 30.51 (1 - cos 135°) = -980.77kg • m 
 
b) Quando T = 0,U = V 1 
 
U=rm •ω = V 1 ou ω = = 100rad/ s 
 
W = T • ω = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(12.35 LT) Uma bomba centrífuga, diâmetro do rotor = 305 mm, requer uma 
potência de eixo igual a 44,7 KW quando a vazão e a carga são 0,202 m3/s e 18,3 m. O 
rotor original é trocado por outro que apresenta diâmetro igual a 254 mm. 
Determine a vazão esperada, a carga e a nova potência de eixo se a rotação da 
bomba for mantida constante. 
Solução 
 
Temos que: 
 
Dl =305 mm 
Wl =44,7 KW 
Ql =0,202 m3/s 
Hl = 18,3 m 
D2= 254 mm 
Q2 = ? 
H2 = ? 
W2 = ? 
Sabemos que: 
Ql /Q2 = D13/D23 
0,202 / Q2 = (305 . 10-3 )3 / (254 . 10-3 )3 
Q2 = 0,116m3/s 
E também que: 
Hl /H2 = D12 /D22 = 18,3/H2 = (305 . 10-3)2/(254. 10-3)2 = H2 = 12,71 m 
Wl /W2 = D15 /D25 = 44,7/W2 = (305 . 10-3 )5 /(254. 10-3)5 =W2 = 17,88 m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(12.59) Uma turbina Pelton é alimentada com água de um lago cuja superfície 
livre está acima da turbina. A tubulação de alimentação tem comprimento 1, diâmetro D 
e o fator de atrito do escoamento na tubulação de alimentação da turbina é f. As perdas 
de carga singulares são desprezíveis. 
Mostre que a potencia desenvolvida pela turbina é máxima quando a carga de 
velocidade no bocal é 2H/3. Observação: o resultado do problema 12.58 pode ser útil. 
 
Po + Vo2 + Zo = P1 + V12 +Z1 + f L.V2 
7 2g γ 2g D2g 
 
Po = P1 = 0 
Vo=0 
Zo-Z1 = H 
 
H = V12 + fL.V2 
 2g D2g Tem-se que: A1V1=AV ou πD1
2V1/4 =πD
2V/4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 12.32
Seções 
(12.63 LT) Nós devemos escolher uma turbina com potência de 22,4 MW e que 
deve operar a 60 rpm quando a carga manométrica for igual a 21,4 m. Qual tipo de 
turbina é mais recomendável para esta aplicação. Estime a vazão de água necessária 
para a operação da turbina. 
 
Dados: 
60 rpm = ω 
22,4 MW => 30455,5 hp = Weixo 
21,4 m=> 70,2 ft = ht 
 
Assim: N'sd = [ω (Weixo)
1/2] / (ht)
5/4 
 
N'sd = [60 rpm (30455,5 hp)
l/2] / (70,2 ft)5/4 
N'sd = 51.53 
 
De acordo com a Fig. 13.32, devemos usar uma turbina Francis. 
Para calcular a vazão: 
Weixo= γ Q ht 
 
Q = {30455,5 hp)(550 [(ft lb/s)/hp]}/(62.4 lb/ft3)(70.2 ft) 
Q = 382.4 ft3/s 
Q = 10.83 m3/s 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(12.65) Água a 27,57 MPa está disponível para girar uma turbina a 1750 rpm. 
Qual tipo de turbina você sugeriria sabendo que a potência de eixo da turbina deve ser 
próxima de 150kW? 
 
Po = 27,57 MPa = 400psi 
150kW = 200 hp 
ht = Po / γ = (400 lb/in2) x (144 in2/ft2) / (62,4 lb/ ft3) = 923 ft 
Nsd = (ω x (Weixo)
1 /2)/ (h)5/4 = (1750 x (200)1/2)/ (923)5/4 = 4,86 
=> Para este valor é recomendado uma turbina de impulso.