Resolução Lista de Exercicios Aula 6 cálculo 4

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Resolução - Exercícios - Cálculo IV - Aula 6 - Semana 28/9 – 02/10
Exercício 1. Determine o intervalo de convergência de cada uma das seguintes séries de
potências:
a
∑
n!
100nx
n.
b
∑
2n
n2 x
n
c
∑
(−1)n+1 x
n
√
n
d
∑ (3n)!
(2n)!x
n
e
∑
x2n+1
(−3)n
f
∑ (x−3)n
n22n
g
∑
3n
n4nx
n
h
∑ (−1)n+1
n lnn (x− 3)
n
i
∑
lnn
en (x− e)
n
j
∑
10n
(2n)! (x− 7)
n
k
∑
n
4nx
2n
l
∑
xn
n3+1
m
∑ (−1)n+1
3
√
n2n
xn
n
∑
n2xn
o
∑
n2
23n (x+ 2)
n
Esboço. Passemos por cada item:
a Consideremos a sequência an(x) = n!100nx
n.
• Seja x 6= 0 então:
L = lim
n→∞
∣∣∣∣ (n+ 1)!xn+1100n+1 .100nn!xn
∣∣∣∣ = limn→∞ (n+ 1)|x|100 =∞
Do critério da razão temos então que
∑
an(x) não converge para x 6= 0.
• Se x = 0 a série é trivialmente convergente.
Temos então convergência de
∑
an(x) apenas em x = 0.
b Consideremos a sequência cn = 2
n
n2 . Façamos este exercício calculando R = lim
cn
cn+1
o
raio de convergência:
R = lim
n
∣∣∣∣ (n+ 1)22n+1 2nn2
∣∣∣∣ = 12
Ou seja, temos convergência absoluta em x =]− 12 ,
1
2 [, os casos fronteiriços são:
• Se x = 1/2, temos que
∑
an =
∑
1
n2 que é a série harmônica, a qual converge.
• Se x = −1/2, temos a série
∑ (−1)n
n2 que também é convergente. Como para L > 1
a série diverge, concluímos que o intervalo de convergência da série é [− 12 ,
1
2 ].
1
c Consideremos a sequência an(x) = (−1)n+1 x
n
√
n
. Pelo teste da razão, temos:
lim
n
∣∣∣∣ (−1)n+2xn+1√n+ 1 .
√
n
(−1)n+1xn
∣∣∣∣ = limn
∣∣∣∣(−1)x√ nn+ 1
∣∣∣∣ = |x|
Assim, temos que a série
∑
an(x) converge para |x| < 1.
• Para x = 1, temos a série convergente
∑ (−1)n+1√
n
, pelo critério de Leibniz.
• Para x = −1, temos que
∑
an =
∑ (−1)2n+1√
n
=
∑ −1√
n
que diverge1.
Portanto,
∑
an(x) converge para x ∈]− 1, 1].
d Consideremos a sequência an(x) =
(3n)!
(2n)!x
n. Aplicando o critério da razão ao caso
|x| > 0:
L = lim
n→∞
∣∣∣∣ (3n+ 3)!xn+1(2n+ 2)! . (2n)!(3n)!xn
∣∣∣∣ = limn→∞ (3n+ 3)(3n+ 2)(3n+ 1)(2n+ 2)(2n+ 1) |x| =∞
então
∑
an(x) converge apenas para x = 0.
e Apliquemos o critério da razão mais uma vez:
lim
n→∞
∣∣∣∣ x2n+3(−3)n+1 (−3)nx2n+1
∣∣∣∣ = limn→∞
∣∣∣∣ x2−3
∣∣∣∣ = |x|23
Com isso temos que a série converge se x
2
3 < 1, ou seja, |x| <
√
3 e diverge se |x| >
√
3.
• Se |x| =
√
3 a expressão do termo geral an(x) fica como:
√
3
2n+1
(−3)n
=
3n+1/2
(−1)n3n
=
31/2
(−1)n
Uma série alternada divergente.
• Se x = −
√
3, temos:
−
√
3
2n+1
(−3)n
=
(−1)2n+13n+1/2
(−1)n3n
= (−1)n+131/2
Também divergente.
Com isso temos que o intervalo de convergência é ]−
√
3,
√
3[
f Pelo critério da razão:
lim
n→∞
∣∣∣∣ (x− 3)n+1(n+ 1)22n+1 n22n(x− 3)n
∣∣∣∣ = limn→∞
∣∣∣∣∣x− 32
(
n+ 1
n
)2∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣x− 32
∣∣∣∣
Daí a série converge se |x−32 | < 1, ou seja 1 < x < 5, e diverge 1 > x ou x < 5. Ainda
resta determinar o que acontece quando x = 1 e x = 5
• Se x = 1 o termo geral fica como
(1− 3)n
(n22n)
=
(−2)n
n22n
=
(−1)n2n
n22n
=
(−1)n
n2
Essa série é absolutamente convergente e portanto convergente.
1comparação com a harmônica ou simplesmente observando que esta é uma harmônica generalizada de
parâmetro 1
2
< 1
2
• Por outro lado, se x = 5 temos
(5− 3)n
(n22n)
=
2n
(n22n)
=
1
n2
uma série harmônica generalizada 1np com p = 2, portanto convergente.
Com isso temos que o intervalo de convergência é [1, 5].
g Consideremos a sequência an(x) = 3
n
n.4nx
n. Pelo critério inverso da razão, temos:
R = lim
n→∞
∣∣∣∣ 3nn4n . (n+ 1)4n+13n+1
∣∣∣∣ = limn→∞ 4(n+ 1)3n = 43
Assim, temos que x ∈]− 4/3, 4/3[.
• Se x = 43 ficamos com a série
∑
1
n
3n4n
4n3n =
∑
1
n divergente.
• Se x = − 43 ficamos coma versão alternada da série acima, convergente pelo critério
de Leibniz.
Temos então intervalo de convergência I = [− 43 ,
4
3 [.
h Pelo critério inverso da razão, temos:
R = lim
n→∞
∣∣∣∣ (−1)n+1n lnn . (n+ 1) ln(n+ 1)(−1)n+2
∣∣∣∣ = limn→∞ n+ 1n . lnnln(n+ 1) = 1
Portanto, o raio de convergência é R = 1, garantindo convergência absoluta em ]2, 4[.
Os casos na fronteira ficam como segue:
• Se x = 2 temos
∑
an(x−3)n =
∑ (−1)2n+1
n lnn , não convergente pelo teste da integral.
• Se x = 4 ficamos com
∑
an(x − 3)n =
∑ (−1)n+1
n lnn , convergente pelo critério de
Leibniz.
Ficamos então com intervalo de convergência de I =]2, 4].
i Apliquemos o critério inverso da razão:
R = lim
n→∞
ln(n)
en
ln(n+1)
en+1
= e
Logo o raio de convergência é R = e. Vamos conferir para os extremos dados pelo raio
de convergência:
• Se x = 0 obtemos a série ∑
(−1)n ln(n)
que diverge pelo critério da divergência.
• Se x = 2e ficamos com ∑
ln(n)
que também diverge.
Consequentemente temos que o intervalo de convergência é ]0, 2e[.
j Usando o critério inverso da razão
R = lim
n→∞
10n
(2n)!
10n+1
(2n+2)!
= lim
n→∞
(2n+ 1)(2n+ 2)
10
=∞
Assim a série de potências converge para todo x ∈ R.
3
k Considere a série
∑
n
4nx
2n. Aplicando o critério da razão temos:
lim
n→∞
∣∣∣an+1
an
∣∣∣ = lim
n→∞
∣∣∣ (n+ 1)x2n+2
4n+1
4n
nx2n
∣∣∣ = x2
4
A convergência absoluta da série ocorre quando
x2
4
< 1 ou seja em ] − 2, 2[. Vamos
para os casos na fronteira:
• Se x = 2 a série se torna
∑
n, claramente divergente.
• Se x = −2 a série se torna
∑
n também divergente.
Concluímos que o intervalo de convergência é I =]− 2, 2[.
l Se a série convergir em módulo, então a série original será convergente. Assim, anali-
saremos a série
∑ |x|n
n3+1 . Então:
L = lim
n→∞
|x|n+1
(n+ 1)3 + 1
.
n3 + 1
|x|n
= |x|
Para |x| < 1 temos que a série em módulo converge e, consequentemente, a série
converge para x ∈]− 1, 1[.
• Para x = 1 temos a série
∑
1
n3+1 que converge pelo critério de comparação com
a série
∑
1
n3 .
• Para x = −1 temos a série
∑ (−1)n
n3+1 convergente pois é absolutamente convergente.
Portanto,
∑
xn
n3+1 converge para x ∈ [−1, 1].
m Pelo critério inverso da razão, temos:
R = lim
n→∞
∣∣∣∣ (−1)n+13√n.2n . 3
√
n+ 1.2n+1
(−1)n+2
∣∣∣∣ = limn→∞ 2 3
√
n+ 1
n
= 2
Temos convergência então em x ∈]− 2, 2[. Para os casos na fronteira:
• Para x = 2 temos a série
∑ (−1)n+1
3
√
n
convergente pelo critério de Leibniz.
• Para x = −2 temos a série
∑ (−1) ímpar︷ ︸︸ ︷2n+ 1
3
√
n
=
∑ −1
3
√
n
O negativo de uma harmônica generalizada divergente.
n Aplicando o critério inverso da razão à série de potências do enunciado, temos que:
R = lim
n→∞
∣∣∣∣ anan+1
∣∣∣∣ = limn→∞
∣∣∣∣ n2(n+ 1)2
∣∣∣∣ = limn→∞ n2n2 + 2n+ 1 = 1
Ou seja, o raio de convergência é R = 1.
• Em x = 1 temos
∑
n2xn =
∑
n2, que é divergente pois o limite do termo geral
quando n vai para o infinito não é zero.
• Para x = −1 temos
∑
n2xn =
∑
(−1)nn2, que também é divergente pelo mesmo
critério.
Portanto, o intervalo de convergência é I =]− 1, 1[.
4
o Tomando y = x+28 , note que ficamos com
∑
n2
(23)n (x + 2)
n =
∑
n2yn, exatamente o
exemplo anterior, só que na variável y. A mesma sequência de argumentos conclui que o
raio de convergência, na variável y, é 1 e que não temos convergência nas extremidades.
Nesse caso temos convergência (absoluta) em
−1 < y = x+ 2
8
< 1 ⇐⇒ −10 < x < 6
5