Lista de Exercícios 2 - Movimento 2D e 3D

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Lista de Exerćıcios 2 - Movimento 2D e 3D
Para a resolução dos exerćıcios considere o valor da gravidade de g = 9, 81 m/s2 e despreze a resistência do ar.
1. Um helicóptero, saindo de seu hangar, percorre 100 m numa pista em direção ao sul, dobrando depois para
entrar noutra pista rumo ao leste, de onde, após percorrer mais 100 m, levanta vôo verticalmente, elevando-se
a 100 m de altitude. Calcule:
a) A magnitude do deslocamento total.
b) O ângulo de elevação em relação ao solo, a partir do hangar.
c) A direção da projeção sobre o solo do vetor deslocamento.
Resposta: a) d=173 m. b) α=35,3◦. c) α=45◦ sudeste.
2. Um veleiro tem coordenadas (x1, y1)= (130 m, 205 m) em t1=60,0 s. Dois minutos depois, no tempo t2 ele tem
coordenadas (x2, y2)= (110 m, 218 m).
a) Encontre a velocidade média para este intervalo de dois minutos. Expresse em termos de suas componentes
retangulares.
b) Encontre a magnitude e a orientação desta velocidade média.
c) Para t ≥ 20,0 s, a posição de um segundo veleiro, como função do tempo, é x(t) = 100 + 0, 500t e y(t) =
200+360/t ( em metros e segundos). Encontre sua velocidade instantânea como função do tempo, para t ≥20,0 s.
3. Um modelo de foguete se move no plano xy (sentido positivo do eixo vertical Oy é de cima para baixo). A
aceleração do foguete possui as componentes ax(t) = 2, 5t
2 e ay(t) = 9, 00 − 1, 4t (em metros e segundo). Para
t=0 s, o foguete está na origem e possui velocidade ~v0 = v0,xî+ v0,y ĵ, sendo v0,x = 1, 00 m/s e v0,y = 7, 00 m/s.
a) Determine o vetor velocidade e o vetor posição em função do tempo.
b) Qual a altura máxima atingida pelo foguete?
c) Faça um desenho da trajetória do foguete.
d) Qual o deslocamento horizontal do foguete quando ele retorna para o ponto y=0?
4. Uma pessoa é capaz de remar um barco a 6,4 km/h em águas paradas se prepara para atravessar um rio retiĺıneo
com 6,4 km de largura e uma correnteza de 3,2 km/h. Tome î perpendicular ao rio e ĵ apontando para baixo.
Se a pessoa pretende remar até um ponto na outra margem exatamente em frente ao ponto de partida.
a) Para que ângulo em relação a î ela deve apontar o barco.
b) Quanto tempo ela levará para fazer a travessia?
c) Quanto tempo gastaria se, permanecendo na mesma margem, remasse 3,2 km rio abaixo e depois remasse de
volta ao ponto de partida?
d) Quanto tempo gastaria se, permanecendo na mesma margem, remasse 3,2 km rio acima e depois remasse de
volta ao ponto de partida?
e) Para que ângulo deveria direcionar o barco para atravessar o rio no menor tempo posśıvel?
f) Qual seria esse tempo?
5. Uma pedra que se encontra numa elevação de 60 m acima do solo, sobre uma plataforma horizontal, é arrastada
por uma enxurrada com velocidade de 3 m/s. A que distância horizontal do ponto de projeção e com que
velocidade (em km/h) ela atinge o solo?
Resposta: x = 10, 5 m. v = 124 km/h.
6. Uma bola é lançada e sua posição é dada por ~r = (15+12t)̂i+(16t−4, 9t2)ĵ ( em metros e segundos). Encontre
suas velocidades e aceleração como função do tempo.
7. Um trem que viaja a uma velocidade constante de 60,0 km/h se move na direção leste por 40,0 min, depois em
uma direção que faz um ângulo de 50◦ a leste com a direção norte por 20,0 min e, finalmente, na direção oeste
por mais 50,0 min. Quais são o módulo e o ângulo da velocidade média do trem durante a viagem?
Resposta: v = 7, 59 km/h; α=22,5◦ à leste do oeste.
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8. Um avião voa 483 km para leste, da cidade A para a cidade B, em 45,0 min, e depois 966 km para o sul, da
cidade B para a cidade C, em 1,50 h. Determine, para a viagem inteira, o módulo e a direção do deslocamento
do avião, o módulo e a direção da velocidade média e a velocidade escalar.
9. Uma mangueira, com bico a 1,5 m acima do solo, é apontada para cima, segundo um ângulo de 30◦ com o chão.
O jato de água atinge um canteiro a 15 m de distância.
a) Com que velocidade o jato sai da mangueira?
b) Que altura ele atinge?
Resposta: a) v = 12 m/s. b) h = 3, 35 m.
10. Uma pessoa atira um objeto ao ar com uma velocidade inicial de 24,5 m/s a 36,9◦ acima da horizontal. O objeto
é, depois, recuperado por outra pessoal. Calcule:
a) O tempo total que o objeto permanece no ar.
b) A distância percorrida horizontalmente.
Resposta: a) t = 3 s. b) x = 58, 8 m.
11. Uma pistola de sinalização atira uma bala luminosa com velocidade inicial igual a 120 m/s.
a) Se a bala é atirada a 55◦ acima da horizontal em uma região plana de Braśılia, qual é seu alcance horizontal?
b) Se a bala fosse atirada nas mesmas condições em uma região plana da Lua, onde g=1,6 m/s2, qual seria seu
alcance horizontal?
Resposta: a) x = 1, 4 km. b) x = 8, 5 km.
12. Uma pequena bola rola horizontalmente até a borda de uma mesa de 1,2 m de altura até cair no chão. A bola
chega ao chão a uma distância horizontal de 1,52 m da borda da mesa.
a) Por quanto tempo a bola fica no ar?
b) Qual é a velocidade da bola no instante que ela chega à borda da mesa?
Resposta: a) t = 0, 5 s. b) v = 3, 1 m/s.
13. Um jogador de basquete quer encestar a bola levantando-a desde uma altura de 2 m do chão, com velocidade
inicial de 7 m/s. A que distância da bola à vertical que passa pelo centro do cesto é de 3 m, e o aro do cesto
está a 3,05 m de altura do chão. Em que ângulo a bola deve ser levantada?
Resposta: α=67,8◦.
14. Um helicóptero larga um pacote de suprimentos para v́ıtimas de uma inundação que estão dentro de um bote
em um lago cheio. Quando o pacote é largado, o helicóptero está a 100 m diretamente acima do bote e voando
com uma velocidade de 25,0 m/s a um ângulo de 36,9◦ acima da horizontal.
a) Quanto tempo o pacote fica no ar.
b) A que distância do bote o pacote cai?
c) Se o helicóptero continuar com velocidade constante, onde estará o helicóptero quando o pacote atingir o
lago?
Resposta: a) t = 6, 30 s. b) x = 136 m. c) 194 m diretamente acima do pacote.
15. Um rifle que atira balas a 460 m/s é apontado para um alvo situado a 45,7 m de distância. Se o centro do alvo
está na mesma altura do rifle, para que altura acima do alvo o cano do rifle deve ser apontado para que a bala
atinja o centro do alvo?
Resposta: y = 4, 84 cm.
16. Um arremessador de peso de ńıvel oĺımpico é capaz de lançar o peso com uma velocidade inicial v0=15,00 m/s
de uma altura de 2,16 m. Que distância horizontal é coberta pelo peso se o ângulo de lançamento α0 é:
a) 45◦?
b) 42◦?
Resposta: x = 232 m, x = 244 m.
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17. O alcance de um projétil é 4 vezes sua altura máxima, e ele permanece no ar durante 2 s.
a) Em que ângulo ele foi lançado?
b) Qual foi a velocidade inicial?
c) Qual é o alcance?
Resposta: a) α = 45◦. b) v = 13, 9 m/s. c) x = 19, 6 m.
18. o chute de um jogador de futebol americano imprime à bola uma velocidade inicial de 25 m/s. Quais são o
menor e o maior ângulo de elevação que ele pode imprimir à bola para marcar um field goal a partir de um
ponto situado a 50 m da meta, cujo travessão está 3,44 m acima do gramado?
Resposta: 31◦ e 63◦.
19. Uma bola rola horizontalmente do alto de uma escada a uma velocidade de 1,52 m/s. os degraus têm 20,3 cm
de altura e 20,3 cm de largura. Em que degrau a bola bate primeiro.
Resposta: Terceiro.
20. Durante as erupções vulcânicas, grandes pedaços de pedra podem ser lançados para fora o vulcão; esses projéteis
são conhecidos como bombas vulcânicas. A figura mostra uma seção transversal do Monte Fuji, no Japão.
a) Com que velocidade inicial uma bomba vulcânica teria de ser lançada, com um ângulo α0=35
◦ em relação
à horizontal, a partir da cratera A, para cair no ponto B, a uma distância vertical h=3,3 km e uma distância
horizontal d=9,4 km?
b) Qual seria o tempo de percurso?
c) O efeito do ar aumentaria ou diminuiria o valor da velocidade calculada em a.
Resposta: a) 260 m/s. b) 45 s. c) aumentaria.
21. Um jogador de futebol inexperiente chuta um pênalti a 9 m dogol, levantando a bola com velocidade inicial de
15 m/s. A altura da trave é de 2,4 m. Calcule:
a) A que distância máxima da trave, atrás do gol, um apanhador de bolas pode ficar agachado.
b) A que distância mı́nima devem ficar os espectadores, para que não corram risco nenhum de levar uma bolada.
Resposta: a) x = 9, 56 m. b) x = 18, 7 m.
22. Uma pedra cai de um balão que se desloca horizontalmente. A pedra permanece no ar durante 3 s e atinge o
solo segundo uma direção que faz um ângulo de 30◦ com a vertical.
a) Qual é a velocidade do balão?
b) De que altura caiu a pedra?
c) Que distância a pedra percorreu na horizontal?
d) Com que velocidade a pedra atinge o solo?
Resposta: a) v = 17 m/s. b) h = 44 m. c) x = 51 m. v = 34 m/s.
23. Um rio de 1 km de largura tem uma correnteza de velocidade 1,5 km/h. Um homem atravessa o rio de barco,
remando a velocidade de 2,5 km/h em relação à água.
a) Qual é o tempo mı́nimo que leva para atravessar o rio? Onde desembarca nesse caso?
b) Suponha agora que o homem quer chegar a um ponto diametralmente oposto na outra margem, e tem
duas opções: remar de forma a atingi-lo diretamente, ou remar numa direção perpendicular à margem, sendo
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arrastado pela correnteza até além do ponto onde quer chegar, e depois caminhar de volta até lá. Se ele caminha
a 6 km/h, qual das duas opções é mais vantajosa, e quanto tempo leva?
Resposta: a) t = 21 min; 600 m adiante. b) qualquer um dos dois; t = 30 min.
24. Um piloto deseja voar orientando para o norte em relação ao solo. A velocidade do aeroplano em relação ao ar
é de 200 km/h e o vento está soprando de oeste para leste a 90 km/h.
a) Qual a orientação que o aeroplano deve adotar?
b) Qual é a velocidade do aeroplano em relação ao solo?
Resposta: a) 27◦ para oeste do norte. b) v = 180 km/h.
25. Um homem corre o mais depressa que pode por uma esteira rolante, levando 2,5 s para ir de uma extremidade
á outra. O homem volta ao ponto de partida, correndo o mais depressa que pode e leva 10,0 s. Qual é a razão
entre a velocidade do homem e a velocidade da esteira?
Resposta: 1,67.
26. A neve está caindo verticalmente com uma velocidade constante de 8,0 m/s. Com que ângulo, em relação à
vertical, os flocos de neve parecem estar caindo do ponto de vista do motorista de um carro que viaja em uma
estrada plana e retiĺınea a uma velocidade de 50 km/h?
Resposta: 60◦
27. Dois trens passam pela mesma estação, sem parar nela, com dois minutos de diferença, ambos a 60 km/h. O
primeiro a passar viaja rumo ao sul e o segundo viaja para oeste.
a) Determine o vetor velocidade relativa do segundo trem em relação ao primeiro.
b) Com origem na estação, e tomando como instante inicial o da passagem do primeiro trem pela estação,
represente graficamente o vetor deslocamento relativo do segundo trem em relação ao primeiro, nos instantes
t=0, t=2 min e t=4 min. Que forma tem a trajetória do segundo trem vista do primeiro?
c) A que distância mı́nima os dois trens passam um do outro? Em que instante isso ocorre?
Resposta: a) v = 85 km/h; à 45◦ noroeste. b) à 45◦ noroeste. c) x = 1, 41 km, para t = 1 min.
28. Um satélite se move com velocidade constante em uma órbita circular em torno do centro da Terra e próximo
à superf́ıcie da Terra. Se a magnitude de sua aceleração é 9,8 m/s2. Calcule:
a) Sua velocidade.
b) O tempo para uma volta completa.
Resposta: a) v = 7, 91 km/s. b) t = 84, 3 min.
29. Você está em um carrinho de montanha-russa, na parte ascendente de uma das voltas. Neste momento, o
carrinho viaja a 20 m/s, perdendo sua velocidade à taxa de 5,0 m/s2. O raio de curvatura do trilho é 25 m.
Quais são as componentes centŕıpeta e tangencial de sua aceleração neste instante?
Resposta. ac = 16 m/s
2, at=-5,0 m/s
2.
30. Um satélite da Terra se move em uma órbita circular, 640 km acima da superf́ıcie da Terra, com um peŕıodo de
98 min. Quais são a velocidade e o módulo da aceleração do satélite.
Resposta: v = 7, 49 km/s. ac = 8, 0 m/s
2.
31. Um homem corre o mais depressa que pode por uma esteira rolante, levando 2,5 s para ir de uma extremidade
à outra. Depois o homem volta ao ponto de partida, correndo o mais depressa que pode e levando 10,0 s. Qual
é a razão entre a velocidade do homem e a velocidade da esteira?
32. Depois de voar por 15 min em um vento de 42 km/h a um ângulo de 20◦ ao sul do leste, o piloto de um avião
sobrevoa uma cidade que está a 55 km ao norte do ponto de partida. Qual é a velocidade escalar do avião em
relação ao ar?
33. Um trem viaja para o sul a 30 m/s (em relação ao solo) em meio a uma chuva que é soprada para o sul pelo vento.
As trajetórias das gotas de chuva fazem um ângulo de 70◦ com a vertical quando medidas por um observador
estacionário no solo. Um observador no trem, entretanto, vê as gotas exatamente na vertical. Determine a
velocidade escalar das gotas de chuva em relação ao solo.
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34. Um avião pequeno atinge uma velocidade do ar de 500 km/h. O piloto pretende chegar a um ponto 800 km ao
norte, mas descobre que deve direcionar o avião 20,0◦ a leste do norte para atingir o destino. O avião chega em
2,00 h. Quais são o módulo e a orientação da velocidade do vento?
35. A Terra possui um raio igual a 6380 km e faz um giro completo em 24 horas.
a) Qual é a velocidade e a aceleração centŕıpeta de um objeto no equador da Terra? (Dê sua resposta em m/s2
e como uma fração de g).
b) Qual é a orientação do vetor aceleração?
36. Qual é o módulo da aceleração de um velocista que corre a 10 m/s ao fazer uma curva com 25 m de raio?
37. Um menino faz uma pedra descrever uma circunferência horizontal com 1,5 m de raio 2,0 m acima do chão. A
corda arrebenta e a pedra é arremessada horizontalmente, chegando ao solo depois de percorrer uma distância
horizontal de 10 m. Qual era o módulo da aceleração centŕıpeta da pedra durante o movimento circular?
38. Uma bolsa a 2,0 m do centro e uma carteira a 3,0 m do centro descrevem um movimento circular uniforme no
piso de um carrossel. Os dois objetos estão na mesma linha radial. Em um dado instante, a aceleração da bolsa
é 2, 00̂i+ 1, 00ĵ (em metros e segundos). Qual é a aceleração da carteira nesse instante, na notação dos vetores
unitários?
39. Um gato pula em um carrossel que descreve um movimento circular uniforme. No instante t1 = 2, 00 s, a
velocidade do gato é ~v1 = 3, 00̂i + 4, 00ĵ (em metros e segundos), medida em um sistema de coordenadas
horizontais xy. No instante t2 = 5, 00 s, a velocidade do gato é ~v2 = −3, 00̂i− 4, 00ĵ (em metros e segundos).
a) Qual é o módulo da aceleração centŕıpeta do gato?
b) Qual é a aceleração média do gato no intervalo de tempo t2 − t1, que é menor que um peŕıodo de rotação?