matemática

Prévia do material em texto

MATEMÁTICA II
PRÉ-VESTIBULAR 87PROENEM.COM.BR
TRIGONOMETRIA:
CICLO TRIGONOMÉTRICO13
O CICLO TRIGONOMÉTRICO
Para ampliarmos o estudo da trigonometria devemos usar uma 
outra forma de representação que seja capaz de mostrar ângulos 
sem nenhuma limitação. No caso dos triângulos ficávamos num 
universo bastante restrito visto que a soma dos ângulos internos 
de um triângulo é fixada em 180˚. Dessa necessidade, buscamos 
como ferramenta o ciclo trigonométrico que, por definição, tem raio 
unitário e circunferência de comprimento 2π. Convencionou-se 
que na circunferência orientada o ponto A é a origem na marcação 
de arcos e, por conta disso, arbitrou-se que o sentido positivo é o 
sentido anti-horário e o sentido horário será o negativo.
Observe a ilustração abaixo:
60º
1
75º
{
Os arcos  AB e AC acima representados têm orientação positiva 
e negativa, respectivamente. Com isso, escrevemos as suas 
medidas acompanhadas do sinal, nesse caso,  AB 60 e AC 75° °=+ = − .
A DIVISÃO EM QUADRANTES
Podemos dividir essa circunferência, a partir da origem, em 
quatro arcos congruentes, como vemos na figura abaixo:
180º
90º
0º ��360º
270º
Os diâmetros 1 2 43A A e A A são perpendiculares e dividem o 
ciclo trigonométrico em quatro arcos congruentes, denominados 
quadrantes. Numeramos os quadrantes no sentido anti-horário, 
dessa forma, temos:
O setor A1OA2 representa o primeiro quadrante, o setor A2OA3 
representa o segundo quadrante, o setor A3OA4 representa o 
terceiro quadrante e o setor a A4OA1 representa o quarto quadrante.
Lembre-se que 360º = 2π rad.
Assim, podemos relacionar a unidade do grau com radiano. 
Logo,
PROEXPLICA
ARCOS CÔNGRUOS 
Chamamos de arcos côngruos dois ou mais arcos que possuem 
a mesma origem e a mesma extremidade, a diferença entre dois arcos 
côngruos é um número de voltas inteiras dadas no ciclo.
De forma geral, se dois arcos a e b são côngruos então a–b = 
k·360º, em que k ∈ , (essa conclusão pode ser escrita também em 
radianos e, dessa forma, a – b = k·2π, em que k ∈ ).
01. Verifique se os pares de arcos abaixo são côngruos:
a) 1720˚ e 1000˚
Note que a diferença entre eles (1720˚ - 1000˚) é 720˚, que 
representa duas voltas completas, portanto, são côngruos.
b) 780˚ e – 200˚
Note que a diferença entre eles (780˚ - (-200˚)) é 1080˚, que 
representa três voltas completas, portanto são côngruos.
c) 600˚ e 500˚
A diferença entre eles (600˚ - 500˚) é 100˚, que não 
representa um número inteiro de voltas, portanto não são 
côngruos.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
PRÉ-VESTIBULARPROENEM.COM.BR88
MATEMÁTICA II 13 TRIGONOMETRIA: CICLO TRIGONOMÉTRICO
PRIMEIRA DETERMINAÇÃO POSITIVA
Todo arco a tem uma primeira determinação positiva. Esse valor 
é o menor arco positivo que seja côngruo de a. (Representação 
incompleta da volta)
Exemplo:
Qual a menor determinação positiva de 900˚?
Observe que o 900˚ está na terceira volta do ciclo. Ele representa 
duas voltas completas e na terceira volta representa 180˚ (360˚ 
+ 360˚ + 180˚ = 900˚) portanto o 180˚ é a primeira determinação 
positiva do 900˚.
Quando um arco é positivo e menor do que 360˚ ele já é a sua 
primeira determinação positiva.
EXPRESSÃO GERAL DE ARCOS CÔNGRUOS
No ciclo, cada ponto representa uma variedade infinita de 
arcos côngruos. Já sabemos que a partir da primeira determinação 
positiva podemos encontrar o próximo arco côngruo a este 
somando 360˚, dessa forma conseguimos escrever uma expressão 
geral para uma família de arcos côngruos.
120º
O ponto E tem como primeira representação positiva o arco de 
120˚, mas podemos escrever sua família adicionando voltas.
Observe:
120º
120º+360º=480º
120º+360º+360=840º
120º+360º+360º+360º=1200º
...
120º+360º+360º+ ...+360º=120º+k·360º em que k ∈ .
Nessa expressão temos a representação de todos os arcos 
côngruos de 120˚ e também a quantidade de voltas de cada arco, 
denotado por k.
AS LINHAS TRIGONOMÉTRICAS NO CICLO
Consideremos um ciclo trigonométrico de origem O. Para 
estudos de linhas trigonométricas, é associado inicialmente três 
eixos ao ciclo:
• O eixo dos senos será o eixo vertical de um plano cartesiano 
(ordenadas);
• O eixo dos cossenos será o eixo horizontal de um plano 
cartesiano (abscissas); 
• O eixo das tangentes será o eixo paralelo ao eixo do seno e 
tangenciando à direita do ciclo (A1).
O valor do seno de um arco é obtido através da projeção da 
extremidade do arco sobre o eixo vertical. Essa projeção é um 
ponto que faz parte de um eixo ordenado positivamente para cima 
e negativamente para baixo em que devemos observar a distância 
até a origem.
sena = OF
O valor do cosseno de um arco é obtido através da projeção 
da extremidade do arco sobre o eixo horizontal. Essa projeção é 
um ponto que faz parte de um eixo ordenado positivamente para 
direita e negativamente para esquerda em que devemos observar a 
distância até a origem.
cos a = OG
O valor da tangente de um arco é obtido através do 
prolongamento do raio até o eixo da tangente. Esse prolongamento 
encontra o eixo num ponto que faz parte de um eixo ordenado 
positivamente para cima e negativamente para baixo em que 
devemos observar a distância até A1.
tana = RA1
PRÉ-VESTIBULAR PROENEM.COM.BR
13 TRIGONOMETRIA: CICLO TRIGONOMÉTRICO
89
MATEMÁTICA II
Como o raio da circunferência trigonométrica mede uma 
unidade os valores de seno e cossenos ficam compreendidos 
entre – 1 e 1.
PROEXPLICA
SINAIS NOS QUADRANTES
SENO
O seno será positivo no 1º e no 2º quadrantes, e negativo no 
3º e no 4º.
COSSENO
O cosseno será positivo no 1º e no 4º quadrantes, negativo no 
2º e no 3º.
TANGENTE
A tangente será positiva nos quadrantes ímpares e negativa 
nos pares.
REDUÇÃO DE QUADRANTES
É possível conhecendo os arcos do primeiro quadrante 
determinarmos os valores das linhas trigonométricas de qualquer 
outro quadrante. Para isso, é necessário conhecer o processo de 
redução de quadrantes que mostraremos a seguir.
REDUÇÃO DO 2º PARA O 1º QUADRANTE
Lembre-se que no segundo quadrante os arcos medem entre 
90˚ e 180˚.
Seja a um arco qualquer do 2º quadrante.
Utilizando o prolongamento do segmento EF obtemos o ponto H 
e construindo um segmento paralelo a EG obtemos o segmento HI. 
Unindo o ponto H ao ponto O obtemos o triângulo OHI, que é 
congruente ao triângulo OEG. 
Com isso, podemos concluir que:
Os ângulos a e b são suplementares, isto é, a + b = 180º.. 
Note que EG = HI e EF = FH, assim, podemos afirmar que 
sena = senb e cosa = – cosb. De maneira geral, para todo 90º < a 
< 180º temos que sen a = sen (180º-a) e cosa = -cos (180º–a).
PRÉ-VESTIBULARPROENEM.COM.BR90
MATEMÁTICA II 13 TRIGONOMETRIA: CICLO TRIGONOMÉTRICO
Exemplo:
Determine o sen 150º e o cos 120º. 
Resolução:
Como ambos são ângulos do 2º quadrante vamos utilizar as 
relações vistas acima.
1sen150º sen(180º 150º) sen30º
2
1cos120º cos(180º 120º) cos 60º
2
= − = =
= − − = − = −
REDUÇÃO DO 3º PARA O 1º QUADRANTE
Lembre-se que no terceiro quadrante os arcos medem entre 
180˚ e 270˚.
Seja a um arco qualquer do 3º quadrante.
Construindo o prolongamento do segmento EO encontramos 
o ponto H, e traçando suas projeções ortogonais nos eixos 
cartesianos obtemos os pontos I e J, conforme figura abaixo:
O ângulo b é o excesso do ângulo a em relação a 180˚, dessa 
forma, temos que a – 180º = b. Observe que os ângulos GÔE e HÔI são 
O.P.V. e por isso podemos concluir que os triângulos GOE e HOI são 
congruentes. Note que GE = HI e OF = OJ, portanto, podemos afirmar 
que para todo ângulo do 3º quadrante sen a = –sen (a–180º), assim 
como, cos a = -cos (a –180º).
REDUÇÃO DO 4º PARA O 1º QUADRANTE
Lembre-se que no quarto quadrante os arcos medem entre 
270˚ e 360˚.
Seja a um arco qualquer do 4º quadrante.
Utilizando o prolongamento do segmento EG obtemos o ponto 
H e construindo um segmento paralelo a EF obtemos o segmento 
HI. 
Unindo o ponto H ao ponto O obtemos o triângulo OHG, que é 
congruente ao triângulo OEG. 
Com isso, podemos concluir que:
PRÉ-VESTIBULAR PROENEM.COM.BR
13 TRIGONOMETRIA:CICLO TRIGONOMÉTRICO
91
MATEMÁTICA II
Os ângulos a e b são replementares, isto é, a + b = 360º. 
Note que EG = HG e EF = IH, assim, podemos afirmar que sena 
= -senb e cosa = cosb. De maneira geral, para todo 270º < a < 360º 
temos que sen a = - sen (360º–a) e cosa = cos (360º–a).
PROTREINO
EXERCÍCIOS
01. Determine em radianos a medida do ângulo formado pelos 
ponteiros de um relógio às 4 horas.
02. Obtenha as menores determinações não negativas dos arcos.
a) 1440°
b) 1300°
c) 11 rad
2
π
d) -11π rad
03. Descubra quais pares abaixo que representam arcos côngruos. 
( ) 740º e 1460º 
( ) 400º e 940º 
( ) 38 26rad e rad
3 3
π π 
( ) 74 19rad e rad
5 5
π π
04. Indique em qual o quadrante no ciclo trigonométrico estão 
localizados as extremidades dos seguintes arcos
a) 5
6
π b) 6
5
π c) 
4
π
− d) 3
2
π
−
05. Encontre o valor de y no caso abaixo:
y = 3 cos 540º – 2 sen 90º + tg180º
PROPOSTOS
EXERCÍCIOS
01. (UFF) Considere os ângulos a, b e g conforme 
representados no círculo.
Pode-se afirmar que:
a) cos a < cos b
b) cos g < cos a
c) sen a < sen b
d) sen b < cos g
e) cos b < cos g
02. (ENEM PPL) As coordenadas usualmente utilizadas na 
localização de um ponto sobre a superfície terrestre são a latitude 
e a longitude. Para tal, considera-se que a Terra tem a forma de 
uma esfera.
Um meridiano é uma circunferência sobre a superfície da Terra 
que passa pelos polos Norte e Sul, representados na figura por PN 
e PS. O comprimento da semicircunferência que une os pontos 
PN e PS tem comprimento igual a 20.016 km. A linha do Equador 
também é uma circunferência sobre a superfície da Terra, com raio 
igual ao da Terra, sendo que o plano que a contém é perpendicular 
ao que contém qualquer meridiano.
Seja P um ponto na superfície da Terra, C o centro da Terra e o 
segmento PC um raio, conforme mostra a figura. Seja ϕ o ângulo 
que o segmento PC faz com o plano que contém a linha do Equador. 
A medida em graus de é a medida da latitude de P. 
Suponha que a partir da linha do Equador um navio viaja subindo 
em direção ao Polo Norte, percorrendo um meridiano, até um ponto 
P com 30 graus de latitude.
Quantos quilômetros são percorridos pelo navio? 
a) 1.668 b) 3.336 c) 5.004 d) 6.672 e) 10.008 
03. (UECE) Em um relógio analógico circular usual, no momento em 
que está registrando 10 horas e trinta e cinco minutos, a medida do 
menor ângulo entre os ponteiros indicadores de horas e minutos é
a) 108 graus. 
b) 107 graus e trinta minutos. 
c) 109 graus. 
d) 108 graus e trinta minutos. 
04. (MACKENZIE) Os valores de x (x ∈ ), para os quais a função 
1f(x) tg 3x
3 4
π = − 
  não é definida, são 
a) k , kπ + π ∈ 
b) k , k
2
π
+ π ∈ 
c) 3 k , k
4
π
+ π ∈ 
d) k , k
4
π
+ π ∈ 
e) k , k
4 3
π π
+ ∈ 
05. (UEG) Na competição de skate a rampa em forma de U tem o 
nome de vert, onde os atletas fazem diversas manobras radicais. 
Cada uma dessas manobras recebe um nome distinto de acordo 
com o total de giros realizados pelo skatista e pelo skate, uma 
delas é a “180 allie frontside”, que consiste num giro de meia volta. 
Sabendo-se que 540º e 900º são côngruos a 180º um atleta que 
faz as manobras 540 Mc Tuist e 900 realizou giros completos de 
a) 1,5 e 2,5 voltas respectivamente. 
b) 0,5 e 2,5 voltas respectivamente. 
c) 1,5 e 3,0 voltas respectivamente. 
d) 3,0 e 5,0 voltas respectivamente. 
e) 1,5 e 4,0 voltas respectivamente. 
PRÉ-VESTIBULARPROENEM.COM.BR92
MATEMÁTICA II 13 TRIGONOMETRIA: CICLO TRIGONOMÉTRICO
06. (ENEM PPL) No jogo mostrado na figura, uma bolinha desloca-
se somente de duas formas: ao longo de linhas retas ou por arcos 
de circunferências centradas no ponto O e raios variando de 1 a 8. 
Durante o jogo, a bolinha que estiver no ponto P deverá realizar a 
seguinte sequência de movimentos: 2 unidades no mesmo sentido 
utilizado para ir do ponto O até o ponto A e, no sentido anti-horário, 
um arco de circunferência cujo ângulo central é 120º.
Após a sequência de movimentos descrita, a bolinha estará no 
ponto 
a) B b) D c) E d) F e) G
07. (IFCE) O valor de COS (2.280º) é 
a) 1
2
−
b) 1
2
c) 2
2
−
d) 3
2
−
e) 3
2
08. (UEG) Sabendo-se que 1sen(x)
2
= e que x é um ângulo do 1º 
quadrante, o valor da expressão sen(4x) - cos (4x) é 
a) 3 1
2
−
b) 1
2
c) 3 1
2
+
d) 2
09. (IFAL) O valor da expressão sen30º tg225º
cos sen( 60º)
2
+
π
− −
 é 
a) 1
b) 1
2
c) 3−
d) 3
e) 1
2
−
10. (UDESC) Assinale a alternativa que corresponde ao valor da 
expressão:
2 2 213 11 7 316cos 4cos sen tg
6 4 6 3
π π π π       − + − +       
        
a) 6 b) 5 c) 9
2
d) 3 e) 23
4
11. (ENEM PPL) Uma pista circular delimitada por duas 
circunferências concêntricas foi construída. Na circunferência 
interna dessa pista, de raio 0,3 km, serão colocados aparelhos de 
ginástica localizados nos pontos P, Q e R, conforme a figura.
O segmento RP é um diâmetro dessa circunferência interna, e o 
ângulo ˆPRQ tem medida igual a 
5
π radianos.
Para uma pessoa ir do ponto P ao ponto Q andando pela 
circunferência interna no sentido anti-horário, ela percorrerá uma 
distância, em quilômetro, igual a
a) 0,009 π b) 0,03 π c) 0,06 π d) 0,12 π e) 0,18 π
12. (UECE) O valor da soma sen(x) + sen(x + π) + sen(x + 2π) + sen(x 
+ 3π) + ... + sen(x + nπ), onde n é um número natural par e menor 
do que 100 é 
a) sen(x). b) cos(x). c) 0. d) 1. 
13. (UNESP) A figura indica os gráficos das funções I, II e III. Os 
pontos A(72°, 0,309), B(xB, - 0,309) e C(xC, 0,309) são alguns dos 
pontos de intersecção dos gráficos.
Nas condições dadas, xB + xC é igual a 
a) 538° 
b) 488° 
c) 540° 
d) 432° 
e) 460°
14. (FGV) Na figura, ABCD representa uma placa em forma 
de trapézio isósceles de ângulo da base medindo 60°. A placa 
está fixada em uma parede por AD, e PA representa uma corda 
perfeitamente esticada, inicialmente perpendicular à parede.
PRÉ-VESTIBULAR PROENEM.COM.BR
13 TRIGONOMETRIA: CICLO TRIGONOMÉTRICO
93
MATEMÁTICA II
Nesse dispositivo, o ponto P será girado em sentido horário, 
mantendo-se no plano da placa, e de forma que a corda fique 
sempre esticada ao máximo. O giro termina quando P atinge M, 
que é o ponto médio de CD. 
Nas condições descritas, o percurso total realizado por P, em cm, 
será igual a
a) 
50
3
π b) 40
3
π c) 15 d) 10 e) 9
15. (UNESP) A figura mostra um relógio de parede, com 40 cm de 
diâmetro externo, marcando 1 hora e 54 minutos.
Usando a aproximação π = 3, a medida, em cm, do arco externo 
do relógio determinado pelo ângulo central agudo formado pelos 
ponteiros das horas e dos minutos, no horário mostrado, vale 
aproximadamente 
a) 22. b) 31. c) 34. d) 29. e) 20.
16. (CFTMG) Se o relógio da figura marca 8 h e 25 min, então o 
ângulo x formado pelos ponteiros é
 
a) 12° 30’. b) 90°. c) 102° 30’. d) 120°. 
17. (UDESC) O relógio Tower Clock, localizado em Londres, 
Inglaterra, é muito conhecido pela sua precisão e tamanho. O 
ângulo interno formado entre os ponteiros das horas e dos minutos 
deste relógio, desprezando suas larguras, às 15 horas e 20 minutos 
é: 
a) 
12
π
b) 
36
π
c) 
6
π
d) 
18
π
e) 
9
π 
18. (IFPE) O relógio abaixo está marcando 2 horas em ponto. O 
ponteiro dos minutos começa a se locomover e anda 240°.
Após esses 240° percorridos pelo ponteiro dos minutos, que horas 
o relógio estará marcando? 
a) 2h 45 b) 2h 20 c) 2h 30 d) 2h 40 e) 2h 24
19. (UNESP) Em um jogo eletrônico, o "monstro" tem a forma de 
um setor circular de raio 1 cm, como mostra a figura.
A parte que falta no círculo é a boca do "monstro", e o ângulo de 
abertura mede 1 radiano. O perímetro do "monstro", em cm, é: 
a) π - 1. b) π + 1. c) 2π - 1. d) 2π. e) 2π + 1.
20. (PUCPR ) O globo terrestre é dividido por linhas imaginárias que o 
circundam, denominadas paralelos e meridianos, que são traçadas 
para definir cada ponto do nosso planeta. Os paralelos são linhas 
imaginárias de leste a oeste e os meridianos são linhas de norte a 
sul. Alguns paralelosdestacam-se mais do que os outros, como a 
Linha do Equador, que é a maior circunferência da Terra. Usando 
essa ideia e também o fato de que o raio da Terra é 6.371 km, pode-
se calcular a distância, em quilômetros, entre dois meridianos na 
Linha do Equador. Agora suponha que tudo isso também se aplica 
na Lua, que possui raio igual a 1.737,4 km. É possível dizer que as 
distâncias aproximadas entre dois meridianos, separados por 27°, 
na Terra e na Lua são, respectivamente:
(Dados: π ≅ 3,1) 
a) 955,65 km e 260,61 km. 
b) 1.000,65 km e 180,61 km. 
c) 1.574,65 km e 782,61 km. 
d) 1.948,65 km e 1.378,61 km. 
e) 2.962,52 km e 807,89 km.
APROFUNDAMENTO
EXERCÍCIOS DE
01. (CFTRJ) Na figura abaixo, temos dois arcos de duas 
circunferências com centros O e P: o primeiro possui extremidades 
A e B e o segundo possui extremidades A e C, respectivamente. 
Sabendo ainda que O é ponto médio do segmento e PA, B é um 
ponto do segmento PC e que o primeiro arco mede 3,2 cm, obtenha 
a medida, em cm, do segundo arco
PRÉ-VESTIBULARPROENEM.COM.BR94
MATEMÁTICA II 13 TRIGONOMETRIA: CICLO TRIGONOMÉTRICO
02. (UEG) Duas importantes cidades estão localizadas sobre a 
linha do Equador: uma é a capital do Amapá e a outra é a capital 
do Equador, ambas na América do Sul. Suas longitudes são, 
respectivamente, 78° Oeste e 52° Oeste. Considerando que a Terra 
é uma esfera de raio 6400 km, qual é a distância entre essas duas 
cidades?
03. (UNESP) Paulo fabricou uma bicicleta, tendo rodas de tamanhos 
distintos, com o raio da roda maior (dianteira) medindo 3 dm, o raio 
da roda menor medindo 2 dm e a distância entre os centros A e B 
das rodas sendo 7 dm. As rodas da bicicleta, ao serem apoiadas no 
solo horizontal, podem ser representadas no plano (desprezando-
se os pneus) como duas circunferências, de centros A e B, que 
tangenciam a reta r nos pontos P e Q, como indicado na figura.
a) Determine a distância entre os pontos de tangência P e Q e o 
valor do seno do ângulo BPQ.
b) Quando a bicicleta avança, supondo que não haja deslizamento, 
se os raios da roda maior descrevem um ângulo de 60°, 
determine a medida, em graus, do ângulo descrito pelos raios 
da roda menor. Calcule, também, quantas voltas terá dado a 
roda menor quando a maior tiver rodado 80 voltas.
04. (UNICAMP) Um relógio foi acertado exatamente ao meio dia. 
Determine as horas e minutos que estará marcando esse relógio 
após o ponteiro menor ter percorrido um ângulo de 42°.
05. (FGV - ADAPTADA) Determine a hora exata indicada no relógio 
na figura abaixo.
 
GABARITO
 EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01. B
02. B
03. B
04. E
05. A
06. D
07. A
08. C
09. D
10. A
11. D
12. A
13. C
14. A
15. B
16. C
17. E
18. D
19. E
20. E
 EXERCÍCIOS DE APROFUNDAMENTO
01. 3,2
02. Aproximadamente 2.902,76 km (supondo π = 3,14)
03. a) PQ 4 3 dm= 
( 13)senBPQ
13
=
b) 90° e 120 voltas
04. 13h e 24min
05. 6 horas e 555
13
 min.
ANOTAÇÕES