Potenciação, Radiciação e Notação Científica

Prévia do material em texto

MATEMÁTICA I
PRÉ-VESTIBULAR 43PROENEM.COM.BR
POTENCIAÇÃO E EQUAÇÃO 
EXPONENCIAL15
POTENCIAÇÃO
Potência de expoente n inteiro (n ≥ 2) de um número real “a” é o 
produto de n fatores iguais a “a” e sua representação é feita por an.
n
n vezes
a a a a...a= ⋅ ⋅

O número a é chamado de base e o número n de expoente.
Definições:
a1 = a
a0 = 1 (a ≠ 0)
Propriedades:
I. am · an = am+n
II. 
m
n
a
a
 = am-n (a ≠ 0)
III. (a · b)n = an bn
IV. 
na
b
 
  
 = 
n
n
a
b
 (b ≠ 0)
V. (am)n = (an)m = am.n
VI. 0n = 0 (n > 0)
VII. n ma = 
m
na (n ≠ 0)
VIII. n
1
a
 
  
 = a-n (a ≠ 0)
IX. 
na
b
 
  
 = 
nb
a
−
 
  
 (a ,b ≠ 0)
NOTAÇÃO CIENTÍFICA
Usar a notação científica é colocar um número muito grande 
ou muito pequeno em função de 10n, onde n é o total de casas que 
vamos tirar.
Números muito pequenos ou muito grandes são frequente-
mente encontrados nas ciências em geral e escrever em notação 
científica facilita fazer comparações e cálculos.
N · 10n
Sendo, N um número real igual ou maior que 1 e menor que 10 
e n um número inteiro.
O expoente da potência 10 será o número de casas que 
precisamos mover a vírgula. Se ao deslocar a vírgula o valor do 
número diminuir, então o expoente ficará positivo. Ou se o número 
aumentou, o expoente ficará negativo.
Exemplo:
a) 7 380 000 000 000 = 7,38 · 1012
b) 0, 000000016 = 1,6 · 10- 8
01. Nos trabalhos científicos, números muito grandes ou 
próximos de zero, são escritos em notação científica, que 
consiste em um número x, tal que 1 < x < 10 multiplicado por 
uma potência de base 10. Assim sendo, 0,00000045 deve ser 
escrito da seguinte forma:
a) 0,45 x 10–7
b) 4,5 x 10–7
c) 45 x 10–6
d) 4,5 x 108
Resolução:
Como temos que andar 7 casas para a direita até chegar no 
4, colocamos 4,5.10-7
Gabarito: B
EXERCÍCIO RESOLVIDO
RADICIAÇÃO
Se n ∈ *, a expressão n a b= indica que b
n = a onde:
a = radicando
n = índice
 = radical
b = raiz de índice n ou enésima
Propriedades:
I. ( )nn a = a
II. n ab = 
1 1
n na b⋅
III. n
a
b
 = 
n
n
a
b
IV. ( )
1 mm
mn n na (a ) a= =
V. m n m na a⋅=
OPERAÇÕES
Soma e Subtração
Só podemos somar e subtrair raízes que possuam o mesmo 
índice e o mesmo radicando.
Exemplo:
3 5 6 5 5 5 4 5+ − =
PRÉ-VESTIBULARPROENEM.COM.BR44
MATEMÁTICA I 15 POTENCIAÇÃO E EQUAÇÃO EXPONENCIAL
Multiplicação e Divisão
Só podemos multiplicar ou dividir raízes que possuam o 
mesmo índice.
Exemplos:
a) 3 5 15⋅ = 
b) 
3
33
3
14 14
7
22
= = 
Racionalização
Racionalizar significa retirar a raiz do denominador, mantendo 
a mesma fração.
Exemplos:
a) 
1 1 3 3
33 3 3
= ⋅ = 
b) 
3 2 3
3 3 3 2
3 3 5 3 25
55 5 5
= ⋅ = 
c) 
( )3 5 33 3 5 3
25 3 5 3 5 3
−−
= ⋅ =
+ + −
 
A Nanotecnologia tem por sua finalidade projetar e desenvolver 
produtos a partir de partículas minúsculas. Partindo da escala 
de que 1 milímetro equivale a 1 milhão de nanômetros, muitas 
questões podem ser contextualizadas nas mais diversas 
áreas da Medicina e da computação. Nos últimos anos o 
setor vem recebendo muito investimento do governo federal 
sendo possível que este seja um tema bastante citado em 
exames vestibulares.
PROEXPLICA
02. (UFF) O nanômetro é a unidade de medida de comprimento 
usada em Nanotecnologia (nano vem do grego e significa 
“anão”). Sabe-se que um metro equivale a um bilhão de 
nanômetros. Considerando o diâmetro da Terra com 13.000 
quilômetros, conclui-se que a medida do diâmetro da terra, 
em nanômetro, é igual a:
a) 1,3 x 1016
b) 1,3 x 10-16
c) 1,3 x 10-9
d) 1,3 x 109
e) 1,3 x 104
Resolução:
m = 1 bilhão de nanômetros 1 000 000 000 = (109)
1km = 1000m = 1 trilhão de nanômetros 1 000 000 000 000 = (1012)
Como a terra tem 13.000 km de diâmetro, então temos 13.000 
x 1 trilhão de nanômetros.
Em números: 13 000 000 000 000 000 (treze quatrilhões de 
nanômetros)
Em notação científica: 1,3 · 1016
Gabarito: A
EXERCÍCIO RESOLVIDO
03. (FEEVALE) O número de partidos políticos registrados no 
Tribunal Superior Eleitoral (TSE) em abril de 2017, no Brasil, 
está representado na equação a seguir por x, onde x = 25 + 
log 1.000.
Esse número é 
a) 32 
b) 33 
c) 34 
d) 35 
e) 36 
Resolução:
Calculando:
5x 2 log 1.000 32 3 35= + = + =
Gabarito: D
04.(ENEM - Libras) Uma das principais provas de velocidade 
do atletismo é a prova dos 400 metros rasos. No Campeonato 
Mundial de Sevilha, em 1999, o atleta Michael Johnson venceu 
essa prova, com a marca de 43,18 segundos.
Esse tempo, em segundo, escrito em notação científica é 
a) 0,4318 x 102
b) 4,318 x 101
c) 43,18 x 100
d) 431,08 x 10-1 
e) 4.318 x 10-2 
Resolução:
Calculando:
143,1843,18 10 4,318 10 .
10
= × = ×
Gabarito: B
05. (CCPS) Uma antiga lenda da Índia afirma que o jogo de 
xadrez foi criado a pedido de um rei e, como recompensa, 
o criador do jogo recebeu grãos de trigo de acordo com o 
número de casas do tabuleiro, seguindo o procedimento 
descrito.
• O criador do jogo escolhe uma casa e recebe 2 grãos 
por ela.
• Para a próxima casa escolhida, ele recebe o dobro da 
casa anterior.
• O processo continua até que todas as casas do 
tabuleiro sejam escolhidas exatamente uma vez.
Observando o processo podemos perceber que, para a 
décima casa do tabuleiro, o rei entrega 1.024 grãos.
PRÉ-VESTIBULAR PROENEM.COM.BR
15 POTENCIAÇÃO E EQUAÇÃO EXPONENCIAL
45
MATEMÁTICA I
O tabuleiro de xadrez conta com 64 casas distribuídas em 
8 colunas verticais e 8 fileiras horizontais, cada uma com 8 
casas. As casas são alternadamente escuras e claras.
É correto afirmar que, o número de grãos a ser entregue pela 
vigésima casa seria 
a) maior que 1.000 e menor que 10.000. 
b) maior que 10.000 e menor que 100.000. 
c) maior que 100.000 e menor que 1.000.000. 
d) maior que 1.000.000 e menor que 10.000.000.
e) maior que 10.000.000 e menor que 100.000.000. 
Resolução:
Do enunciado, o número de grãos a ser entregue pela 
vigésima casa seria 220 = 1.048.576 de grãos.
1.000.000 < 1.048.576 < 10.000.000
Assim, o número de grãos a ser entregue pela vigésima casa 
seria maior que 1.000.000 e menor que 10.000.000. 
GABARITO: D
05. (PUC - Campinas) Usando a tecnologia de uma 
calculadora pode-se calcular a divisão de 2 por 3 4 e obter 
um resultado igual a 
a) 4. b) 
3 3. c) 5. d) 
3 2. e) 
24 . 
Resolução:
3 3
3
3 33 32 3
2 2 2 2 2
2
4 22 2
⋅
= ⋅ = =
GABARITO: D
06 (PUC-RJ) Assinale a alternativa correta. 
a) 2 16 32= 
b) 50 32 2− = 
c) 2 3 5+ = 
d) 2 3 5 2+ = + 
e) 5 2 2 2 14+ = 
Resolução:
Calculando:
50 32 2
5 2 4 2 2
− =
− =
GABARITO: B
07. (PUC-RJ) Quanto vale 1 ?
2 1−
 
a) 
1
1
2
− 
b) 2 1+ 
c) 2 1
2
− 
d) 5
2
 
e) 1 
Resolução:
Racionalizando o denominador, obtemos
+ + +
= =
− + + + −
+ +
= = +
−
2 2
1 ( 2 1) 2 1 2 1
.
2 1 ( 2 1) ( 2 1)( 2 1) ( 2 ) 1
2 1 2 1
2 1
2 1 1
GABARITO: B
EQUAÇÃO EXPONENCIAL
É toda equação que contém incógnita no expoente.
Para resolvermos uma equação exponencial, na sua forma 
elementos, tentaremos igualar as bases das potências, aplicando 
propriedades de potenciação e/ou radiação.
Exemplo 1:
2x = 256 → 2x = 28 → x = 8
Exemplo 2:
27x-1 = 9x+4 → (33)x-1 = (32)x+4 → 33x-3 = 32x+8 → 
3x - 3 = 2x + 8 → x = 11
Exemplo 3:
2x – 2 2 1= →
2x – 2 02 2= → x2 – 2 = 0 → x2 = 2 → x 2= ± 2
Exemplo 4:
22x - 9 . 2x + 8 = 0 → 2x = y → y2 - 9y + 8 = 0 → 
y’ = 1 → y” = 8
 2x = y 2x = y
 2x = 1 2x = 8
 2x = 20 2x = 23
 x = 0 x = 3
Exemplo 5:
(EsPCEx (Aman) ) As raízes inteiras da equação 3x x2 7 2 6 0− ⋅ + = 
são
a) 0 e 1. 
b) –3 e 1.
c) –3, 1 e 2.
d) –3, 0 e 1.
e) 0, 1 e 2.
Solução: A
( )
3x x
3x x
2 7 2 6 0
2 7 2 6 0
− ⋅ + =
− ⋅ + =
Fazendo
 
x2 t,=
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )
3
3
2
2
t 7t 6 0
t t 6t 6 0
t t 1 6 t 1 0
t t 1 t 1 6 t 1 0
t 1 t t 1 6 0
t 1 t t 6 0
− + =
− − + =
⋅ − − ⋅ − =
⋅ − ⋅ + − ⋅ − =
− ⋅ ⋅ + − =
− ⋅ + − =
De
 
t 1 0,− =
t 1=
De 
2t t 6 0,+ − =
t 2 ou t 3= = −
Como 2x = t e t 1= ou t 2= ou t 3,= −
x x 02 1 2 2 x 0= ⇒ = ⇒ =ou
x2 2 x 1= ⇒ =
ou
x2 3= − (não há solução real)
Assim, as raízes inteiras da equação 3x x2 7 2 6 0− ⋅ + = são x = 
0 e x = 1.
PRÉ-VESTIBULARPROENEM.COM.BR46
MATEMÁTICA I 15 POTENCIAÇÃO E EQUAÇÃO EXPONENCIAL
Exemplo 6:
(UFRGS 2017) No estudo de uma população de bactérias, 
identificou-se que o número N de bactérias, t horas após o início do 
estudo, é dado por 1,5 tN(t) 20 2 .= ⋅
Nessas condições, em quanto tempo a população de bactérias 
duplicou? 
a) 15 min.
b) 20 min.
c) 30 min.
d) 40 min.
e) 45 min.
Solução: D
Calculando o número inicial de bactérias, temos:
1,5 0N(0) 20 2 20⋅= ⋅ =
Vamos determinar o valor de t em horas de modo que o número 
de bactérias seja 40. 
1,5 t
1,5 t
40 20 2 .
2 2
1,5 t 1
1 2
t h
1,5 3
2 2 60min
h 40min
3 3
⋅
⋅
= ⋅
=
⋅ =
= =
⋅
= =
Exemplo 7: 
(UEFS 2017) Considerando-se que, sob certas condições, o número 
de colônias de bactérias, t horas após ser preparada a cultura, pode 
ser dado pela função t tN(t) 9 2 3 3,= − ⋅ + t 0,≥ pode-se estimar que 
o tempo mínimo necessário para esse número ultrapassar 678 
colônias é de 
a) 2 horas.
b) 3 horas.
c) 4 horas.
d) 5 horas.
e) 6 horas.
Solução: B
Vamos determinar t de modo que N(t) seja 678, resolvendo a 
equação abaixo:
( )
t t
2t t
t
t t
t
9 2 3 3 678
3 2 3 675 0
( 2) 2704
3
2 1
3 27 3 3
ou
3 25 (não convém)
− ⋅ + =
− ⋅ − =
− − ±
=
⋅
= ⇒ =
= −
t = 3 horas.
Exemplo 8:
(UFPR 2016) A análise de uma aplicação financeira ao longo 
do tempo mostrou que a expressão v(t) = 1000 ·20,00625·t 
fornece uma boa aproximação do valor V (em reais) em função do 
tempo t (em anos), desde o início da aplicação. Depois de quantos 
anos o valor inicialmente investido dobrará? 
a) 8.
b) 12.
c) 16.
d) 24.
e) 32.
Solução: C
Para 0,0625 (0)t 0 V(0) 1000 2 1000⋅= ⇒ = ⋅ =
Logo,
Para t ? V(t) 2000= ⇒ =
0,0625 ( t)
0,0625 ( t)
2000 1000 2
2 2
0,0625 (t) 1
t 16
⋅
⋅
⇒ = ⋅
⇒ =
⇒ ⋅ =
⇒ =
Exemplo 9: 
(UPE-ssa 1 2016) Os técnicos de um laboratório observaram que 
uma população de certo tipo de bactérias cresce segundo a função 
9 3tB 10(t) 4= ⋅ com “t” sendo medido em horas. Qual o tempo 
necessário para que ocorra uma reprodução de 6,4·1010 bactérias? 
a) 1 h b) 3 h c) 4 h d) 6 h e) 16 h
Solução: A
Considerando 10B(t) 6,4 10 ,= ⋅ temos a seguinte equação:
10
10 9 3t 3t 3t 3t 3
9
6,4 10
6,4 10 10 4 4 4 64 4 4 3t 3 t 1h.
10
⋅
⋅ = ⋅ ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =
10
10 9 3t 3t 3t 3t 3
9
6,4 10
6,4 10 10 4 4 4 64 4 4 3t 3 t 1h.
10
⋅
⋅ = ⋅ ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =
PROTREINO
EXERCÍCIOS
01. Calcule a metade de 2222.
02. Calcule +3 64 9 .
03. Dado os dois números positivos, 3 43 e  4 determine o maior.
04. Determine o valor de x na equação + −+ + =x 1 x x 15 5 5 775 .
05. Calcule x de modo que se obtenha 102x-4=1
PROPOSTOS
EXERCÍCIOS
01. (IFSP)
“A perereca-macaco-de-cera, encontrada na América do Sul e 
Central, é capaz de aguentar mais tempo no sol forte do que outras 
espécies de anfíbios, devido à secreção de cera que reduz a perda 
de água por evaporação, protegendo sua pele.”
Fonte: http://biologiavida-oficial.blogspot.com.br/2014/04/phyllomedusasauvagii.html.
A área territorial da América Central é de, aproximadamente, 
523.000 km2. Assinale a alternativa que apresenta a área em 
potência de base 10.
PRÉ-VESTIBULAR PROENEM.COM.BR
15 POTENCIAÇÃO E EQUAÇÃO EXPONENCIAL
47
MATEMÁTICA I
a) 523 × 102.
b) 52,3 × 104.
c) 5,23 × 102.
d) 523 × 104.
e) 5,23 × 103.
02. (EPCAR) Considere a = 1150, b = 4100 e c = 2150 e assinale a 
alternativa correta.
a) c < a < b
b) c < b < a
c) a < b < c
d) a < c < b
e) b < a < c
03. (ESPM) A expressão numérica 2 · 813 + 3 · 96 + 4 · 274 equivale a:
a) 315 b) 97 c) 274 d) 321 e) 912
04. (UPE) Se um ano-luz corresponde à distância percorrida pela luz 
em um ano, qual é a ordem de grandeza, em metros, da distância 
percorrida pela luz em 2 anos, levando-se em consideração um ano 
tendo 365 dias e a velocidade da luz igual a 300.000 km/s?
a) 108 b) 1010 c) 1013 d) 1015 e) 1016
05. (UFRGS) Por qual potência de 10 deve ser multiplicado o 
número 10-3 .10-3 . 10-3 . 10-3 para que esse produto seja igual a 10?
a) 109 b) 1010 c) 1011 d) 1012 e) 1013
06. (CESGRANRIO) O número de algarismos do produto 517× 49 é 
igual a:
a) 17 b) 18 c) 26 d) 34 e) 35
07. (UEL) Simplificando-se a expressão 
3 n 2 n 1 n
2 n
3 3 3 9 3
9 3
− − −
−
+ ⋅ − ⋅
⋅ 
para n 
∈ , obtém-se
a) 1
6
b) 1
3
c) 6 . 3n-1 d) 1 – 31-n e) -3n+1
08. (ENEM) A gripe é uma infecção respiratória aguda de curta 
duração causada pelo vírus influenza. Ao entrar no nosso 
organismo pelo nariz, esse vírus multiplica-se, disseminando-se 
para a garganta e demais partes das vias respiratórias, incluindo 
os pulmões.
O vírus influenza é uma partícula esférica que tem um diâmetro 
interno de 0,00011mm. 
Disponível em: www.gripenet.pt. Acesso em: 2 nov. 2013 (adaptado).
Em notação científica, o diâmetro interno do vírus influenza, em 
mm é 
a) 1,1x10-1
b) 1,1x10-2
c) 1,1x10-3
d) 1,1x10-4
e) 1,1x10-5 
09. (UNAERP) O valor da expressão: 13a³ ( b) c −⋅ ⋅ , quando a = -1, b 
= -8 e c = 1
4
 é:
a) - 8 b) - 4 c) 1
2
d) 4 e) 8
10. (UEL) Calculando-se 
a1
243
− 
   onde a = 
2
5
− , obtém-se
a) - 81
b) - 9
c) 9
d) 81
e) um número não real.
11. (ENEM) A Agência Espacial Norte Americana (NASA) informou 
que o asteroide YU 55 cruzou o espaço entre a Terra e a Lua no 
mês de novembro de 2011. A ilustração a seguir sugere que o 
asteroide percorreu sua trajetória no mesmo plano que contém a 
órbita descrita pela Lua em torno da Terra. Na figura, está indicada 
a proximidade do asteroide em relação à Terra, ou seja, a menor 
distância que ele passou da superfície terrestre.
Com base nessas informações, a menor distância que o asteroide 
YU 55 passou da superfície da Terra é igual a 
a) 3,25 x 102 km.
b) 3,25 x 103 km.
c) 3,25 x 104 km.
d) 3,25 x 105 km.
e) 3,25 x 106 km.
12. (ENEM) A cor de uma estrela tem relação com a temperatura 
em sua superfície. Estrelas não muito quentes (cerca de 3 000 K) 
nos parecem avermelhadas. Já as estrelas amarelas, como o Sol, 
possuem temperatura em torno dos 6 000 K; as mais quentes são 
brancas ou azuis porque sua temperatura fica acima dos 10.000 K.
A tabela apresenta uma classificação espectral e outros dados 
para as estrelas dessas classes.
Estrelas da Sequência Principal
Classe 
Espectral Temperatura Luminosidade Massa Raio
O5 40.000 2 · 105 40 18
B0 28.000 2 · 104 18 7
A0 9.900 80 3 2.5
G2 5.770 1 1 1
M0 3.480 0,06 0,5 0,6
Temperatura em Kelvin
Luminosa, massa e raio, tomando o Sol como unidade. 
Disponível em: http://www.zenite.nu. Acesso em: 1 maio 2010 (adaptado).
Se tomarmos uma estrela que tenha temperatura 5 vezes maior 
que a temperatura do Sol, qual será a ordem de grandeza de sua 
luminosidade?
a) 20 000 vezes a luminosidade do Sol.
b) 28 000 vezes a luminosidade do Sol.
c) 28 850 vezes a luminosidade do Sol.
d) 30 000 vezes a luminosidade do Sol.
e) 50 000 vezes a luminosidade do Sol.
13. (ENEM) Dentre outros objetos de pesquisa, a Alometria estuda 
a relação entre medidas de diferentes partes do corpo humano. 
Por exemplo, segundo a Alometria, a área A da superfície corporal 
de uma pessoa relaciona-se com a sua massa m pela fórmula 
= ×
2
3A k m , em que k e uma constante positiva.
Se no período que vai da infância até a maioridade de um indivíduo 
sua massa é multiplicada por 8, por quanto será multiplicada a área 
da superfície corporal? 
a) 3 16 b) 4 c) 24 d) 8 e) 64
PRÉ-VESTIBULARPROENEM.COM.BR48
MATEMÁTICA I 15 POTENCIAÇÃO E EQUAÇÃO EXPONENCIAL
14. (ENEM) O Índice de Massa Corporal (IMC) é largamente 
utilizado há cerca de 200 anos, mas esse cálculo representa muito 
mais a corpulência que a adiposidade, uma vez que indivíduos 
musculosos e obesos podem apresentar o mesmo IMC. Uma 
nova pesquisa aponta o Índice de Adiposidade Corporal (IAC) 
como uma alternativa mais fidedigna para quantificar a gordura 
corporal, utilizando a medida do quadril e a altura. A figura mostra 
como calcular essas medidas,sabendo- se que, em mulheres, a 
adiposidade normal está entre 19% e 26%. 
Uma jovem com = 2IMC 20 kg/m , 100 cm de circunferência dos 
quadris e 60 kg de massa corpórea resolveu averiguar seu IAC. 
Para se enquadrar aos níveis de normalidade de gordura corporal, a 
atitude adequada que essa jovem deve ter diante da nova medida é 
(Use =3 1,7 e =1,7 1,3 ) 
a) reduzir seu excesso de gordura em cerca de 1%.
b) reduzir seu excesso de gordura em cerca de 27%.
c) manter seus níveis atuais de gordura.
d) aumentar seu nível de gordura em cerca de 1%.
e) aumentar seu nível de gordura em cerca de 27%.
15. (MACKENZIE-ADAPTADA) As raízes da equação − + −=x 1 (2x 1) (3x 1)3 3 é 
dada pelo conjunto S igual a 
a) S = {2}
b) S = {3; 6}
c) S = {0; 3}
d) S = {6}
e) S = {-3; -6}
16. (PUCRJ) Quanto vale a soma de todas as soluções reais da 
equação abaixo?
− ⋅ + =x 2 x(5 ) 26 5 25 0 
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
17. (FGV) Se m
n
 é a fração irredutível que é solução da equação 
exponencial 9x -9x-1 =1944, então, m-n é igual a 
a) 2. b) 3. c) 4. d) 5. e) 6.
18. (UDESC) Seja x a solução real da equação ++ =
1xx 2 34 2 .
2
Localizando na reta real os valores de = − 1m x ,
4
  = + 
 
1n 3 x
10
 e 
= +
1p 2x ,
8 torna-se correto afirmar que: 
a) m e n são equidistantes de p.
b) m está situado entre n e p.
c) n está situado entre m e p.
d) p está situado entre n e m.
e) m, n e p estão todos situados à direita de x.
19. (IFSUL) Considere a equação exponencial −⋅ =x 42 3 150. Sobre o 
valor de x, é verdade afirmar que 
a) ∈x [4, 6[ b) ∈x [6, 8[ c) ∈x [8,10[ d) ∈x [10,13[
20. (MACKENZIE) A soma das raízes da equação − =x 2x 1(4 ) 64 igual a 
a) − 1
2
b) -1 c) 1
2
d) 1 e) 5
2
APROFUNDAMENTO
EXERCÍCIOS DE
01. (UDESC) Encontre o(s) valor(es) de x na equação 
−
  = 
 
x 1
x1 2
2
02. (UNICAMP) Considere a equação 2x + m22-x - 2m - 2 = 0, onde 
m é um número real.
a) Resolva essa equação para m = 1.
b) Encontre todos os valores de m para os quais a equação tem 
uma única raiz real.
03. (UEL) A espessura da camada de creme formada sobre um café 
expresso na xícara, servido na cafeteria A, no decorrer do tempo, é 
descrita pela função = btE(t) a2 , onde ≥t 0 é o tempo (em segundos) 
e a e b são números reais. Sabendo que inicialmente a espessura 
do creme é de 6 milímetros e que, depois de 5 segundos, se reduziu 
em 50%, qual a espessura depois de 10 segundos?
Apresente os cálculos realizados na resolução da questão.
04. (UFU) Na elaboração de políticas públicas que estejam em 
conformidade com a legislação urbanística de uso e ocupação do 
solo em regiões metropolitanas, é fundamental o conhecimento de 
leis descritivas do crescimento populacional urbano.
Suponha que a lei dada pela função ( ) ( )= ktp t 0,5. 2 expresse um 
modelo representativo da população de uma cidade (em milhões 
de habitantes) ao longo do tempo t (em anos), contados a partir 
de 1970, isto é, t = 0 corresponde ao ano de 1970, sendo k uma 
constante real.
Sabendo que a população dessa cidade em 2000 era de 1 milhão 
de habitantes:
a) Extraia do texto dado uma relação de forma a obter o valor de k.
b) Segundo o modelo de evolução populacional dado, descreva 
e execute um plano de resolução que possibilite estimar em 
qual ano a população desta cidade atingirá 16 milhões de 
habitantes.
05. (FGV) Observe o padrão indicado na tabela a seguir:
x 3x 7x
0 1 1
1 3 7
2 9 49
3 27 343
4 81 2401
5 243 16807
6 729 117649
7 2187 823543
8 6561 5764801
9 19683 40353607
... ... ...
a) Determine o algarismo da unidade de 32009.
b) Determine o algarismo da unidade de 3423 + 7651 –258.
PRÉ-VESTIBULAR PROENEM.COM.BR
15 POTENCIAÇÃO E EQUAÇÃO EXPONENCIAL
49
MATEMÁTICA I
GABARITO
 EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01. B
02. A
03. B
04. E
05. E
06. B
07. B
08. D
09. E
10. C
11. D
12. A
13. B
14. A
15. A
16. C
17. D
18. D
19. B
20. C
 EXERCÍCIOS DE APROFUNDAMENTO
01.  =  
 
2S
3
02. 
a. 1
b. m = 1 ou m ≤ 0
03. 1,5 mm.
04. 
a. k = 1/30
b. 2.120
05. 
a. 3
b. 6
ANOTAÇÕES
PRÉ-VESTIBULARPROENEM.COM.BR50
MATEMÁTICA I 15 POTENCIAÇÃO E EQUAÇÃO EXPONENCIAL
ANOTAÇÕES