Trigonometria - Funções Trigonométricas (Gráficos)

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MATEMÁTICA II
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TRIGONOMETRIA - FUNÇÕES 
TRIGONOMÉTRICAS (GRÁFICOS)17
A FUNÇÃO SENO
O gráfico da função seno é formado por uma senoide. Neste 
tópico, estudaremos a construção do gráfico y = sen x, utilizando o 
método geométrico para tal processo.
Para isso, será construído um círculo trigonométrico ao lado de 
um plano cartesiano com a unidade dos eixos igual à unidade do 
raio do círculo.
Observe a imagem abaixo:
y
1
0O 1 2 3 4 5 6 x
-1
2
�
2
��
� ��
Agora, será projetado no plano cartesiano e marcaremos o 
ponto (x,y), onde y = sen (x). Observe o exemplo abaixo: projetamos 
o seno do arco de medida igual a 
6
π para o eixo Y do plano com a 
ordenada do ponto P’ e abscissa igual a 
6
π .
y
1
0
P’
O x
-1
2
�
6
�
6
�
2
��� ��
P( )
Assim, o ponto P’ pertence ao gráfico da função y = sen (x)
Agora, iremos realizar o mesmo processo para vários outros 
ângulos do círculo trigonométrico no gráfico.
y
1
0O x
-1
2
�
4
�
4
��
4
��
2
��
4
��
� ��
Então, assumindo infinitos pontos, a direita de 2π e a esquerda 
de zero, concluímos a construção do gráfico.
x 0 = 2 π 2
π
π
3
2
π
2π
sen x 0 1 0 -1 0
Considerações:
O domínio da função sen x é o conjunto dos números reais, isto é, D= .
A imagem da função sen x é o intervalo [-1, 1], isto é, 1 sen x 1− ≤ ≤ .
A partir de 2π a função repetirá os seus valores pois é uma função periódica.
Note que função seno é ímpar pois sen x = - sen (-x).
A partir dessas informações conseguimos analisar qualquer outra função seno, de maneira geral podemos escrever as funções da 
seguinte forma:
( ) sen( )= + ⋅ +f x p q ax b
• Domínio: 
• Imagem: [ ]p q, p q− +
• Período: 2
a
π
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MATEMÁTICA II 17 TRIGONOMETRIA - FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS (GRÁFICOS)
01. Determine o período das funções abaixo:
a) y = sen 8x
Solução:
Período = 
2
a
π
 e nesse caso, a = 8 portanto o período é 2
8 4
π π
= .
b) y 5 ·sen 10x=
Solução:
Período = 2
a
π e nesse caso, a = 10 portanto o período é 2
10 5
π π
= .
c) xy sen
3
=
Solução:
Período = 
2
a
π
 e nesse caso, 1a
3
= portanto o período é 2 61
3
π
= π
d) y sen  4x
3
π = + 
 
Solução:
Período = 2
a
π e nesse caso, a = 4 portanto o período é 2
4 2
π π
= .
EXERCÍCIO RESOLVIDO 02. Dada a função f (x) = 7 sen(3x), responda:
a) Qual a imagem de f?
Solução:
Usando como base a função ( ) ( )f x p q·sen ax b= + + , 
podemos perceber que p = 0 e q = 7.
Dessa forma, temos: p + q = 7 e p - q = -7
Logo, a imagem da função é o intervalo [-7,7].
b) A função é par ou ímpar?
Solução:
A função é ímpar pois trata-se de uma função seno.
A FUNÇÃO COSSENO
O gráfico da função cosseno é formado por uma cossenoide. 
Neste tópico, estudaremos a construção do gráfico y = cos x, 
utilizando o método geométrico para tal processo.
O processo aplicado aqui é semelhante ao realizado para a 
obtenção do gráfico do seno.
É possível perceber que para um determinado ângulo α, 
os segmentos indicados em verde na imagem tem o mesmo 
comprimento, pois y = cos x.
No desenho também já é possível observar todo o gráfico do cosseno construído. 
Então, assumindo infinitos pontos, a direita de 2π e a esquerda de zero, concluímos a construção do gráfico.
x 0 = 2 π 2
π
π
3
2
π
2π
cos x 1 0 1 0 1
Considerações:
O domínio da função cos x é o conjunto dos números reais, isto é, D = .
A imagem da função cos x é o intervalo [-1, 1], isto é, 1 cos x 1− ≤ ≤ .
A partir de 2 π a função repetirá os seus valores pois é uma função periódica.
Note que função cosseno é par, pois ( )cos x cos  x= − .
A partir dessas informações conseguimos analisar qualquer outra função cosseno, de maneira geral podemos escrever as funções da 
seguinte forma:
( ) ·cos( )− + +f x p q ax b
• Domínio: 
• Imagem: [ ]p q, p q− +
• Período: 2
a
π
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17 TRIGONOMETRIA - FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS (GRÁFICOS)
3
MATEMÁTICA II
01.Sabendo que o conjunto imagem e o período da função 
( )y p q·cos ax= + valem, respectivamente, [-1,5] e 
6
π rad, 
calcule os valores positivos de p, q e a.
Solução:
Sabemos que o período da função cosseno é dado por 
2 a 12
a 6
π π
= ⇒ = ± como estamos buscando apenas os valores 
positivos temos que a = 12.
Os extremos da imagem são p + q e p – q, como a imagem é 
dada por [-1,5] e p e q são positivos fazemos p-q = -1 e p+q = 5. 
Resolvendo o sistema obtemos p = 2 e q = 3.
Esboçando o gráfi co da função y 2 3·cos12x= + , obtemos:
EXERCÍCIO RESOLVIDO A FUNÇÃO TANGENTE
O gráfi co da função tangente é formado por uma tangentoide. 
Neste tópico, estudaremos a construção do gráfi co y = tg x, 
utilizando o método geométrico para tal processo.
O processo aplicado aqui é semelhante ao realizado para a 
obtenção dos gráfi cos do seno e cosseno.
É possível perceber que para um determinado ângulo α , 
os segmentos indicados em verde na imagem tem o mesmo 
comprimento, pois y = tg x.
Já com o gráfi co completo, observe que nos ângulos 
3 e  
2 2
π π
 a tangente não existe. Tal situação ocorre porque o ângulo de 90° no ciclo 
trigonométrico não atinge o eixo da tangente, pois são paralelos entre sim. O mesmo se repete para o ângulo de 270°.
Então, assumindo infi nitos pontos, a direito de 2π e a esquerda de zero, concluímos a construção do gráfi co.
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MATEMÁTICA II 17 TRIGONOMETRIA - FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS (GRÁFICOS)
x 0 = 2 π 2
π
π
3
2
π
2π
tg x 0 0 0
Considerações:
O domínio da função tg x é o conjunto D {x |x k }
2
π
= ∈ ≠ + π com 
k ∈ .
A imagem da função tg x é o intervalo ] [,  −∞ +∞ isto é, o próprio 
conjunto .
A partir de π a função repetirá os seus valores (como 
observamos na figura) pois é uma função periódica.
Note que função tangente é ímpar pois ( )tg x  tg  x= − − .
A partir dessas informações conseguimos analisar qualquer 
outra função tangente, de maneira geral podemos escrever as 
funções da seguinte forma:
( ) tg( )= + ⋅ +f x p q ax b
• Domínio: k  
2
π − π+ 
 

• Imagem: ] [,    −∞ +∞ = 
• Período: 
a
π
• Função Ímpar
01.Determine o período das funções abaixo:
a) y tg  3x
5
π = − 
 
Solução:
Sabemos que o período da função tangente é dado por 
a 3
π π
= .
b) y tg  5x
3
π = + 
 
Solução:
Sabemos que o período da função tangente é dado por 
a 5
π π
= .
02.Determine o domínio das seguintes funções:
a) y tg  x
3
π = − 
 
Solução:
x
3
π − 
 
 não pode ser igual a k  
2
π
π+ .
x 3 k  
2
π
− ≠ π+
x k  
2 3
π π
≠ π+ +
5x k  
6
π
≠ π+
b) ( ) y tg  x 60= + 
Solução:
( )x 60+  não pode ser igual a 180 k  90⋅ + 
x 60 180 k 90
x 180 k 90 60
x 180 k 30
° ° °
° ° °
° °
+ ≠ +
≠ ⋅ + −
≠ ⋅ +
PROTREINO
EXERCÍCIOS
01. Dado os intervalos abaixo, determine se a função seno é 
crescente ou decrescente em cada um deles:
a) 0,
2
π 
  
b) 3,
2
π π  
c) 3 ,2
2
π π  
02. Dada a função y sen (x )
2
π
= − , determine imagem e período.
03. Observe o gráfico da função f(x) = b ⋅ sen (cx):
a) Determine o domínio dessa função.
b) Encontre os valores dos coeficientes b e c.
04. Determine o período e a imagem de cada função abaixo e 
esboce seu gráfico.
a) f(x) = 3 + cos2x b) ( ) 1g x cos(3x )
4
= ⋅ + π
05. Calcule o período da função: y = tg(2x -π)
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17 TRIGONOMETRIA - FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS (GRÁFICOS)
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MATEMÁTICA II
PROPOSTOS
EXERCÍCIOS
01. (ENEM PPL) Um técnico precisa consertar o termostato 
do aparelho de ar-condicionado de um escritório, que está 
desregulado. A temperatura T, em graus Celsius, no escritório, varia 
de acordo com a função:
T(h) A B sen (h 12) ,
12
π = + − 
 
Sendo h o tempo, medido em horas, a partir da meia-noite 
(0 ≤ h ≤ 24) e A e B os parâmetros que o técnico precisa regular. 
Os funcionários do escritório pediram que a temperatura máxima 
fosse 26 oC, a mínima 18 oC, e que durante a tarde a temperatura 
fosse menor do que durante a manhã.
Quais devem ser os valores de A e de B para que o pedido dos 
funcionáriosseja atendido? 
a) A = 18 e B = 8 
b) A = 22 e B = -4 
c) A = 22 e B = 4 
d) A = 26 e B = -8 
e) A = 26 e B = 8 
02. (ENEM PPL) Uma pessoa usa um programa de computador 
que descreve o desenho da onda sonora correspondente a um som 
escolhido. A equação da onda é dada, num sistema de coordenadas 
cartesianas, por y = a ⋅ sen[b(x+c)], em que os parâmetros a, b, c 
são positivos. O programa permite ao usuário provocar mudanças 
no som, ao fazer alterações nos valores desses parâmetros. A 
pessoa deseja tornar o som mais agudo e, para isso, deve diminuir 
o período da onda.
O(s) único(s) parâmetro(s) que necessita(m) ser alterado(s) é(são) 
a) a 
b) b 
c) c 
d) a e b 
e) b e c 
03. (UERJ) O gráfico a seguir representa a função periódica definida 
por f(x) = 2 sen (x), x ∈ . No intervalo 5, ,
2 2
π π 
  
 A e B são pontos do 
gráfico nos quais 5f f
2 2
π π   =   
   
 são valores máximos dessa função.
A área do retângulo ABCD é: 
a) 6π b) 5π c) 4π d) 3π
04. (UERJ) O círculo a seguir tem o centro na origem do plano 
cartesiano xy e raio igual a 1. Nele, AP determina um arco de 120o. 
As coordenadas de P são: 
a) 1 3,
2 2
 
−  
 
 
b) 1 2,
2 2
 
−  
 
 
c) 3 1,
2 2
 
−  
 
d) 2 1,
2 2
 
−  
 
 
05. (FUVEST) 
Admitindo que a linha pontilhada represente o gráfico da função 
f(x) = sen(x) e que a linha contínua represente o gráfico da função 
g(x) = αsen(βx), segue que 
a) 0 < α < 1 e 0 < β < 1
b) α > 1 e 0 < β < 1
c) α = 1 e β > 1
d) 0 < α < 1 e β > 1 
e) 0 < α < 1 e β = 1 
06. (MACKENZIE) Os valores de x (x ∈ ), para os quais a função 
1f(x) tg 3x
3 4
π = − 
 
 não é definida, são 
a) k , kπ + π ∈
b) k , k
2
π
+ π ∈ 
c) 3 k , k
4
π
+ π ∈ 
d) k , k4
π
+ π ∈ 
e) 
k , k
4 3
π π
+ ∈ 
07. (MACKENZIE) Os gráficos das funções f(x) = sen4x e g(x) = cos3x, 
para 0 ≤ x ≤ π , se interceptam em 
a) cinco pontos. 
b) quatro pontos. 
c) três pontos. 
d) dois pontos. 
e) apenas um ponto. 
08. (MACKENZIE) Seja g(x) = x2 + xcosβ + senβ. Se g(x) = 0 e 3
2
π
β =
, então x vale 
a) somente 1 
b) somente –1 
c) –1 ou 0 
d) –1 ou 1 
e) 1 ou 0 
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MATEMÁTICA II 17 TRIGONOMETRIA - FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS (GRÁFICOS)
09. (MACKENZIE) O maior valor que o número real 
10
sen x2
3
−
 pode 
assumir é 
a) 
20
3
 b) 
7
3
c) 10 d) 6 e) 
20
7 
10. (MACKENZIE) Considerando o esboço do gráfico da função 
f(x) = cos x, entre 0 e 2š a reta que passa pelos pontos P e Q define 
com os eixos coordenados um triângulo de área:
 
a) 
2
π
. b) 
4
π
c) ð. d) 
8
π
. e) 
6
π .
11. (PUCRS) A pressão arterial é a pressão que o sangue exerce 
sobre as paredes das artérias. Ela atinge o valor máximo (pressão 
sistólica) quando os ventrículos se contraem, e o valor mínimo 
(pressão diastólica) quando eles estão em repouso. Suponhamos 
que a variação da pressão arterial (em mmHg de um cidadão 
portoalegrense em função do tempo (em segundos) é dada por 
8P(t) 100 20 cos t .
3
π = − ⋅ ⋅ 
 
 Diante disso, os valores da pressão 
diastólica e sistólica, em mmHg, são iguais, respectivamente, a 
a) 60 e 100 
b) 60 e 120 
c) 80 e 120 
d) 80 e 130 
e) 90 e 120 
12. (PUCRS) O calçadão de Copacabana é um dos lugares mais 
visitados no Rio de Janeiro. Seu traçado é baseado na praça do 
Rocio, em Lisboa, e simboliza as ondas do mar.
Quando vemos seus desenhos, fica evidente que podemos pensar 
na representação gráfica de uma função 
a) logarítmica. 
b) exponencial. 
c) seno ou cosseno. 
d) polinomial de grau 1. 
e) polinomial de grau 2. 
13. (PUCRS) A figura a seguir representa um esboço do gráfico de 
uma função 
xy A Bsen ,
4
 = +  
 
 que é muito útil quando se estudam 
fenômenos periódicos, como, por exemplo, o movimento de uma 
mola vibrante. Então, o produto das constantes A e B é
 
a) 6 b) 10 c) 12 d) 18 e) 50 
14. (UEG) Os valores de x, sendo 0 ≤ x ≤ 2π, para os quais as funções 
f(x) = senx e g(x) = g(x) = cosx se interceptam, são 
a) 
4
π e 3
4
π
b) 
3
4
π
 e 7
4
π
c) 
4
π e 5
4
π 
d) 5
4
π e 7
4
π 
e) 
4
π e 7
4
π 
15. (ENEM) Em 2014 foi inaugurada a maior roda-gigante do 
mundo, a High Roller, situada em Las Vegas. A figura representa 
um esboço dessa roda-gigante, no qual o ponto A representa uma 
de suas cadeiras:
A partir da posição indicada, em que o segmento OA se encontra 
paralelo ao plano do solo, rotaciona-se a High Roller no sentido 
anti-horário, em torno do ponto O. Sejam t o ângulo determinado 
pelo segmento OA em relação à sua posição inicial, e f a função que 
descreve a altura do ponto A, em relação ao solo, em função de t.
Após duas voltas completas, f tem o seguinte gráfico:
A expressão da função altura é dada por 
a) f(t) = 80 sen(t) + 88 
b) f(t) = 80 cos(t) + 88 
c) f(t) = 88 cos(t) + 168 
d) f(t) = 168 sen(t) + 88 cos(t) 
e) f(t) = 88 sen(t) + 168 cos (t) 
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17 TRIGONOMETRIA - FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS (GRÁFICOS)
7
MATEMÁTICA II
16. (ENEM) Um cientista, em seus estudos para modelar a 
pressão arterial de uma pessoa, utiliza uma função do tipo 
P(t) = A + B cos(kt) em que A, B e k são constantes reais positivas e 
t representa a variável tempo, medida em segundo. Considere que 
um batimento cardíaco representa o intervalo de tempo entre duas 
sucessivas pressões máximas.
Ao analisar um caso específico, o cientista obteve os dados:
Pressão mínima 78
Pressão máxima 120
Número de batimentos cardíacos por minuto 90
A função P(t) obtida, por este cientista, ao analisar o caso 
específico foi 
a) P(t) = 99 + 21cos(3πt) 
b) P(t) = 78 + 42cos(3πt) 
c) P(t) = 99 + 21cos(2πt) 
d) P(t) = 99 + 21cost(t) 
e) P(t) = 78 + 42cost(t) 
17. (ENEM) Raios de luz solar estão atingindo a superfície de um 
lago formando um ângulo x com a sua superfície, conforme indica 
a figura.
Em determinadas condições, pode-se supor que a intensidade 
luminosa desses raios, na superfície do lago, seja dada 
aproximadamente por l(x) = k ⋅ sen(x) sendo k uma constante, e 
supondo-se que x está entre 0o e 90o.
Quando x = 30o, a intensidade luminosa se reduz a qual percentual 
de seu valor máximo? 
a) 33% b) 50% c) 57% d) 70% e) 86% 
18. (ENEM) Um satélite de telecomunicações, t minutos após ter 
atingido sua órbita, está a r quilômetros de distância do centro da 
Terra. Quando r assume seus valores máximo e mínimo, diz-se que 
o satélite atingiu o apogeu e o perigeu, respectivamente. Suponha 
que, para esse satélite, o valor de r em função de t seja dado por
( ) ( )
5865r t
1 0,15.cos 0,06t
=
+
Um cientista monitora o movimento desse satélite para controlar o 
seu afastamento do centro da Terra. Para isso, ele precisa calcular a 
soma dos valores de r, no apogeu e no perigeu, representada por S.
O cientista deveria concluir que, periodicamente, S atinge o valor de 
a) 12 765 km. 
b) 12 000 km. 
c) 11 730 km. 
d) 10 965 km. 
e) 5 865 km. 
19. (ENEM PPL) Os movimentos ondulatórios (periódicos) são 
representados por equações do tipo ± Asen(wt +θ), que apresentam 
parâmetros com significados físicos importantes, tais como 
a frequência 
2w ,
T
π
= em que T é o período; A é a amplitude ou 
deslocamento máximo; θ é o ângulo de fase 
20 ,
w
π
≤ θ < que mede 
o deslocamento no eixo horizontal em relação à origem no instante 
inicial do movimento.
O gráfico representa um movimento periódico, P = P(t), em 
centímetro, em que P é a posição da cabeça do pistão do motor de 
um carro em um instante t, conforme ilustra a figura.
A expressão algébrica que representa a posição P(t), da cabeça do 
pistão, em função do tempo t é 
a) P(t) = 4sen(2t) 
b) P(t) = -4sen(2t) 
c) P(t) = -4sen(4t) 
d) P(t) 4sen 2t
4
π = + 
 
 
e) P(t) 4sen 4t
4
π = + 
 
 
20. (ENEM) Um grupo de engenheiros está projetando um motor 
cujo esquema de deslocamento vertical do pistãodentro da 
câmara de combustão está representado na figura.
A função th(t) 4 4sen
2 2
β π = + − 
 
 definida para t ≥ 0 descreve como 
varia a altura h, medida em centímetro, da parte superior do pistão 
dentro da câmara de combustão, em função do tempo t, medido 
em segundo. Nas figuras estão indicadas as alturas do pistão em 
dois instantes distintos.
O valor do parâmetro β, que é dado por um número inteiro positivo, 
está relacionado com a velocidade de deslocamento do pistão. Para 
que o motor tenha uma boa potência, é necessário e suficiente que, 
em menos de 4 segundos após o início do funcionamento (instante 
t = 0), a altura da base do pistão alcance por três vezes o valor de 6 
cm. Para os cálculos, utilize 3 como aproximação para π.
O menor valor inteiro a ser atribuído ao parâmetro β, de forma que 
o motor a ser construído tenha boa potência, é 
a) 1 b) 2 c) 4 d) 5 a) 8
 APROFUNDAMENTO
EXERCÍCIOS DE
PRÉ-VESTIBULARPROENEM.COM.BR8
MATEMÁTICA II 17 TRIGONOMETRIA - FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS (GRÁFICOS)
01. (UNICAMP) Seja a função 
2 senxf(x) ,
2 cosx
+
=
+
 definida para todo 
número real x.
a) Mostre f f f( )f .
2 2 4
π π π     + − = π     
     
b) Seja θ um número real tal que f(θ) = 2. Determine os possíveis 
valores para senθ.
02. (UNESP) Na figura, as retas AB e CD são paralelas, assim como 
as retas AD e BC. A distância entre AB

 e CD

 é 3 cm, mesma 
distância entre AD

 e BC.

 
a) Calcule o perímetro do paralelogramo ABCD, formado pelas 
intersecções das retas, na situação em que α = 60o.
b) Considere que S seja a área do paralelogramo ABCD 
representado na figura. Determine S em função de α e 
determine a área mínima do paralelogramo ABCD. 
03. (CFTRJ) O esquema a seguir representa uma roda gigante em 
construção que terá 120 m de diâmetro. Cada ponto representa 
uma das 24 cabines igualmente espaçadas entre si.
O ponto C representa o centro da roda gigante e os pontos A e B 
são, respectivamente, os pontos mais altos e mais baixo da roda 
gigante. (Utilize, se necessário, a aproximação π = 3,1)
a) Qual o comprimento, em metros, do arco AD?
b) Qual a altura, em metros, do ponto D em relação ao chão? 
04. (UERJ) Considere a representação abaixo, de metade da órbita 
do planeta Mercúrio em torno do Sol. A distância rM entre o Sol e 
Mercúrio varia em função do ângulo θ, sendo 0o ≤ θ ≤ 180o.
Para o cálculo aproximado de rM, em milhões de quilômetros, 
emprega-se a seguinte fórmula:
M
555r
10 2 cos
=
− × θ
Calcule a distância PA, em milhões de quilômetros. 
05. (UFPR) O pistão de um motor se movimenta para cima e para 
baixo dentro de um cilindro, como ilustra a figura.
Suponha que em um instante t, em segundos, a altura h(t) do 
pistão, em centímetros, possa ser descrita pela expressão:
( ) 2 th t 4sen 4.
0,05
π = + 
 
a) Determine a altura máxima e mínima que o pistão atinge. 
b) Quantos ciclos completos esse pistão realiza, funcionando 
durante um minuto?
 GABARITO
 EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01. B
02. B
03. C
04. A
05. A
06. E
07. A
08. D
09. D
10. B
11. C
12. C
13. A
14. C
15. A
16. A
17. B
18. B
19. A
20. D
 EXERCÍCIOS DE APROFUNDAMENTO
01.
a) Tem-se que
2 sen 32f
2 22 cos
2
π
+π  = =  π  +
 e 
2 sen 12f .
2 22 cos
2
π + − π   − = =  π   + − 
 
Daí, vem
3 1f f 2.
2 2 2 2
π π   + − = + =   
   
Por outro lado, temos
2 senf( ) 2
2 cos
+ π
π = =
+ π
 e 
22 sen 2
4 2f 1.
4 22 cos 24 2
π
+ +π  = = =  π  + +
Logo, segue que f( )f 2 1 2.
4
π π = ⋅ = 
 
A identidade é verdadeira.
b) 4sen 0 ou sen .
5
θ = θ =
02.
a) ABCD2p 8 3 cm=
b) Área de S em função de α: 
2
AF
sen α
E a área mínima de ABCD é 9 cm2. 
03.
a) x = 62 m
b) dist = 98 m 
04.
555 555AB 115,625
8 12
= +  milhões de quilômetros. 
05.
a) hmáxima = 8 cm
hmínima = 0 cm.
b) 1200 ciclos completos.