Aula 16 - Raz+Áes e Propor+º+Áes

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ARITMÉTICA 
RAZÕES E PROPORÇÕES 
/mestreviana /canalmestreviana 
RAZÃO 
É uma relação entre duas grandezas, 
expressas na mesma unidade ou não. 
Razão: 
a
b
 ou a : b 
Lê-se: "a está para b" 
Onde a é o antecedente e b é o consequente. 
A diferença entre razão e fração é muito 
sutil, o que leva a uma confusão por parte 
dos alunos. Vamos mostrar, com dois 
exemplos, a aplicação correta de cada um 
dos conceitos. 
 
1° Exemplo: 
Consideremos que José possua três bolas 
de gude, enquanto que Pedro possui 4 
bolas de gude. A razão (relação) entre os 
números de bolas de gude de José para 
Pedro é de "3 para 4" ou 
3
4
. 
2° Exemplo: 
Tomemos uma barra de chocolate. Vamos 
dividi-la em 4 partes iguais. Se eu comer 3 
dessas partes, estarei comendo a fração 
“três quartos”, ou seja 
3
4
 dessa barra de 
chocolate. 
Podemos observar que no 1° exemplo a 
notação 
3
4
 expressou uma comparação 
entre duas grandezas (números de bolas 
de gude). Já no 2° exemplo a mesma 
representação 
3
4
 foi utilizada para indicar 
que "um todo" (barra de chocolate) foi 
dividido em 4 quatro parte, das quais três 
foram consideradas. 
Se tal explicação não chegou a convencer o 
leitor, ao menos fica o consolo de que as 
propriedades operatórias das razões e das 
frações são similares, não influenciando na 
resolução dos exercícios se o aluno sabe ou 
não distinguir a diferença entre elas. 
 
ESCALAS 
Quando um arquiteto faz a planta de um 
prédio, obviamente que ele não pode fazê-
lo em verdadeira grandeza, por isso ele faz 
uma redução proporcional das medidas 
reais para que seja possível representá-las 
nessa planta. Essa redução segue um 
parâmetro definido pelo arquiteto, mas 
para que haja o entendimento de todos, 
inclusive dos leigos, é necessário que ele 
seja divulgado. Esse parâmetro é chamado 
de escala. A escala é a relação (razão) entre 
as medidas na planta e no objeto real. 
MEDIDA NA PLANTA
ESCALA
MEDIDA REAL
 
 
1° Exemplo: 
Qual a escala utilizada em um mapa no qual 
a distância entre as cidades A e B é de 4 cm, 
enquanto que a distância real é de 100 km? 
PLANTA 4 cm 4 cm
ESCALA
REAL 100 km 10000000 km
1
ESCALA 1: 2500000
2500000
  
 
 
 
 
 
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RAZÕES E PROPORÇÕES 
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2° Exemplo: 
Um poste com 6 m de altura teria que 
tamanho em um desenho feito com uma 
escala de 1:200? 
PLANTA 1 x
ESCALA
REAL 200 6 m
6 m 600 cm
x 3 cm
200 200
  
  
 
 
PROPORÇÃO 
É uma igualdade entre razões equivalentes 
(ver frações equivalentes) 
Proporção: 
a c
b d
 ou a : b = c : d ou a : b :: c : d 
lê-se: "a está para b, assim como c está para 
d" 
Temos que a e d são os extremos, enquanto 
que b e c são os meios. Podemos dizer ainda 
que a antecedentes e b e d são os 
consequentes. 
 
Relação fundamental das proporções 
"Em toda proporção o produto dos meios é 
sempre igual ao produto dos extremos." 
a c
a d b c
b d
     
Exemplo: 
Em uma proporção, os antecedentes da 
primeira e da segunda razões são 
respectivamente iguais a 2 e 6, enquanto 
que o consequente da segunda razão vale 
15. Calcule o consequente da primeira 
razão. 
Resolução: 
2 6
 
x 15
  
6 x 2 15
6x 30
x 5
  


 
 
Proporção contínua 
É aquela que possui os meios ou os 
extremos iguais. É usual, caso o problema 
não estabeleça o contrário, considerarmos 
em uma proporção contínua que os meios 
sejam iguais. 
a b
b d
 ou 
a c
b a
 
Quando nem os meios nem os extremos são 
iguais, a proporção é não contínua. 
Exemplos: 
a) 
2 4
 proporção contínua
4 8
  
b) 
6 9
 proporção contínua
4 6
  
c) 
6 12
 proporção não contínua
4 8
  
 
Quarta proporcional 
É o quarto termo de uma proporção não 
contínua. 
 
 
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RAZÕES E PROPORÇÕES 
/mestreviana /canalmestreviana 
Na proporção 
a c
b d
 , o número d é a quarta 
proporcional entre a, b e c, nesta ordem. 
Exemplo: 
Determine a quarta proporcional entre os 
números 4; 20 e 5. 
Resolução: 
4 5
 
20 x
  
4 x 5 20
4x 100
x 25
  


 
 
Terceira proporcional 
É o terceiro termo diferente de uma 
proporção contínua. 
Na proporção 
a b
b c
 , o número c é a 
terceira proporcional entre a e b, sendo b a 
média (termo repetido). 
Exemplo: 
Determine a terceira proporcional entre os 
números 6 e 12. 
Resolução: 
6 12
 
12 x
  
6 x 12 12
6x 144
x 24
  


 
 
Média geométrica ou proporcional 
É o termo que se repete em uma proporção 
contínua. Cabe ressaltar que, salvo em 
contrário, os termos que se repetem são os 
meios. 
Na proporção 
a b
b c
 , o número b é a média 
geométrica ou proporcional entre a e c. 
Exemplo: 
Determine a média geométrica entre os 
números 2 e 50. 
Resolução: 
2 x
 
x 50
  
x x 2 50
x² 100
x 10
  


 
 
NOTA: Tal cálculo também poderá ser feito 
seguindo o que será estudado quando 
virmos o assunto “médias”. 
 
Propriedades das proporções 
1) "Uma proporção não se altera quando 
alternamos seus melos, seus extremos ou 
meios e extremos simultaneamente." 
Exemplo: 
Dada a proporção: 
2 4
3 6
 
→ Alternando os meios: 
2 3
4 6
 
→ Alternando os extremos: 
6 4
3 2
 
→ Alternando meios e extremos: 
6 3
4 2
 
 
Podemos observar que a 
proporcionalidade não se alterou. 
 
 
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RAZÕES E PROPORÇÕES 
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2) "Em toda proporção a soma ou a 
diferença dos antecedentes está para a 
soma ou a diferença dos consequentes, 
assim como cada antecedente está para o 
seu consequente." 
 
a c a c
b d b d

 

 
 
a c
b d
 
 
a c a c
b d b d

 

 
 
Exemplo: 
Na proporção: 
15 9
20 12
 , podemos escrever: 
→ 
15 9 24 15 9
20 12 32 20 12

  

 (verifique que é 
uma proporção) 
→ 
15 9 6 15 9
20 12 8 20 12

  

 (verifique que é 
uma proporção) 
 
3) "Em toda proporção o produto dos 
antecedentes está para produto dos 
consequentes. assim como o quadrado de 
cada antecedente está para o quadrado do 
seu consequente." 
2 2
a c a c a c
b d b d b d
   
         
    
 
Exemplo: 
Na proporção: 
4 10
6 15
 , temos que: 
→ 
2 2
4 10 40 4 10
6 15 90 6 15
   
        
    
 (verifique que 
é uma proporção) 
 
 
 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 
1) Determine a razão entre 48 pirulitos e 
156 pirulitos, 
2) Determine a razão entre o número de 
dias de um ano bissexto e a soma dos 
números de dias dos meses de março, abril, 
maio e junho, deste mesmo ano. 
3) Determine a razão entre os números 
1,212121... e 2,3424242... 
4) Determine o valor de x na proporção 2 
: x :: 6 : 24. 
5) Determine o valor de x na proporção 
1
2
x3
0,333...16
81


. 
6) As idades de um pai e de um filho estão 
na razão 5 para 2. Se a soma dessas idades 
é 42, determine a diferença entre elas. 
 
 
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RAZÕES E PROPORÇÕES 
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7) O produto de dois números é 1280. 
Determine-os, sabendo-se que eles estão 
na razão de 4 para 5. 
8) Determine a 4 proporcional entre os 
números 3, 6 e 5. 
9) A 4ª proporcional entre os números 2; 
x e 3,2 é 
3
2 . Determine o valor de x. 
10) Determine a 3ª proporcional entre os 
números 4 e 10, onde 10 é a média. 
11) Determine a média proporcional entre 
os números 8 e 18. 
12) Determine a média proporcional entre 
2 e 4,5. 
13) Em uma proporção os antecedentes 
são 22 e 35. Determine os consequentes, 
sabendo que sua soma é 228. 
14) Em uma proporção, os consequentes, 
são 3 e 6, e o produto dos quatro termos 
vale 5184. Determine a soma dos 
antecedentes. 
15) Determine os antecedentes de uma 
proporção cujos consequentes são 6 e 8, 
sabendo que a soma dos quatro termos é 
84. 
16) Determine os quatro termos de uma 
proporção contínua, sabendo-se que um 
dos meios é o triplo de um dos extremos e 
que o produto dos quatro termos é 1296.17) O produto do MDC pelo MMC de dois 
números é 1232. Determine-os sabendo-se 
que um deles está para o outro assim como 
7 está para 11. 
18) Em uma maquete de um estádio de 
futebol, uma torre de iluminação de altura 
18 metros é representada por um palito de 
3,6 centímetros de comprimento. Qual foi a 
escala utilizada? 
19) A miniatura de um automóvel foi 
construída na escala de 1:40. Se a roda do 
automóvel tem raio de 48 cm, qual o 
diâmetro de cada roda da miniatura? 
20) Qual a escala em que foi construída a 
planta de uma casa, sabendo-se que uma 
porta de altura de 2,4 m é representada por 
uma de 0,6 cm de altura? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ARITMÉTICA 
RAZÕES E PROPORÇÕES 
/mestreviana /canalmestreviana 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
1. 
4
13
 11. 25 
2. 3 12. 12 
3. 
400
773
 13. 3 
4. 8 14. 88 e 140 
5. 
5
4
 15. 36 
6. 18 16. 30 e 40 
7. 32 e 40 17. 2, 6, 6 e 18 
8. 10 18. 28 e 44 
9. 
15
16
 19. 1:500 
10. 25 20. 2,4 cm