Aula 16 10 - Dist+óncia entre ponto e reta - Papirando

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GEOMETRIA ANALÍTICA 
DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA 
/mestreviana /canalmestreviana 
 
INTRODUÇÃO 
 
Consideremos, por exemplo, o ponto P(1, 
5) e a reta (r) x + y – 2 = 0. 
A distância do ponto P à reta r é igual à 
distância de P à sua projeção ortogonal na 
reta r. 
 
Para obtermos essa distância, devemos: 
1°) obter a equação da reta t r passando 
por P: 



 


r
t
m 1
m 1
t r
 
y – 5 = 1(x - 1)  (t) x – y + 4 = 0 
 
2°) obter o ponto Q, projeção de P em r: 
¨ 


x y
( )
 

2 0
x y





 4 0
 
     2x 2 0 x 1 
Substituindo na equação de r, temos: 
– 1 + y – 2 = 0  y = 3 
Assim, Q(-1, 3). 
 
3°) obter a distância PQ: 
      PQd (1 ( 1))² ( 5 3 )² 8 2 2 
 
Assim, a distância do ponto P(1,5) à reta 
(r) x + y – 2 = 0 é 2 2 . 
Por ter grande aplicação na Geometria 
Analítica, vamos deduzir uma fórmula para 
calcular a distância de um ponto a uma 
reta. 
 
FÓRMULA DE CÁLCULO 
 
Dado um ponto  P PP x ,y e a reta (r) ax + 
by +c = 0, vamos obter uma formula para 
calcular a distância d entre P e r. 
 
1°) Equação da reta t r passando por P. 





 
 

r
t
am bmb
at r
 
Assim:   P P
a( t )y y ( x x )
b
 
Então:     P P( t ) bx ay ( bx ay ) 0 
 
2°) Projeção ortogonal de P em r. 
Achamos a projeção de P em r, resolvendo 
o sistema determinado pelas equações de t 
e r. 



  
    P P
ax by c( r )
bx ay bx ay ( t )
 
 
 
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DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA 
/mestreviana /canalmestreviana 
Multiplicando a equação de (c) por b e a 
equação de (t) por a, e fazendo a adição 
membro a membro, obtemos: 
 


  


P P
Q
P P
Q
b² x aby ac
x
a² b²
abx a² y bc
y
a² b²
 
 
3°) Distância entre os pontos P e Q. 
 
 
   
   
   
   
   
   
 
 
    


 


P PQ Q
2 2
P P P P
P P P P
P P
d ( x x )² ( y y )²
a² x aby ac abx b² y bc
d
a² b² a² b²
a² ax aby ac b²( ax by c )²
d
a² b²
ax by c ²
d
a² b²
 
Assim: 
 


P P|ax by c|d
a² b²
 
Observação - A distância de P é igual ao 
módulo do valor numérico obtido, 
substituindo as coordenadas de P no 1º 
membro da equação geral de r, dividido 
por a² b² . 
Exemplos 
1°) Calcular a distância do ponto P(1, 5) à 
reta (r) x + y – 2 = 0. 
Resolução 
   
 

  
P P|ax by c| |1 5 2|d
1² 1²a² b²
4d d 2 2
2
 
Observação: A unidade de medida não é 
citada; consideramos a mesma das 
coordenadas fornecidas, isto é, a unidade 
do sistema cartesiano. 
 
2°) Calcular a distância da origem O(0, 0) à 
reta (r) y = 2x – 1. 
Resolução 
Inicialmente, colocamos a equação de r na 
forma geral: 
y = 2x – 1 – 2x + y + 1 = 0 
e aplicamos a fórmula da distância: 
     
 
  
  
P P|ax by c| | 2 0 0 12|d
a² b² ( 2 )² 1²
1 5d d
55
 
 
OBTENÇÃO DE EQUAÇÕES DE 
RETAS 
 
A. Dado um ponto da reta 
Se conhecemos um ponto  0 0P x ,y de uma 
reta, para determinarmos a sua equação, 
devemos obter o seu coeficiente angular m, 
e a equação será: 
  0 0y y m( x x ) 
Dizemos que essa equação, com m variável, 
representa o feixe de retas concorrentes 
em  0 0P x ,y , não paralelas ao eixo y. A reta 
paralela ao eixo y e que passa por P tem 
equação  0x x 
 
 
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Exemplos 
1°) Achar a equação da reta r que passa 
pelo ponto P(20, 0) e dista 12 unidades da 
origem O do sistema cartesiano. 
 
Resolução 
 
A equação de r será: 
y – 0 = m(x – 20) 
ou seja 
(r) mx – y – 20m = 0 
dist. (O, r) = 12 
  

 
  
|m 0 0 20m| 12
m² ( 1)²
| 20m| 12 m² 1
 
400m² = 144(m² + 1) 
256m² = 144 
  
12 3m m
16 4
 
O problema tem duas soluções: 
    1 2
3 3( r )y ( x 20 );( r )y ( x 20 )
4 4
 
 
2°) Achar a equação da reta r que passa 
pelo ponto P(5, 2) e dista 2 unidades do 
ponto A(7,2). 
Resolução 
 
A equação de r será: 
y – 2 = m(x – 5)  
(r) mx – y – 5m + 2 = 0 
dist. (A, r) = 2 
   


 
|m 7 2 5m 2| 2
m² 1²
|2m| 2 m² 1
 
4m² = 4(m² + 1)  0 = 4 (absurdo) 
Notamos que não existe m que satisfaça as 
condições do problema, pois a reta r é 
vertical. Isso seria facilmente percebido se 
fizéssemos o gráfico em coordenadas 
cartesianas. 
 
 
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Logo, a equação da reta r é: x = 5 
 
B. Conhecendo a direção da reta 
B.1. Dado o coeficiente angular m da reta 
Se conhecemos o coeficiente angular m da 
reta, devemos descobrir o coeficiente 
linear q, e a equação será: 
y = mx + q 
Dizemos que essa equação, com q variável, 
representa o feixe de retas paralelas de 
coeficiente angular m. 
 
Exemplo 
Obter a equação da reta r com coeficiente 
angular 2 e que dista 5 unidades do 
ponto A(5,0). 
Resolução 
A equação de r será: 
y = 2x + q  2x – y + q = 0 
dist.(A, r) =
  

 
|2 5 0 q| 5
2² ( 1)²
 



    
 
     
10 q 5 q 5
|10 q| 5
10 q 5 q 15
 
Assim, existem duas soluções: 
y = 2x – 5 ou y = 2x – 15 
 
B.2. Dada uma reta paralela 
Se conhecemos a equação de uma reta (s) 
ax + by + c = 0 paralela a r, a equação será: 
ax + by + k = 0 
Dizemos que essa equação, com k variável, 
representa o feixe de retas paralelas à reta 
s. 
 
Exemplo 
Obter a equação de reta r paralela à reta (s) 
3x + 4y – 7 = 0 e que dista 2 unidades de 
A(5, 0). 
Resolução 
A equação de r será: 
3x + 4y + k = 0 
dist. (A, r) = 2 
 
 
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


   


    
 
     
|3 5 4 0 k | 2
3² 4²
15 q 10 q 5
|15 k | 10
15 q 10 q 25
 
Assim, existem duas soluções: 
3x + 4y – 5 = 0 ou 3x + 4y – 25 = 0 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
01. Determine a distância entre o ponto 
P(2; 3) e a reta 3x + 4y +1 = 0. 
a. 
1
5
 
b. 
19
5
 
c. 7
5
 
d. 
3
5
 
e. 5 
Resolução 
Temos: 






    

a 3
3x 4 y 1 0 b 4
c 1
 






 
 

   
 

0
0
0 0
x 2
P( 2;3 )
y 3
|ax by c|
d
a² b²
|3 2 4 3 1| 19
53² 4²
 
Dica: Observe que ax0 + by0 + c significa 
substituir coordenadas do ponto na 
equação da reta. 
Resposta: B 
 
02. Obtenha a medida do raIo da 
circunferência que tem centro O(3, -4) e é 
tangente à reta de equação 5x + 12y + 7 = 
0. 
Resolução 
 
R = dist. (O, r) 
    
 

 

  
|5 3 12 ( 4 ) 7 |R
5² 12²
|15 48 7 |
169
26R R 2
13
 
 
03. Calcule a medida da altura relativa ao 
vértice A no triângulo ABC. Dados: A(1, 5), 
B(0,1) e C(3,4). 
 
Resolução 
Obtemos a equação da reta  BC

 
x + 0 + 3y – 0 – 3 – 4x = 0 
 
 
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Assim,  BC

 – 3x + 3y – 3 = 0 ou  BC

 x – 
y + 1 = 0 
Calculamos, agora, a distância do vértice A 
à reta  BC

: 
 
  
 A,BC
|51 5 2| 3h d
21² ( 1)²
 
Então: 
3 2h
2
 
 
04. Ache o ponto P do eixo y, equidistante 
das retas (r) 3x + y – 1 = 0 e (s) x + 3y + 5 
= 0. 
Resolução 
 
P ∈ eixo y   PP (0,y ) 
dist. (P, r) = dist. (P.s)  
    
 
 
P P|3 0 y 1| |0 3y 5|
3² 1² 1² 3²
 
Então: 
 
P P
| y 1| |3y 5|
10 10
 





     
   
     
P P P
P P
P P P
y 1 3y 5 y 3
| y 2| |3y 5| ou
y 1 3y 5 y 1
 
Assim, as coordenadas de P são: (0, -3) ou 
(0, -1) 
 
05. Calcule a distância entre as retas 
paralelas de equações (r) 3x + 4y – 12 = 0 
e (s) 3x + 4y + 6 = 0. 
 
Resolução 
Devemos, inicialmente, encontrar um 
ponto qualquer de uma das retas, r por 
exemplo. 
Fazendo x = 0, por exemplo, na equação de 
r, temos: 
3 ∙ 0 + 4y – 12 = 0  y = 3 
Assim, P (0,3)∈ r 
A distância d entre as retas r e s será a 
distância de P à reta s. 
Assim: Então 
   
 

|3 0 4 3 6 | 18d
3² 4² 25
 
Então 
18d
5
 
 
06. A equação da reta paralelaa (s) x + y – 
7 = 0 tangente à circunferência de centro 
na origem e raio 5 pode ser: 
a. x + y + 4 = 0 
b. x + y + 3 = 0 
c. x + y – 5 2 = 0 
d. x + y – 5 = 0 
e. x + y + 10 2 = 0 
Resolução 
Podemos escrever a equação de uma reta 
paralela a (s) na forma (t) x + y + k = 0 e, 
sendo esta reta tangente à circunferência, 
então a sua distância até o centro (origem) 
é igual ao raio (5). 
 
 
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   
   
Ct
|1 0 1 3 k |R d k 5 2
1 1
 
Resposta: C 
 
07. Obtenha a equação das retas que 
passam pela origem e tangenciam a 
circunferência de centro no ponto (5,0) e 
raio 3. 
Resolução 
Se a reta passa pela origem, (t) y – 0 = m(x 
– 0)  (t) y = mx ou (t) mx – y = 0. Como 
(t) é tangente à circunferência de centro 
C(5,0) e raio 3, temos que Ctd 3 
   
   
Ct
m 5 1 0 0 3d 3 m
m² 1 4
, portanto, 
temos que 
3( t )y x
4
 ou  
3( t')y x
4
. 
Resposta: 
3y x
4
 ou  
3y x
4
 
Obs. - Você também pode resolver este 
exercício utilizando m = tg α, com o auxílio 
do gráfico. 
 
 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 
 
1) A distância do ponto (3,1) à reta cuja 
equação geral é 2𝑥 − 2𝑦 + 2 = 0 é 
a) 
5 2
2
 
b) 
3 2
2
 
c) 2 2 
d) 2 
 
2) Observando a figura, podemos afirmar 
que a medida da mediana 𝐴𝑀 é 
 
a) 2 2 
b) 3 2 
c) 2 3 
d) 3 3 
 
3) Dois pontos sobre a reta 𝑦 = 2 distam 4 
unidades da reta 4𝑥 − 3𝑦 + 2 = 0. A 
distância, em unidades, entre as abscissas 
dos pontos é 
a) 10 
b) 2 
c) 6 
d) 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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GABARITO 
1. b 3. a 
2. b 
 
 
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
1) A distância do ponto (3,1) à reta cuja 
equação geral é 2𝑥 − 2𝑦 + 2 = 0 é 
a) 
5 2
2
 
b) 
3 2
2
 
c) 2 2 
d) 2 
Resolução 
A distância de um ponto a uma reta dada 
por ser calculada como: 
 
2 3 2 1 2 6 3 2
d
22 22² 2 ²
   
  
 
 
Gabarito: “b”. 
 
2) Observando a figura, podemos afirmar 
que a medida da mediana 𝐴𝑀 é 
 
a) 2 2 
b) 3 2 
c) 2 3 
d) 3 3 
Resolução 
Como 𝐴𝑀 é mediana, 𝑀 é ponto médio de 
𝐵𝐶. Logo: 
B C (4,2) (6,4) (10,6)
M (5,3)
2 2 2
 
    
Assim, podemos calcular 𝐴𝑀: 
   
2 2
AM 2 5 6 3 9 9 3 2       
Gabarito: “b”. 
 
3) Dois pontos sobre a reta 𝑦 = 2 distam 4 
unidades da reta 4𝑥 − 3𝑦 + 2 = 0. A 
distância, em unidades, entre as abscissas 
dos pontos é 
a) 10 
b) 2 
c) 6 
d) 4 
Resolução 
Se estão sobre a reta 𝑦 = 2, então são da 
forma: 
p (x,2) 
Sabemos ainda que: 
 
4x 3 2 2 4x 4
4
54² 3 ²
   
 
 
 
Disso: 
4x 4
4
5

 
4x 4 20 x 6    
Ou: 
4x 4 20 x 4      
Queremos: 
 6 4 10   
Gabarito: “a”.