Aula 8 - Ci¦ürculo

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GEOMETRIA PLANA 
CÍRCULO 
/mestreviana /canalmestreviana 
 
 
CIRCUNFERÊNCIA 
Definição: circunferência é o conjunto dos 
pontos do plano equidistantes de um ponto 
fixo chamado centro. 
CÍRCULO 
Definição: círculo é o conjunto dos pontos 
do plano cuja distância até um ponto fixo 
(centro) é menor ou igual a um valor dado 
chamado de raio. 
 
Elementos do círculo 
O → centro 
OA → raio 
CD → corda 
AB → diâmetro (corda máxima) 
CD → arco 
EF → flecha 
r → reta exterior 
s → reta secante 
t → reta tangente 
u → reta secante diametral 
p → ponto de tangência 
 
Observações Importantes 
1) "O raio que passa pelo ponto de 
tangência é perpendicular à 
tangente." 
OA t 
 
 
 
 
 
 
2) "Quando traçamos, por um ponto 
exterior, duas tangentes a uma 
mesma circunferência, os segmentos 
compreendidos entre o ponto 
exterior e os pontos de tangência são 
congruentes." 
 
 
Demonstração 
Os triângulos AOP e BOP são congruentes 
pois ambos são triângulos retângulos com 
a mesma hipotenusa  OP e dois catetos 
congruentes  OA OB . Daí temos que: 
PA PB 
3) "Cordas paralelas de um círculo 
determinam arcos congruentes." 
 
 
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 AB / /CD AC BD  
 
4) Teorema de Pitot 
"Em todo quadrilátero 
circunscritível, a soma de dois lados 
opostos é sempre igual à soma dos 
outros dois." 
AB CD BC DA   
 
 
ÂNGULOS NO CIRCULO 
Ângulo central 
É o ângulo cujo vértice é o centro do 
círculo. A medida entre os lados do o 
ângulo central é igual à medida do arco 
compreendido entre os lados do ângulo 
que são dois raios 
 
 - ângulo central 
 AB  
Ângulo Inscrito 
É o ângulo cujo vértice encontra-se na 
circunferência e seus lados são duas 
cordas. A medida do ângulo inscrito é igual 
à metade da medida do arco subentendido 
entre seus lados. 
 
  x y   - ângulo inscrito 
 BC
2
  
Corolários 
1) "Em todo quadrilátero inscritível 
dois ângulos opostos são 
suplementares." 
 
  180º   
 
2) "Todo triângulo inscrito em um 
círculo que apresente o diâmetro 
como um de seus lados é retângulo e 
tem o diâmetro como hipotenusa": 
 
 
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Demonstração 
Se BC é diâmetro, então BC 180º . 
Como o ângulo BAC é inscrito, temos que: 
 BC 180ºBAC 90º
2 2
   
Daí que o triângulo ABC é retângulo de 
hipotenusa BC . 
 
Ângulo de segmento 
É o ângulo cujo vértice está na 
circunferência e seus lados, são uma 
tangente e uma corda que parte do ponto 
de tangencia. 
 
a - ângulo de segmento 
 AB
2
  
 
Ângulo excêntrico interior 
É o ângulo cujos lados são duas cordas que 
se intersectam no interior do círculo, mas 
não no centro. 
 
a - ângulo excêntrico interior 
  AD BC
2


 
 
Ângulo excêntrico exterior 
É o ângulo cujos lados são duas secantes, 
ou uma secante e uma tangente, ou duas 
tangentes que se intersectam em um ponto 
no exterior ao círculo. No caso dos lados 
serem duas tangentes o ângulo excêntrico 
exterior é chamado de ângulo circunscrito. 
 
a - ângulo excêntrico exterior 
  m n
2


 
 
 
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Obs.: No caso do ângulo circunscrito, este 
pode ser calculado através do suplemento 
do menor arco, ou seja: 
 180º n   
 
POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE 
DUAS CIRCUNFERÊNCIAS 
Consideremos uma circunferência de 
centro O e raio R, e outra de centro O' e raio 
r, de modo que OO ' d . A partir daí, vamos 
analisar todas as posições relativas entre 
elas, supondo que R < r. 
1) Exteriores 
 
Condição: d R r  
 
2) Tangentes exteriores 
 
Condição: d R r  
 
3) Secantes 
 
Observe que para que as 
circunferências sejam secantes, é 
necessário que o triângulo OO'P 
exista. Daí, apliquemos as condições 
de existência de um triângulo. 
 
Condição: R r d R r    
 
Importante: 
Quando em duas circunferências, o ângulo 
OPO' for igual a 90°, as circunferências são 
chamadas de ortogonais. 
 
4) Tangentes interiores 
 
Condição: d R r  
 
5) Interiores 
 
Condição: d R r  
 
 
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6) Concêntricas 
 
Condição: d 0 
 
Exemplos: 
Considerando-se duas circunferências de 
raios R = 10 e r = 3, determine a posição 
relativa entre elas, em cada caso a seguir: 
a) d = 7 
Resolução: Note que d = R – r = 10 – 3 
= 7, logo são tangentes interiores. 
b) d = 15 
Resolução: Como R + r = 13, temos que 
d > R + r, e, portanto, elas são 
exteriores. 
c) d = 9 
Resolução: Temos que R – r = 7 e R + r 
= 13. Verificamos que R – r < d < R + r, 
e, portanto, elas são secantes. 
d) d = 6 
Resolução: Visto que d < R – r, elas são 
interiores. 
 
 
 
 
TEOREMA DE HIPARCO 
Em todo quadrilátero convexo, inscritível, 
o produto das diagonais é igual à soma dos 
produtos dos lados opostos. 
 
AC BD AB DC AD BC     
 
Exemplo: 
Sabendo-se que o quadrilátero abaixo é 
inscritível, determine a medida da diagonal 
AC . 
 
Resolução: 
AC BD AB DC AD BC
x 6 7 6 4 2
6x 50
25
x
3
    
    


 
 
 
 
 
 
 
 
 
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LISTA DE EXERCÍCIOS 
1) Determine x em: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
 
2) Determine a medida do menor arco 
subentendido pela corda AB , nos 
casos em que AB é: 
a) o lado de um triângulo equilátero 
inscrito. 
b) o lado de um quadrado inscrito. 
c) o lado de um pentágono regular 
inscrito. 
d) o lado de um hexágono regular 
inscrito. 
e) o lado de um octógono regular 
inscrito. 
f) o lado de um icoságono regular 
inscrito. 
g) um diâmetro. 
3) Os lados de um angulo excêntrico 
exterior subentendem na 
circunferência dois arcos expressos 
por 4x + 11° e 2x – 21°. Determine o 
Hora do papiro! 
 
 
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valor de x, sabendo-se que o referido 
ângulo mede 33° 
4) Um ângulo inscrito é formado por um 
diâmetro e uma corda, e mede 74°. 
Determine o valor do arco 
subentendido pela corda. 
5) Calcular o ângulo inscrito formado por 
duas cordas que são os lados do 
quadrado e do hexágono regular 
inscritos. 
6) Duas cordas intersectam-se no 
interior de um círculo formando um 
ângulo de 140°. Sabendo-se que um 
dos arcos equivale a 
3
4 do outro, 
determine a medida do maior arco. 
7) Um ângulo excêntrico interior mede 
59°, e a diferença entre as medidas dos 
arcos por ele subentendidos na 
circunferência vale 46°. Determine as 
medidas desses arcos. 
8) Por um ponto P, exterior a um círculo, 
traçam-se as secantes PAB e PCD, 
sendo esta diametral. Se os menores 
arcos 
AC , AB e BD são, nesta ordem, 
proporcionais a 1,2 e 3, determine a 
medida do ângulo BPD . 
9) De um ponto P, exterior a um círculo, 
traçam-se as tangentes PM e PN . Os 
pontos M e N dividem a circunferência 
em dois arcos tais que a diferença 
entre o dobro da medida do maior e o 
triplo da medida do menor, dá 20°. 
Determine a medida do ângulo 
MPN . 
10) Na figura, o ângulo AEC mede 80° e o 
arco 
AC mede 100°. A medida do arco 
BD é: 
 
a) 45° 
b) 50° 
c) 60° 
d) 75° 
e) 90° 
11) Na figura, O é o centro da 
circunferência. Determine a medida 
do ângulo x . 
 
12) Na figura abaixo, AB é o lado do 
triângulo equilátero inscrito. 
Determine a medida do ângulo APB . 
 
 
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13) A medida do ângulo ADC Inscrito na 
circunferência de centro O é: 
 
a) 125° 
b) 110° 
c) 120° 
d) 100° 
e) 135° 
14) Na figura abaixo, sabe-se que 
ABD x e 
CAB y . Determine as 
medidas dos ângulos 
AQD e APD . 
 
15) Na figura anterior, se 
AQD  e 
APD  , determineas medidas dos 
ângulos 
ACD e CDB . 
16) Um trapézio ABCD está inscrito em um 
círculo e suas bases AB e DC são, 
respectivamente, os lados do 
hexágono regular e do triângulo 
equilátero inscritos. Determine as 
medidas dos ângulos desse trapézio. 
17) Determine o perímetro do triângulo 
da figura abaixo: 
 
18) Na figura abaixo, AB 7 , BC 8 e 
AC 11 . Determine as medidas dos 
segmentos AR , BS e CT . 
 
19) Em um quadrilátero circunscritível, 
dois lados opostos medem 7 e 9. 
Determine as medidas dos outros, 
sabendo-se que a medida de um deles 
é a terça parte da medida do outro. 
20) Determine o valor de x na figura 
abaixo. 
 
 
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21) Em um quadrilátero convexo 
circunscritível ABCD, tem se 
AB 5x 3  , BC 2x 3  , CD x 2  e 
DA 3x 1  . Determine o valor de x. 
22) As bases de um trapézio 
circunscritível medem 6 e 8. 
Determine o seu perímetro. 
23) Determine o perímetro de um 
trapézio circunscrito a um círculo, 
sabendo-se que sua base média tem 
medida K. 
24) A diferença entre as medidas dos 
ângulos x e 
y na figura abaixo vale 
 
a) 30° 
b) 40° 
c) 50° 
d) 60° 
e) 70° 
25) Na figura abaixo, determine a medida 
do segmento AC . sabendo-se que 
AB BC 6  , CD 5 , AD 7 e 
BD 8 
 
26) Duas circunferências de raios 4 e 10 
são tangentes exteriores, e, 
simultaneamente, tangentes 
interiores a uma terceira 
circunferência de raio r. Determine 
valor de r. 
27) Duas circunferências concêntricas 
têm raios x e y. Determine os raios de 
duas outras que as tangenciam. 
28) Duas circunferências concêntricas 
têm raios iguais a 10 e 4. Determine os 
raios de duas outras circunferências 
simultaneamente tangentes a elas. 
29) Determine os raios de duas 
circunferências concêntricas, sabendo 
que os raios de duas outras que as 
tangenciam, medem 5 e 9. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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GABARITO 
1. 8. 30° 
a. 70° 9. 40° 
b. 30° 10. C 
c. 100° 11. 20° 
d. 40° 12. 60° 
e. 36° 13. A 
f. 108° 14. x + y e x – y 
g. 40° 15. 
a b a b
 e 
2 2
 
 
h. 110° 
16. 2 de 75° e 2 de 
105° ou 2 de 45° e 2 
de 135° 
2. 17. 30 
a. 120° 18. 5, 2 e 6 
b. 90° 19. 4 e 12 
c. 72° 20. 10 
d. 60° 21. 3 
e. 45° 22. 28 
f. 18° 23. 4K 
g. 180° 24. B 
3. 17° 25. 9 
4. 32° 26. 14 
5. 15° ou 105° 27. 
x y x y
 e 
2 2
 
 
6. 160° 28. 3 e 7 
7. 82° e 36° 29. 14 e 4