Método Empírico

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7.1 Método Empírico
A maneira pela qual uma correlação para a transferência de calor por convecção pode ser obtida experimentalmente está ilustrada na Figura 7.1. Se uma geometria específica, como a placa plana em um escoamento paralelo, for aquecida eletricamente de modo a manter Ts > T∞, transferência de calor por convecção ocorre da superfície para o fluido. Seria então uma tarefa simples medir Ts e T∞, assim como a potência elétrica, E · I, que é igual à taxa de transferência de calor total q. O coeficiente convectivo ImagesL, que é uma média associada à toda a placa, poderia então ser calculado a partir da lei do resfriamento de Newton, Equação 6.12. Além disso, com o conhecimento do comprimento característico L e das propriedades do fluido, os números de Nusselt, Reynolds e Prandtl poderiam ser determinados a partir de suas definições, Equações 6.50, 6.41 e 6.42, respectivamente.
O procedimento anterior poderia ser repetido para uma variedade de condições de teste. Poderíamos variar a velocidade u∞ e o comprimento da placa L, assim como a natureza do fluido, usando, por exemplo, ar, água e óleo de motor, que possuem números de Prandtl substancialmente diferentes. Teríamos, então, muitos diferentes valores do número de Nusselt correspondentes a uma ampla faixa dos números de Reynolds e de Prandtl, e os resultados poderiam ser colocados em um gráfico com escalas log–log, como mostrado na Figura 7.2a. Cada símbolo representa um conjunto específico de condições de teste. Como ocorre com frequência, os resultados associados a um dado fluido e, portanto, a um número de Prandtl fixo, situam-se próximos a uma linha reta. Isso indica uma dependência do número de Nusselt em relação ao número de Reynolds na forma de uma lei de potência. Considerando todos os fluidos, os dados podem então ser representados por uma expressão algébrica com a forma
Como os valores de C, m e n são frequentemente independentes da natureza do fluido, a família de linhas retas correspondentes a diferentes números de Prandtl pode ser concentrada em uma única linha ao se representar os resultados em termos da razão ImagesL/Prn, como mostrado na Figura 7.2b.
Em virtude da Equação 7.1 ser inferida a partir de dados experimentais, ela é chamada correlação empírica. Os valores específicos do coeficiente C e dos expoentes m e n variam com a natureza da geometria da superfície e com o tipo de escoamento.
Em muitos casos especiais usaremos expressões com a forma dada pela Equação 7.1, e é importante observar que a hipótese de propriedades do fluido constantes está frequentemente implícita nos resultados. Entretanto, sabemos que as propriedades do fluido variam com a temperatura através da camada-limite e que essa variação pode certamente influenciar a taxa de transferência de calor.
Essa influência pode ser tratada de duas maneiras. Em um método, a Equação 7.1 é utilizada com todas as propriedades avaliadas a uma temperatura da camada-limite média Tf, chamada de temperatura do filme.
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O método alternativo é avaliar todas as propriedades a T∞ e multiplicar o lado direito da Equação 7.1 por um parâmetro adicional para levar em conta a variação das propriedades. O parâmetro possui comumente a forma (Pr∞/Prs)r ou (μ∞/μs)r, com os subscritos ∞ e s indicando a avaliação das propriedades nas temperaturas da corrente livre e da superfície, respectivamente. Os dois métodos são utilizados nos resultados a seguir.
Finalmente, observamos que experimentos também podem ser executados para a obtenção de correlações da transferência de massa por convecção. Contudo, em condições nas quais a analogia entre as transferências de calor e de massa (Seção 6.7.1) pode ser aplicada, a correlação da transferência de massa assume a mesma forma da correlação da transferência de calor correspondente. Assim, antecipamos correlações com a forma
7.2 Placa Plana em Escoamento Paralelo
Apesar de sua simplicidade, o escoamento paralelo sobre uma placa plana (Figura 7.3) ocorre em numerosas aplicações da engenharia. Como discutido na Seção 6.3, o desenvolvimento da camada-limite laminar começa na aresta frontal (x = 0) e a transição para o regime turbulento pode ocorrer em uma posição (xc) a jusante, na qual um número de Reynolds crítico Rex,c é atingido. Iniciamos analisando as condições no interior da camada-limite laminar. Especificamente, determinaremos analiticamente as distribuições de velocidade, de temperatura e de concentração que são mostradas qualitativamente nas Figuras 6.1, 6.2 e 6.3, respectivamente. A partir do conhecimento destas distribuições, determinaremos então expressões para os coeficientes de atrito, números de Nusselt e números de Sherwood locais e médios.
7.2.2 Escoamento Turbulento sobre uma Placa Isotérmica
Não é possível a obtenção de soluções analíticas exatas para camadas-limite turbulentas, que são inerentemente instáveis. De experimentos [2] sabe-se que, para escoamentos turbulentos com números de Reynolds de até aproximadamente 108, o coeficiente de atrito local é correlacionado, com 15% de precisão, por uma expressão na forma
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Além disso, sabe-se que, com uma aproximação razoável, a espessura da camada-limite de velocidade pode ser representada por
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Comparando esses resultados com aqueles para a camada-limite laminar, Equações 7.19 e 7.20, verificamos que o crescimento da camada-limite turbulenta é muito mais rápido (δ varia com x4/5 em contraste com x1/2 para o escoamento laminar) e que o decréscimo do coeficiente de atrito é mais gradual (x–1/5 contra x–1/2). Para o escoamento turbulento, o desenvolvimento da camada-limite é fortemente influenciado por flutuações aleatórias no fluido e não pela difusão molecular. Dessa maneira, o crescimento relativo das camadas-limite não depende do valor de Pr ou Sc, e a Equação 7.35 pode ser usada para fornecer as espessuras das camadas-limite térmica e de concentração, bem como da camada-limite de velocidade. Isto é, para o escoamento turbulento, δ ≈ δt ≈ δc.
Usando a Equação 7.34 com a analogia de Reynolds modificada, ou analogia de Chilton–Colburn, Equações 6.70 e 6.71, o número de Nusselt local para o escoamento turbulento é
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e o número de Sherwood local é
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A melhor mistura causa um crescimento mais rápido da camada-limite turbulenta, quando comparado ao da camada-limite laminar, e faz com que ela tenha maiores coeficientes de atrito e convectivos.
Expressões para os coeficientes médios podem, agora, ser determinadas. Entretanto, como a camada-limite turbulenta é geralmente precedida por uma camada-limite laminar, analisaremos primeiramente condições de camada-limite mista.
Tendo adquirido meios para calcular taxas de transferência por convecção em escoamentos externos, agora analisamos o problema da transferência convectiva em escoamentos internos. Lembre que um escoamento externo é aquele no qual o desenvolvimento da camada-limite sobre uma superfície ocorre sem restrições externas, como na placa plana mostrada na Figura 6.6. Ao contrário, um escoamento interno, como o escoamento no interior de um tubo, é aquele no qual o fluido encontra-se confinado por uma superfície. Dessa maneira, a camada-limite é incapaz de se desenvolver sem finalmente ter este desenvolvimento restringido. A configuração de escoamento interno representa uma geometria conveniente para o aquecimento e o resfriamento de fluidos usados em processos químicos, no controle ambiental e em tecnologia de conversão de energia.
Nossos objetivos são o desenvolvimento de uma avaliação dos fenômenos físicos associados ao escoamento interno e a obtenção de coeficientes convectivos para condições de escoamento de importância prática. Como no Capítulo 7, restringiremos nossa atenção em problemas de convecção forçada com baixas velocidades, sem a ocorrência de mudança de fase no fluido. Iniciaremos analisando efeitos de velocidade (efeitos hidrodinâmicos ou fluidodinâmicos) pertinentes aos escoamentos internos, concentrando-nos em certas características específicas do desenvolvimentoda camada-limite. Os efeitos da camada-limite térmica são considerados em seguida e um balanço de energia global é utilizado para determinar as variações na temperatura do fluido no sentido do escoamento. Finalmente, são apresentadas correlações para estimar o coeficiente de transferência de calor por convecção para uma variedade de condições do escoamento interno.
8.1 Considerações Fluidodinâmicas
Ao analisar o escoamento externo, é necessário perguntar somente se o escoamento é laminar ou turbulento. Entretanto, em um escoamento interno, também temos que estar atentos para a existência de regiões de entrada e plenamente (ou completamente) desenvolvida.
8.1.1 Condições de Escoamento
Considere o escoamento laminar no interior de um tubo circular de raio ro (Figura 8.1), onde o fluido entra no tubo com uma velocidade uniforme. Sabemos que, quando o fluido entra em contato com a superfície, os efeitos viscosos se tornam importantes e uma camada-limite se desenvolve com o aumento de x. Esse desenvolvimento ocorre à custa do encolhimento da região de escoamento não viscoso e termina com a fusão da camada-limite no eixo central do tubo. Após essa fusão, os efeitos viscosos se estendem ao longo de toda a seção transversal do tubo e o perfil de velocidades não mais se altera com o aumento de x. Diz-se, então, que o escoamento está plenamente desenvolvido e a distância entre a entrada do tubo e o ponto onde essa condição é atingida é conhecida por comprimento de entrada fluidodinâmica (ou hidrodinâmica), xcd,v. Como mostrado na Figura 8.1, no escoamento laminar em um tubo circular o perfil de velocidades na região de escoamento plenamente desenvolvido é parabólico. No escoamento turbulento, o perfil de velocidades é mais achatado devido à mistura turbulenta na direção radial.
Ao lidar com escoamentos internos, é importante estar ciente da extensão da região de entrada, que depende se o escoamento é laminar ou turbulento. O número de Reynolds para o escoamento em um tubo circular é definido como
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sendo um a velocidade média do fluido na seção transversal e D o diâmetro do tubo. Em um escoamento plenamente desenvolvido, o número de Reynolds crítico, que corresponde ao surgimento de turbulência, é
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embora números de Reynolds muito maiores (ReD < 10.000) sejam necessários para a obtenção de condições plenamente turbulentas. Provavelmente, a transição para a turbulência tem início na camada-limite em desenvolvimento na região de entrada.
Para o escoamento laminar (ReD ≤ 2300), o comprimento de entrada fluidodinâmica pode ser obtido a partir de uma expressão com a forma [1]
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Essa expressão está baseada na premissa de que o fluido entra no tubo oriundo de um bocal convergente arredondado e, deste modo, sendo caracterizado por um perfil de velocidades aproximadamente uniforme na entrada (Figura 8.1). Embora não exista expressão geral satisfatória para o comprimento de entrada em um escoamento turbulento, sabemos que ele é aproximadamente independente do número de Reynolds e que, como uma primeira aproximação [2],
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FIGURA 8.1 Desenvolvimento de camada-limite fluidodinâmica laminar em um tubo circular.
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Para os propósitos deste texto, admitiremos escoamento turbulento plenamente desenvolvido para (x/D) > 10.
8.1.2 A Velocidade Média
Uma vez que a velocidade varia ao longo da seção transversal e não há uma corrente livre bem definida, é necessário trabalhar com uma velocidade média um ao lidar com escoamentos internos. Essa velocidade é definida de tal forma que, quando multiplicada pela massa específica do fluido ρ e pela área da seção transversal do tubo Atr, obtém-se a vazão mássica do escoamento através do tubo. Assim,
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Para o escoamento incompressível em regime estacionário em um tubo com área de seção transversal uniforme, Images e um são constantes, independentes de x. Com base nas Equações 8.1 e 8.5, fica evidente que, para o escoamento em um tubo circular (Atr = π D2/4), o número de Reynolds se reduz a
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Como a vazão mássica também pode ser representada pela integral do fluxo de massa (ρu) na seção transversal
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tem-se que, para o escoamento incompressível em um tubo circular,
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A expressão anterior pode ser usada para determinar um em qualquer posição axial x, a partir do conhecimento do perfil de velocidades u(r) nessa posição.
8.1.3 Perfil de Velocidades na Região de Escoamento Plenamente Desenvolvido
A forma do perfil de velocidades pode ser facilmente determinada para o escoamento laminar de um fluido incompressível com propriedades constantes, na região plenamente desenvolvida, de um tubo circular. Uma característica importante das condições fluidodinâmicas na região plenamente desenvolvida é que o componente radial da velocidade, v, e o gradiente do componente axial da velocidade, (∂u / ∂x), são iguais a zero qualquer que seja a posição.
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Assim, o componente axial da velocidade depende somente de r, u(x, r) = u(r).
A dependência radial da velocidade axial pode ser obtida através da resolução da forma apropriada da equação do momento na direção x. Essa forma é determinada primeiramente reconhecendo que, para as condições da Equação 8.9, o fluxo líquido de momento é nulo em qualquer ponto na região plenamente desenvolvida. Portanto, a exigência de conservação do momento se reduz a um simples equilíbrio entre as forças de cisalhamento e as forças de pressão no escoamento. No elemento diferencial anular mostrado na Figura 8.2, esse equilíbrio de forças pode ser representado por
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que se reduz a
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Com y = ro – r, a lei da viscosidade de Newton, Equação 6S.10, assume a forma
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e a Equação 8.10 se torna
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FIGURA 8.2 Balanço de forças em um elemento diferencial no escoamento laminar plenamente desenvolvido em um tudo circular.
Como o gradiente de pressão na direção axial é independente de r, a Equação 8.12 pode ser resolvida com duas integrações, obtendo-se
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e
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As constantes de integração podem ser determinadas com a utilização das condições de contorno
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que impõem, respectivamente, as exigências de deslizamento nulo na superfície do tubo e de simetria radial em relação ao eixo central. É fácil a tarefa de determinar as constantes, chegando-se a
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Portanto, o perfil de velocidades plenamente desenvolvido é parabólico, como ilustrado na Figura 8.2. Note que o gradiente de pressão deve ser sempre negativo.
O resultado anterior pode ser usado para determinar a velocidade média do escoamento. Substituindo a Equação 8.13 na Equação 8.8 e integrando, obtém-se
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Substituindo esse resultado na Equação 8.13, o perfil de velocidades é, então,
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Como um pode ser calculada a partir do conhecimento da vazão mássica, a Equação 8.14 pode ser usada para determinar o gradiente de pressão.
8.1.4 Gradiente de Pressão e Fator de Atrito no Escoamento Plenamente Desenvolvido
Com frequência, o engenheiro está interessado na queda de pressão necessária para manter um escoamento interno, pois esse parâmetro determina a exigência de potência em bombas ou sopradores. Para determinar a queda de pressão, é conveniente trabalhar com o fator de atrito de Moody (ou de Darcy), que é um parâmetro adimensional definido pela expressão
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Essa grandeza não deve ser confundida com o coeficiente de atrito, algumas vezes também chamado de fator de atrito de Fanning, que é definido como
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Como τs = –μ(du/dr)r=ro, tem-se pela Equação 8.13 que
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Substituindo as Equações 8.1 e 8.14 na Equação 8.16, tem-se que, para o escoamento laminar plenamente desenvolvido,
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Para um escoamento turbulento plenamente desenvolvido, a análise é muito mais complicada e acabamos contando com resultados experimentais. Além de depender do número de Reynolds, o fator de atrito é uma função das condições na superfície do tubo e aumenta com a rugosidade da superfície, e. Fatores de atrito medidos cobrindo uma ampla faixa de condições foram correlacionados por Colebrook [3, 4] e são descritospela expressão transcendental
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Uma correlação para a condição de tubo liso que cobre uma ampla faixa de números de Reynolds foi desenvolvida por Petukhov [5] e apresenta a forma
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As Equações 8.19 e 8.20 são representadas no diagrama de Moody da Figura 8.3.
Note que f, e portanto dp/dx, é uma constante na região plenamente desenvolvida. A partir da Equação 8.16, a queda de pressão ∆p = p1 – p2 associada ao escoamento plenamente desenvolvido de uma posição axial x1 até x2 pode, então, ser representada como
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sendo f obtido na Figura 8.3 ou da Equação 8.19 para o escoamento laminar e da Equação 8.20 ou 8.21 para o escoamento turbulento. A potência requerida na bomba ou no soprador para superar a resistência ao escoamento associada a essa queda de pressão pode ser representada pela expressão
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na qual a vazão volumétrica do escoamento image pode, por sua vez, ser escrita como image = Images/ρ para um fluido incompressível.
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FIGURA 8.3 Fator de atrito para escoamentos plenamente desenvolvidos em um tubo circular [6]. Usado com permissão.