Algebra -Folha 4

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VAMOS SOMAR MUITOS TERMOS... 
Para somar todos os termos de uma PA finita, também buscaremos uma fórmula, mas cabe contar uma pequena 
história: 
 
O Carl a que se refere a história é Carl Friedrich Gauss (alemão, 1777-1855) que se tornou um dos maiores 
matemáticos de todos os tempos. Além disso, foi astrônomo e físico. São dele essas palavras: “A Matemática é a rainha 
das ciências. A teoria dos números é a rainha das matemáticas.” 
 Acredita-se que ele tenha usado para resolver o problema que seu professor lhe passou justamente a fórmula que 
procuramos, a da soma dos termos de uma PA finita. Vamos analisar o problema do pequeno Gauss: Os números que 
ele tinha que somar (1, 2, 3, 4, ..., 97, 98, 99, 100) formam uma PA. 
♦ Quantos elementos tem essa PA? 
♦ Quando somamos os termos equidistantes dos extremos (exemplo: 1 e 100, 2 e 99, 3 e 98, etc...) que valor 
obtemos? 
♦ Esse valor é constante? 
♦ Quantas vezes essa soma de termos equidistantes aparecerá nesta PA? 
♦ Com esses dados, como podemos achar a soma dos elementos desta PA? Dê uma sugestão. 
 
Vamos pensar agora de forma bem geral!!! Imagine uma PA da qual conhecemos o primeiro termo (𝑎1), o último 
termo (𝑎𝑛) e o número de termos (𝑛). Como acharíamos 𝑆𝑛 a soma de todos os elementos dessa P.A.? 
INST. DE APL. FERNANDO RODRIGUES DA SILVEIRA – CAP/UERJ 
 Matemática – Folha IV 
Profs: Francisco Mattos, Gabriela Brião e André Tavares Turmas: 2A, 2B, 2C e 2D 
Departamento de Matemática e Desenho 
Data: 09/08/2021 
DMD 
 
No problema de Gauss, se usarmos a fórmula da soma, obtemos: 𝑆100 = 
(1+100).100
2
=
101.100
2
=
10100
2
= 5050. 
Se quisermos, por exemplo, saber qual é a soma dos 30 primeiros números ímpares positivos podemos pensar na 
seguinte sequência: (1, 3, 5, 7, . . . , 𝑎30). Mas quem é o trigésimo número ímpar? Podemos usar a fórmula do termo 
geral e obtemos 𝑎30 = 1 + (30 − 1) ⋅ 2 = 1 + 58 = 59. 
Usando então, a fórmula da soma, obtemos 𝑆30 = 
(1+59).30
2
=
60.30
2
= 900. 
Você seria capaz de calcular a soma dos 30 primeiros múltiplos positivos de 5? Para mostrar a fórmula da soma de n 
termos de uma PA vamos fazer uma “matemágica”? 
 
 
Exercícios 
1) Qual é a soma dos 30 termos iniciais da progressão aritmética (2, 9, 16, …)? 
2) Um teatro possui 12 poltronas na primeira fileira, 14 na segunda e 16 na terceira; as demais fileiras se compõem 
na mesma sequência. Quantas fileiras são necessárias para o teatro ter um total de 620 poltronas? 
3) (PUC/RJ – 2009 adaptada) Temos uma progressão aritmética de 20 termos onde o primeiro termo é igual a 5. 
A soma de todos os termos dessa progressão aritmética é 480. Calcule o décimo termo. 
4) A soma dos dez termos de uma PA é 200. Se o 1º termo dessa PA é 2, qual é a razão da PA? 
5) (PUC/RJ – 2008 adaptada) Dê a soma de todos os números naturais ímpares de 3 algarismos.