Progressões e matemática Financeira

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PROGRESSÕES E MATEMÁTICA 
FINANCEIRA 
Ivanildo Basílio de Araujo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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SUMÁRIO 
1 SEQUÊNCIAS NÚMERICAS ............................................................................... 3 
2 PROGRESSÃO ARITMÉTICA (P.A).................................................................... 29 
3 PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS ....................................................................... 47 
4 SÉRIE GEOMÉTRICA ....................................................................................... 69 
5 JUROS SIMPLES .............................................................................................. 82 
6 JUROS COMPOSTOS .................................................................................... 125 
 
 
3 
 
 
 
1 SEQUÊNCIAS NÚMERICAS 
Apresentação 
No mundo cotidiano, lidamos com dados e informações dos mais diversos tipos, numéricos 
ou não, e que, frequentemente se encontram dispostos em certa ordem. Diremos que tais 
objetos formam uma sucessão ou sequência. Basta lembrarmos da sequência dos dias da 
semana; dos meses do ano; dos quadrados dos primeiros números naturais (1, 4, 9, 16, 25, 
....); dentre outros exemplos. 
Para a Matemática, serão de maior utilidade as chamadas sequências numéricas, que é 
exatamente o objetivo deste bloco de estudos. Daremos as noções básicas sobre sequências 
numéricas, com algumas associações com a história e a economia, contextualizações, a 
explicitação do termo geral de uma sequência (lei de formação) e algumas aplicações. 
1.1 Noções Iniciais 
Veremos duas situações pertinentes às sequências: 
Primeiro, a lenda da criação do jogo de xadrez, que foi inventado na Índia. O rei hindu 
Sheran, assim que o conheceu, ficou encantado e, sabendo que o inventor era um de seus 
súditos, mandou chama-lo para dar-lhe pessoalmente a recompensa. 
Seta, o inventor, pediu ao rei que lhe dessem um grão de trigo pela primeira casa; dois grãos 
pela segunda casa; quatro grãos pela terceira casa; 8 pela quarta; 16 pela quinta; 32 pela 
sexta; e assim por diante. 
E o rei, ao ouvir o pedido, ficou irritado e respondeu que Seta receberia o trigo 
correspondente às 64 casas do tabuleiro, ou seja, para cada casa o dobro da precedente, 
mas enfatizou que tal pedido era indigno de sua generosidade. Provavelmente, o rei quase 
nada entendia de matemática. 
4 
 
 
Passado um dia, o rei se lembrou do inventor do xadrez e perguntou se foi paga a 
recompensa devida. Ele teve como resposta que os matemáticos da corte estavam 
computando o número de grãos. 
Passa uma semana, o rei Sheran perguntou quantos dias fazia que Seta tinha recebido e 
ficou sabendo que os matemáticos trabalhavam dia e noite, que iam terminar os cálculos ao 
amanhecer. Com o que o rei ficou muito aborrecido. Mandou, então, que no outro dia, os 
matemáticos fossem levados à sua presença. 
E, na manhã seguinte, quando chegaram os matemáticos, o rei comentou que, por maior 
que fosse a importância, a mesma poderia ser paga de forma que os seus celeiros não 
empobreceriam. Foi então que um dos matemáticos explicou ao rei a triste verdade. 
O número de grãos que deve ser pago é a assustador. Veja: 
18.446.744.073.709.551.615 
O número se aproxima dos 18,5 quintilhões. Então, de fato, caso se inicie com a unidade, é 
preciso somar os seguintes números (quantidades de grãos): 
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128,... 
Depois de 63 duplicações, obteremos a quantidade corresponde à casa 64. 
O rei nunca teria desprezado o pedido de Seta se tive algum conhecimento sobre 
sequências, em particular as progressões geométricas. Ou talvez, não exatamente com esses 
termos, bastando alguns conhecimentos pertinentes sobre aritmética e cálculos envolvendo 
potências. 
Talvez os matemáticos do rei tenham organizados os dados semelhantemente aos que estão 
na tabela abaixo, tendo logo após realizado a soma. 
 
 
5 
 
 
 
Casa do tabuleiro Número de grãos Potência 
1ª casa 1 20 
2ª casa 2 21 
3ª casa 4 22 
4ª casa 8 23 
... ... ... 
11ª casa 1024 210 
... ... ... 
64ª casa ... 
 
264-1 = 263 
 
Para se ter uma ideia do tamanho dessa cifra, calculemos as dimensões do celeiro que 
pudesse armazenar essa quantidade de trigo. 
Sabendo-se que um metro cúbico de trigo corresponde a 15 milhões de grãos, chegaríamos 
à conclusão de que a recompensa iria ocupar um espaço de 12.000.000.000.000 de metros 
cúbicos. Esse valor equivale a 12 000 de quilômetros cúbicos. 
O celeiro que satisfaz essa condição é, por exemplo, aquele que tem 4 m de altura, 10m de 
largura e 300.000.000 km de comprimento. Melhor dizendo, o dobro da distância que separa 
a Terra do Sol. 
Em outra versão da lenda, conta-se que o rei estava muito entristecido por ter perdido um 
filho na guerra e, tendo conhecimento do jogo de xadrez, ficou bastante contente e mais 
animado. E o rei, então pediu que o inventor estipule seu pagamento. 
Passemos, agora, ao campo da economia. 
6 
 
 
O reverendo Thomas R. Malthus (1766-1834) desenvolveu uma teoria “interessante”. Ele 
sustentava que o crescimento da população, se não encontrasse impedimento, se daria em 
razão geométrica, enquanto que os meios de subsistência só crescem em razão aritmética. 
Assinando-se um valor qualquer para a população do mundo, 2 bilhões por exemplo, a 
espécie humana se multiplicara na razão de: 
1, 2, 4, 8, 16, 32, 32, 64, 128, 256, 512,... 
E os meios de subsistência na razão de: 
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,... 
De forma que, após 225 anos, a população estaria para os meios de subsistência como 512 
está para 10, ou seja, 5,12. 
Hoje sabemos que Malthus não acertou suas previsões, exceto no estrito sentido 
matemático da teoria (que aparentemente exprimiam fatos verdadeiros). Não contava ele 
com os progressos da humanidade, alcançados nos séculos XVIII e XIX, e mais ainda, como se 
sabe, nos séculos XX e XXI. 
Malthus chegou a propor, essencialmente, em vista dessas forças desproporcionais, a 
repressão ao povoamento devido às alegadas dificuldades de subsistência. 
Porém, o economista não pode prever o impressionante desenvolvimento que a 
humanidade conseguiu desde o século XVIII até o presente, com as novas técnicas agrícolas, 
novas e potentes ferramentas de trabalho, novos tipos de sementes (mais resistentes às 
pragas), enfim, com a própria ciência de mãos dadas com a produção no campo. Tudo isso, 
apesar de que as populações venham crescendo em progressão geométrica, os meios de 
subsistência também começaram a crescer obedecendo a uma outra lei que possibilita um 
maior equilíbrio até hoje, embora muitas regiões ainda sofram bastante com falta de 
alimento, como é o caso da África. 
7 
 
 
A figura 1.1 é conhecida como a curva do floco de neve de Koch. Tem esse nome porque seu 
contorno lembra um floco de gelo e porque foi criada pelo matemático Helge von Koch, em 
1904. 
 
 
Fonte: SEDREZ, 2009. 
Figura 1.1 Floco de neve de Koch 
O floco vai tomando forma a partir de uma sequência de transformações realizadas nos 
lados de um triangulo equilátero. Entretanto, o que é feito, de fato, com o lado de cada 
triângulo? 
A resposta é simples: 
Vamos considerar um triângulo equilátero de lado 1 (sem perda de generalidade). Então, 
dividimos cada lado em três partes iguais. Na terça parte média de cada lado, construímos 
novos triângulos equiláteros. O Resultado será uma linha poligonal fechada de 12 lados. 
No estágio seguinte, fazemos a divisão de cada um dos lados da linha poligonal em três 
partes iguais, construindo, assim, novos triângulos equiláteros sobre os terços médios, e 
assim por diante. A medida do lado dos triângulos construídos em cada etapa forma uma 
sequência de números. Como podemos descrever essa sequência? 
Consideremos os perímetros de cada uma dessas figuras. Supondo o lado do triângulo igual 
a 1, teremos: 
 
8 
 
 
1ª figura: perímetro = 3.1 = 3 
2ª figura: perímetro = 
13 4 4
3
 
   
 
 (cada lado ficou dividido em 3 partes iguais) 
3ª figura: perímetro = 
1 16
3 16
9 3
 
   
 
 
4ª figura: perímetro = 
1 64
3 64
27 9
 
   
 
 
O que nos permite escrever a lista de perímetros: 
3, 4, 16/3, 64/9, ... 
Para que possamos discutir problemas como esse, é preciso estudar as sequências e 
progressões. 
 Os dias da semana: domingo, segunda, terça, quarta, quinta, sexta, sábado; 
As quatro estações do ano: primavera, verão, outono e inverno; 
As notas musicais: dó, ré, mi, fá sol, lá si; 
As letras do nosso alfabeto: a, b, c, d, ..., m, n, ..., x, y, z. 
Observando bem as coisas no nosso entorno, iremos descobrir inúmeros tipos de 
sequências. Na própria natureza, podemos identificar vários tipos de sequências, númericas 
ou não. 
Uma sequência numérica trata de uma organização de números (ou de objetos quaisquer). 
As sequências podem ou não ter uma lei de formação e podem ser finitas ou infinitas. 
1.2 Generalidades, Conceituação e Lei de Formação 
É muito comum, no dia a dia, que encontremos conjuntos (numéricos ou não) dispostos em 
certa ordem. A ordem e a forma de arrumar podem ser dadas, ou teremos de descobrir uma 
lei para ela partindo de dados fornecidos. 
9 
 
 
Assim, por exemplo, o açougueiro entrega carne de 3 em 3 dias. Sabendo-se que ele 
entregou carne no dia 14 de janeiro, será que no dia 14 de fevereiro ele entregará carne? 
Podemos escrever o seguinte conjunto de dias: 
14,17,20,23,... 
Dispostos da esquerda para a direita, em ordem crescente de tempo. 
Caso queiramos saber como continuar o conjunto, nesse caso, a lei é bastante simples. 
Temos: 
14,17,20,23,26,29,1,4,7,10,13,16,...
Janeiro Fevereiro
 
E, claro, a resposta à pergunta é não. 
Definição: Qualquer disposição ordenada de conjunto de número nós damos nome de 
sequência ou sucessão. 
Uma sucessão finita de n termos é uma função cujo domínio é conjunto dos números {1, 2, 
3,..., n}. 
E o contradomínio é conjunto {a1 , a2 , a3 ,..., an} 
Os elementos do conjunto {a1, a2, a3,..., an} são os termos da sucessão. São números reais. 
Uma sucessão é dita infinita se é, por exemplo, uma função a cujo domínio é o conjunto 
{1, 2, 3,..., n,...} de todos os inteiros positivos. 
O contradomínio de a é o conjunto {a1, a2, a3,..., an,...}. 
O elemento an do contradomínio é chamado de enésimo termo da sucessão. É o termo de 
ordem n. 
Os termos de uma sucessão finita ou infinita, podem ser objetos arbitrários de qualquer 
espécie, mas, neste material, esses objetos serão preferencialmente números reais. 
10 
 
 
Como exemplo disso, temos a sucessões: 
a) 4, 6, 8, 10,..., 40 
b) 21, 18, 15, 12,..., -6 
c) 3, 19, -15, 43,..., 13 
d) e1, e2, e3, e5,..., em 
e) 1, ½ , 1/3, ¼,..., 1/n 
f) 
2 3 4
cos ,cos ,cos ,cos ,..., cos ,..............
n
    
Vemos que as três primeiras sucessões são finitas e a três últimas são infinitas. Em todas 
elas, exceto em (c), podemos perceber facilmente uma certa lei regendo a formação dos 
termos. 
Sequências e funções 
Definição: Daremos, agora, uma definição de sequência associada à noção de função. 
 
 
Assim, cada elemento n de * corresponde um único número real an. 
Os elementos an são os termos da sequência, e as notações para a sequência são: 
 
11 
 
 
 
Dessa maneira, podemos escrever: 
 
O índice n indica a posição do elemento na sequência. Desse modo, o primeiro termo é 
indicado por a1, o segundo é indicado por a2..., e assim por diante. 
Exemplo: Ao lançarmos uma moeda, temos 2 resultados possíveis (cara ou coroa). Se 
lançarmos duas moedas diferentes, teremos 4 possibilidades (cara, cara), (cara, coroa); 
(coroa, cara) e (coroa, coroa). Se lançarmos três moedas diferentes, serão 8 resultados 
possíveis, e assim segue. 
 Podemos conferir a relação entre o número de moedas e o número de resultados mostrada 
na tabela abaixo é uma função: 
 
 
Cada número de moedas corresponde a um único número de resultados. 
 
 
 
 
12 
 
 
Vejamos o diagrama: 
 
 
Notando que f(1) = 21, f(2) = 22, f(3) = 23,... 
Temos: 
f(n) = an = 2n, n = 1,2,3,... 
Que é a fórmula para calcular o termo de ordem n da sequência (2,4,8,..) 
É possível, de posse da associação entre sequência e função, obter uma representação 
gráfica. Observemos o exemplo da sequência (0, 2,4,6,...) 
 
 
 
O gráfico este formado pelo conjunto de pontos (1, a1), (2, a2), (3, a3),..., (n, an),... ou (1,0), 
(2,4), (3,6),... ,(n, 2n-2),... 
Nesse caso, f: *  é definida por 
 f(1) 5 = a1 = 2, 
 
f(2) = a2 = 4, 
 
f(3) = a3 = 8, 
 
etc., e a sequência é representada por 
(2, 4, 8, 16, 32, ...). 
13 
 
 
Existem alguns tipos de sequências formadas a partir de figuras geométricas, mas que, na 
essência, são sequências numéricas, pois há uma relação entre a posição e o número de 
objetos da respectiva figura. Vejamos o exemplo da sequência dos números triangulares (1, 
3, 6, 10, 15,...): 
 
Qual é o próximo número triangular? Você é capaz de descobrir uma regra para encontrar os 
próximos números da sequência? 
Outro exemplo. Os termos da sequência (1, 5, 12, 22, 35,...) são chamados números 
pentagonais, pois é possível representa-los por pontos organizados em um pentágono 
regular. Os números pentagonais podem ser representados como segue: 
 
Qual a diferença entre cada termo e o antecessor? 
Podemos ver facilmente que (5 – 1 = 4, 12 – 5 = 7, 22 – 12 = 10, 35 – 22 = 13), formando, 
então, uma nova sequência das diferenças (4, 7, 10, 13,...). Assim, por simples dedução, a 
próxima diferença, a6 – a5 , dá 16 e, portanto: a6 – 35 = 16, o que leva ao resultado a6 = 51. 
Para refletir: quais seriam os dois próximos termos da sequência? 
14 
 
 
Séries 
Definição: Suponhamos que, na sucessão {a1 , a2 , a3 ,..., an}, retiremos as vírgulas e 
coloquemos em seus lugares sinais de adição. As expressões resultantes chamam-se séries. 
Então, a soma (a1 + a2 + a3 +...+ an) é chamada de série finita. 
Definição análoga se dá para uma série infinita: 
a1 + a2 + a3 + ...+ an,... 
Os números a1 , a2 , a3 ,..., an , ... são chamados termos da série. 
Observação: de acordo com a nossa definição (1+2+3+...+50) é um exemplo de série que tem 
50 termos. 
Note que a operação de adição sugerida pelos sinais não está, de fato, envolvida na 
definição. Desta forma, podemos estar interessados em efetuar a adição a fim de obter a 
soma da série, mas é errado confundir a série com sua soma. 
Deve-se aconselhar o uso de letras para os termos de uma sucessão ou uma série e, muitas 
vezes, um índice é adicionado para indicar a ordem do termo, contando a partir do início, ou 
a partir de um ponto fixo. Assim, a sucessão infinita mais geral pode ser colocada como (a1, 
a2, a3,..., an...) e a série infinita mais geral pode ser escrita como (a1 + a2 + a3 +...+ an,...). 
Se o emprego dos pontos se tornar ambíguo, o que pode ocorrer quando a composição da 
sucessão (ou série) não fica clara com poucos termos, é possível simplificar as coisas, 
escrevendo apenas o termo genérico. Este é o termo de ordem k, começando de qualquer 
ponto fixado. 
Obviamente, qualquer letra pode ser usada no lugar de k; a letra utilizada denomina-se 
índice variável. Dessa forma, em lugar da sucessão (a1 + a2 + a3 +... + an...), usamos a notação 
de conjuntos e escrevemos: 
 
15 
 
 
 
1k k
a

 
Ou 
 
1
n
k k
a

 
No caso de uma sucessão finita. Este símbolo significa que, se substituirmos k, 
sucessivamente por (1, 2, 3,...) teremos a sucessão( a1 + a2 + a3 +... + an...). 
Observação: No caso de uma sucessão infinita, não existe último termo, ou seja 𝒂∞, visto 
que ∞(infinito) não é número. 
Uma notação semelhante abreviada é usada para representar uma série. Uma vez que uma 
série é uma soma indicada, usaremos o símbolo  , de somatório (ou somatória). Este 
símbolo é a letra grega sigma, que corresponde, emportuguês, à primeira letra da palavra 
soma. 
Sendo assim, a sucessão infinita (a1 + a2 + a3 +...+ an...) é representada da seguinte forma: 
1
k
k
a


 
E a sucessão finita a1 + a2 + a3 +...+ an como: 
1
n
k
k
a

 
Finalmente, diremos que a soma Sn de uma série finita é a soma obtida pela adição de todos 
os seus termos. 
O índice n do símbolo Sn, para a soma de uma série finita, indica que são somados n termos. 
Conforme a definição: 
Sn = a1 + a2 + a3 +...+ na 
16 
 
 
O símbolo 
1
n
k
k
a

 é também usado para designar a soma de uma série finita. 
Lei de formação 
Interessam à Matemática, as sequências em que os termos se sucedem obedecendo a certa 
regra, isto é, aquelas que têm uma lei de formação. Uma lei de formação simplifica o 
trabalho com as sequências. 
São três as maneiras de apresentar esta lei de formação: 
1ª) Por fórmula de recorrência 
São dadas duas regras: uma para identificar o primeiro termo (a1) e a outra para calcular 
cada termo na, a partir do antecedente (an-1). 
Exemplo: Escrever a sequência finita f, cujos termos obedecem à seguinte fórmula de 
recorrência: 
a1 = 2 e an = an-1 + 3 
Qualquer que seja n no conjunto {1,2,3,4,5,6} 
a1 = 2 
n=2 ==> a2 = a1 + 3 = 2 + 3 = 5 
n=3 ==> a3 = a2 + 3 = 5 + 3 = 8 
n=4 ==> a4 = a3 + 3 = 8 + 3 = 11 
n=5 ==> a5 = a4 + 3 = 11 + 3 = 14 
n=6 ==> a6 = a5 + 3 =14 + 3 = 17 
Então, f = (2, 5, 8, 11, 14, 17) 
Exemplo: Escrever os 5 termos iniciais da sequência infinita g dada pela seguinte fórmula de 
recorrência: 
17 
 
 
1
1
1
, 2
3.n n
a
N n
a a 

 

 
 
Temos: 
1
2 1
3 2
4 3
5 4
1
2 3. 3.1 3
3 3. 3.3 9
4 3. 3.9 27
5 3. 3.27 81
a
n a a
n a a
n a a
n a a

    
    
    
    
 
Então, g = (1,3,9,27,81,...) 
2ª) Expressando cada termo em função de sua posição 
Ou seja, é dada uma fórmula que permite obter qualquer an em função de n. 
Exemplo: Escrever a sequência finita f cujos termos obedecem à lei na = 2n, com n = 
1,2,3,4,5. 
Temos: 
a1 = 21 = 2 a2 = 22 = 4 a3 = 23 = 8 a4 = 24 = 16 a5 = 25 = 32 
Então, f = (2,4,8,16,32). 
Exemplo: Escrever os 5 termos iniciais da sequência finita g em que os termos verificam a 
relação bn = 3n+1, para n = 1,2,3,4,5. 
Temos: 
n=1 ==> b1 = 3.1+1 = 4 
n=2 ==> b2 = 3.2+1 = 7 
 n=3 ==> b3 = 3.3+1 = 10 
n=4 ==> b4 = 3.4+1 = 13 
n=5 ==> b5 = 3.5+1 = 16 
 Então, g = (4,7,10,13,16) 
18 
 
 
3ª) Por propriedade dos termos 
É dada uma propriedade (ou mesmo uma característica) que os termos da sucessão devem 
apresentar. 
Exemplos: 
1. Qual o próximo da sequência 2, 10, 12,16, 17, 19,...? 
Neste caso, o que caracteriza a sequência é que cada um dos seus termos é um número 
natural que começa pela letra d. 
Assim, o próximo termo será 200. 
2. Escrever a sequência finta f de 6 termos, em que cada um termo é igual ao número de 
divisores inteiros do respectivo índice. 
Temos: 
D(1) = {1,-1} ==> a1 = 2 
D(2) = {1,-1, 2, -2} ==> a2 = 4 
D(3) = {1,-1, 3, -3} ==> a3 = 4 
D(4) = {1,-1, 2,-2, 4, -4} ==> a4 = 6 
 D(5) = {1,-1, 5,-5} ==> a5 = 4 
D(6) = {1,-1, 2,-2,3,-3,6,-6} ==> a6 = 8 
 Sendo assim, vem a resposta f = (2,4,4,6,4,8) 
3. Escrever os 9 primeiros termos da sucessão infinita g formada pelos números primos 
positivos colocados em ordem crescente. 
De imediato, tem-se g = (2,3,5,7,11,13,17,19, 23,...) 
Observação: Deve-se notar que esta sequência não pode ser dada por nenhuma fórmula de 
recorrência, bem como não existe fórmula para o cálculo do enésimo número primo positivo 
a partir de n. Exceto, claro, para alguns casos específicos. 
19 
 
 
4. Sequência figurativa 
A seguir, é apresentada uma sequência na forma figurativa. 
Descreva, em palavras, o padrão de regularidade desta sequência. 
 
Qual deve ser a figura que ocupa a 152ª posição. 
Resolução: 
Como se percebe, as figuras se repetem de 6 em 6, de forma que a figura 1 é igual à 7, a 2 é 
igual à 8, e assim por diante. 
É como se tivéssemos um “carimbo” com as figuras de 1 a 6. 
Logo, para obter a figura que ocupa a 152ª posição, devemos dividir 152 por 6 e considerar o 
resto da divisão: 
152 dividido por 6 dá 25 com resto 2. 
152 = 25.6+2 
Interpretando e obtendo a resposta: Temos 6 “carimbadas” com as figuras de 1 a 6 e ainda 
devemos avançar duas posições, ou seja: 
 
 
 150ª 151ª 152ª 
 
20 
 
 
Resposta: a figura de ordem 152 corresponde à 2ª, à 8ª, ou seja: 
Exemplo: Dada a sequência (2, 1, 1, 1, 3, 3, 2, 1, 1, 1, 3, 3, 2,...) qual será o termo que ocupa 
a 223ª posição? 
Solução: 
Pode-se ver que os termos se repetem de 6 em 6. Assim, para saber a posição 223, basta 
dividir 223 por 6: 
 
E como 223 = 37 x 6 + 1 = 222 +1, significa que temos 37 blocos de (2,1,1,1,3,3), sendo que o 
222º elemento é 3. Portanto, avançando mais uma posição, chegamos ao termo 2, que é 
223º termo. 
Resposta: O termo que ocupa a 223ª é o 2. 
1.3 Aplicação 
As aplicações envolvendo sequências dizem respeito ao seu uso em diversas áreas do 
conhecimento. Podem estar relacionadas a fatos da natureza, como o cometa Halley que se 
aproxima da terra a cada 76 anos; a simples organização de dados em tabelas e gráficos, 
dispostos em certa ordem; a lei da natureza expressas por relações matemáticas, como o 
crescimento de fungos e bactérias com o passar do tempo etc. 
Em geral, quando falamos sobre sequências, devemos pensar em situações (práticas ou 
teóricas) que expressem regularidades, padrões, o que se encontra com bastante frequência 
na natureza. Vejamos algumas situações. 
Já no séc. XVIII, o astrônomo Johann Daniel Tietz (apelidado de Titius), como base em 
resultados de medições astronômicas, desenvolveu uma sequência em que cada termo an 
representa a distância, em U.A., entre o Sol e o enésimo planeta, desde o mais próximo ao 
mais distante do Sol. 
21 
 
 
A Unidade astronômica (UA) é a distância média entre a Terra e o Sol e vale 
aproximadamente 150 milhões de quilômetros. 
A lei de formação (lei de Titius) para o cálculo das distâncias é: 
2
0,4, 1
0,4 0,3 2 , 2
n n
se n
a
sen

 
  
 
Ou seja, Mercúrio é o número 1 (n = 1), Vênus é o número 2 (n = 2), Terra é o número 3 (n = 
3), e assim por diante. 
Cada uma das distâncias obtidas por meio dessa regra (com exceção de Netuno e Plutão), é 
tal que a margem de erro é inferior a 5%. 
Por exemplo, para o 7º planeta (Urano), temos: 
A7 = 0,4 + 0,3.27-2 = 0,4 + 0,3.25 = 0,4 + 0,3.32 = 10, isto é, 10 UA, cerca de 1.500 000.000 km. 
Uma sequência bastante conhecida na matemática é a sequência de Fibonacci. 
A sequência de Fibonacci se manifesta em uma série de fenômenos. Em Botânica, por 
exemplo, ela se revela no desdobramento dos galhos de uma árvore, que ocorre de acordo 
com a evolução dessa sequência: 
O caule inicial dá origem a 2 outros; estes desdobram-se em 3, dos quais surgem 5, que 
originam 8, e assim por diante. 
22 
 
 
 
Fonte: TROTA, F. 
Figura 1.2 - P.A, P.G e Logaritmos 
Definição: 
Considere uma sequência numérica na qual (a1 = a2 = 1 e an+2 = an + an+1, n= 1,2,3,...), ou seja, 
cada termo a partir do 3º é igual à soma dos dois termos anteriores. 
Temos, então, que esta regra gera a seguinte sucessão: 
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,... 
Esta é a chamada sequência de Fibonacci. 
Leonardo de Pisa (1180-1250), ou Fibonacci, como era comumente chamado, foi um 
matemático italiano que escreveu um livro para divulgar os algarismos hindu-arábicos no 
Ocidente, o Liber Abaci. 
Acompanhe o seguinte problema: 
Quantos casais de coelhos serão gerados em um ano, começando com um único casal, e se, 
em cada mês, cada casal gera um novo casal, que se torna fértil a partir do segundo mês de 
vida? 
23 
 
 
 
Fonte: CARVALHO, M. C. C. S. 
Figura 1.3 - Padrões Numéricos e sequenciais 
A resposta é 144, pois, continuandoa sequência descrita acima, até o 12º termo (pois 1 ano 
= 12 meses). 
 
Para refletir: Seria possível obter uma fórmula para calcular o enésimo termo? 
Na sequência de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,...), cada termo, a partir do 
3º, é obtido pela soma dos dois imediatamente anteriores. 
Há, ainda, uma propriedade interessante sobre os números de Fibonacci. Calculem somente 
a razão entre dois termos consecutivos, a partir do 6º: 
8/5 = 1,6; 13/8 = 1,625; 21/13 = 1,615; 34/21 = 1,619, 55/34 = 1,617, 89/55 = 1,618 etc. 
Conforme a quantidade de termos dessa sequência vai aumentando, essa razão vai se 
aproximando do número áureo, que vale 1,61803... (número irracional). 
24 
 
 
Quanto mais avançamos na sequência, mais próximos estaremos do número áureo. A título 
de curiosidade, eis como obter o número áureo. 
 
Desenvolvendo a proporção acima, temos: 
 a.a =b.(a+b) 
 ou 
a2 = b.a + b2 
ou 
a2 – b.a - b2 = 0 
Resolvendo esta equação em relação a incógnita, vemos: 
2 2( ) ( ) 4.1.( ) 5 1 5
2.1 2 2
b b b b b
a b
        
     
 
 
 Ou seja 
1 5
2
a
b

 
Tomando apenas a razão positiva, vemos 
1 5
1,618033989...
2
a
b


   (número áureo). 
Sabemos, por meio da Biologia, que a ameba e o mais simples de todos os animais 
existentes. Ela só pode ser vista ao microscópio. 
 
25 
 
 
Por ter uma membrana elástica finíssima, ela muda de forma quando se movimenta, 
apresentando saliências e reentrâncias em seu corpo. Esses micro-organismos apresentam 
uma propriedade bastante interessante quando se reproduzem, elas se multiplicam por 
divisão. 
 
Fonte: CARVALHO, M. C. C. S. 
Figura 1.4 - Reprodução das amebas 
Após crescer até determinado tamanho, uma ameba se divide ao meio para produzir outras 
duas. No período de um dia, aproximadamente, cada uma se divide ao meio, formando 
quatro amebas no total. No dia seguinte, existirão oito, e teoricamente esse processo pode 
continuar indefinidamente. 
 
Fonte: CARVALHO, M. C. C. S. 
FIGURA 1.5 - Multiplicação das amebas 
Tais fatos podem ser representados pela seguinte sequência numérica: 
1, 2, 4, 8, 16, 32,... 
26 
 
 
Observando o padrão existente, fica fácil dizer quais são os tais termos seguintes da 
progressão. 
Note que: 
 
 
 
Assim, por exemplo, o próximo termo seguinte a 32 será 32.2 = 64 e assim sucessivamente. 
Cada termo é encontrado multiplicando-se o anterior por 2. 
Música é pura matemática! 
Os sons musicais são escritos por meio de sinais chamados notas. 
 
Fonte: CARVALHO, M. C. C. S. 
Figura 1.6 - As notas musicais 
 
A fim de indicar a direção dos sons, as notas têm formas diferentes. As figuras das notas são 
organizadas em números de sete: 
 
 
27 
 
 
A unidade de valor rítmico é a semibreve. Cada nota vale a metade da precedente, na ordem 
citada. 
Seus valores podem ser representados por uma sequência finita: 
 
1 1 1 1 1 1
1, , , , , , .
2 4 8 16 32 64
 
 
 
Cada termo é igual ao anterior multiplicado por ½. 
 
 
Fonte: CARVALHO, M. C. C. S. 
 Figura 1.7 - Padrões numéricos da música 
As sequências aparecem em muitas situações do quotidiano, como aquelas em que ocorre 
crescimento linear e aquelas em que ocorre crescimento exponencial. Também, na 
Matemática Financeira, o entendimento sobre sequências é muito útil, principalmente na 
dedução de algumas fórmulas para o cálculo rendas, prestações de financiamentos, entre 
outras. 
28 
 
 
Conclusão 
Pudemos ver, neste bloco, que existem os mais diversos tipos de sequências, numéricas ou 
não. Aprendemos que o que rege uma sequência é sua lei de formação. Além disso, vimos que 
algumas sequências vão além e refletem fenômenos naturais ou fatos da natureza, de forma 
que esses fenômenos são regidos por fórmulas matemáticas bem definidas. Enfim, as 
sequências constituem um importante instrumental necessário ao entendimento de muitos 
outros conteúdos, como é o caso da matemática financeira e no estudo das séries feito no 
cálculo diferencial e integral. 
REFERÊNCIAS 
BARROS, D. M. Matemática financeira descomplicada. 5. ed. São Paulo: Rideel, 2014. 
CARVALHO, M. C. C. S. Padrões numéricos e sequências. São Paulo: Moderna, 1997. 
CASTANHEIRA, N. P. Noções básicas de matemática comercial e financeira. Curitiba: 
InterSaberes, 2012. 
GIMENES, C. M. Matemática Financeira com HP 12C e Excel: uma abordagem descomplicada. 
2. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2009. 
PARKIN, M. et. al. Mercado financeiro. Organização Mauro Roberto Claro de Souza. São Paulo: 
Pearson Prentice Hall, 2011. 
OLIVEIRA, C. A. M. Matemática. Curitiba: Editora InterSaberes, 2016. 
SAMANEZ, C. P. Matemática financeira. 5. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010. 
SEDREZ, M. Floco de neve de Koch. Researchgate, 2009. Disponível em: 
<https://bit.ly/2ZiIMCO>. Acesso em: 29 jun. 2020. 
TROTA, F. P.A., PG e Logaritmos. São Paulo: Scipione, 1988. 
VANNUCCI, L. R. Matemática financeira e engenharia econômica: princípios e aplicações. São 
Paulo: Blucher, 2013. 
WAKAMATSU, A. Matemática financeira. São Paulo: Pearson, 2012. 
29 
 
 
 
2 PROGRESSÃO ARITMÉTICA (P.A) 
Introdução 
Neste bloco, veremos em detalhes as Progressões Aritméticas, daremos as noções intuitivas 
e faremos algumas deduções e demonstrações de propriedades que poderão reforçar as 
bases conceituais do estudante. 
Algumas sucessões e séries ocorrem tão frequentemente que recebem nomes especiais. 
Vamos entender o conceito. 
2.1 Progressão Aritmética (P.A.) 
Definição: Em uma sucessão aritmética, a diferença obtida entre qualquer termo e o 
antecessor é sempre a mesma. Esta diferença é chamada de diferença comum ou razão da 
sucessão aritmética, sendo indicada pela letra r. 
Uma sucessão aritmética é também chamada de Progressão Aritmética (P.A), aliás, este será 
o termo empregado de agora em diante e diremos que os termos da sucessão estão em 
progressão aritmética. 
São exemplos de progressões aritméticas: 
4, 6, 8, 10,... cuja razão é 2. 
40, 35, 30, 25,... de razão -5. 
Definição (formal): Chama-se progressão aritmética (P.A.) uma sequência dada pela seguinte 
fórmula de recorrência: 
1
1
, 2
n n
a a
N n
a a r

 
 
 
Onde a e r são números reais dados. 
30 
 
 
Assim, uma P.A. é uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao 
anterior somado com uma constante r dada. Nesta forma de definir uma P.A., usa-se a lei de 
recorrência. 
Exemplos: 
(1,3,5,7,9,...) onde a1 = 1 e r = 2 
(0,-2,-4,-6,-8,...) onde a1 = 0 e r = -2 
(0,-2,-4,-6,-8,...) onde a1 = 0 e r = -2 
(4,4,4,4,...) onde a1 = 4 e r = 0 
3 5 7 91
2 2 2 2 2
( , , , , ,...) onde a1 = ½ e r = 1 
10 811
3 3 3
(4, , ,3, ,...) onde a1 = 4 e r = −
𝟏
𝟑
 
Classificação 
As progressões aritméticas podem ser classificadas em três categorias: 
1ª) crescentes – São as P.A. em que cada termo é maior que o anterior. É imediato que isto 
ocorre somente se r > 0, pois: 
1 1 0 0n n n na a a a r       
Exemplos: 
(-3,3,9,15,...) (0,2,4,6,...) 
2ª) constantes – São as P.A. em que cada termo é igual ao anterior. E é fácil ver que isto 
ocorre quando r = 0, porque: 
1 1 0 0n n n na a a a r       
 
31 
 
 
Exemplo: 
 (x,x,x,x,...), para todo x real 
3ª) decrescentes - São as P.A.s em que cada termo é menor que o anterior. O que ocorre 
somente se r < 0, uma vez que: 
1 1 0 0n n n na a a a r       
Exemplo: 
(13,10,7,4,...) 
Propriedade 
Existe uma propriedade útil nas progressões aritméticas. Trata-se de uma relação que existe 
entre 3 termos consecutivos de progressão aritmética. 
Se a sequência (a,b,c) é uma P.A., então o termo b é média aritmética dos outros dois, ou 
seja: 
𝒃 =
𝒂 + 𝒄
𝟐
 
De fato, pela definição de razão, temos: 
b-a = c-b 
b+b = c+a 
2b = a+c 
Logo, 𝒃 =
𝒂+𝒄
𝟐
 
Exemplo: Determinar x de modo que a sucessão (2x-3, x+1,-3x+5) sejauma progressão 
aritmética. 
 
32 
 
 
Devemos ter: 
2 1 3 2a a a a   ; então: 
(x+1)-(2x-3)= (-3x+5)-(x+1) ==> -x + 4 = -4x + 4 ==> 3x = 0 ==> x = 0. 
Notações especiais 
Quando procuramos obter uma P.A. com 3 ou 4 ou 5 termos, é muito prática e conveniente 
a seguinte forma: 
1. para uma P.A. com 3 termos: (x, x+r, x+2r) ou (x-r, x, x+r) 
2. para uma P.A. com 4 termos: (x, x+r, x+2r, x+3r) ou (x-3r, x-r, x+r, x+3r) 
3. para uma P.A. com 5 termos: (x, x+r, x+2r, x+3r, x+4r) ou (x-2r, x-r, x, x+r, x+2r) 
Exemplo: 
Obter uma P.A. de 3 termos, sabendo a soma deles vale 24 e o produto, 440. 
Solução: 
Vamos empregar a representação especial (x-r,x,x+r) para a P.A. 
Daí: 
( ) ( ) 24 ( )
( ) ( ) 440 ( )
x r x x r I
x r x x r II
    

    
 
Da equação (I), vem 3x = 24 e, portanto, x = 8 
Substituindo x =8 na equação II, vem: 
(8-r).8. (8+r) = 440 
(8-r).(8+r) = 55 
64-r2 = 55 64-55 = r2 9 = r2 r2 = 9 
33 
 
 
Portanto, r = 3 ou -3 
Assim, para x = 8 e r =3, a P.A. é (5,8,11); para x = 8 e r = -3, a P.A. é (11,8,5) 
2.2 Termo Geral 
Pela definição de uma P.A. (a1 , a2 , a3 ,..., an-1 , an ,...), podemos escrever: 
2 1
3 2
4 3
1
.............
n n
a a r
a a r
a a r
a a r
 
 
 
 
 
(em uma P.A., a diferença entre um termo e o seu precedente é constante e igual à razão) 
Utilizando a fórmula de recorrência pela qual se define uma P.A. e, admitindo os dados do 
primeiro termo a1, a razão (r) e o índice n de um termo desejado, teremos: 
2 1
3 2
4 3
1
.............
n n
a a r
a a r
a a r
a a r
 
 
 
 
 
Somando essas n-1 igualdades, temos: 
 
Então: 
1 ( 1).na a n r   
Que é a fórmula do termo geral da P.A. 
34 
 
 
De acordo com essa fórmula, temos, por exemplo: 
a10 = a1 + 9r, a101 = a1 + 100r 
ap – aq = (a1 + (p-1)r) – (a1 + (q-1)r) = (p-q)r ou ap = aq + (p – q)r 
que mede basicamente a distância entre dois termos quaisquer, ap e aq, em função da razão. 
A fórmula 
1 ( 1).na a n r   nos dá a relação de obtenção do enésimo termo da P.A., e dela 
podemos tirar as seguintes conclusões, muito úteis na resolução de problemas: 
1
1
1
1
n
n
a a
r
n
a a
n
r




 
 
para o cálculo da razão e do número de termos, respectivamente. 
Exemplo: Quantos termos tem a P.A. (3,7,11,..., 403) 
Aplicando a segunda formula acima, vemos: 
r =7-3 = 4 
1 403 3 4001 1 1 100 1 101
4 4
na an n
r
 
          
Portanto, a P.A tem 101 termos. 
Nota: Representando a fórmula 
1 ( 1).na a n r   como 1na rn a r   
Podemos concluir que o enésimo termo de uma P.A., cujo 1º termo é a1, é uma função do 
primeiro (ou linear) de n. Deve ficar claro que é uma função do primeiro grau definida de  
em , ou seja, o domínio é o conjunto {1,2,3,...} e o contradomínio é o conjunto dos 
números reais. 
Por isso, podemos representar uma P.A. como o conjunto de pontos: 
(1,a1), (2,a1+r), (3, a1+2r),..., [n, a1+(n-1)r] 
35 
 
 
Ou, o que no mesmo: 
(1,a1), (2,a2), (3,a3), (4,a4),..., (n, an) 
Os quais pertencem à reta de equação y = rx +(a1 – r) 
Assim, por exemplo, a P.A. (4,6,8,..) pode ser representada pelo conjunto de pontos (1,2), 
(2,4), (3,4), (4,8)..., (n, 2n) situados na reta de equação y = 2x ( x =n, y = an = 2n) 
 
Daremos, agora, uma prova formal (matemática) do seguinte: 
Teorema: Na P.A em que o primeiro termo é a1 e a razão é r, o enésimo termo é: 
1 ( 1).na a n r   . 
Demonstração pelo Princípio da Indução Finta 
I) Para n = 1, temos a1 = a1 + (1-1).r (sentença verdadeira) 
II) Admitimos a validade da fórmula para n = p: 
ap = a1 + (p-1).r (hipótese de indução) 
e provemos que vale para n = p+1: 
ap+1 = ap + r = [a1 + (p-1).r]+r = a1 + (p-1+1).r = a1 + [(p+1)-1).r 
36 
 
 
Então, 
1 ( 1). , {1,2,3,...}na a n r n     
Interpolação Aritmética 
Em toda sequência finita (a1, a2, a3, ..., an-1,an), os termos a1 e an são chamados de extremos e 
os demais são chamados de meios. Assim, na P.A. (0,3,6,9,12,15), os extremos são 0 e 15, e 
os meios são 3,6,9 e 12. 
Interpolar, inserir ou intercalar k meios aritméticos entre a e b, significa obter uma P.A. de 
extremos a1 = a e an = b, com n = k+2 termos. 
Para determinar os meios dessa P.A., é necessário calcular a razão, o que é feito da seguinte 
maneira: 
1 ( 1)
( 2 1)
( 1)
1
na a n r
b a k r
b a k r
b a
r
k
  
   
  



 
Exemplo: Interpolar 5 meios aritméticos entre 1 e 2. 
Temos: 
a = 1 e b = 2 e k = 5 
Dai, 
2 1 1
1 5 1 6
b a
r
k
 
  
 
 
Então, ao serem interpolados os 5 termos, tem-se a P.A.: 
(1, 7/6, 8/6, 9/6, 10/6, 11/6, 2) 
Exemplo: O cateto AB de um triângulo retângulo é dividido em 8 partes iguais. Sete linhas 
paralelas ao outro cateto AC são traçadas até BC pelos pontos de divisão. Se AC = 10, (a) 
quanto medem os demais segmentos? (b) quanto é soma dos 8 segmentos? 
37 
 
 
 
Solução: 
Vamos exagerar um pouco, supondo 9 segmentos de reta, sendo dois deles AC = 10 e o 
segmento nulo, correspondente ao ponto B. Obviamente, não sabemos quanto medem os 
segmentos correspondentes a 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7. 
Mas isto é fácil. As medidas dos 9 segmentos estão em P.A. Vamos considerar, então, a P.A. 
(0, a, b, c, d, e, f, g, 10), em que a, b, c, d, e, f e g representam as medidas dos sete 
segmentos. 
Basta calcular a razão r: 
1 10 0 10 1,25
1 9 1 8
na ar
n
 
   
 
 
(a) Assim, os segmentos medem: 1,25; 2,5; 3,75; 5; 6,25; 7,5; 8,75; 10 (em centímetros) 
(b) soma dos 8 segmentos = 1,25+2,5+3,75+5+6,25+7,5+8,75+10 = 40 cm 
É claro que podemos usar geometria, pura simplesmente. Observe: 
 
A soma dos 8 segmentos é então: 
8.10
2
= 40 
38 
 
 
Exemplo: Um marceneiro deseja construir uma escada trapezoidal com 7 degraus, de forma 
que o mais baixo e o mais alto tenham larguras respectivamente iguais a 75 cm e a 15 cm. Os 
degraus serão obtidos cortando-se uma peça linear de madeira cujo comprimento mínimo, 
em cm, deve ser? 
 
Resolução: 
Este é um problema interessante. Cada um dos degraus, que podem sarrafos, devem ser 
cortados de forma que seus tamanhos estejam em P.A. 
Precisamos, então, completar a P.A. (a =15, ___, ___, ___, ___, ___, b = 75) 
É claramente uma situação de interpolação aritmética. Encontremos a razão: 
75 15 60
10
1 5 1 6
b a
r
k
 
   
 
 
Assim, a P.A. é (15,25,35,45,55,65,75) 
Onde cada um dos termos corresponde às medidas dos degraus da escada. 
Resposta: Os 7 pedaços foram cortados de uma peça de 15+35+45+55+65+75 = 315 cm. 
Outra maneira: 
75 15
7
2

 
 
 
39 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.3 Soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética 
São muitas as histórias ou lendas curiosas e pitorescas envolvendo matemáticos famosos. 
Uma dessas histórias conta que o matemático alemão Carl Friedrich Gauss (1777-1855), 
quando criança, em volta dos 10 ou 11 anos, frequentou uma escola em que o professor era 
muito exigente e bravo. 
Conta-se que, certa vez, querendo manter a classe ocupada e, em silêncio, ele pediu aos 
seus pupilos que calculassem a soma dos números naturais de 1 a 100. 
Um certo aluno, de nome Gauss, antes mesmo que o mestre pudesse ficar em paz, deu a 
resposta 5050. Ele estava correto e fez isso sem realizar nenhum cálculo por escrito. 
A Matemática é assim. Parece mágica, mas o segredo está em dominar seus conceitos 
básicos e saber relaciona-los e integra-los adequadamente. 
Surpreendido com a rapidez do garoto, o professor quis saber como ele havia calculado a tal 
soma. É claro que Gauss não tinha conhecimentos formais sobre P.A. (como hoje em dia 
podemos ver nos livros didáticos), mas ele percebeu que os termos formavam uma sucessão 
especial de primeiro termo 1 e razão 1. O que desejava era obter a soma dos termos da 
progressão 1, 2,3, ..., 98,99,100. 
 
 
40 
 
 
Muito provavelmente, tenha organizado suas ideias assim: 
 
Agrupando os números de dois em dois,Gauss observou que havia 50 parcelas iguais a 101. 
Assim, a soma seria igual a 50·101, ou seja, 5050. 
Essa ideia equivale a escrever a sequência dada, depois copiá-la "de trás para frente" e, em 
seguida, efetuar as adições indicadas. 
 
Como são somados duas vezes, os mesmos elementos, após efetuar o produto (100 · 101) 
deve-se dividir o resultado por 2, o que resulta em 5050, que é a soma dos termos da 
progressão. 
É importante notar que 100 é o número de termos da sequência e 101 é a soma do primeiro 
com o último termo. 
Tempos, devido a seus trabalhos, Gauss foi considerado o maior matemático de sua época e 
talvez de todos os tempos e essa forma de calcular a soma dos termos de uma P.A. acabou 
sendo desenvolvida e generalizada para qualquer P.A. 
Podemos também obter a soma dos números naturais de 1 a 100 como segue. 
Seja S = 1+2+3+...+98+99+100 
Então, reescrevendo a expressão na ordem inversa, temos 
S = 100+99+98+...+3+2+1 
 
41 
 
 
Somando membro a membro as duas igualdades, vem: 
S = 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100 
S = 100 + 99 + 98 + ... + 3 + 2 + 1 
2S = (1+100)+(2+99)+(3+98)+...+(98+3)+(99+2)+(100+1) 
2S = (1+100)+ (1+100)+ (1+100)+...+ (1+100)+ (1+100)+ (1+100) 
2S = 100.(1+100) 
2S = 100.101 
𝑺 =
𝟏𝟎𝟎(𝟏𝟎𝟏)
𝟐
 = 
𝟏𝟎 𝟏𝟎𝟎
𝟐
 = 5050 
É importante observar na sequência (1,2,3,...,98,99,100), a soma de dois termos 
equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos, propriedade que existe em todas 
as Progressões Aritméticas. 
Veja a P.A. (2,7, 12, 17, 22, 27, 32,37), conforme a disposição abaixo: 
 
Propriedade: Em toda P.A. finita a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à 
soma dos extremos. 
 
 
 
 
42 
 
 
Demonstração: 
 
Observação: Dois termos são equidistantes dos extremos quando o primeiro é precedido e o 
segundo é seguido por igual número de termos. 
Podemos agora deduzir que: 
 
Demonstração: 
 
n parcelas iguais a (a1 + an) 
 
43 
 
 
Somas especiais 
Soma dos quadrados dos n primeiros números naturais. 
Já sabemos como calcular a soma dos n primeiros números inteiros positivos. Trata-se uma 
P.A. onde a1 = 1, r = 1 e an = n. 
Assim: 
(1) ( 1)1 2 3 ...
2
n
n n
S n

      
Mas estamos interessados em obter a soma: 
(2) 2 2 2 21 2 3 ...nS n     
Para efetuarmos o cálculo de (2)
nS , usaremos a seguinte igualdade: 
(n+1)3 = n3 + 3n2 + 3n + 1 
Veja: 
 
Somando essas n igualdades, os elementos assinalados se cancelam, temos: 
 
44 
 
 
Ou, ainda, após fatorar a expressão 2n3 + 3n2 + n, ficamos com uma forma mais elegante: 
(2) ( 1)(2 1)
6
n
n n n
S
 
 
Procure realizar essa fatora e concluir o resultado. 
Exemplo: Calcular a soma 112 + 122 + 132 + ... + 202 
Neste caso, consideramos a soma dos quadrados dos 20 primeiros números inteiros 
positivos: 
(2)
20S =1
2 + 22 + 32 + 42 +52 + 62 + 72 + 82 + 92 + 102 + 112 + 122 + 132 + ... + 202 
Assim, a soma procurada é: 
S = (12 + 22 + 32+...+202) – (12 + 22 + 32+...+102) = 
20(20 1)(2.20 1) 10(10 1)(2.10 1)
2870 385 2485
6 6
   
    
Soma dos cubos dos n primeiros números inteiros positivos. 
Queremos a soma: (3)
nS =1
3 + 23 + 33 +...+n3 
Para tanto, usaremos a igualdade: (n+1)4 = n4 + 4n3 + 6n2 + 4n + 1 
Na qual podemos fazer n = 0, 1, 2, 3, ...., n 
Sendo assim: 
14 = 1 
24 = (1+1)4 = 14 + 4.13 + 6.12 + 4.1 + 1 
34 = (2+1)4 = 24 + 4.23 + 6.22 + 4.2 + 1 
44 = (3+1)4 = 34 + 4.33 + 6.32 + 4.3 + 1 
... ... 
(n+1)4 = n4 + 4n3 + 6n2 + 4n + 1 
45 
 
 
Somando membro a membro, todas as igualdades acima e simplificando, temos: 
(n+1)4 = 4(13 + 23 + 33 +...+n3) + 6(12 + 22 + 32+...+n2) + 4(1+2+3+...+n) + n + 1 
Ou 
(n+1)4 = 4. (3)
nS + 6. 
(2)
nS + 4. 
(1)
nS + n + 1 (*) 
Já conhecemos (1)
nS e 
(2)
nS , bastando então obter 
(3)
nS isolando-o nesta equação. 
(1) ( 1)
2
n
n n
S

 e (2)
( 1)(2 1)
6
n
n n n
S
 
 
Substituindo esses valores em (*) e efetuando as operações, obtemos: 
2 2
(3) ( 1)
4
n
n n
S

 
Observe que 
22 2
(3) 2( 1) ( 1) (1 2 3 ... )
4 2
n
n n n n
S n
  
       
 
 
Exemplo: Qual a soma dos cubos dos 30 primeiros inteiros positivos. 
Com n= 30, pela fórmula 
2
(3) ( 1)
2
n
n n
S
 
  
 
, temos: 
2 2
(3) 230(30 1) 930 (465) 216225
2 2
nS
   
      
   
 
Conclusão 
Encerramos este estudo breve sobre as progressões aritméticas. A partir de agora, seremos 
capazes de entender o campo de abrangência desse tipo de sucessão. Nós tivemos uma 
abordagem mais formal em alguns pontos, pois isso ajuda na formação de uma base sólida 
que não se limita somente ao cálculo aritmético ou da álgebra elementar. Para isso, fizemos 
algumas deduções e demonstrações matemáticas. Lembre-se de sempre rever os conceitos 
e reforça-los, resolvendo exercícios e situações-problema mais desafiadoras. 
46 
 
 
REFERÊNCIAS 
BARROS, D. M. Matemática financeira descomplicada. 5. ed. São Paulo: Rideel, 2014. 
CASTANHEIRA, N. P. Noções básicas de matemática comercial e financeira. Curitiba: 
InterSaberes, 2012. 
OLIVEIRA, C. A. M. Matemática. Curitiba: Editora InterSaberes, 2016. 
WAKAMATSU, A. Matemática financeira. São Paulo: Pearson, 2012. 
 
GIMENES, C. M. Matemática Financeira com HP 12C e Excel: uma abordagem descomplicada. 
2. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2009. 
PARKIN, M. et. al. Mercado financeiro. Organização Mauro Roberto Claro de Souza. São Paulo: 
Pearson Prentice Hall, 2011. 
SAMANEZ, C. P. Matemática financeira. 5. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010. 
VANNUCCI, L. R. Matemática financeira e engenharia econômica: princípios e aplicações. São 
Paulo: Blucher, 2013. 
47 
 
 
 
3 PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS 
Apresentação 
Chegou o momento de estudar as progressões geométricas. Talvez vocês já tenham alguns 
conhecimentos sobre esse assunto, pois devem tê-lo visto no ensino básico. Pois bem, aqui 
teremos a oportunidade de revê-los e de aprofundá-los. As progressões geométricas 
constituem uma importante ferramenta para a resolução de muitos problemas da vida 
prática. Podemos mencionar como exemplo a Matemática Comercial e Financeira e na 
obtenção de modelos matemáticos para alguns fenômenos da natureza, como crescimento 
de cultura de bactérias, depreciação de um bem, etc. 
Com o objetivo de facilitar a compreensão, procuremos dar um tratamento menos formal. 
Entretanto, em alguns momentos, realizaremos algumas deduções e demonstrações para 
criar, desde já, uma familiarização com os processos de formalização e abstração, essenciais 
para um futuro professor de matemática. 
Veremos as principais definições envolvendo as progressões geométricas, o 
desenvolvimento das fórmulas, sempre seguidos de exemplos resolvidos, de vez em quando, 
inclusive, com contextualizações. 
3.1 Definição 
Observe as sequências abaixo: 
a) 2, 6, 18, 54, ... 
b) 30; 15; 7,5; 3,75; ... 
c) 1, 1/3, 1/9/1/27, ... 
Pensemos em como se pode obter, em cada sequência, o segundo termo a partir do 
primeiro, o terceiro termo a partir do segundo, o quarto termo a partir do terceiro, e assim 
por diante. 
48 
 
 
Você deve ter notado que cada termo não é mais obtido quando somamos uma constante 
ao seu precedente, como no caso da P.A., mas quando multiplicamos o seu precedente por 
uma constante. Assim, na primeira sequência, cada termo a partir do segundo é obtido pela 
multiplicação de seu antecessor por 3: 
 
Na segunda sequência, cada termo a partir do segundo é obtido quando multiplicamos 
o termo anterior a ele por ½ ou 0,5: 
 
Finalmente, na terceira sequência, para obter qualquer termo a partir do segundo, 
multiplicamos seu precedente por 1/3: 
 
 
 
 
 
 
49 
 
 
Primeira definição: 
 
Note que, para uma P.G. de termos não nulos, teremos: 
32 4
1 2 3 1
... n
n
a aa a
q
a a a a 
     
Exemplos: 
 
Segunda definição: 
Chama-se Progressão Geométrica (P.G.) uma sequênciadada pela seguinte fórmula de 
recorrência: 
1
1
, 2
.n n
a a
n n
a a q

 

 
Onde a e q são números reais dados. 
Assim, uma P.G. é uma sucessão em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior 
multiplicado por uma constante q dada. 
50 
 
 
Exemplos: 
a) (1,2,4,8,16,...) onde a1 = 1 e q = 2 
b) (-2,-4,-8,-16,...) onde a1 = -2 e q = 2 
c) (1, 1/3, 1/9, 1/27, 1/81, ...) onde a1 = 1 e q = 1/3 
d) (-54, -18, -6, -2, -2/3, ...) onde a1 = -54 e q = 1/3 
e) (6,6,6,6,...) onde a1 = 6 e q = 1 
f) (5, -5,5,-5,...) onde a1 = 5 e q = -1 
g) (1, -3, 9, -27, 81, ...) onde a1 = 1 e q = -3 
h) (7,0,0,0,0,...) onde a1 = 7 e q = 0 
Classificação 
As Progressões Geométricas podem ser classificadas em cinco categorias: 
1ª) Crescentes – são as P.G. em que cada termo é maior que o anterior. Notemos que isto 
pode acontecer de duas maneiras: 
1
1
) 1 1nn n
n
a
a a a q
a


     (P.G. com termos positivos) 
1
1
) 0 1 0 1nn n
n
a
b a a q
a


       (P.G. com termos negativos) 
Ver os exemplos a) e d) logo acima. 
2ª) Constantes – são as P.G. em que cada termo é igual ao anterior. O que pode ocorrer de 
duas formas: 
a) P.G. com termos todos nulos 
a1 = 0 e q qualquer 
51 
 
 
b) P.G. com termos iguais e não nulos 
1
1
1 1nn n
n
a
a a q
a


     
Exemplo: (5,5,5,5,...) 
3ª) Decrescentes – São as P.G. em que cada termo é menor que o anterior. Podemos ter 
duas situações: 
a) P.G. com termos positivos 
1
1
0 1 0 1nn n
n
a
a a q
a


       
b) P.G. com termos negativos 
1
1
1 1nn n
n
a
a a q
a


     
Exemplos: (100; 50; 25; 12,5;...), onde q=1/2 e (-2,-8,-32,...) , onde q = 4 
4ª) Alternantes – são as P.G. em que cada termo tem sinal contrário ao do termo anterior. 
Alternam entre números positivos e negativos. Isso ocorre quando q < 0. 
Exemplo: (3, -1/3, 1/9, -1/27,...) 
5ª) Estacionárias – são as P.G. em que a1 0 e a2 = a3 = a4 = ... = 0. O que se dá quando q = 0. 
Exemplo: (5,0,0,0,...) 
Notações especiais 
Para a obtenção de uma P.G. com 3, 4 ou 5 termos, torna-se muita prática a notação 
seguinte: 
 
52 
 
 
1ª) para 3 termos: 2( , , ) ( , , )
x
x xq xq ou x xq
q
 
2ª) para 4 termos: 2 3 3
3
( , , , ) ( , , , )
x x
x xq xq xq ou xq xq
q q
 
3ª) para 5 termos: 2 3 4 2
2
( , , , , ) ( , , , , )
x x
x xq xq xq xq ou x xq xq
q q
 
Exemplo: Determine a P.G. de três termos reais na qual o produto e a soma dos termos são, 
respectivamente, 216 e 26. 
Resolução: Vamos usar a notação , ,
x
x xq
q
 para representar os três termos em progressão 
geométrica. 
Sendo assim, pelas condições dadas no enunciado, temos: 
216
0
26
x
x xq
q
q
x
x xq
q

  


   

 
Da primeira equação, tiramos x3 = 216 e logo, x = 6. 
Substituindo x = 4 na segunda equação, vem: 
2 2 26 6 6 26 6 6 6 26 6 20 6 0 3 10 3 0q q q q q q q q
q
               
Resolvendo esta equação, encontramos q = 3 ou q = 
1
3
. 
Resposta: 
Para q = 3, a P.G. é (2, 6, 18) e para q = 
1
3
, temos a P.G. é (18,6,2) 
 
53 
 
 
Média Geométrica 
Trata-se de uma importante propriedade das progressões geométricas. 
Dados três termos consecutivos de uma P.G. , por exemplo, a,b,c, então o termo do meio é a 
média geométrica dos outros dois. 
De fato: 
Se (a,b,c) é P.G., então: 
b c
a b
 . .bb a c 2 .b a c 
Ou, o que dá no mesmo, o quadrado do termo médio é igual ao produto dos outros dois. 
Também na geometria elementar, esse resultado é importante. No triângulo retângulo 
abaixo, a altura h é média geométrica das respectivas projeções dos catetos sobre a 
hipotenusa. 
 
Neste caso, h2 = m.n 
Resultado que pode ser obtido por semelhança de triângulos. 
Exemplo: Sabendo que x, x+9 e x+45 estão, nesta ordem, em P.G., calcule o valor de x. 
Aplicando a propriedade acima, temos: 
( , 9, 45)x x x  é PG. 
Daí: (x+9)2 = x(x+45) 
h
m n
h
m n
54 
 
 
x2 +18x+81 = x2 + 45x 
27x = 81 e, portanto, x = 3. 
Assim, os três termos são 3,12 e 48. 
Observação: Não há necessidade de usar sempre está regra. Às vezes, é conveniente utilizar 
a própria definição de progressão geométrica. 
De fato, se os termos x, x+9, x+45 formam um P.G., então: 
9 45
( 9)( 9) ( 45)
9
x x
x x x x
x x
 
     

, de onde seguirá o mesmo resultado já obtido. 
Exemplo: Que número real devemos adicionar a cada um dos termos da sucessão (1,3,4) 
para que a mesma se converta em uma Progressão Geométrica? 
Sendo x o número pedido, temos que a sucessão (1+x,3+x,4+x) será uma P.G.: 
Se x = -5/2 = -2,5, então teremos a P.G. : 
(-1,5; 0,5; 1,5) 
Pois: 
1+x = 1+(-2,5) = -1,5 
3+x = 3+(-2,5) = 0,5 
(3+x)2 = (1+x)(4+x) 
De onde: 
9+6x+x2 = 4+x+4x+x2 
6x-4x = 4 – 9 
2x = -5 
E, portanto, x = -5/2 
55 
 
 
3.2 Termo geral de uma progressão geométrica 
Utilizando a fórmula de recorrência pela qual se define uma P.G. e admitindo dados, o 
primeiro termo (a1 0), a razão (q 0) e o índice n de um termo genérico, temos: 
a2 = a1.q 
a3 = a2.q 
a4 = a3.q 
 ... 
an = an-1.q 
Efetuando a multiplicação dessas n-1 igualdades, vem: 
1
2 3 4 1 2 3 4 1.... ....
n
n na a a a a a a a a q

           
e, então, 1
1
n
na a q
  , o que sugere o seguinte 
Teorema 
Na P.G. em que o primeiro termo é a1 e a razão é q, o enésimo termo é dado por: 
1
1
n
na a q
  
A demonstração é feita pelo princípio da indução finita. 
Daremos, a seguir, uma definição menos formal de Progressão Geométrica. 
Considere a PG (a1 , a2 , a3 , ..., an , an+1 , ...), infinita e de razão q. Uma vez que cada termo, a 
partir do segundo, pode ser obtido multiplicando-se o termo precedente pela razão q, 
temos: 
56 
 
 
 
Note que qualquer termo de uma PG pode ser escrito em função de a1 e q. O termo de 
ordem n é igual a a1 multiplicado pela razão elevada a (n-1). 
 
A fórmula do termo geral de uma PG é dada por: 
 
Exemplo: Obter o 10º e o 13º termos da P.G. (2,4,8,...). 
Solução: 
Aplicando a fórmula do termo geral 11
n
na a q
  , vem: 
a1 = 2, q = 2 
10 1 9 9
10 1 1 2 2 1024a a q a q
       
13 1 12 12 13
13 1 1 2 2 2a a q a q
       ou 8 192. 
Exemplo: Em uma P.G. de n termos, a5 = 648, an = 2 187 e q = 3/2. Qual é a quantidade de 
termos (n)? 
57 
 
 
Temos: 
1
1
5
43
21
648
( ) 648 (1)
n
na a q
a
a
 

 
 
1
1
13
21
2187
( ) 2187 (2)
n
n
n
n
a a q
a
a


 

 
 
Dividindo (2) por (1), obtemos: 
13
21
43
21
( ) 2187
( ) 648
na
a



7
1 43
2 4 3
3
( )
3 .2
n  
3
1 43
2 3
3
( )
2
n  
1 4 33 3
2 2( ) ( )
n   -5 = 3 
Portanto, n=8. 
Resposta: A P.G. tem 8 termos. 
Exemplo: Uma empresa produziu, no ano de 2010, 100.000 unidade de um produto. 
Quantas unidades produzirá neste ano de 2020, se o aumento anual da produção é de 10%? 
Admitindo-se que não haja nenhuma alteração no ritmo de produção, de ano para ano, 
então teremos: 
2010: 100 000 
2011: 100 000 + 10% de 100 000 = 100 000 + 10 000 = 110 000 
2012: 110 000 + 10% de 110 000 = 110 000 + 11 000 = 121 000 
2012: 121 000 + 10% de 121 000 = 121 000 + 12 100 = 133 100 
.... 
É fácil verificar que os números 100 000, 110 000, 121 000, 133 100,... formam uma P.G. de 
razão: 
110000 121000 133100
1,1
100000 110000 121000
   
Temos, então, a1 = 100 000, a2 = 110 000,... 
58 
 
 
E queremos a produção em 2020, que corresponde a calcular o termo a11: 
a11 = a1.q11-1 = 100 000.(1,1)10 = 100 000.(2,59374246) = 259 373,24 
Resposta: Serão produzidas, neste ano de 2020, 259 374 unidades do produto. 
Observar que, quando se tem um aumento de 10% sobre um certo valor, podemos lidar 
diretamente com porcentagens, e depois realizar os cálculos principais. Vejamos: 
100% + 10% = 110% = 110/100 = 1,1. E, para obter os demais termos (os números da 
produção, ano a ano), basta ir multiplicando por 1,1, a partirdo primeiro, 100 000. 
100000; 100 000.1,1; 100 000.1,12; 100 000.1,13; ..., 100 000.1,111. 
Interpolação Geométrica 
Interpolar ou inserir k meios geométricos entre os números a e b significa obter uma P.G. de 
extremos a1 = a e an = b, com n = k+2 termos. Para determinar os meios dessa P.G., é 
necessário calcular a razão. Assim, temos: 
1
1
1
1. kn kna a q b a
b
qq
a
 
     . 
Exemplo: Interpolar 8 meios geométricos entre 5 e 2560. 
Temos: 
K = 2, a = 5 e b = 2560. 
Logo, 
de 1k
b
q
a
 , vem: 
99
2560
512 2
5
q    
Então, inserindo os meios, temos a P.G. (5,10,20,40,80,320,640,1280,2560). 
59 
 
 
Segunda solução: Basta substituir 
n = 8+2 = 10; a1 = 8; an = 2 560 
na fórmula do termo geral: 
1
1
10 1
9
9 9
2560 5.
2560 5
2560
512 2
5
n
na a q
q
q
q q q


 


    
 
Produto dos termos de uma PG finita. 
Vamos deduzir uma fórmula para calcular o produto Pn dos n termos de uma P.G. 
Teorema 
Em toda P.G. tem-se 
( 1)
2
1
n n
n
nP a q

  
 
Demonstração: 
 
Isto é: 
( 1)
2
1
n n
n
nP a q

  
Exemplo: Calcular a soma dos 20 primeiros termos da P.G. (2,4,8,...) 
60 
 
 
Temos: a1 = 2, q = 2 e n = 20. 
Logo: 
( 1)
2
1
n n
n
nP a q

  =
20(20 1)
20 20 190 21022 2 2 2 2

    
3.3 Soma dos n termos de uma P.G finita 
Da mesma maneira que fizemos para a P.A., é possível encontrar uma forma de calcular a 
soma dos termos da PG, caso ela seja finita, ou de seus n primeiros termos, se ela for 
infinita. 
Tomemos, por exemplo, a P.G. (2, 6, 18, 54, 162). 
Tem-se: a1 = 2 e q = 3. 
Assim, a soma é 
 S = 2 + 6 + 18 + 54 + 162 = 242. 
 
 
 
Multiplicando todos os termos dessa P.G. pela razão 3, temos: 
 
Se somarmos todos os produtos dessas multiplicações, obteremos como resultado a soma 
da P.G. multiplicada por 3: 6 + 18 +54 + 162 + 486 = 3 · S. 
Observe que, em S e 3 · S, há muitas parcelas em comum. Se fizermos 3 · S - S, essas parcelas 
se anularão: 
61 
 
 
 
Logo, 3 · S - S = 486 - 2 = 484, o que nos fornece 
484
242
2
S   . 
Veja, agora, como deduzir uma fórmula geral para essa soma. 
Na P.G. (a1 , a2 , a3 , ..., an-1 , an), indicando por Sn a soma de seus n termos, Sn = a1 + a2 + a3 + 
...+ an-1 + an (1) 
Multiplicando a igualdade (1) pela razão q, q 0, temos: 
 (2) 
Efetuando (2) – (1), vem: 
 
Para q 1, obtemos: 
1( 1)
1
n
n
a q
S
q


 
É evidente que, para q = 1, temos a P.G. (a1 + a1 + a1 + a1 + ...+ a1), cuja soma é: 
1 1 1 1 1 1... .n
n parcelas
S a a a a a n a       
 
 
62 
 
 
Em toda P.G. (a1 , a2 , a3 , ..., an-1 , an) de razão q e primeiro termo a1 , a soma Sn dos n 
primeiros termos é dada por: 
1( 1)
1
n
n
a q
S
q



 se q 1 
ou por: 
1.nS n a , se q = 1 
Exemplo: Calcular a soma dos 20 primeiros termos da sequência (3,6,12,...) 
Temos: a1 = 3, q = 2 e n = 20 
Dai: 
20
201
20
( 1) (2 1)
2 1
1 2 1
n
n
a q
S S
q
 
    
 
 
Portanto, a soma pedida é 220 – 1 = 1.048.576 – 1 = 1.048.575. 
Exemplo: Calcular a soma das potências de 5 com expoentes inteiros consecutivos, desde 53 
até 530. 
Trata-se da P.G. (53, 54, 55, ... , 530). 
Na P.G., a1 = 53 e q = 
4
4 1
3
5
5 5
5
q    
Falta o número de termos. Mas veja que os expoentes das potências, 3, 4,..., 30 formam uma 
P.A. com 27 termos. Assim, n = 27. 
Logo: 
3 27 27
1
27
( 1) 5 (2 1) 125(2 1)
1 5 1 4
n
n
a q
S S
q
   
   
 
 
Fórmula alternativa 
No exemplo precedente, foi fácil encontrar o número de termos. Porém, nem sempre é 
assim. Por exemplo, na P.G. (4,8,16,..., 8 192). 
63 
 
 
Estamos interessados em calcular a soma dos seus termos sem recorrer ao número de 
termos n. 
Para tanto, devemos fazer uma modificação na fórmula 1
( 1)
1
n
n
a q
S
q



 de modo que a 
mesma não dependa de n. 
De fato: 
1 1 1 1
11 1 1 1 1 1 1( 1)
1 1 1 1 1
n n n n
n
n
a q aa q a q a a q a a q q a
S
q q q q q
           
    
    
 
Portanto, 1
1
n
n
a q a
S
q
 


 
Do exemplo acima, a1 = 4, an = 8 192 e q = 2. 
Logo: 1
8192 2 4
16380.
1 2 1
n
n
a q a
S
q
   
  
 
 
Exemplo: Simplifique a expressão 
2 4 8 ... 1024
4 16 64 ... 1024
   
   
. 
Resolução: 
É pertinente usar a fórmula 1
1
n
n
a q a
S
q
 


. 
Para o numerador, a soma vale: 1
1024 2 2
2046
2 1
S
 
 

 
Para o denominador, a soma vale: 2
1024 4 4 4096 4 4092
1364
4 1 3 3
S
  
   

 
Logo: 
2 4 8 ... 1024 2046 1023
4 16 64 ... 1024 1364 682
   
 
   
 
Exemplo: O termo geral de uma P.G. é = 3n, para todo n maior ou igual a 1. Obter a soma dos 
n primeiros termos. 
64 
 
 
Temos: 
a1 = 31 = 3, a2 = 32 = 9; com isso, q = 9/3 = 3. 
Pela fórmula 1
1
n
n
a q a
S
q
 


, vem: 
3
2
3 3 3 3 3 3
(3 1)
3 1 3 1
n n
n
nS
   
   
 
 
Exemplo: Uma bola elástica cai de uma altura de h metros, elevando-se, em cada pulo no 
mesmo lugar, a uma altura igual a ¾ da que caiu anteriormente. Calcule o espaço percorrido 
pela bola até bater no solo pela 5ª vez. 
Resolução: 
 
Para chegar ao solo, a bola percorreu: 
 Pela 1ª vez, h metros; 
 Pela 2ª vez, mais 
3
4
h (subida) + 
3
4
h (descida) 
 Pela 3ª vez, mais 
3 3
4 4
h (subida) + 
3 3
4 4
h (descida), etc 
Portanto, o espaço S5 , percorrido pela bola até cair pela 5ª vez, será: 
 
65 
 
 
 
Resposta: 
5
653
128
h
S  metros ou, aproximadamente, 5,1h metros. 
Exemplo: Calcular a soma das 10 parcelas iniciais da série 
1 1 1
1 ...
2 4 8
    
Temos: 
a1 = 1, q = ½ e an = a1.q10-1 = a1.q9 = 
9
1 1
1
2 512
 
  
 
 
Logo: 
10
1
1 1 10231 1 12( 1) 20461024 1024 1,998046875.
1 1 11 1024
1
2 2 2
n
n
a q
S
q
  
             

  
 
O resulta ficou bem próximo de 2. Na verdade, sugere que, quanto mais termos pudermos 
adicionar, a soma vai se aproximando cada vez mais de 2. Dizemos, assim, que o limite da 
soma da série 
1 1 1
1 ...
2 4 8
    é 2. Ou seja, a soma tende para 2. 
Complemento 
Conexão entre progressão geométrica e função exponencial. Já sabemos que o termo geral 
de uma progressão geométrica é dado por: 
1
1
n
na a q
  . 
Nesse caso, é possível pensar em uma P.G. como sendo uma função que associe a cada 
número natural positivo n o valor dado por: 
1
1
n
na a q
  
66 
 
 
Essa função é a restrição aos números naturais positivos da função do tipo exponencial 
1( ) xa x a q   . 
O gráfico dessa função é formado por uma sequência de pontos pertencentes ao gráfico de 
uma função exponencial. 
 
Veja que não temos uma curva contínua, pois o domínio é o conjunto * e não . 
Exemplo: Vejamos o gráfico de 1
1
n
na a q
  , com 
O gráfico é formado pelos pontos 3 9 27
4 4 4
(1, ),(2, ),(3, ),... , sendo que a progressão geométrica é 
dada por 3 9 27
4 4 4
, , ,... de razão 3. 
 
67 
 
 
 
Esta função poderia ser escrita como 
1
( ) 3
4
na n   , n = 1, 2, 3, 4, ... 
 
Saiba mais 
Além de complementar os conhecimentos sobre Progressões Geométricas nos materiais 
da bibliografia, sugerimos que o estudante leia a obra Padrões Numéricos e Sequências, 
de Maria Cecília Costa e Silva Carvalho. É um excelente livro. Traz os assuntos sobre P.A e 
P.G de forma simples e com uma linguagem bastante acessível. Boas ilustrações, 
contextualizações e, sobretudo, procura integrar o tema das progressões com outras áreas 
do conhecimento humano. 
 
Conclusão 
Neste bloco, estudamos os principais resultados sobre as progressões geométricas, desde 
aqueles mais simples até os que exigem uma demonstração ou dedução. Como vimos, esse 
assunto é muito importante, pois seus resultados podem ser usados para explicar diversos 
fenômenos da natureza e da economia. E como veremos, em outro momento dos estudos, 
principalmente os resultados sobre o Termo Geral e da Soma dos n termossão bastante 
utilizados na matemática comercial e financeira. 
 
68 
 
 
REFERÊNCIAS 
BARROS, D. M. Matemática financeira descomplicada. 5. ed. São Paulo: Rideel, 2014. 
CASTANHEIRA, N. P. Noções básicas de matemática comercial e financeira. Curitiba: 
InterSaberes, 2012. 
GIMENES, C. M. Matemática Financeira com HP 12C e Excel: uma abordagem descomplicada. 
2. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2009. 
OLIVEIRA, C. A. M. Matemática. Curitiba: Editora InterSaberes, 2016. 
PARKIN, M. et. al. Mercado financeiro. Organização Mauro Roberto Claro de Souza. São Paulo: 
Pearson Prentice Hall, 2011. 
SAMANEZ, C. P. Matemática financeira. 5. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010. 
VANNUCCI, L. R. Matemática financeira e engenharia econômica: princípios e aplicações. São 
Paulo: Blucher, 2013. 
WAKAMATSU, A. Matemática financeira. São Paulo: Pearson, 2012. 
 
69 
 
 
 
4 SÉRIE GEOMÉTRICA 
Apresentação 
Neste bloco, procuraremos apresentar os conhecimentos iniciais sobre as sequências e 
séries infinitas, como o limite de uma série, os conceitos de série convergente e divergente, 
bem como a obtenção da fórmula da soma dos termos de uma P. G. infinita. Para tanto, 
lançamos mão do conceito de limite do Cálculo Diferencial e Integral. Além disso, daremos 
uma interpretação geométrica da série geométrica e algumas aplicações sobre as 
progressões aritméticas e geométricas. 
4.1 Limite de uma sequência 
Tomemos a sequência 
1 1 1 1 1
, , , ,..., ,...
2 4 8 16 2n
 
 
 
 e localizemos seus 4 termos iniciais na reta 
real: 
 
Observe que os termos da sequência vão se aproximando de zero, ou seja, para um n 
bastante grande, o enésimo termo da sequência 
1
2n
 ficará tão próximo de zero quanto 
quisermos. Assim, querendo que a distância entre 
1
2n
 e 0 seja a menor possível, digamos, 
menor que 1
1000
, devemos ter: 
1 1
0
2 1000n
  
Então: 
1 1
2 1000 9
2 1000
n
n
n     
70 
 
 
porque 29 = 512 < 1000. 
Isso significa que, a partir do 10º termo, os termos da sequência estarão mais próximos de 
zero, com aproximação menor que 1/1000. 
De maneira geral, sendo dada uma aproximação  , com  >0, é possível encontrar um 
número natural n0 tal que 
1
0
2n
  quando n > n0. 
E, então, dizemos que o limite de 
1
2n
, quando n tende a infinito, é zero e escrevemos: 
1
lim 0
2nn
 
 
 
 
Definição 
Uma sequência (a1 , a2 , a3 , ..., an , ...) tem um limite L se, dado  >0, for possível obter um 
número n0 tal que |an – L| <  quando n > n0 . Neste caso, indica-se 
lim n
n
a L

 
E se diz que a sequência converge para L. 
Exemplo: Considerando q um número real tal que -1 < q < 1, então a sequência (1, q, q2, q3, 
..., qn, ...) converge para zero. 
Se -1 < q < 1 então lim 0n
n
q

 . 
Simplificadamente: Se |q| < 1, então lim 0n
x
q

 . 
Exemplos de sequências que têm limite nulo: 
a) 
1 1 1 1 1
1, , , , ,..., ,...
3 9 27 81 3n
 
 
 
 
71 
 
 
b) 
1 1 1 1
1, , , , ,..., ( ) ,...
2 4 8 2
n    
 
 
c) (1; 0,7; 0,49; 0,343; ...; (0,7)n, ...) 
Sequência Infinita 
Uma sequência infinita {an } = a1 , a2 , a3 , ..., an , ... é uma função de n cujo domínio é o 
conjunto dos inteiros positivos. 
Uma sequência {an} é limitada quando existem números P e Q tais que nP a Q  para 
todos os valores de n. 
Por exemplo, 
3 5 7 2 1
, , ,..., ,...
2 4 6 2
n
n

é limitada, pois, para todo n, 1 2na  . 
Veja que 
1
2 1
2 1 12
lim lim lim 1 1
2 2 2n n n
n
n n
n n n  
 
        
 
. O enésimo termo tende a 1. 
Mas, evidentemente, 2,4,6,8, 2n,... e 3,5,7,..., 2n+1,... não são limitadas. 
Séries infinitas 
Seja {an} uma sequência infinita. A série infinita Sn = a1 + a2 + a3 + ...+ an +... é a sequência das 
somas: 
S1 = a1 
S2 = a1 + a2 
S3 = a1 + a2 + a3 
S4 = a1 + a2 + a3 + a4 
... 
Sn = a1 + a2 + a3 + ...+ an + ... 
72 
 
 
Os números a1 , a2 , a3 , ..., an , ... são chamados termos da série na . 
É muito comum escrevermos uma série {Sn} da seguinte forma: 
na = 1 2 3 4
1
... ...n n
n
a a a a a a


       
Se lim n
n
S S

 , um número finito, dizemos que a série 
na converge, sendo S a sua soma; 
Se lim n
n
S

 não existe, dizemos que a série 
na diverge. 
Um resultado importante (teorema) é o seguinte: Se a série 
na converge, então 
lim 0n
n
a

 . 
Exemplo: A série  3 nna  converge, pois:
1 2 3 4 1 1 1 1 13 3 3 3 ... .... ...
3 9 27 81 3n
ou             = 
1
2
e 
1
3 0
3
n
n
   quando n . 
Como consequência desse teorema, se lim 0n
n
a

 , então a série 
na diverge. 
Exemplo: Mostrar que a série 
1 2 3 4
...
3 5 7 9
    diverge. 
Temos: 
2 1
n
n
a
n


 e 12
1 1
1
lim lim lim lim 0
2 1 (2 ) 2
n
n n n n
n n
n n
a
n n   
    
  
, como 
queríamos. 
4.2 Soma dos termos de uma P.G. Infinita 
Uma P.G. infinita é uma P.G. (a1 , a2 , a3 , ..., an , ...) de razão q, com |q| < 1, e na qual 
lim 0n
n
a

 . 
 
 
73 
 
 
Exemplo: 
Seja a PG 
1 1 1 1 1
, , , ,..., ,...
2 4 8 16 2n
 
 
 
, formemos a sequência de somas parciais (S1 , S2 , S3 , ..., Sn 
, ...), onde: 
1
2
3
1
2
1 1
2 4
1 1 1
2 4 8
..........................................
1 1 1 1 1
...
2 4 8 16 2
n n
S
S
S
S

 
  
     
 
Agora, lembrando a fórmula da soma dos n termos de uma PG (finita), vem: 
1
1
2
1 11 1 1 1
1 1 1 1 1 1 12 22 2 2... 1 1
12 4 8 16 2 1 1 2 2
2
nn
n
n n n n
a q a
S
q
 
                     
   
. 
É claro que esta última série converge para 1, pois: 
 
O que esse fato significa? Que, quanto maior o número de termos somados na PG 
1 1 1 1 1
, , , ,..., ,...
2 4 8 16 2n
 
 
 
, mais nos aproximamos de 1. Dizemos, então, que a soma dos 
infinitos termos dessa PG é igual a 1. 
Definição: Dada uma PG infinita (a1, a2, a3,..., an,...), dizemos que 1 2 3 4,..., ,...na a a a a S    
se, formada a sequência (S1 , S2 , S3 , ..., Sn , ...), onde: 
 
74 
 
 
S1 = a1 
S2 = a1 + a2 
S3 = a1 + a2 + a3 
S4 = a1 + a2 + a3 + a4 
... 
Sn = a1 + a2 + a3 + ...+ an + ... 
............................................ 
Esta sequência converge para S, isto é, lim n
n
S S

 . 
Teorema: Se (a1 , a2 , a3 , ..., an , ...) é uma PG com razão q tal que -1 < q < 1, então 
1
1 2 3 4 ... ...
1
n
a
S a a a a a
q
       

 . 
Demonstração: 
Provemos que o limite da sequência (S1 , S2 , S3 , ..., Sn , ...) das somas parciais dos termos da 
PG é 1
1
a
q
. 
 
 
 
75 
 
 
Isto é: 
1lim
1
n
n
a
S S
q
 

 
Se a1 > 0 e |q| > 1, ou seja, se q < -1 ou q > 1, então a sequência (S1 , S2 , S3 , ..., Sn , ...) não 
converge (isto é, ela é dita divergente). Neste caso, é impossível obter a soma dos termos da 
P.G. Vejamos, agora, uma outra abordagem desse resultado. 
De modo geral, é possível provar que se q é um número real tal que |q| < 1, ou seja, -1< q < 
1, então lim 0n
n
q

 . 
Para calcular a soma dos infinitos termos de uma PG de razão q tal que -1< q < 1, já sabemos 
que a soma dos n primeiros termos dessa PG é dada por: 
 1
1
1 1
1 1
n n
n
a q q
S a
q q
  
  
 
 
Veja o que ocorre com essa soma quando n se torna arbitrariamente grande, ou seja, 
quando n tende a infinito. 
 
Como vimos, lim 0n
x
q

 e, então, temos: 
 
 
 
 
76 
 
 
Concluindo: 
 
Exemplo: vamos construir uma representação gráfica da sequência de termo geral 
1
2
n n
a  , 
n = 1,2,3,4,.... 
Construindo uma tabela para alguns valores de n, temos: 
77 
 
Exemplo: Calcular a soma dos termos da P.G. 
1 1 1 1
1, , , , , ,...
3 9 27 81
 
 
 
 . 
Resolução: 
Como q = 1/3 e -1 < q < 1, temos: 1
1 1 3
1 21 2
1
3 3
a
S
q
   


 
Exemplo: Determine a soma dos termos da P.G. 
1 1
2, 1, , ,...
2 4
 
  
 
. 
A razão éq =
1
2
 ( |q| < 1). Daí, vem o resultado: 1
2 2 2 4
1 311 3
11
2 22
a
S
q
    
  
  
 
 
O estudante certamente lembra das dízimas periódicas e suas frações geratrizes, no 
ensino básico. É interessante notar que a fração geratriz de uma dízima periódica pode 
ser obtida usando a fórmula da soma de uma P.G. infinita. Veja o exemplo: 
Na dízima periódica 0,2333..., 
o período é 3. 
 
 
 
Mas então: 
0,2333... = 0,2 + 0,03333... = 0,2 + 0,03 + 0,003+0,0003 +... 
Ora, os termos da série 0,03+0,003+0,0003+... = 
3 3 3
...
100 1000 10000
   formam uma 
P.G. infinita de razão 
1
10
 e cuja soma é: 
:303 3
100 1001
:3091
10 10
3 10 30 1
1 1 100 9 900 30
a
S
q
      
 
 
 
78 
 
 Assim: 
 0,2333... = 0,2 + 
3 3 3
...
100 1000 10000
   = 
7
3
1 1 6
5 0 0
1
3 30

   
A outra maneira de chegar ao resultado é: 
0,2333...
21 7
10 2,333.. 100 10 23,333... 2,333.. 90 21
90 30
100 23,333...
x
x x x x x
x


         
 
 
Exemplo: Qual o significado de 2,99999...= 3? 
Desenvolvendo o número 2,99999... segundo a série 2+0,9+0,009+0,0009+0,00009+..., 
obtemos: 
1
10
9 9
10 10
91
10 10
infinita de razão
9 9 9 9
2 ... 2 2 2 1 3
10 100 1000 10000 1
PG q
           

 
É claro que o número 2,99999... não é igual a 3. Ele se aproxima cada vez mais de 3, 
mas nunca chega nele, como foi mostrado pelo cálculo da soma acima. 
4.3 Aplicações de P.A e P.G 
As aplicações das progressões aritméticas e das progressões geométricas cobrem 
muitos campos do conhecimento humano: biologia, economia, administração e 
matemática financeira. Por exemplo, as progressões aritméticas podem ser associadas 
ao cálculo de juros simples e as progressões geométricas, ao cálculo envolvendo juros 
compostos. 
A construção de uma escada em forma trapezoidal está relacionada com a própria 
definição de progressão aritmética (em que os comprimentos dos degraus estão 
conforme os termos de uma P.A.) 
 
 
79 
 
Populações, em geral, seguem um ritmo de crescimento que podemos chamar de 
crescimento geométrico ou exponencial. Por exemplo, se a população de um país, em 
2010, era de 1000000 de habitantes e, supondo que cresce à taxa de 10% ao ano, 
pode-se estimar ou projetar a população desse país, digamos, para o ano de 2021, com 
o auxílio de uma progressão geométrica. 
Estimativas para calcular a depreciação de um bem, sabendo que o mesmo, somente a 
título de exemplo, sofre uma redução de 5% a cada ano, obedecem às leis das 
progressões geométricas. 
Os biólogos usam modelos geométricos para estimar o número de bactérias em uma 
certa cultura de bactérias que, por exemplo, dobra seu número a cada hora. 
Antes de passarmos aos problemas de aplicação, vamos relacionar nossos dois temas, 
P.A. e P.G., com a teoria da evolução das espécies, de Charles Darwin. 
P.A. e P.G. na teoria de Darwin 
O darwinismo é uma teoria acerca da evolução dos seres vivos, que é estuda nas 
ciências biológicas. Foi criada pelos esforços do naturalista inglês Charles Darwin por 
meio da teoria no livro A Evolução das Espécies, de 1859. 
A teoria se constitui de quatro princípios fundamentais, sendo que um deles faz uma 
referência às progressões aritmética e geométrica que foi, na verdade, uma influência 
das ideias de Thomas Malthus, um famoso economista. 
Segundo o princípio referido, as populações crescem em P.G. ao mesmo que os 
recursos alimentares crescem apenas em P.A. 
Quanto a Malthus, ele propôs que se tomassem medidas para controlar as taxas de 
natalidade das populações mais pobres (Inglaterra), a fim de alcançar algum equilíbrio 
entre crescimento populacional e produção de alimentos. 
 
 
80 
 
Já Darwin, em consequência do mesmo princípio, afirmou que, por causa de tal 
desproporção, os indivíduos se empenhariam em uma luta pela sobrevivência (vida), 
ao final da qual seriam selecionados os mais fortes ou os mais aptos. Em outras 
palavras, ocorre uma seleção natural de alguns indivíduos em detrimento de muitos 
outros. 
Como já é sabido hoje em dia, a comparação de Malthus não é mais aceita, e isso, 
apesar de maiores taxas de crescimento populacional, não existe uma proporção tão 
grande assim. 
Veja a ilustração: 
 
Fonte: SMOLE; DINIZ, 2004. 
Na figura, podemos identificar: 
Produção de alimentos: x, 2x,3x, 4x, 5x,... em P.A. 
Crescimento da população: x, 2x, 4x, 8x, 16x,... em P.G. 
81 
 
Conclusão 
Neste bloco, iniciamos o conhecimento sobre as séries, entendendo o que é uma série 
convergente/divergente. Além disso, aprofundamos as noções sobre as progressões 
geométricas, desta vez com as sequências e séries geométricas infinitas. 
Lançando mão de conhecimento básico de álgebra e de limite, pudemos deduzir a 
fórmula da soma dos termos de uma P.G. infinita. Por fim, foi importante tratarmos 
das aplicações das progressões aritmética e geométrica e realçarmos o tema com 
referências histórias, envolvendo as noções de P.A. e P.G. 
É sugerido reforçar os conceitos sobre P.A. e P.G., procurando integrá-los com o 
estudo das funções do primeiro grau, do segundo e das funções exponenciais, acima 
de tudo. 
REFERÊNCIAS 
BARROS, D. M. Matemática financeira descomplicada. 5. ed. São Paulo: Rideel, 2014. 
CASTANHEIRA, N. P. Noções básicas de matemática comercial e financeira. Curitiba: 
InterSaberes, 2012. 
GIMENES, C. M. Matemática Financeira com HP 12C e Excel: uma abordagem 
descomplicada. 2. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2009. 
IEZZI, G.; HAZZAN, S. Sequências, matrizes, determinantes e sistemas. 5 ed. São Paulo: 
Atual, 1985. 
OLIVEIRA, C. A. M. Matemática. Curitiba: Editora InterSaberes, 2016. 
PARKIN, M. et. al. Mercado financeiro. Organização Mauro Roberto Claro de Souza. São 
Paulo: Pearson Prentice Hall, 2011. 
SAMANEZ, C. P. Matemática financeira. 5. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010. 
SMOLE, K. S.; DINIZ, M. I. Matemática Ensino Médio. 4 ed. São Paulo: Saraiva, 2004. 
VANNUCCI, L. R. Matemática financeira e engenharia econômica: princípios e 
aplicações. São Paulo: Blucher, 2013. 
WAKAMATSU, A. Matemática financeira. São Paulo: Pearson, 2012. 
 
82 
 
 
5 Juros Simples 
APRESENTAÇÃO 
Chegou o momento de estudar os primeiros elementos necessários ao cálculo 
financeiro: porcentagem, juros e juros simples. Neste bloco, daremos especial atenção 
aos regimes de capitalização simples, relacionando os conceitos de taxa de juros, juros 
simples, capital e montante, além das formas mais comuns de desconto e algumas 
aplicações comuns no mercado. 
5.1 Conceitos básicos 
Porcentagem 
É muito comum, no nosso quotidiano, ouvirmos ou avistarmos expressões do tipo: 
 Desconto de 30% na grande liquidação de verão; 
 Vendi um bem com um lucro de 20%; 
 O rendimento da caderneta de poupança foi 0,4% no mês passado. 
Todas estas expressões envolvem uma razão especial, que é chamada porcentagem. 
Taxa Percentual (ou porcentual) 
Vamos supor que um estudante tenha acertado, em uma prova, 12 das 20 questões 
apresentadas. 
A razão entre o número de questões acertadas e o número total de questões é: 
12 3
0,6
20 5
  ou 
6 60
...
10 100
  
Quando uma razão é dada com o consequente 100, neste caso 
60
100
, damos o nome de 
razão centesimal. 
83 
 
Uma outra forma de representarmos as razões centesimais, muito usada 
principalmente no campo econômico-financeiro, é substituindo o consequente 100 
pelo símbolo % (que lemos: por cento). 
Assim: 
60
100
= 60% 
Esse numeral (60%) se chama taxa porcentual ou centesimal. Algumas vezes, dá-se o 
nome de taxa de porcentagem. 
Uma porcentagem, ou uma taxa porcentual, é uma razão de denominador 100. 
Exemplo: 
Escrever a razão 
3
4
 na forma de taxa porcentual. 
Resolução: 
3 300
4 300
4 100 4
75
x
x x
x
    

 
Resposta: 
3
4
=75% = 0,75. 
Elementos do cálculo porcentual 
R$ 120,00 representam quanto por cento de R$