AULA 6 CURSO APOIO

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AULA 06 – APOIO AO CÁLCULO PROFESSORA LUCIANA 
 
EXERCICIOS PROPOSTOS – regras de derivação 
I) Calcule a derivada de cada uma das seguintes funções: 
a) f(x) = 7x – 5 f’(x) = 7 
b) g(x) = 1 – 2x – x² g’(x) = -2 – 2x 
c) f(x) = x³ - 3x² + 5x – 2 f’(x) = 3x² - 6x + 5 
d) 
48
8
1
xxy  y’ = x
7
 – 4x³ 
e) 
24
2
1
4
1
)( tttf  f’(t) = t
3
 – t 
f) 
2
2 13)(
x
xxxf  f’(x) = 2x + 3 – 2/x³ 
g) 
4
4
4
1
4)(
x
xxg  g’(x) = 16x
3
 + 1/x
5
 
h) 
42
53
)(
xx
xg  g’(x) = -6/x
3
 – 20/x
5
 
i) f(x) = (2x
4
 – 1)(5x
3
 + 6x) f’(x) = 8x³(5x³ + 6x) + (2x
4
 – 1)(15x² + 6) 
j) 
1
)(


x
x
xf 
2)1(
1
)('



x
xf 
l) 
12
12
)(
2
2



xx
xx
xh 
22
2
)12(
)1(4
)('



xx
x
xh 
m) 
221
5
)(
t
t
tf

 
22
2
)21(
105
)('
t
t
tf


 
n) 
8
8
)(
3
3



y
y
yh 
23
2
)8(
48
)('


y
y
yh 
o) 43 2)( xxxq  4
3
3
1
4
1
3
2
)('

 xxxq 
p) 4
3
31
)( x
xx
xp  
33
4
2
3
4
2
1
)(' xxxxp 



 
 
 
II) Calcular a derivada das funções: 
a) y = 4x + 5 b) y = - x + 3 c) y = 2
2
1
x d) y = x
2
 + 4x + 5 
e) y = 75
2
1 2  xx f) y = 0,2 x
2
 – 4x g) y = (3x
2
 - 4x) (6x + 1) 
h) y = (1 - x
2
) (1 + x
2
) i) y = (x
2
 – 4) (x + 2x
4
) j) y = 2 (x
3
 - 4x
2
 + 2x – 1) 
k) 4 xy  l) 9 xy  m) 3 xy  n) 6 xy  o) 
x
y
1
 p) 
3
6
x
y  
q) 
22
15
xx
y

 r) 
1
4


x
x
y s) 
2
10


x
x
y t) 
x
x
y


1
 
RESPOSTAS grupo II 
 
a) y’ = 4 b) y’ = -1 c) y’ = 
2
1
 d) y´= 2x + 4 e) y´ = - x + 5 f) y´ = 
0,4x – 4 g) y’= 54 x
2
 - 42x – 4 h) y’ = - 4x
3
 i) y’= 12x
5 
- 32x
3 
+ 3x
2 
- 4 j) 
y’=6x
2
-16x+4 k) y´ = 
4 34
1
x
 l) y´ = 
9 89
1
x
 m) y´ = 
3 23
1
x
 n) y´ = 
6 56
1
x
 
o) y´ = 
2
1
x
 p) y´ = 
4
18
x
 q) y´ = 
 222
3015
xx
x


 r) y´ = 
 21
4


x
 
s) y´ = 
 22
20
x
 t) y´ = 
 21
1
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS – Derivadas sucessivas 
 
1. Calcule f’’ da função 183)(
2  xxxf 
2. Determine a derivada segunda das funções abaixo: 
a) xtgxf )(  
b) 1)( 2  xxf 
 
3. Encontre todas as derivadas de ordem superior da função 
262460)( 23  xxxxf : 
 
4. Determine a derivada segunda das funções abaixo: 
a) 
xe
y
1
 
b) xy 2ln 
c) 
2
cos2
x
y  
5. Mostre que a derivada de ordem n da função 
axey  é dada por 
axnn eay )( . 
 
6. Encontre todas as derivadas da função 
 
   4523 23  xxxxf 
 
7. Usando as regras de derivação, calcular as derivadas de 1
a
 e 2
a
 ordem da função 
  23 32 xxxf  , no ponto 10 x . 
 
Resposta: 0)'x(f  e 6')'x(f  
 
8. Usando as fórmulas de derivação, calcular as derivadas de 1
a
 e 2
a
 ordem da função 
  3xxf  , no ponto 10 x . 
 
Resposta: 3)'( xf e 6')'x(f  
 
9. Usando as fórmulas de derivação, calcular as derivadas de 1
a
 e 2
a
 ordem da função 













4
cos
4
sen4 2
xx
y , no ponto 0x . 
 
Resposta: 
4
122
)'(

xf e 
8
2
')'( xf . 
10. Usando as fórmulas de derivação, calcular as derivadas de 1
a
 e 2
a
 ordem da função 
 2ln tts  , no ponto 20 t . 
 
Resposta:   12ln2's  e 1"s  
 
11. Usando as fórmulas de derivação, calcular a derivada de 2
a
 ordem da função 
 
2x
3
xf

 , no ponto 1x0  . Resposta: 
9
2
)"x(f  
 
12. Usando as fórmulas de derivação, calcular a derivada de 2
a
 ordem da função 
  x49xf  , no ponto 2x0  . Resposta: 4)"( xf 
 
13. Usando as fórmulas de derivação, calcular a derivada de 3
a
 ordem da função 
  xexf  , no ponto 10 x . Resposta: e'')'x(f  . 
 
14. Usando as fórmulas de derivação, calcular a derivada de 3
a
 ordem da função 
   83x2xf  , no ponto 1x0  . Resposta: 2688'')'( xf . 
 
15. Usando as fórmulas de derivação, calcular a derivada de 2
a
 ordem das seguintes 
funções: 
 
a)   223 xxxf  em 00 x ; R: 2'' y 
 
b)    xxf 2cos em 00 x ; R :   4xf  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS – Significado físico 
 
1) Um móvel desce num plano inclinada segunda a equação s = 12t2 + 6t . 
a) encontre sua velocidade 3s após a partida; Resp. v(3) = 78m/s 
b) encontre a velocidade inicial. Resp. v(0) = 6m/s 
 
2) Um foguete é lançado verticalmente e sua trajetória tem equação horária 
s = 160t – 5t
2
 e o sentido positivo é para cima. Determine: 
a) a velocidade do foguete 2 seg após o lançamento; Resp. v(2) = 140m/s 
b) o tempo que leva o foguete para alcançar a altura máxima. Resp. t = 16s 
 
3) A distância percorrida (em m ) por um ponto é dada, a cada instante pela lei, 
s(t) = t
2
 + 4t + 4 onde t é o número de segundos percorridos. Determine: 
a) a velocidade média entre t= 1s e t = 3s. Resp. Vm= 8m/s 
b) a velocidade inicial. Resp. Vi=4m/s 
c) a velocidade no instante t = 3s. Resp. V(3)= 10m/s 
d) em que instante a velocidade é de 12 m/s Resp. t = 4s 
 
4) Um ponto em movimento tem equação s(t) = 2t
3
 + 3t
2
 + t, onde t é o tempo em 
segundos e s o espaço em metros. Determine: 
a) a velocidade no instante t = 4s Resp. V(4) = 121 m/s 
b) a aceleração quando t = 3 s Resp. V(3) = 42 m/s2 
c) em que instante a aceleração é de 30m/s Resp. t = 2s 
 
5) Uma partícula percorre uma curva obedecendo à equação horária S = 3t
2
 (SI). 
Determine a sua velocidade no instante t = 5 s. R: v(5) = 30 m/s 
6) Um ponto material descreve uma curva tendo para equação horária tS  (SI). 
Determinar a sua velocidade no instante t = 1,5s. R: v(1,5) = 0,408 m/s 
7) Um ponto em movimento tem equação da velocidade 
2ttv  (SI). Encontrar sua 
aceleração no instante t = 1s. R: a(1) = 2,5 m/s² 
8) Encontrar a aceleração no instante t = 8s de um ponto que tem velocidade variável 
segundo a expressão 3 ttv  (SI). R: a(8) = 1,08 m/s² 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios propostos – Significado geométrico 
1) Qual a equação da reta tangente à curva representativa da função 
f(x) = 4x
3
 + 3x
2
 + x + 5, no ponto de abscissa x = 0? R.: y = x + 5. 
2) Determinar a equação da reta tangente à curva da função y = x
3
 no ponto P de 
abscissa x = 2. R.: y = 12x - 16. 
3) Achar a equação da reta tangente à curva f( x) = x² - 6x + 5, no ponto de abscissa 
x 0 = 2. R.: y = -2 x + 1 
4) Determinar a equação da reta normal ao gráfico de 2)(  xxf no ponto em que 
 x = 3. R: y = -2x + 7 
 
5) Encontrar o coeficiente angular e a reta tangente ao gráfico de 2)ln()(  xxxf 
no ponto em que x = 1. R: 
2
5
2
3

x
y 
 
6) Determine a equação da reta normal à f(x) = x
2
 + e
3x
 no ponto (0 , 1). R: 
1
3

x
y 
7) Ache a equação da reta tangente ao gráfico da função y = x³ – 3x + 4, no ponto (2 , 
6). R: y = 9x – 12 
8) Seja f(x) = x² – ln(x + 1) uma curva. Caso exista, determine a equação da reta 
tangente a esta curva, tal que sejanormal a reta r: 3y + 3x = 6. 
 R: y = x – 0,75 
9) Ache a equação da reta tangente ao gráfico da função 
8
3x
y  , no ponto (4 , 8). 
 R: y = 6x - 16 
10) Ache a equação da reta tangente ao gráfico da função y = x
4
 – 4x, no ponto (0 , 0). 
 R: y = -4x 
11) Ache a equação da reta tangente ao gráfico da função y = 2cos(x) + 1, no ponto em 
que x = 0. R: y = 3 
12) Determine a equação da reta tangente à função y = e
x
 + 1 que seja paralela à reta y 
= x – 2. R: y = x + 2 
 
 
 
 
 
 
REGRAS DE DERIVAÇÃO: 
 
1) f(x) = c f’(x) = 0 
2) f(x) = xn f’(x) = n.xn-1 
3) f(x) = u.v f’(x) = u’v + uv’ 
4) f(x) = u.v.w f’(x) = u’vw + uv’w + uvw’ 
5) 
v
u
xf )( 
2
''
)('
v
uvvu
xf

 
6) f(x) = un f’(x) = n.un-1.u’ 
7) f(x) = au f’(x) = au.ln a.u’ 
8) f(x) = eu f’(x) = eu.u’ 
9) f(x) = ln u 
u
u
xf
'
)('  
10) f(x) = log a u 
au
u
xf
ln.
'
)('  
11) f(x) = cos u f’(x) = - u’.sen u 
12) f(x) = sen u f’(x) = u’.cos u 
13) f(x) = tg u f’(x) = u’.sec2 u 
14) f(x) = cotg u f’(x) = - u’.cossec2u 
15) f(x) = sec u f’(x) = u’.sec u. tg u 
16) f(x) = cossec u f’(x) = - u’.cossec u. cotg u 
17) f(x) = uv f’(x) = v.uv-1.u’ + uv.v’.ln u 
 )'.ln'()(' u
u
v
uvuxf v  
18) f(x) = arc sen u 
21
'
)('
u
u
xf

 
19) f(x) = arc cos u 
21
)('
u
u
xf


 
20) f(x) = arc tg u 
21
'
)('
u
u
xf

