Lista de Limites e Derivadas

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Lista 2
Limites e Derivadas
Versão do 20-4-2018
1) Determine os seguintes limites:
a) lim x→0
cos2x−1
cos x−1
(4)
b) lim x→0
x2
√ x²+12−√12
( 2√12 )
c) lim
x→1−.
1
x−1
( −∞ , Lucas Mateus Duarte Oliveira)
d) lim x→ 4
3x2−17x+20
4x²−25x+36
(1)
e) lim x→−3 /2
4x2−9
2x+3
(-6, Felipe Henrique Barbosa Trevisan)
f) lim x→0
(1+ x)5−1
x
(5)
g) lime→ 0
√x+e−√ x
e
( √x
2 x
)
h) lim x→0
1−cos2x
4x
(0)
i) lim x→2
x ²−7 x+10
x ²−4
(-3/4)
2) Determine os seguintes limites no infinito:
a) lim x→∞ ln (
x6−500
x6+500
) (0)
b) lim x→∞
5x
3x+2x
( ∞ )
c) lim x→∞ (3
x
+32x)1/ x (9)
d) lim x→∞
√x−1
x2+3 x−2
(0)
e) lim x→∞
3√5 x3−2
7 x
(
3√5
7
)
f) lim x→∞
x ²+5 x+8
x ²+3
( 1 )
g) lim x→∞
5 x+2
√3 x ²−7
( 5 √3
3
)
3) A função sinal, denotada por sgn x, está definida por:
sgn(x) = -1, x < 0
sgn(x) = 0, x = 0
sgn(x) = 1, x > 0
a) Esboce o gráfico dessa função.
b) Encontre ou explique porque não existe cada um dos limites que se seguem (0u =0+, 0d = 0-):
i) lim x→0u sgn x (1)
ii) lim x→0d sgn x (-1)
iii) lim x→0 sgn x (não existe)
iv) lim x→0|sgn x| (1)
4) Dada F( x)=
x2−1
|x−1|
, encontre:
a) lim x→1u F (x) (2)
b) lim x→1d F (x ) (-2)
c) Se existe o lim x→1 F (x) (não)
d) Esboce o gráfico de F(x)
5) Determine se a seguinte função é contínua em x =0:
f (x)=−x x< 0
f (x)=x ² 0< x< 1
f (x)=2 x−1 x > 1 (descontínua em x=0)
6) Determine se a seguinte função é contínua:
f(x) = 2, x≠1
f(x) = 1, x=1 (descontínua)
7) Verificar se a seguinte função é contínua em 4:
 
f (x)=
x2−2 x−8
x−4
, x≠4
f (x)=3, x=4 (descontínua)
8) Considere a função real definida por:
f (x)=
x
√1+ x−√1−x
, x≠0
f (x)=k , x=0
Para qual valor de k a função é contínua? (k=1)
Propriedades operatorias: derivadas do quoziente e do produto de duas funções
Ache as derivadas das seguintes funções:
a) f ( x )=x²ex (Sol. x ( x+2 )e x )
b) f (x)=(2x³+3 )⋅( x⁴−2x ) (Sol. 14x6−4x3−6 )
c) g ( x )=
4x−5
3x+2
(Sol. 
23
(3x+2 )2
, Felipe Henrique Barbosa Trevisan)
d) f (x)=(3xx²+7 )
10
(Sol. 
(3x )9⋅(210−30x2 )
( x²+7 )11
)
f) g (t )=( t−22t+1 )
9
(Sol. 
45⋅(t−2 )8
(2t+1 )10
)
Regra da cadeia
Ache as derivadas das seguintes funções:
a) ln( x²+x+23√x−3 ) (Sol. 
5x²-16x−11
3 ( x²+x+2 ) ( x-3 )
)
b) cos4 (3x ) (Sol. −12cos3 (3x )⋅sin (3x ) )
c) y=x⋅(sin ( ln ( x ) )−cos ( ln ( x ) ) ) (Sol. 2sin (ln ( x ) ) )
d) y=excos x (Sol. excos x (cos x−x sin x) )
e) cosec(
x+1
x−1
) (Sol. 
[2cosec(
x+1
x−1
)cotan(
x+1
x−1
)]
(x−1)2
 Luiz Felipe Vinhas
Kavalieris)
Derivação implicita, derivada de funçao inversa
1) Calcule as seguintes derivadas utilizando o método da derivação implícita:]
a) x³−4x²y+3xy²+4y³=4 (Sol. 
-3x²−3y²+8xy
−4x²+6xy+12y²
)
b) 2x3+xy+x (Sol. 
−(1+6 x2)
x
, Luiz Henrique Tadeu Ferreira)
c) (x+ y)2+(x− y )2=x4− y 4 (Sol. 
x3− y
x+ y3
 , Lucas Alberto dos Santos Pereira)
d) x ²+ xy+ y ²−5 x=2 (Sol. 
−2 x− y−5
2 y+x
)
2) Encontre as derivadas das seguintes funções inversas:
a) y=arccosec ( x ) (Sol. −
1
|x|√ x2−1
)
b) y= arccos ( x ) (Sol. 
−1
√1−x²
)
c) y=arccosech ( x ) (Sol. 
−1
|x|√ x²+1
)
d) y=arccosh (x ) (Sol. 
1
√x²−1
)
Diferenciação logarítmica
Use a diferenciação logarítmica para encontrar as derivadas das seguintes funções:
a) y=xsin (x ) (Sol. 
dy
dx
=xsinx⋅(cosxlnx+ sin ( x )x ) )
b) y= ( ln ( x ) )
x
(Sol. 
dy
dx
=(ln ( x ) )x⋅( 1ln (x ) + ln (ln ( x ) )) )
c) y=x tan( x ) (Sol. 
dy
dx
=xtan ( x )⋅(sec²x⋅ln ( x )+tan ( x )x ) )
d) y=x√x (Sol.
dy
dx
=x√x( 2+lnx2√x ) , Rafaela Ferreira)
Funções hiperbólicas
1) Encontre a derivada de:
a) y=arctanh√x (Sol. 
1
2√ x (1−x )
)
b) y=sinh ( x² ) (Sol. 2x⋅cosh x² )
2) Mostre que arctanh x=
1
2
ln( 1+x1−x ) .
3) Prove a seguinte identidades:
1+ tanh ( x )
1−tanh ( x )
=e2x
Regra de l'Hopital
Calcule os seguintes limites utilizando a regra de l' Hopital.
a) lim x→−4− .
√ x ²+9−5
x+4
(Sol. 
−4
5
)
b) lim
x→0
sin ( x )−tan ( x )
x3
(Sol. −
1
2
)
c) lim
x→∞
ex
x²
(Sol. ∞ , Rafaela Ferreira)
c) lim
x→∞
e−x²⋅( x²−1 ) (Sol. 0 )
d) lim
x→∞
x1/x (Sol. 1 )
e) lim x→0+ . tan x ln x (Sol. 0 )
f) lim
x→ 1
x
1
x2−1 (Sol. √e )
g) lim
x→0+
1+3x
1
2 x (Sol. e3/ 2 )
h) lim
x→∞
(ex+x )1/ x (Sol. e , Débora Martins de Amaral)
Polinômio de Taylor
a) Encontre os seis primeiros termos do polinômio de Taylor da função y=ln(x) em x=1.
(Sol. ( x−1 )−
( x−1 ) ²
2
+
( x−1 )³
3
−
( x−1 )⁴
4
+
( x−1 )⁵
5
) 
b) Baseado nestes termos, escreva ln(x) em x=1 como soma de infinito termos.
(Sol. ln x=−∑
i=1
∞ (−( x−1 ) )
n
n
)
Roteiro para a construção de gráficos
Use o roteiro para construção de gráficos para esboçar as seguintes curvas:
a) y=x³+x
b) y=
x
x²−9
c) y= √1−x²
x
d) 
5x ²
x ²−4
e) x+cox x
f) x
2
x2−4
(Sol. André Lucchini)