Lista de Funções de mais de uma variável

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Lista 5
Funções de mais de uma variável
Versão do 14-9-2018
Domínio de funções de mais de uma variável.
1) Determine o domínio de h = f o g se f(t) = ln(t), g(x,y) = x² +y. (Sol. y> -x²)
2) Determine o domínio de f x , y =
x4− y⁴
x2− y2
(Sol. y≠x , y≠−x )]
3) Determine o domínio de f (x , y )=ln (9−x ²− y ²) (Sol. 
1
9 x
2
+ y2<1 , Glaucio 
G. Martins)
Limites
1) Mostre que lim(x , y)→(1,2) (3x+2 y )=7
2) Encontre, se existir, o lim(x , y)→(0,0)
x3− y3
x2+ y2
(Sol. 0)
3) Encontre, se existir, o lim(x , y )→(0,0)
8 x2 y
2|x2+2|y2
(Sol. 0)
4) Encontre, se existir, o lim(x , y )→(0,0)
x4
x4+3 y4
(Sol. Não existe)
5) Encontre, se existir, o lim(x , y)→(0,0)
x2− y2
x2+ y2
(Sol. Não existe)
6) Encontre, se existir, o lim(x , y)→(0,0)
3 x2( y2−1)
xy2( y+1)
(Sol. Não existe, Felipe H. B. Trevizan)
Continuidade
 1) Determine se f(x,y) é contínua no ponto (0,0) se 
f (x , y )=
3 x2 y
x2+ y ²
;(x , y )≠(0,0)
f (x , y )=0 ;(x , y)=(0,0) (Sol. f(x,y) é contínua)
 2) Determine se f(x,y) é contínua no ponto (0,0) se 
f (x , y , z )=
3xyz
x2+ y ²+z ²
;(x , y , z)≠(0,0,0)
f (x , y , z )=0 ; (x , y , z )=(0,0,0) (Sol. f(x,y) é contínua, André Lucchini)
Derivadas parciais
1) Se f(x,y) =x³+x²y³-2y², encontre f x (2,1) e f y (2,1) .
 (Sol. 16, 8) 
2) Ache a inclinação da reta tangente à curva da interseção da superfície z=
1
2
31−2x2 y2
com o plano y = 2, no ponto (3, 2, 52 ). (Sol. 
−3
38
)
3) Ache a inclinação da reta tangente à curva da interseção da superfície z=
1
2
24−x2−2y2
com o plano y = 2, no ponto (2,2). (Sol. 
−1
23
)
4) Dada w = x²y+y²z+z²x prove que 
δw
δ x
+
δw
δ y
+
δw
δ z
=(x+ y+z )2 
Derivadas Direcionais
1) Ache a derivada direcional de f(x,y) = x²-5xy+3y² em (3,-1) na direção e sentido do vetor
u⃗=√
2
2
i⃗ + √
2
2
j⃗ . ( 67 √
26
208
)
2) Dada f(x,y,z) = 2x² -xy -5y² -2yz +z²+2z ache a taxa de variação de f(x,y,z) em (2,-1,3) na 
direção e sentido do vetor 4i-4j+2k. (Sol. DU f = 4)
3) Ache a derivada direcional da função 3x-4xy+5y no ponto (1,2) e na direção do vetor
1
2 ( i⃗ +√3 j⃗ ) . (Sol. DU f =
−5+√3
2 , Débora Martins do Amaral)
4) Dada f(x,y,z) = xy +yz+zx ache a taxa de variação de f(x,y,z) em (1,-1,2) na direção e sentido 
do vetor 3i+6j-2k.
(Sol. DU f = 3,)
5) Encontre uma equação para a reta tangente à elipse 
x2
4
 y2=2 no ponto (-2,1). (Sol. x-2y = -
4)
6) Determine a derivada direcional da função f (x , y )=1+2 x√ y no ponto (3,4) na direção do 
vetor v=(4,-3). (Sol. 23/10)
Regra da cadeia
Ache as seguintes derivadas com dois métodos:
1)
dw
dx
,w=usin (v ) , u=x² + y² , v=xy
(Sol. 
dw
dx
=2xsin( xy)+ y ( x2+ y²)cos (xy ) Rafaela Ferreira)
2)
du
dt
, u= x2 y+3 xy4, x=sin 2 t , y=cos t , t=0
 (Sol. 6)
3) Se z=ex sin y , x=st2, y=s2 t , determine 
δ z
δ s
e 
δ z
δ t
(Sol. 
δ z
δ s
=t 2est
2
sin s2 t+2 st est
2
coss2t ,
δ z
δ t
=2 st est
2
sin s2t+s2 est
2
cos s2t )
 4) Se u=x⁴y+y²z³, onde x=r s et , y=r s2e−t , z=r ² ssin t , determine o valor de 
δu
δ s
quando r =
2, s = 1, t = 0. (Sol. 192)
 
Extremos de funções de mais de uma variável
1) Encontre o máximo local da função f (x , y )=
xy
3−x− y
.
(Sol. (1,1))
 2) Determine e classifique os extremos relativos de f(x,y) = x³ + y³ +3y²-3x -9y +2.
 (Sol. (1,1) mín. rel., (-1,-3) max. rel.) 
 3) Sendo f(x,y) = 2x⁴+y²-x²-2y, quais são seus extremos?
 (Sol. (- ½,1), (½,1 mínimos relativos)
 4) Determine os valores de máximo e mínimo absoluto da função f(x,y)=x²-2xy+2y no retângulo
0≤x≤3,0≤ y≤2 . (Sol. F(0,0) = 0 mínimo absoluto, f(3,0) =9 máximo absoluto)
 
Método dos Multiplicadores de Lagrange
 1)Determine os extremos relativos de f(x,y,z)=xyz sujeta ao vinculo x2+2y2+4z2 = 4
 (Sol. (
2√3
3
, √
6
3
, √
3
3
) ,(
2√3
3
, √
6
3
,−√
3
3
) )
 2) Determine os máximos e mínimos de f(x,y) = x2+y2 se xy=1.
 (Sol. x=1, y=1)
 3) Pretende-se construir um galpão com volume de 180 m³ numa quadra de esportes. O preparo do
chão retangular do galpão custa R$ 100 por m², o custo de construção de cada uma das quatro paredes 
retangulares é R$ 300 por m² e o do teto retangular é R$ 400 por m². Determine as dimensões 
(comprimento, largura e altura) do galpão mais barato que pode ser construído nessas condições.
 (Sol. (6,6,5) m)
 4) Use o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar os pontos críticos da função 
f(x,y,z) = x² +y² +z², sujeita ao vínculo 3x-2y+z-4 =0.
 (Sol. 
6
7
,
−4
7
,
2
7
 )
 5) Determine os extremos relativos da função f(x,y)=4x+6y subjeta ao vinculo g(x,y)=x²+y²=16
 (Sol. (2,3), máximo, (-2,-3) mínimo, Felipe H. B. Trevizam)