Matemática para computação - Slide Unidade III

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Profa. Dra. Karina de Oliveira
UNIDADE III
Matemática para 
Computação
 É uma função polinomial
 De primeiro grau
 Com uma ou mais incógnitas
Exemplo:
2x – 4y = 3
 Forma genérica
a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... + anxn = b
Equações lineares 
coeficientes
 Equação linear homogênea
 Solução trivial
(0,0,0,...,0)
 Contraexemplo
Equações lineares
 É um conjunto de equações lineares
 Classificação: SI, SPD, SPI
 Solução via método da substituição
 Solução via método da adição (ou cancelamento)
Sistemas de equações lineares
Sistemas de equações lineares
Sistemas de equações lineares
Fonte: 
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/ab/Secret
sharing_3-point.svg/220px-Secretsharing_3-point.svg.png
Método da substituição
1º passo 2º passo 3º passo
2x – y = 2
2x – 2 = y
y = 2x – 2
2x + 3.(2x – 2) = 10
2x + 6x – 6 = 10
8x – 6 + 6 = 10 + 6
8x = 16
8x = 16
8 8
x = 2
2.2 – y = 2
4 – y = 2
4 – 4 – y = 2 – 4
(– 1). – y = (– 1). – 2
y = 2
s = {2,2}
2x = 6
x = 3
Substituindo na primeira equação, temos:
x + y = 5
3 + y = 5
y = 2
Método da adição (ou cancelamento)
S = {3,2}
Método da adição (ou cancelamento)
S = {0,2}
1º passo 2º passo 3º passo
 Sistema possível determinado
 Sistema impossível
 Sistema possível indeterminado
Classificação dos sistemas
Uma das alternativas contém a solução correta para o sistema de equações abaixo, assinale-a:
a) S = {4,2}
b) S = {4, – 2} 
c) S = {8,2}
d) S = {– 8, 2}
e)
Interatividade
Resposta
Uma das alternativas contém a solução correta para o sistema de equações abaixo, assinale-a:
a) S = {4,2}
b) S = {4, – 2} 
c) S = {8,2}
d) S = {– 8, 2}
e)
 Matrizes são estruturas matemáticas organizadas na forma de tabela com linhas e colunas, 
utilizadas na organização de dados e informações. 
 Nos assuntos ligados à Álgebra, as matrizes são responsáveis pela solução de sistemas 
lineares. Elas podem ser construídas com m linhas e n colunas, conforme trabalhado nos 
conteúdos de determinantes e sistemas lineares.
 As matrizes possuem grande importância na Matemática e no cotidiano do ser 
humano, utilizadas nas áreas como Economia, Engenharia, Física, Biologia, Computação, 
entre outros. 
 Um exemplo prático são os pixels da tela de um computador, 
tomando como exemplo uma tela com 640 x 480 pixels. Esses 
números indicam que a tela é formada por uma tabela com 
307.200 pontos (área da tela) ou pixels. 
Matrizes
 3x + 2y – z + 3k + j – p = 2
 x + 0,3y + 0,7z + 5k + 2j – 3p = – 1
 2y – 7z + 4k – j – p = 0
 0,8x + 3y – 2z – 0,1k + 0,2j + 7p = 8
 0,6x – 0,7y – 0,4z + 0,3k – 3j + p = – 5
 x – 0,5y – 4z + 8k + 0,2j – 0,7p = 3
Matrizes
 x12 = 2
 x23 = 6
 x31 = 7
 Quando i = j, temos a diagonal
Matrizes
 Matriz quadrada
 Quando m = n, temos Anxn
 Matriz nula
 Todos elementos são nulos 0mxn
Propriedades das matrizes
Matriz linha
 A1xn

Matriz coluna
 Amx1

Propriedades das matrizes
Matriz diagonal
 Anxn, tal que aij = 0, para todo i ≠ j
Matriz identidade
 Anxn, tal que aij = 0, para todo i ≠ j e aij = 1, para todo i = j 
Propriedade das matrizes
Matriz transposta
At = (aji)nxm
Matriz simétrica
Matriz antissimétrica
Propriedade das matrizes
Igualdade
 Amxn = Bmsn
 A = B, quando aij = bij para qualquer i e qualquer j

Operações com matrizes
Adição
 Sejam Amxn e Bmxn matrizes de mesma ordem
 A + B = (aij + bij)mxn

 Associativa: A + (B + C) = (A + B) + C
 Elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A
 Elemento oposto: A + (-A) = 0
 Comutativa: A + B = B + A
Operações com matrizes
Subtração
 Sejam Amxn e Bmxn matrizes de mesma ordem
 A – B = (aij – bij)mxn

Operações com matrizes
Multiplicação
 A = (aij)mxn e B = (ahk)pxq
 A.B  n = p
 C = (Cik)mxq
 Cik = ai1b1k + ai2b2k + ... + ainbnk

Operações com matrizes
Interatividade
 Calcule o resultado da expressão (A - B)  C e assinale a alternativa correta:
a)
b)
c)
d)
e)
 Calcule o resultado da expressão (A - B)  C e assinale a alternativa correta:
a)
b)
c)
d)
e)
Resposta
 Propriedade associativa: A. (B.C) = (A.B).C
Operações com matrizes
Operações com matrizes
 Elemento neutro: A.I = A
 Distributiva: A.(B + C) = A.B + A.C
A.(B + C)
A.B + A.C
Operações com matrizes
 Note que A.B ≠ B.A
Operações com matrizes
Matriz inversa
 Anxn
 det A, det(A) ou |A|
 Solução de sistemas lineares
 Se |A| ≠ 0, então, o sistema é possível determinado.
 Se |A| = 0, então, o sistema é possível indeterminado ou
impossível.
Determinantes
|A| = 0.(– 1) – 2.1 = – 2
Determinantes
Resolução de sistemas
A.X = C
 Método do escalonamento
 1º passo
Resolução de sistemas
 Método do escalonamento
 2º passo
 3º passo
Resolução de sistemas
Resolução de sistemas
Qual alternativa contém o determinante da matriz:
a) 0
b) 8
c) -12
d) 9
e) 7
Interatividade
Resposta
Qual alternativa contém o determinante da matriz:
a) 0
b) 8
c) -12
d) 9
e) 7
 Dada uma matriz Anxn, com n>2
 Para um elemento aij, temos que seu cofator é dado por:
Aij = (-1)
i+j.Dij
 Em que Dij é o determinante da matriz que se obtém excluindo-se a i-ésima linha e a j-ésima
coluna.
Cofator
Cofator
 Linha ou coluna nula: detA = 0
 Troca de linhas ou colunas: detA’ = detA
Propriedades dos determinantes
 Multiplicação (de linha ou coluna) por número real:
 detA’ = k.detA
 Linhas ou colunas iguais: detA’ = 0
Propriedades dos determinantes
 Em termos das ciências exatas, vetores são segmentos de reta orientados, responsáveis 
pela caraterização das grandezas definidas como vetoriais. 
 É importante salientar que a palavra vetor assume significados diferentes dependendo do 
contexto em que é aplicada. Os agentes que disseminam doenças infectocontagiosas, por 
exemplo, também são chamados de vetores.
 Tipo de grandeza que possui, além do valor numérico (módulo), direção e sentido. 
 Força, velocidade e aceleração são exemplos de grandezas vetoriais.
Vetores
 Direção
 Sentido
 Intensidade
Vetores
 Sistema de coordenadas
Vetores
 Norma (ou módulo) de um vetor
Vetores
 Igualdade
 Soma de vetores
Vetores
mesma direção
mesmo sentido
mesmo módulo
 Diferença de vetores
Vetores
 Multiplicação de vetores
 terá a mesma direção de
 Se a < 0, terá o mesmo sentido de
 Se a < 0, terá sentido oposto a

Vetores
 Calcule a norma do vetor , com origem no ponto A e término no ponto B:
 A = (-2,0) e B = (3,5)
a)
b)
c)
d)
e)
Interatividade
Resposta
 Calcule a norma do vetor , com origem no ponto A e término no ponto B:
 A = (-2,0) e B = (3,5)
a)
b)
c)
d)
e)
ATÉ A PRÓXIMA!