Matemática para computação - Slide Unidade IV

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Profa. Dra. Karina de Oliveira
UNIDADE IV
Matemática para 
Computação 
 A trigonometria, palavra formada por três radicais gregos: tri (três), gonos (ângulos) 
e metron (medir), tem por objetivo o cálculo das medidas dos lados e dos ângulos de 
um triângulo.
Aplicações nas áreas de: 
 Matemática e Física 
 Astronomia
 Engenharia
 Arquitetura
Trigonometria
 O círculo trigonométrico, também chamado de ciclo ou circunferência trigonométrica, é uma 
representação gráfica que auxilia no cálculo das razões trigonométricas.
Trigonometria
 Radianos do círculo trigonométrico.
 A medida de um arco no círculo trigonométrico pode ser dada em grau (°) ou radiano (rad.). 
 1° corresponde a 1/360 da circunferência. 
 1 radiano corresponde à medida de um arco da circunferência, cujo comprimento é igual ao 
raio da circunferência do arco que será medido.
Trigonometria
 Para converter essas unidades de medidas (grau e radiano), utiliza-se a regra de três.
Exemplo: Qual a medida de um ângulo de 30° em radianos?
 π rad 180°
x 30°
x = 30° . π rad/180°
x = π/6 rad
Trigonometria
Trigonometria
Graus Radianos
360º 2𝜋
180º 𝜋
90º
60º
45º
30º
Trigonometria
Fonte: https://www.todamateria.com.br/circulo-trigonometrico/
 No círculo trigonométrico, podemos representar as razões trigonométricas de um ângulo 
qualquer da circunferência.
Chamamos de ângulos notáveis aqueles mais conhecidos (30°, 45° e 60°). As razões 
trigonométricas mais importantes são seno, cosseno e tangente:
Trigonometria
 A hipotenusa ao quadrado é igual à soma dos quadrados dos catetos.
Pitágoras
Fonte:https://pt-static.z-dn.net/files/d63/ bbb69a47b08823923b61ce94fb1b675f.jpg 
Seno e cosseno
60º
60º 60º
1 1
1
1
3
2
1
Lê-se cateto oposto sobre a hipotenusa
Seno e cosseno
1
.
30º
Seno e cosseno
Seno e cosseno
30º
1
1
2
𝟑
𝟐
Seno e cosseno
30º
1
𝟏
𝟐
3
2
Seno e cosseno
Calcule a expressão e escolha a alternativa com a resposta correta:
a) 2
b) 1
c) 0
d) -1
e) -2
Interatividade
Calcule a expressão e escolha a alternativa com a resposta correta:
a) 2
b) 1
c) 0
d) -1
e) -2
Resposta
Tangente
cosx
se
n
x
1
1
tg
x
Ângulos notáveis
Ângulo 0º 30º 45º 60º 90º
Seno 0 1
Cosseno 1 0
Tangente 0 1
Sinais: seno
(0,0)
(0,1)
(-1,0)
(0,-1)
++
- -
Sinais: cosseno
(0,0) (1,0)
(0,1)
(-1,0)
(0,-1)
+
-
-
+
Relação fundamental
cosx
se
n
x
1
1
Lei dos cossenos
ab
c
A B
C
h
H
m
𝜶
Lei dos cossenos
3
8
x
60º
Uma outra resolução
3
8
x
60º
h
𝒉 = 𝟑. 𝒔𝒆𝒏𝟔𝟎° = 𝟑.
𝟑
𝟐
z y
𝟑𝟐 = 𝒛𝟐 +
𝟑 𝟑
𝟐
𝟐
𝐳 =
𝟑
𝟐
𝐲 =
𝟏𝟑
𝟐
𝒙𝟐 = 𝒉𝟐 + 𝒚𝟐
𝒙𝟐 =
𝟑 𝟑
𝟐
𝟐
+
𝟏𝟑
𝟐
𝟐
𝒙 = 𝟕
𝟑𝟐 = 𝒉𝟐 + 𝒛𝟐
Lei dos senos
A
B C
a
bc
A’
diâmetro = 2r
Lei dos senos
Uma outra solução
Interatividade
Sabendo-se que ,, quanto vale cosx?
a) .
b) .
c) .
d) .
e) 1
Resposta
Sabendo-se que ,, quanto vale cosx?
a) .
b) .
c) .
d) .
e) 1
 Os números complexos surgem a partir da necessidade de resolução de equações que 
possuem raiz de números negativos. 
 Os números complexos constituem a expansão do conjunto dos números reais. 
Como exemplo, se utilizarmos a fórmula de Bháskara na equação x2 – 6x + 10 = 0, teremos:
Δ = b2 – 4·a·c
Δ = (– 6)2 – 4·1·10
Δ = 36 – 40
Δ = – 4
 Como bem sabemos, é impossível que uma equação do 
segundo grau que tem Δ negativo possua solução real.
Números complexos
Números complexos
 Possibilita que grandezas que variam senoidalmente ou cossenoidalmente em função do 
tempo sejam representadas por vetores bidimensionais.
 É mais fácil operar (somar, multiplicar etc.) com números complexos de diferentes módulos e 
argumentos do que operar com funções trigonométricas (senos e cossenos).
Números complexos
Aplicações:
 Engenharia de controle
 Física (buracos negros)
 Engenharia elétrica (análise de circuitos)
 Geometria fractal
 Aerodinâmica
 Computação quântica
Números complexos
Números complexos
parte imaginária
número imaginário
parte real
 Se a=0: imaginário puro
 Se b=0: número real
 Se 𝒂 ≠ 𝟎 𝒆 𝒃 ≠ 𝟎 : número imaginário
Operações
Conjugado de um número complexo 
Ex.: 
Operações
Adição: 
somam-se separadamente os componentes reais dos complexos
Ex.:
Operações
Propriedades da adição:
- Associativa: (𝒛𝟏 + 𝒛𝟐 )+ 𝒛𝟑= 𝒛𝟏+( 𝒛𝟐 + 𝒛𝟑)
- Comutativa: (𝒛𝟏 + 𝒛𝟐 )=(𝒛𝟐 + 𝒛𝟏 )
- Elemento neutro: (𝒛𝟏 + 𝒆)=(𝒆 + 𝒛𝟏 )
- Elemento oposto: (𝒛𝟏 + 𝒘)=(𝒘 + 𝒛𝟏 )= 𝟎
Subtração
Ex.:
Operações
Multiplicação
Ex.:
Operações
Divisão
Interatividade
Dado o número complexo abaixo, calcule seu quadrado e assinale a alternativa 
correspondente:
𝑧 = 2 + 5𝑖
a) 𝑧2 = 19 − 10𝑖
b) 𝑧2 = 19 − 20𝑖
c) 𝑧2 = −19 + 10𝑖
d) 𝑧2 = 29 + 20𝑖
e) 𝑧2 = −19 + 20𝑖
Resposta
Dado o número complexo abaixo, calcule seu quadrado e assinale a alternativa 
correspondente:
𝑧 = 2 + 5𝑖
a) 𝑧2 = 19 − 10𝑖
b) 𝑧2 = 19 − 20𝑖
c) 𝑧2 = −19 + 10𝑖
d) 𝑧2 = 29 + 20𝑖
e) 𝑧2 = −19 + 20𝑖
Representação geométrica e forma cartesiana
Plano de Argand-Gauss
𝒛 = 𝟐 + 𝟑𝒊
Representação geométrica e forma cartesiana
Plano de Argand-Gauss
𝒛 = −𝟑𝒊
(0,-3)-3
Real
Im
 Distância entre a origem (0,0) do plano e o ponto em questão
𝒛 = 𝟒 + 𝟐𝒊
Módulo
Im
Real4
2
(4,2)
(0,0)
 É a medida do ângulo formado pelo ponto no plano de Argand com vértice na origem e lado 
no eixo das abscissas.
Argumento
Im
Q
(0,0)
𝝆
𝜽
b
a
Argumento
Da trigonometria, temos que:
O que nos permite escrever
Forma trigonométrica 
Logo, a forma trigonométrica é dada por:
Ou ainda:
Forma trigonométrica 
Multiplicação na forma trigonométrica 
Divisão na forma trigonométrica 
Potenciação 
Potenciação 
Interatividade 
Dados os números complexos abaixo, calcule a divisão e assinale a alternativa correta:
a) 20 (cos205° + isen205°)
b) 5 (cos4° + isen4°)
c) 5 (cos135° + isen135°)
d) 2 (cos40° + isen40°)
e) 5 (cos135° − isen135°)
Resposta 
Dados os números complexos abaixo, calcule a divisão e assinale a alternativa correta:
a) 20 (cos205° + isen205°)
b) 5 (cos4° + isen4°)
c) 5 (cos135° + isen135°)
d) 2 (cos40° + isen40°)
e) 5 (cos135° − isen135°)
ATÉ A PRÓXIMA!