CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II - Lista de Exercícios 3 - Integrais Duplas

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Lista de Calculo II – Integrais duplas 
 
 
1-) Calcule as integrais duplas: 
𝑎) 𝑥 − 3𝑦! 𝑑𝐴, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑅 = 𝑥,𝑦 / 0 ≤ 𝑥 ≤ 2; 1 ≤ 𝑦 ≤ 2 𝑅𝑒𝑠𝑝. : −12 
!
!
 
 
𝑏) 𝑥 − 2𝑦 𝑑𝐴 , 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐷 é 𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑖ã𝑜 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑒𝑙𝑎𝑠 𝑝𝑎𝑟á𝑏𝑜𝑙𝑎𝑠 𝑦 = 2𝑥! 𝑒 𝑦 = 1 + 𝑥! 𝑅𝑒𝑠𝑝. :
32
15
 
!
!
 
 
𝑐) 𝑥 − 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 , 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐵 é 𝑜 𝑠𝑒𝑚𝑖𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 𝑥! + 𝑦! ≤ 1, 𝑥 ≥ 0 𝑅𝑒𝑠𝑝. :
2
3
 
!
!
 
 
𝑑) 𝑥𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 , 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐵 é 𝑜 𝑡𝑟𝑖â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠 −1,0 , 0,1 𝑒 (1,0) 𝑅𝑒𝑠𝑝. : 0 
!
!
 
 
𝑒) 𝑒!!! 𝑑𝑥 𝑑𝑦 , 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐵 é 𝑜 𝑡𝑟𝑖â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠 0,0 , 1,1 𝑒 (0,1) 𝑅𝑒𝑠𝑝. :
1
2
(1 − 𝑒!!) 
!
!
 
 
2-) Inverta a ordem de integração: 
𝑎) 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦
!!!!
!
𝑑𝑥 𝑅𝑒𝑠𝑝. :
!
!
𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥
!
!
𝑑𝑦 + 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥
!!!!
!
𝑑𝑦
!
!
 
!
!
 
 
𝑏) 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦
!!!!!
!
𝑑𝑥 𝑅𝑒𝑠𝑝. :
!
!
𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥
!
!! !!!
𝑑𝑦 + 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥
!! !!!
!! !!!
𝑑𝑦
!
!
 
!
!
 
 
3-) Inverta a ordem de integração e calcule: 
 
𝑎) 𝑠𝑒𝑛 𝑥! 𝑑𝑥
!
!
𝑑𝑦 𝑅𝑒𝑠𝑝. : 
1
3
!
!
(1 − cos 1) 
 
 
4-) Determine o volume: 
a) do sólido S que é delimitado pelo paraboloide elíptico 𝑥! + 2𝑦! + 𝑧 = 16, os planos x = 2, y = 2 e os três planos 
coordenados. Resp.: 48 
 
b) do tetraedro limitado pelos planos 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2, 𝑥 = 2𝑦, 𝑥 = 0 𝑒 𝑧 = 0 Resp.:!
!
 
 
5-) Faça a mudança de variável para coordenadas polares nas integrais duplas e calcule: 
𝑎) 3𝑥 + 4𝑦! 𝑑𝐴, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑅 é 𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑖ã𝑜 𝑛𝑜 𝑠𝑒𝑚𝑖𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑒𝑙𝑜𝑠 𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜𝑠 𝑥! + 𝑦! = 1 
!
!
 
e 𝑥! + 𝑦! = 4 𝑅𝑒𝑠𝑝: !"!
!
 
 
𝑏) 𝑥! + 𝑦! 𝑑𝑥 𝑑𝑦 , 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐵 é 𝑜 𝑡𝑟𝑖â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠 0,0 , 1,0 𝑒 (1,1) 𝑅𝑒𝑠𝑝. :
1
6
[ 2 + ln 1 + 2 ] 
!
!
 
 
6-) Use a integral dupla para calcular a área de um laço da rosácea de quatro pétalas 𝑟 = 𝑐𝑜𝑠2𝜃 Resp.: !
!
 
 
7-) Calcule o volume do sólido limitado pelo plano 𝑧 = 0 e pelo paraboloide 𝑧 = 1 − 𝑥! − 𝑦! Resp.: !
!