Prévia do material em texto

Análise Harmônica
Análise Harmônica
Ajuste Trigonomêtrico e Análise Harmônica
Quando a função f a ser aproximada é periódica é conveniente utilizar
como função aproximadora uma função y também periódica.
Muitas vezes, se os dados tabelados representam um evento periódico,
é conveniente fazer um ajuste trigonométrico aproximado a função
tabelada por uma reduzida da série de Fourier ou Análise Harmônica,
uma curva y dada por :
Obs: A Análise Harmônica é um MMQ com uma curva específica.
y(x) = a0 + a1cosx +b1senx + a2cos(2x) +b2sen(2x) + ... + ancos(nx) +bnsen(nx) +...
Análise Harmônica
Condição:
Como caso particular de ajuste trigonométrico temos uma tabela de 
passo constante em que o último valor de x, acrescido do passo, é igual 
ao primeiro valor mais 2, ou seja, completou uma volta do círculo 
trigonométrico.
Se estas condições não estão satisfeitas é necessário então fazer uma 
mudança de variável. 
Número de Coeficientes:
Nesta situação, se o número de pontos tabelados para x é igual ao 
número de coeficientes a determinar na reduzida da série de Fourier 
temos então que o ajuste é uma Análise Harmônica.
Dispositivo Prático
f(x)  y(x) = a0g0(x)+a1g1(x)+a2g2(x)+...+amgm(x)
Análise Harmônica
Exercício 1: 
Dada a tabela abaixo, fazer a análise harmônica. Usar 2 casas decimais.
Solução:
Para fazer a análise harmônica, é necessário que x  [1,4] 
percorra todo o círculo trigonométrico com passo constante.
Portanto, devemos fazer uma mudança de variável.
x 1 2 3 4
f(x) 1  2 3  1
Análise Harmônica
Exercício 1: 
Solução:
Mudança de Variável
a)Passo constante : ℎ =
2𝜋
𝑛° 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑎 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎
Neste caso, ℎ =
2𝜋
4
∴ ℎ =
𝜋
2
b)Tabela:
x 1 2 3 4
f(x) 1  2 3  1
x 1 2 3 4
t 𝟎 𝛑
𝟐
𝛑 𝟑𝝅
𝟐
f(x) 1  2 3  1
Análise Harmônica
Exercício 1: 
Solução:
Mudança de Variável
b)Tabela:
Mudança de Variável: t = ax +b
൝
𝒂 + 𝒃 = 𝟎
𝟐𝒙 + 𝒃 =
𝛑
𝟐
a = 
𝛑
𝟐
e b = 
−𝛑
𝟐
x 1 2 3 4
f(x) 1  2 3  1
x 1 2 3 4
t 𝟎 𝛑
𝟐
𝛑 𝟑𝝅
𝟐
f(x) 1  2 3  1
𝑡 =
𝛑
𝟐
𝑥 −
𝛑
𝟐
∴ 𝑡 =
𝛑
𝟐
(𝑥 − 1)
Análise Harmônica
Exercício 1: 
Solução:
Mudança de Variável
x 1 2 3 4
f(x) 1  2 3  1
x 1 2 3 4
t 𝟎 𝛑
𝟐
𝛑 𝟑𝝅
𝟐
f(x) 1  2 3  1
∴ 𝑡 =
𝛑
𝟐
𝑥 −
𝛑
𝟐
Neste caso, temos :
f(x)  y(t) = a0 + a1cost +b1sent + a2cos(2t)
f(x)  y(t) = 0,25 –cost – 0,5sent + 1,75cos(2t) 
onde 𝑡 =
𝛑
𝟐
(𝑥 − 1)
a0 = 0,25 ; a1 = -1 ; b1 = - 0,50 ; a2 = 1,75 
Análise Harmônica
Exercício 1:
x 1 2 3 4
f(x) 1  2 3  1
f(x)  y(t) = 0,25 – cost – 0,5sent + 1,75cos(2t) 
onde 𝑡 =
𝛑
𝟐
(𝑥 − 1)
Análise Harmônica
Exercício 2:
Dada a tabela abaixo, fazer a análise harmônica.
Usar 2 casas decimais.
x 1 2 3
f(x)  1 3  1