Paper algebra

Prévia do material em texto

4
APLICAÇÃO DE ÁLGEBRA LINEAR NA ANÁLISE DE CIRCUITOS ELÉTRICOS
José Fernando Belíssimo Araujo¹
Lilian Branco ²
	
RESUMO
Apresentar uma aplicação prática para uma ferramenta eminentemente teórica da Álgebra Linear: solução de equações lineares, com aplicação direta em problemas de cálculo de circuitos elétricos, este é o principal foco do trabalho que ora segue. Iniciamos com por apresentar um estudo de caso, onde o aluno de eletricidade é levado a encontrar significação as ferramentas teóricas apresentadas em outra disciplina: a matemática.
Palavras-chave: Matemática, matrizes e determinantes, circuitos elétricos lineares. 
1. INTRODUÇÃO
A matemática desponta na história como a grande fornecedora de ferramentas para todas as ciências de tal forma que, podemos considera-la a operária das ciências. Desnuda-se uma nova necessidade para incentivar o ensino e a aprendizagem da nossa protagonista: o desenvolvimento de metodologias não pautadas na memória e na repetição exaustiva de tópicos, este método doloroso e tradicional que não atrai (e nunca atraiu) aos alunos deste novo século, mas sim, enfatizando o desenvolvimento do pensamento matemático, utilizando procedimentos lúdicos que direcionem o estudo às aplicações práticas e cotidianas do aluno. Nossa intenção é quebrar o paradigma que aponta que somente os superdotados conseguem compreender o emaranhado exotérico e doloroso do estudo da matemática.
No trabalho que ora apresentamos propomos uma aplicação eminentemente prática para o uso de matrizes e determinantes, um método para facilitar o cálculo de circuitos elétricos utilizando os enunciados Kirchoff (1845) na lei de malhas e nós, demonstrando que o trabalho braçal para determinar soluções utilizando o método de substituição para cálculo das equações de várias variáveis pode ser grandemente minimizado com o uso da regra de Cramer), um conteúdo da Álgebra Linear. 
A álgebra, que é basicamente a inclusão de variáveis literais (letras) nas operações aritméticas, está para a matemática como o bisturi está para a cirurgia, em outras palavras, inseparável e insubstituível. O papiro de Moscow (1850 AC) e o papiro de Rhind (1650 AC) indicam que, na antiguidade, os egípcios já conheciam (e utilizavam) os rudimentos desta ferramenta. Apesar disso, conforme Eduardo Santos (Histemat, Ano 4, N.2, 2018) a álgebra Linear, como disciplina acadêmica, tem história recente e pouco investigada, uma vez que não era reconhecida como tal até os anos de 1930.
A seguir desenvolveremos, com o uso de Kirchoff[footnoteRef:1], as equações de tensão e corrente em um exemplo de um circuito elétrico utilizando o método da substituição para resolução das equações. Logo após aplicaremos o princípio da Álgebra Linear, com a regra de Cramer[footnoteRef:2], para resolver o mesmo problema, onde demonstraremos a simplificação e a minimização na possibilidade de erros quando aplicamos esta ferramenta algébrica. [1: Gustav Kirchoff (1824-1887): Físico alemão autor das duas principais leis para cálculos de circuitos elétricos: a Lei dos Nós e a Lei da Malhas] [2: Gabriel Cramer (1704,1752), matemático suíço que desenvolveu a técnica matricial para solução de equações lineares.
] 
Este conteúdo é direcionado aos estudantes de ensino médio e técnico nas disciplinas de física e eletricidade.
2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
No século em que se vive num período no qual se registram mudanças políticas, educacionais e econômicas, o professor tem sido desafiado a repensar a sua prática pedagógica. De acordo com os PCN’s, o ensino pretende contemplar a necessidade da sua adequação para o desenvolvimento e promoção de alunos, com diferentes motivações, interesses e capacidades (BRASIL, 2000). 
Com relação ao ensino da Matemática, deve ser visto como valor formativo, que ajuda a estruturar o pensamento e o raciocínio dedutivo, ela deve ser vista pelo aluno como um conjunto de técnicas e estratégias para serem aplicadas a outras áreas do conhecimento, assim como para a atividade profissional. (BRASIL, 2000). 
Lembramos Paulo Freire (1996, p.22) quando afirmava que: “[...] A teoria sem prática vira “verbalismo”, assim como a prática sem teoria vira “ativismo”, quando se une a prática com a teoria tem-se a práxis, a ação criadora e modificadora da realidade[...]”.
 
Conforme defendido por Colledan (2019, p. 7): 
 A matemática está presente no processo educativo para contribuir com o desenvolvimento integral dos alunos, objetivando as perspectivas de assumir os desafios do século XXI. A mesma tem papel extremamente formativo, pois sendo uma ciência que a partir de noções fundamentais constrói teorias que utilizam apenas o raciocínio lógico, contribui para o desenvolvimento do pensamento dedutivo, permitindo formar sujeitos capazes de observar, analisar e raciocinar, haja vista sua proliferação que, apesar de sua variada interpretação, posto que, dependendo da metodologia com a qual se aplica o ensino; não satisfaz necessariamente todas as culturas, está presente em todas áreas da vida (COLLEDAN, 2019, p. 7). 
 
Pode-se dizer que a matemática é a “Sopa Primordial” de todas as ciências, é o repositório onde todas outras recolhem recursos para se sustentarem como ciência. Lembramos, ainda, Ausubel (2009), que sustentava que o processo de ensino deve fazer algum sentido ao aluno, em outras palavras, o aprendizado deve ser significativo. “Para que serve isto?”, essa é a frustrante pergunta feita pelo aluno ao entrar em contato com algum assunto sobre matemática, quando este é tratado de maneira formal, a propósito, esse formalismo interessa aos matemáticos, que elaboram as ferramentas e os formulários que servirão as demais ciências.
	 Respeito da importância da álgebra na aplicação ora apresentada, cita-se o comentário de David Lay (1999):
Os sistemas de equações lineares estão no coração da Álgebra Linear [...]apresentam um método simples e concreto, alguns dos conceitos centrais da Álgebra Linear [...] Os engenheiros usam programas de simulação para projetar circuitos eletrônicos e circuitos integrados envolvendo milhões de transistores. Os programas dependem de técnicas de Álgebra Linear e de sistemas de Equações Lineares” (LAY, 1999, p. 2).
 A seguir, é demonstrado, um passo a passo para Resolução de Equações do Primeiro Grau, com método da substituição.
Vejamos o exemplo para o sistema de equações:
x + y = 3
x – y = -1
Seguindo a sequência sugerida anteriormente:
Se, x = 3 – y (1), então 
3 – y – y = -1, e
- 2y = -4, portanto:
y = 2
Desta forma substituindo na equação (1):
x = 3 – 2 = 1
Observamos que, para um simples sistema com apenas duas variáveis, houve necessidade de quatro tarefas para o resultado ser descoberto.
FIGURA 1 – Método de Substituição de Variáveis[footnoteRef:3] [3: Variável: Representadas por letras, são os valores desconhecidos de uma expressão algébrica.] 
Fonte: elaborado pelo autor (2019)
Vejamos, agora, a resolução de Equações do Primeiro Grau, com o método de Cramer:
FIGURA 2 – Método Cramer
Fonte: o elaborado pelo Autor (2019)
Repetindo o exemplo do método anterior, utilizando o método de Cramer:
	1
	1
	
	1
	-1
	
Determinante Geral = (1X-1) - (1X1) = -2
Substituindo na coluna da variável “X”:
	3
	1
	
	-1
	-1
	
Determinante X = (3X-1) - (1X-1) = -2
Substituindo na coluna da variável “Y”:
	1
	3
	
	1
	-1
	
Determinante Y = (1X-1) - (3X1) = -4
Valor de “X” = -2/-2 = 1
Valor de “Y” = -4/-2 = 2
Notamos a simplicidade (apenas multiplicações e subtrações) para a resolução do sistema de equações com a utilização do método de Cramer, além disso, o método da substituição demonstra-se complexo quando o sistema possui três ou mais variáveis. 
O segundo foco dessa dissertação é a aplicação prática do método Cramer para cálculos em circuitos elétricos[footnoteRef:4](1), utilizado as duas leis de Kirchoff: [4: Circuito elétrico é um caminho fechado para corrente elétrica.] 
1° Lei de Kirchoff – Lei das correntes ou Lei dos nós: esta lei, simplificadamente, diz que a soma das correntes que entram em umnó tem o mesmo valor que a soma das correntes que saem de um nó.
2°Lei de Kirchoff – Lei das Tensões ou Lei das Malhas: a soma, levando-se em conta o sinal, das tensões em um percurso elétrico fechado é igual a zero. Kirchoff ensinou que com algumas equações lineares podemos definir quaisquer parâmetros (tensão, corrente, potência) envolvidos em um circuito elétrico
 	A seguir, apresenta-se a experiência em sala de aula da utilização do método Cramer para cálculo de equações lineares, aplicado a resolução de circuitos elétricos.
3. MATERIAIS E MÉTODOS
O problema a seguir, foi apresentado a uma turma de 26 alunos, de um curso técnico de eletrônica, na disciplina de eletricidade. A proposta consistiu em calcular todas as correntes elétricas envolvidas no circuito, através de sistemas lineares e aplicação do método de Cramer.
Inicialmente foi feita uma explanação teórica, com o intuito de entender como podem ser resolvidos sistemas de equações lineares com o uso da regra de Cramer, com o objetivo de aplicar este conhecimento na resolução de circuitos elétricos quando utilizado as leis de Kirchoff. 
Primeiramente, o grupo montou o circuito elétrico proposto, conforme indicado na figura 3, em seguida, mediram-se as correntes indicadas em todos os nós do circuito. Após, esperava-se que fosse apresentado o desenvolvimento teórico da questão e assim comprovar a equidade entre teoria e prática.
A partir das leis de Kirchoff, foi possível obter as equações de corrente do circuito, ao extrair as equações lineares, foi possível aplicar o método Cramer e calcular cada corrente do circuito elétrico. 
 4. RESULTADOS E DISCUSSÃO
A partir do circuito elétrico representado na figura 3, utilizando Kirchoff, conforme ilustração na figura 4, foi possível obter as equações de corrente do circuito:
	FIGURA 3 – Exemplo de Circuito
FONTE: Elaborado pelo autor (2019)
	FIGURA 4 – Definição das correntes pela lei de Kirchoff
FONTE: Elaborado pelo autor (2019)
Analisando as correntes elétricas do circuito, obteve-se as seguintes equações: 
I1 - I2 - I3 = 0
20 - 4I2 – I1 = 0
7 + I3 – 4I2 = 0	
Aplicando o método Cramer, conforme demonstrado a seguir, obteve-se o a intensidade de cada corrente elétrica analisado no circuito.
FIGURA 5 – Solução do Problema utilizando o método de Cramer
 Determinante Geral= 9
Determinante I1 = 72 / I1 = 8A
 Determinante I2 = 27 / I2 = 3A
 Determinante I3 = 45 / I3 = 5A
FONTE: Elaborado pelo autor (2019)
Através da atividade desenvolvida, percebe-se que o método de Cramer, que é eminentemente prático, absolve o aluno da aplicação de um algoritmo exaustivo e maçante, que favorece o desencadeamento de erros acarretados em função da extensa quantidade de detalhes. Desta forma, o que pode ser um conteúdo abstrato, ao ser aplicado numa situação prática do contexto do aluno, acaba superando a ilogicidade da matemática de como ela é vista, pela aplicação do conteúdo matemático através da prática do cotidiano.
REFERÊNCIAS
BRASIL. Ministério da Educação, Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros Curriculares Nacionais: Ensino Médio. Brasília: MEC/SEB, 2000.
COLLEDAN, Ana Paula. Ensinando a Matemática Através de Jogos: Contribuições dos jogos para o ensino da matemática. 2019. Trabalho de conclusão de curso (Graduação) - Instituto Superior de Educação Ateneu. 2019. https://www.academia.edu/39458807/TCC_-_Ana_Paula_Colledan?auto=download em 18/11/2019, 9h00min
FREIRE, PAULO. Pedagogia da Autonomia. Rio de Janeiro: Paz e Terra, 1996.
LAY, DAVID Álgebra Linear e suas Aplicações. São Paulo: Editora LTC, 1999
https://www.if.ufrgs.br/~moreira/apsigsubport.pdf em 18/11/2019, 8h35min
1 Nome dos acadêmicos
2 Nome do Professor tutor externo
Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI - Curso (MAD113) – Prática do Módulo I - 24/06/19
3 Gustav Robert Kirchoff (1824-1887) físico alemão que desenvolveu a lei de Kirchoff para cálculos em circuitos elétricos.